2023年新高考汇编：概率与统计(解析版)

重难点04概率与统计

命题趋势

新高考概率与统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思

想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算.试题考查特点是以实际应用问

题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离

散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差.概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生

的实际生活,取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点.解答题中概率与统计的交汇是近几年考查

的热点趋势，应该引起关注.

满分技巧

求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，

要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的儿个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些

事件互斥（独立）的原因；（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和

（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.

离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都

离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.

捆绑法:题目中规定相邻的儿个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几

个元素插入上述几个元素的空位和两端。

定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此

继续下去，依次即可完成.

有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元索分成若干组，可用逐步下量分组法.

对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n项即可，但是应注意是二项式系数还是系数。

［热点解读

新高考统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以

排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算.

试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要

考查独立性检验、超儿何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差.概率的应用立意高，

情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活.取代了传统意义上的应用题，成为新高考中的亮点.解答

题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注.

限时检测

A卷（建议用时90分钟）

一、单选题

1.（2021•福建莆田•二模）“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每

/1

一期增长量相加后，除以期数，即决二2∙下图是我国2016-2020年GDP数据根据图中数据，

/7-1

2016—2020年我国GDP的平均增长量为（）

2016-2020年国内生产总值（GDP）

数据来源:国家统计局2021年2月28日统计公报

A.4.60万亿元B.5.39万亿元C.6.74万亿元D.8.99万亿元

【答案】C

［分析］利用图中的数据结合所给公式直接求解即可

【详解】解：=74.64,α2=83.20,α3=91.93,a4=98.65,«；=101.60

则由题意可得，2016-2020年我国GDP的平均增长量为

&-《）+（%-出）+（&-%）+（%-%）__101.60-74.64_$74微选C

444

2.（2021•福建•三模）《周髀算经》是中国最古老的天文学、数学著作，公元3世纪初中国数学家赵爽创制了

“勾股圆方图”（如图），用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给如图中5个区域涂色，规定每个

区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色的方法种数为（）

A.36B.48C.72D.96

【答案】C

【分析】根据题意，分2步依次分析区域48E和区域CO的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①对于区域Z8E,三个区域两两相邻，有团=24种涂色的方法,

②对于区域CQ,若C区域与A颜色相同，。区域有2种选法，

若C区域与A颜色不同，则C区域有1种选法，。区域也只有1种选法，

则区域CD有2+1=3种涂色的方法，则有24x3=72种涂色的方法，故选：C.

3.（2021•辽宁大连•一模）我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”

分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宜肺败毒方.

若某医生从“三药三方”中随机选出两种,事件A表示选出的两种中有一药,事件B表示选出的两种中有一方,

则P（BM）=（）

1333

A.—B.——C.—D.-

51054

【答案】D

【分析】利用古典概型分别求出尸（4）,P（AB）,根据条件概率公式可求得结果.

【详解】若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件A表示选出的两种中有一药，事件B表示选出的两种

3

中有一方，则小尸（小罢=|,.D=第qq.故选：d.

u6ɔL61厂（力;4

5

4.（2021・重庆九龙坡•高三期中）有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通过一

一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能

开锁的钥匙区分出来的概率是（）

3342

A.-B.—C.-D.-

51055

【答案】B

【分析】恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：①前三把都能开锁，②第

一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，③第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，

由此能求出恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率.

【详解】有.5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁.

现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放Ι可，

恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：

①前三把都能开锁，②第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，

③第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，

恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为：

5.（2021•山东青岛•高三期末）某种芯片的良品率X服从正态分布N（0.95,0.0F）,公司对科技改造团队的

奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%,不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%,每张芯

片奖励100元；若芯片的良品率超过96%,每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（）

元附：随机变量百服从正态分布N（〃,叫，则+c）=0.6826,P（^-2σ<<f<∕∕+2σ）=0.9544,

P（μ-3σ<ξ<√+3σ）=0.9974.

A.52.28B,65.87C,50.13D,131.74

【答案】B

【分析】根据X~N（0∙95,0.012）,得出"=O.95,√+σ=0.96,计算对应的概率值，再求每张芯片获得奖

励的数学期望.

