2024版高考数学全程学习复习导学案第三章函数及其应用第七节函数的应用第1课时函数的零点与方程的解二分法课件

第七节函数的应用第1课时函数的零点与方程的解、二分法【课程标准】1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.2.根据具体函数的图象,能够借助计算工具利用二分法求相应方程的近似解.知识梳理·思维激活【必备知识·精归纳】1.函数的零点与方程的解(1)函数的零点对于一般函数y=f(x),使_______的实数x.(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有______⇔函数y=f(x)的图象与_____有公共点.(3)函数零点存在定理①条件:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有__________.②结论:函数y=f(x)在区间_____内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得_______,这个c也就是方程f(x)=0的解.f(x)=0零点x轴f(a)f(b)<0f(c)=0(a,b)点睛连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.2.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且__________的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间__________,使所得区间的两个端点逐步逼近______,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.f(a)f(b)<0一分为二零点【常用结论】有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.【基础小题·固根基】1.(结论)已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(

)

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个教材改编结论应用易错易混2,314,5x123456y124.433-7424.5-36.7-123.6B2.(教材变式)函数f(x)=ex+3x的零点个数是(

)

A.0 B.1 C.2 D.3B

4.(忽视区间端点值)函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,则k的取值范围是

.

5.(应用零点和奇函数的概念不准确)设函数f(x)是定义在R上的奇函数且当x>0时,f(x)=x-1+lgx,则在R上f(x)的零点为

.

【题型一】函数零点所在区间的判定

[典例1](1)(多选题)(2022·菏泽质检)函数f(x)=ex-x-2在下列哪个区间内必有零点(

)

A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)核心题型·分类突破AD

(2)设f(x)=0.8x-1,g(x)=lnx,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点一定位于下列哪个区间(

)A.(0,1) B.(1,2)C.(2,e) D.(e,3)A【方法提炼】——自主完善,老师指导确定函数零点所在区间的常用方法(1)定理法:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有__________.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)图象法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有________来判断.f(a)·f(b)<0公共点

C

D

B2.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)·(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(

)A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内A【解析】函数y=f(x)是开口向上的二次函数,最多有两个零点,由于a<b<c,则a-b<0,a-c<0,b-c<0,因此f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0.所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,即f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点.【题型二】函数零点个数的判定

[典例2](1)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是(

)

A.0 B.1

C.2

D.3B

C(3)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(

)A.1 B.2

C.3

D.4B【方法提炼】——自主完善,老师指导函数零点个数的判定方法(1)方程法:令_______,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.(2)定理法:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的曲线,且__________,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)图象法:画出两个函数的图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.f(x)=0f(a)·f(b)<0【对点训练】1.函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,当0≤x<2时f(x)=x2-x,则函数y=f(x)的图象在区间[-3,3]上与x轴的交点个数为(

)

A.6 B.7

C.8

D.9B

【加练备选】

函数f(x)=xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为(

)

A.2 B.3

C.4

D.5D

A【解析】画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为函数f(x)在R上有两个零点,所以f(x)在(-∞,0]和(0,+∞)上各有一个零点.当x≤0时,f(x)有一个零点,需0<a≤1;当x>0时,f(x)有一个零点,需-a<0,即a>0.综上,0<a≤1.

B

A

【方法提炼】已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:将参数分离,转化成求已知函数零点情况的问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.

D

C

BCD

D

3.(2023·浙江名校联盟联考)定义在R上的函数f(x),满足f(-x)=-f(x),且f(x)=f(2-x).当0<x≤1时,f(x)=log2x,则方程f(x)=1在[-6,6]上的实数根的和为

.

答案:-6

【备选题型】嵌套函数的零点问题

函数的零点是高考命题的热点,主要涉及判断函数零点的个数或范围,对于嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解.

C

【方法提炼】求解嵌套函数零点问题的主要步骤(1)换元解套,转化为t=g(x)与y=f(t)的零点.(2)依次解方程,令f(t)=0,求t,代入t=g(x)求出x的值或判断图象交点个数.

【解析】设t=f(x),令f(f(x))-a=0,则a=f(t).在同一坐标系内作y=a,y=f(t)的图象(如图).当a≥-1时,y=a与y=f(t)的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1),则t1<-1,t2≥-1.当t1<-1时,t1=f(x)有一解,当t2≥-1时,t2=f(x)有两解.综上,当a≥-1时,函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点.【方法提炼】1.求嵌套函数零点中的参数范围可抓住分段函数的图象性质,由y=a与y=f(t)的图象,确定t1,t2的取值范围,进而由t=f(x)的图象确定零点的个数.2.含参数的嵌套函数方程,还应注意让参数的取值“动起来”,抓临界位置,动静结合.

B

B

【思维导图·构网络】解题思维拓广角度❸

复合函数零点、方程根的问题

复合函数涉及内外两层函数,问题的解决往往涵盖函数与方程、数形结合、分类整合和化归与转化等数学思想.复合函数零点问题具有关系复杂、综合性强的特点,对考查学生思维能力、运算能力有较高的要求.[常见方法]先将复合函数的解析式写出,再根据函数的解析式画出函数的图象,根据函数的图象研究零点问题.

A

【方法提炼】求复合函数y=f(g(x))的零点的个数或方程解的个数的策略:(1)先换元解“套”,令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)与t=g(x)的图象.(2)由y=f(t)的图象观察有几个t的值满足条件,结合t的值观察t=g(x)的图象,求出每一个t与几个x对应,将x的个数汇总后即为y=f(g(x))的零点或方程解的个数,即“从外到内”.

C

【方法提炼】

已知复合函数y=f(g(x))零点的个数,求参数的取值范围的问