【详解】因为X~N(0.95,0.(∏2)得出〃=0.95,〃+C=0.96,所以尸(XWo.95)=P(X≤〃)=0.5,

P(0.95<Ar≤0.96)=P(√<Ar≤^u+σ)=∣P(√-σ<Ar≤√+σ)=∣×0.6826=0.3413；

P(Z>0.96)=∣[1-P(√-σ≤√+σ)]=∣×(l-0.6826)=0.1587,

所以E(X)=O+100x0.3413+200x0.1587=65.87(元)故选：B

6.(2021•山东聊城一中模拟预测)在天文学上恒星的亮度一般用星等来表示，直接测量到的天体亮度被称

为视星等烧，而把天体置于10秒差距的距离处所得到的视星等称为绝对星等M,它能反映天体的发光本

领.如果我们观测到了恒星的光谱，可以知道一些类型恒星的绝对星等，就可以利用光谱视差法来获得这

些恒星的距离.下表是某校天文爱好者社团在网上收集到一些恒星的相关数据，那么最适合作为星等差N关

于距离X(光年)的回归方程类型的是()

星名天狼星南河三织女星大角星五车二水委一老人星参宿四

距离X8.611.462536.7142.8139.44309.15497.95

y-m-M-2.89-2.27-0.570.260.593.154.885.92

A.y=a+bx2B,y=a+b∖gxC.y=a+b∖[xD,y=a+bx

【答案】B

【分析】由表格数据在直角坐标系中标注点坐标，勾画出大概图象，对比lgχ,石,χ的图象，即可知其回

归方程类型.

【详解】根据表格数据，在直角坐标系中从左至右依次标注表格数据代表的点，拟合曲线如下图示,

A.用相关指数及2来刻画回归效果，R?越小说明拟合效果越好

B.已知随机变量X~N(5,4),若P(χ<l)=0.1,则P(X≤9)=0.9

3

C.某人每次投篮的命中率为现投篮5次，设投中次数为随机变量L则E(2Y+1)=7

D,对于独立性检验，随机变量K?的观测值“值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大

【答案】A

【分析】对于判断个命题真假，只要对各选项逐个判断即可.对于A相关指数越大说明拟合效果越好，题中

说法相反；对于B根据正态分布图像知XVI概率与x>9概率相同，即可判断XV9的概率为0.9；对于C可

以根据二项分布Y〜8卜W)得出E(Y)=3从而求解；对于D根据独立性检验知识判断即可.

【详解】对于A选项，相关指数越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好，故A错；

对于B选项,正态分布图像关于X=5对称，因为X<1概率为0.1,所以X>9概率为0.1,故X≤9的概率为0.9,

故B正确；对于C选项，服从二项分布y~B(5，W，因此E(y)=3,则E(2F+1)=7,故C正确；

对于D选项，对「分类变量进行独立性检验时，随机变量K?的观测值越小，则分类变量间越有关系的可信

度越小，故判定两分类变量约有关系发错误的概率越大，故D正确.故选:A

8.(2021•河北•大名县第一中学高三阶段练习)若(l-2x)2°"=α°+qx+%χ2+∙∙∙+%ouχ2°ujFJ

W..∙+^⅛.=()

222220"('

A.2B.0C.-1D.-2

【答案】C

【分析】根据题意写出%并求出3+%+…+舞，进而结合二项式定理求得答案.

【详解】由题意得见=Gou(-2)r.母+叁+…+与揩=VOU+C；OlI-CMU+…+嚼；-嚼：.

---c2011-c20ll+C2011-C20lI+∙∙∙+C2OU-C20ll=(IT)如'=0,J./+者+…+H-=T・故选:ɛ.

二、多选题

9.(2021•吉林松原•高三阶段练习)!<尸<1,随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有()

4

X012

PP-P2I-PP2

A.P(X=2)的值最大B.P(X=O)<P(X=1)

C.E(X)随着概率的增大而减小D.E(X)随着概率的增大而增大

【答案】BD

【分析】本题可通过取尸=g得出A错误，然后通过尸-p2<[-p得出B正确，最后通过

£(X)=2(P-；)+(得出C错误，D正确.

【详解】当P=；时，P(X=2)=；,P(X=1)=1-1=1>1.A错误；

因为:<P<1,所以尸-尸=P(I-P)<1-0，即P(X=O)<P(X=1),B正确,

7

E(X)=(I-P)+2PZ=2卜一;+-,

8

因为:<P<L所以E(X)随着产的增大而增大，C错误，D正确，故选：BD.

10∙(2021∙重庆市涪陵实验中学校高三期中)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球,

3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以4,4和4表示从甲罐取出的球是红球、

白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以8表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是()

A.P(M4)=TTB.P(B)=-

C.事件8与事件4相互独立D.4,A2,4两两互斥

【答案】AD

【分析】首先由互斥事件的定义，可知D正确，再结合条件概率公式，即可计算，并判断选项.

【详解】由题意知4,A2,4两两互斥，故D正确;

15

—×——

P(84)ɪ,故A正确;

P(4)=⅛P⑷WP⑷/叩⑷=,211

尸(4)ɪ

2

P(M4)=A,P(8∣4)=2P(8)=P(48)+P(40+P(48)

=P(4)P(8∣4)+P(4)P(即4)+P(4)尸(5∣4)=3A+3A+2χ∖=∖wP(却4),

所以8与4不是相互独立事件，故B,C不正确.故选：AD.

・湖北武汉•高三期中)已知二项式("

11.(2021-j=)I,则下列说法正确的是()

A,若。=2,则展开式的常数为60B.展开式中有理项的个数为3

C.若展开式中各项系数之和为64,贝IJa=3D,展开式中二项式系数最大为第4项

【答案】AD

【分析】写出二项式展开式的通项公式，对4个选项进行分析

【详解】A选项：当"2时，着=或0广卜)=(T)C2"、小，其中「为整数，且0≤r≤6,令

6-y=0,解得：∕∙=4,此时(-l)'C[26τ=15x4=60,故常数项为60；A正确；

62

B选项：Tr+.=C^ax)~‰xJ=(T)Ca6-攵:其中，•为整数，且0"≤6,

3333

当r=0时，6-y=6,当厂=2时，6--r=3,,当r=4时，6-ɪr=0,,当r=6时，6--∕∙=-3,满足

有理项要求，故有4项，故B错误；

C选项：令(办-十)中的x=l得：(α-l)6=64,所以α=3或α=-l,故C错误；

D选项：展开式共有7项，最中间一项二项式系数最大，而最中间为第4项，所以展开式中二项式系数最

大为第4项，D正确故选：AD

12.(2021・全国•模拟预测)如果知道事件X已发生，则该事件所给出的信息量称为“自信息”.设随机变量X

的所有可能取值为网，X2,…，斗，且p(%)>0(i=l,2,…,〃)，fp(x,)=l,定义X的“自信息”为

/=1

/(x,.)=-10g2p(x,).一次掷两个不同的骰子，若事件A为“仅出现一个2”，事件8为“至少出现一个5”，事

件C为“出现的两个数之和是偶数”，则()

A.当P(XJ=I时，“自信息”/(占)=0B.当MXj>°(工2)>0时，/(x,)>∕(x2)

C.事件C的“自信息”(C)=1D.事件A的“自信息”/(4)大于事件8的“自信息3(B)

【答案】ACD

【分析】根据题中条件，由对数运算可得A正确；根据对数函数的单调性，可得B错；根据古典概型的概

率计算公式，求出P(C),得到/(C),即可判断C正确；根据古典概型的概率计算公式，分别求出事件A与

事件8发生的概率，得出/(⑷与/(8),即可判断D正确.

【详解】A选项，当p(x,)=l时，/(x,)=-log2l=0,即A正确；

B选项，因为对数函数N=Iog?X是增函数，所以N=-bgzX是减函数；因此，当P(XJ>p(xJ>O时，

-Iog2jp(xl)<-log2p(x2),gμ∕(x1)<Z(x2),故B错；

C选项，一次掷两个骰子，所包含的基本事件的个数为6x6=36个；“出现的两个数之和是偶数”所包含的情

况有：1+1.1+3,1+5,2+2,2+4.2+6,3+1,3+3,3+5,4+2,4+4,4+6,5+1,5+3,5+5,

1Q1

6+2.6+4.6+6共18个基本事件；贝IJP(C)=授="，所以/(C)=-IOg?p(C)=1,故C正确；

362

D选项,事件A“仅出现一个2”,所包含的基本事件有：(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),

(4,2),(5,2),(6,2)共10个基本事件；

事件5“至少出现一个5”,所包含的基本事件有:(5,1).(5,2),(5,3),(5,4),(5.5),(5,6),(1,5),(2,5),

(3,5),(4,5),(6,5)共11个基本事件；

所以P(N)=9=盘，P(B)=Z,则尸(")<P(8);因此/(Z)>∕(B),即D正确;故选:ACD.

361836

三、填空题

13.(2021•北京市第五中学通州校区高三期中)从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里

快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016年高铁运营总里程数

的折线图图(图中的数据均是每年12月31日的统计结果).

根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是—

①2015年这一年,高铁运营里程数超过0.5万公里；

②2013年到2016年高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率；

③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年；

④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增；

B4H

W

坦

碑

，

眼

年份

【答案】②③

【分析】根据数据折线图，分别进行判断即可.

【详解】①看2014,2015年对应的纵坐标之差小于2-1.5=0.5,故①错於

②连线观察2013年到2016年两点连线斜率更大，故②正确；

③2013年到2014年两点纵坐标之差最大，故③正确；

④看相邻纵坐标之差是否逐年增加，显然不是，有增有减，故④错误；故答案为：②③.

14.(2021•浙江•台州一中高三期中)某校毕业典礼由7个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如

下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则编排方案共有种.(用数字作答)

【答案】624

【分析】讨论甲的位置，把丙丁捆绑在一起，作为一个元素排列排列即可求解.

【详解】当甲在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有£片=240：

当甲在第二位，丙丁捆绑，首位不能是丙丁，共有4同届=192；

当甲在第三位，丙丁捆绑，分前两位是丙丁与不是丙丁两种情况，共有"4：+团团局=192；

因为共有240+192+192=624.故答案为:624.

15.(2022•浙江•模拟预测)2021年7月1日是中国共产党成立100周年，小明所在的学校准备举办一场以

音乐为载体的“学史知史爱党爱国”歌曲接龙竞赛.该竞赛一共考察的歌曲范围有10首，由于7月学考临近，

作为参赛选手的小明没有时间学习全部歌曲，只能完整学会这其中的8首.已知小明完整学会的歌曲成功接

上的概率为0.9,没有完整学会的歌曲成功接上的概率为0.4.比赛一共考察10段歌词，每段歌词选自的歌曲

均是考察范围内的歌曲，且考察不同歌曲的概率均相同，每首歌曲均可以重复考察.已知每答对一段歌词得

10分，答错不扣分.设小明得分是X分，则尸(x>20)=(用类似α+,的形式表示)，E(X)

41

【答案】1-史80

【分析】由题意算出每段歌词答对的概率为g,然后设小明问答10段歌词答对的个数为y,则y~

然后由二项分布的知识可得答案.

【详解】由题意可得，每段歌词答对的概率为A8X言9言214=]4

设小明回答io段歌词答对的个数为y,则y~80o,1)

所以p(x≥20)=1-p(y=I)-Ay=O)=1—制gTd

因为E(y)=10χg=8.所以E(X)=IoE(y)=8O故答案为：1-端；80

16.(2021•辽宁・沈阳二中模拟预测)下列说法正确的是

①函数y=∕(l+χ)与函数y=∕(lr)关于直线X=I对称

②若4B、C两两独立，则P(AB∙C)=P(Z)P(8)P(C)

③方程1=1(x∈C其中C为复数集)的解集为{1}

@AABC,角A的外角分线交BC的延长线于点。，则当=丝

ACCD

⑤通过最小二乘法以模型y=c/去拟合一组数据时，可知夕=cek'过点Gj)

⑥通过最小二乘法以模型y=c*去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设Z=Iny,将其变换后得到线性

方程z=0.3x+4,则G左的值分别是和0.3.

⑦已知点42,1),8(3,2),且。为原点，则向量方在向量历上的投影的数量为智

【答案】④⑥⑦

【分析1用函数、概率、复数、解三角形、线性回归方程、向量等知识分别对7个命题判断真假即可.

【详解】对于①：函数y=∕(i+χ)与y=f(i-χ)关于直线X=O对称.故①错误;

对于②：P(48∙C)=P(∕)P(8)P(C)成立的前提条件是“A、B.C相互独立"，而由A、B,C两两独立不

能得出A、B、C相互独立.故②错误;

，+理工七=一工一走人故③错误;

对于③：方程V=1(XeC)的解有三个：x=l,

l2222

对于④：在△曲中,由正弦定理得券=彩舞’在中’由正弦定理得

ACsinZJZ)CsinZ.ADB,..,..,.,..Cn.ABACABBD...〃

五二sinNaW=SinNeW'依题ll思知nSmwnD=SmNC肛所rr以u而=五’n即π就=布.故④正确;

对于⑤：设Z=Iny,则z=fcr+lnc,由最小二乘法原理知Z=AX+Inc过点卜,z),而

-1_

Z=-(In必+In%+…+In匕)≠y.故⑤错误；

nf

对于⑥：设Z=In儿则z=b+lnc,依题意可知左=0.3,Inc=4即c=e".故⑥正确;

___OAOB88√B

对于⑦：θ2=(2,1),屈=(3,2),则。4在OB上的投影为一画「=7官=F-.故⑦正确.

故答案为：④⑥⑦.

【点睛】⑴若函数/(X)满足对VXeR,都有/(α+x)=∕(α-x),则函数/(X)的图象关于x=α对称；

(2)函数y=∕(α+χ)与y=∕(α-χ),二者图象关于X=O(夕轴)对称.

四、解答题

17.(2021•山东省实验中学一模)2020年春天随着疫情的有效控制，高三学生开始返校复课学习.为了减少

学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供A、8两种套餐(每人每次只能

选择其中一种)，经过统计分析发现：学生第一天选择A类套餐的概率为:、选择8类套餐的概率为§.而

13

前一天选择了A类套餐第二天选择A类套餐的概率为:、选择8套餐的概率为:；前一天选择8类套餐第

二天选择A类套餐的概率为3、选择8类套餐的概率也是:，如此往复.记某同学第〃天选择A类套餐的概

率为月.(1)证明数列[2-1｝是等比数列，并求数列｛£,｝的通项公式；(2)记高三某宿舍的3名同学在

复课第二天选择A类套餐的人数为X,求X的分布列并求E(X);(3)为了贯彻五育并举的教育方针，培

养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全

体同学分发套餐.如果你是组长，如何安排分发A、8套餐的同学的人数呢，说明理由.

【答案】⑴证明见解析，P,=∣-j∣∙^j;(2)分布列见解析，1;⑶A套餐的8人，8套餐的12

人；理由见解析.

【分析】(1)依题意得々+i=E,x；+(I-匕)、；，根据递推关系即可证明｛匕-∙∣｝是等比数列，利用等比数

列通项公式求得的通项，即可求得｛4｝的通项公式；(2)依题意求得第二天选择A、B类套餐的概

率，列出X的可能取值，结合二项分布求得分布列与数学期望；(3)由｛q｝的通项公式得∕≈(,根据总

人数即可求得分发A、5套餐的同学的人数.

112172、

【详解】⑴依题意,Λ+∣=Λ×-+(ι-^)×ɪ,则之/=-#-5叱1旌汽).

当〃=1时，可得耳―2=4...数列F勺―291是首项为4公比为一1;的等比数列.

515[5J154

(2)第二天选择A类套餐的概率舄=|x(+；x；=g;

23112

第二天选择B类套餐的概率^=-×-+-×ɪ=-,

，3人在第二天的有X个人选择A套餐，X的所有可能取值为0、1、2,3,

有P(X=幻=CH(I)(⅛=0,l,2,3),.∙.X的分布列为

X0123

8421

P

279927

故E(X)=OX2+lχ3+2χZ+3x'=l.

279927

(3)由(1)知：^=∣-j∣∙f-iY,.∙,^β≈∣,即第30次以后购买A套餐的概率约为

•J1∙JV∙JJJ

2

则20xg=8,20-8=12,负责A套餐的8人，负责3套餐的12人.

【点睛】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：(1)根据题中条件确定随机变量的可能取值;

(2)求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；

(3)根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望(在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如

超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算)

18.(2021•江苏南通•模拟预测)2020年受疫情影响，我国企业曾一度停工停产，中央和地方政府纷纷出台

各项政策支持企业复工复产，以减轻企业负担.为了深入研究疫情对我国企业生产经营的影响，帮扶困难职

工，在甲、乙两行业里随机抽取了200名工人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现他们的月薪在2000元

到8000元之间，具体统计数据见下表.

月薪/[2000,[3000,[4000,[5000,[6000,[7000,

元3000)4000)5000)6000)7000)8000)

人数203644504010

将月薪不低于6000元的工人视为“I类收入群体”，低于6000元的工人视为“H类收入群体”，并将频率视为

概率.(1)根据所给数据完成下面的2x2列联表：

I类收入群体II类收入群体^总计

甲行业60

乙行业20

总计

根据上述列联表，判断是否有99%的把握认为“〃类收入群体”与行业有关.

n(ad-bcf

附件：K2=,其中〃=α+b+c+d.

(Q+b)(c+d)(a+c)(b÷d)

k3.8416.63510.828

P(K2≥k)0.0500.0100.001

(2)经统计发现该地区工人的月薪X(单位：元)近似地服从正态分布N(〃,1400),其中〃近似为样本的平

均数I每组数据取区间的中点值).若X落在区间(“-2C,Α+2C)外的左侧，则可认为该工人“生活困难”，政

府将联系本人，咨询月薪过低的原因，并提供帮助.

①已知工人王强参与了本次调查，其月薪为2500元，试判断王强是否属于“生活困难”的工人；

②某超市对调查的工人举行了购物券赠送活动，赠送方式为：月薪低于〃的获得两次赠送，月薪不低于〃的

获得一次赠送.每次赠送金额及对应的概率如下：

赠送金额/元100200300

ɪɪ

概率L

T36

求王强获得的赠送总金额的数学期望.

【答案】(1)列联表答案见解析，没有99%的把握认为“II类收入群体”与行业有关；(2)①王强不属于“生

活困难”的工人；②一.

【分

(1)根据已知数据，补充列联表，进而计算K2即可判断；

(2)①根据题意，计算对应的平均数，再结合正态分布求解即可；

②结合①得y的可能取值为200,300,400,500,600,再根据独立事件的概率求解概率分布列，计算期望

即可.

【详解】

解析(1)2χ2列联表如下：

ɪ类收入群体∏类收入群体总计

甲行业306090

乙行业2090110

总计50150200

山…(30X90-20X60)2×200200

于是K2=-----------------------------=——≈6.061<6.635,

50×150×90×11033

从而没有99%的把握认为“II类收入群体”与行业有关.

(2)①所调查的200名工人的月薪频率分布表如下:

月薪/

[2000,3000)[3000,4000)[4000,5000)[5000,6000)[6000,7000)[7000,8000)

元

人数203644504010

频率0.10.180.220.250.20.05

所以〃=2500×0.1+3500×0.18+4500X0.22+5500X0.25+6500×0.2+7500X0.05=4920.

因为这200名工人的月薪X服从正态分布"(",MOO?),

所以。=1400,

从而〃-2。=4920-2800=2120.

因为王强的月薪为2500元，〃-2c=2120,所以王强不属于“生活困难”的工人.

②由①知〃=4920,王强的月薪为2500元，低于4920元，所以王强可获赠两次购物券，从而他获得的赠

送总金额y的可能取值为200,300,400,500,600,则

p(r=200)=∣×i=i,

p(r=300)=c'×∣×∣=∣,

p(y=4oo)=1x，+c；xLL9,

332618

p(y=500)=c^×∣×∣=∣,

p(y=600)=JχU,

6636

故y的分布列如下:

Y200300400500600

ɪɪ5ɪ1

P

4318936

所以王强获得的赠送总金额的数学期望9)=2。。+3叫+4。。X?5。。小6。。Xa竿•

【点睛】本题考查独立性检验，独立事件的概率分布列，正态分布的应用，考查数据处理能力，运算求解

能力，是中档题.本题解题的关键在于认真审题，从试题中提炼数据，进而结合相关知识求解.

19.(2021•山东烟台•模拟预测)如图是一个质地均匀的转盘，一向上的指针固定在圆盘中心，盘面分为4

B,C三个区域每次转动转盘时，指针最终都会随机停留在4B,C中的某一个区域现有一款游戏：每局交

10元钱随机转动上述转盘3次；每次转动转盘时，指针停留在区域4B,C分别获得积分10,5,0；三次

转动后的总积分不超过5分时获奖金2元，超过25分时获奖金50元，其余情况获奖金5元.假设每次转动

转盘相互独立，且指针停留在区域48的概率分别是P和2p(0<p<f.

(1)设某人在一局游戏中获得总积分为5的概率为/(P),求/(P)的最大值点Pn;(2)以(1)中确定的4

作为P值，某人进行了5局游戏，设“在一局游戏中获得的总积分不低于5”的局数为已求4的数学期望；

(3)有人注意到：很多玩家进行了大量局数的该游戏，不但没赚到钱，反而输得越来越多.请用概率统计的

相关知识给予解释.

Θ

195

【答案】(1)⑵—；(3)答案见解析.

【分析】(D先求得/(P),然后利用导数求得(2)利用二项分布的知识求得Ef.

(3)设每一局游戏中获得的奖金数为X,求得E(X),利用导数求得E(X)<10.从而作出解释.

【详解】(D由题可知/(0=G(2P)(I-3p)2=54∕-36∕+6M0<P<5,

所以/(P)=I62∕-72p+6,令/(P)=0,得P=B或p=；(舍去)，

当Pe(Oq)时，/(p)>0,/(P)单调递增，当peg」)时，/(p)<0,75)单调递减，

所以当Pq时，/(P)取得最大值，故/(P)的最大值点A=∣.

⑵由⑴知P=P。=，所以每一局游戏中总积分不低于5的概率Pl=I-(I-3p)3=I-(IT)3=事，

191995

由题意可知48(5,药),所以式=5x方=药.

(3)设每一局游戏中获得的奖金数为X,则X的所有可能取值为2,5,50；

P(X=2)=(1-3p)3+C；(I-3p)2(2p)=27/-9p2-3p+l,

i3232

P(X=50)=p,p{X=5)=l-(27p-9p-3p+l)-jp=-28/+9p+3p,

所以E(X)=2x(27/-9/-3p+l)+50∕√+5(-28/+9p2+3p)=-36/+27/+9p+2.

令g(p)=-36p'+27p2+9p+2,贝∣Jg'(p)=-108p2+54p+9,^e(θ,ɪ).

因为g(p)在(。，3单调递增，所以g(p)>g(0)=9>0,g(p)在(0」)单调递增，

OO

E(X)=g(p)<g(∣)=γ∣<10.

所以，每局游戏获得奖金的期望远低于所交的钱数，玩得越多，输得越多.

20.(2021湖北•黄冈中学三模)科教兴国，科技强国.探索浩潮宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工

作者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空、推动构建人类命运共

同体贡献了中国智慧、中国方案、中国力量.

(1)为助力我国航空事业，某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过90件时，

产品的次品率会大幅度增加.为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生

产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在x(单位：百件)件产品中，得到次品数量V(单位：件)的情况

汇总如表所示，且y(单位：件)与工(单位：百件)线性相关：

X(百件)520354050

八件)214243540

请根据表格中的数据，求出y关于X的线性回归方程：根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过90件,

请判断可否安排一小时试生产IOOOO件产品的任务？(2)"战神”太空空间站工作人员需走出太空站完成某

项试验任务，一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为6,假设耳,与A互不

相等，且假定各人能否完成任务相互独立.①如果按甲最先，乙次之，内最后的顺序派人，求任务能完成的

概率.若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

②假定I>A>6>A,试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小.

（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程/=Gx+&的系数公式,

^xiyi-nx-yɪ(x,.-ɪ)(ʃ,.-ʃ)

b=--------------ɪɪʒ;------------------，&=y-bχ.)

∑x--nx2ɪ(ɪ,-ɪ)2

/=I/=1

55

(参考数据：ɪɪ,z=5×2+20×14+35×24+40x35+50×40=4530,ɪx,2=52+202+352+402+502=5750.)

/=1/=1

【答案】(1)夕=0∙864x-2.92,可以安排一小时试生产IOOOO件产品的任务；(2)①甲最先，乙次之，内

最后的顺序派人，任务被完成的概率为：4+8+8-IA-64-26+[鸟鸟；任务能被完成的概率不会发

生变化；②先派甲，再派乙，最后派丙时，派出的人员数目的数学期望达到最小.

【分析】（D根据所给数据求得线性回归直线方程，用X=IOo代入求得估计值可得；（2）根据相互独立事

件同时发生的概率公式计算概率可得；（3）按派出顺序求出概率分布列，计算出期望，比较可得丙先派出

期望较大，因此比较甲乙哪个先派出的期望后可得结论.

5+20+3540+50Q_2+14+24+35+40CC

【详解】（1）由已知可得:^÷≈3,y=---------------------=23.

XHj⅛∑x,2=52+202+352+402+5tf=5750,ɪ¾ʃ,.=5×2+20×14+35×24+40×35+50×40=4530

/=1r=l

5