广东省深圳市罗湖区桂园中学2023-2024学年上学期九年级12月月考数学试卷

罗湖区桂园中学2023-2024学年第一学期九年级12月月考数学试卷

选择题（每题3分，共30分）

1.如图所示的钢块零件的主视图为（）

A.x=3B.x—2C.x—\D.冗=0

3.在如图所示的电路中，随机闭合开关Si、S2、S3中的两个，能让灯泡办发光的概率是（)

A.AB.Ac.2D.工

2334

4.如图，已知平行四边形的对角线AC与8。相交于点O,下列结论中不正确的是（

A.当ACLLB。时，四边形ABCD是菱形

B.当时，四边形ABCZ）是菱形

C.当。4=08时，四边形ABCD是矩形

D.当A2=AC时，四边形ABC。是菱形

5.如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△口?£）是以原点为位似中心的位似图形，若AC=3OA,点B的坐标为

D

A.（2,6）B.（-2,-6）C.（3,9）D.（-3,-9）

6.点（2,-3）在函数y上图象上，下列说法中错误的是（）

X

A.它的图象分布在二、四象限

B.当x>0时，y的值随x的增大而增大

C.当x<0时，y的值随x的增大而减小

D.它的图象过点（-1,6）

7.电线杆直立在水平的地面2C上，AC是电线杆的一根拉线，测得BC=5,ZACB=52°,则拉线AC的

长为（）

A.——B.——C.5・cos52°D.——^-―

tan52cos52sin52

8.小区有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域进行绿化（如图），原空地一边减少了1/71,另一边

减少了2m,剩余空地的面积为20m2,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为xm,则可列方程为

B.x2-3x+18=0

D.(x-1)(x-2)=20

9.在同一直角坐标系中，一次函数〉=笈-左与反比例函数y=K（k#0）的图象大致是（）

10.如图，等腰△ABC的面积为2近，AB=AC,BC=2.作AE〃BC且AE=/BC.点尸是线段AB上一动点，连

结PE,过点E作PE的垂线交3c的延长线于点RM是线段EP的中点.那么，当点P从A点运动到8点时，

点M的运动路径长为（）

A.V3B.3C.2V3D.4

二.填空题（每题3分，共15分）

11.如图，AB//CD//EF,若£=•1,BD=3,则OP=

AE2

12.已知关于x的一元二次方程/-5x+2=0,它的根是.

13.一个盒中有8枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别.从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色,

再放回盒中.不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中有枚白

棋子.

14.如图，点尸在反比例函数y上（k>0）的图象上，以，X轴于点A,PBLy轴于点8,PA=PB.一次函数>=

x+1的图象与尸2交于点。，若。为尸B的中点，则左的值为.

15.如图，在矩形ABC。中，将/ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边方。交CD边于点G.连

接29、CC.若4。=7,CG=4,AB'=B'G,则里—=（结果保留根号）.

BB'

三.解答题（共55分）

16.（5分）计算：（2）r+4cos45°-V8+（2023-n）0

2

17.（8分）在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学

生，调查了他们平均每周的课外阅读时间/（单位：小时）.把调查结果分为四档，A档：f<8；B档：8Wf<9；

C档：9Wf<10；D档：.根据调查情况，绘制了如图所示的两幅不完整统计图，根据图中信息解答问

题：

（1）本次调查的学生共有人；扇形统计图中，C档对应的圆心角度数为；请将条形统计

图补充完整；

（2）学校要从£>档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生中1名来自七年级，1名来自

八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率.

18.（6分）消防车是救援火灾的重要装备.图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂

可伸缩，伸缩范围为10mWA2W40m,且起重臂A2可绕点A在一定范围内转动，张角为NCAB,张角范围

为90°WNC42W150。，转动点A距离地面的高度AC为5m.（参考数据：^3^1.73）

（1）当起重臂长度为20m,张角为135。时，云梯消防车最高点3距地面的高度为_______m；（结果保留

根号）

（2）某栋楼高39m,若该楼中有居民家突发险情，请问该消防车能否实施有效救援？请说明理由.

MCN

图I图2

19.（8分）如图，在菱形ABC。中，P是它对角线上面的一个点，连接CP后并延长，交CD于点E,交54的延

长线于点F.

（1）求证：ZDCP=ZDAP,

（2）如果尸E=4,EF=7,求线段PC的长.

20.（8分）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红.据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月

份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件.

（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？

（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售

价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每

天获利1200元，则售价应降低多少元？

21.（10分）我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形8的完全N

倍体.

（1）若矩形A为正方形，是否存在一个正方形8是正方形A的完全2倍体？（填“存在”或“不存

在”）.

【深入探究】长为3,宽为2的矩形C是否存在完全2倍体？

小鸣和小棋分别有以下思路：

【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y,则依题意x+y=10,孙=12,联立卜灯“。，得7-10计12=0,再探

1xy=12

究根的情况；

【小棋函数流】如图，也可用反比例函数例与一次函数①y=-x+10来研究，作出图象，有交点，意

味着存在完全2倍体.

(2)那么长为4.宽为3的矩形C是否存在完全工倍体？请利用上述其中一种思路说明原因;

2

(3)如果长为5,宽为4的矩形C存在完全左倍体，请直接写出《需要满足的不等式.

22.(10分)某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝

试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：

【问题背景】如图1,正方形ABCD中，点E为边上一点，连接。E,过点E作交3c边于点F,

将沿直线DE折叠后，点4落在点A处，当/BEF=25。，则/曲，=°.

【特例探究】如图2,连接。凡当点A恰好落在。尸上时，求证：AE=2A'F.

【深入探究】如图3,若把正方形ABCD改成矩形A3CZ),且AD=:必8,其他条件不变，他们发现AE与A'F

之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A,尸之间的数量关系式.

【拓展探究】如图4,若把正方形A3CD改成菱形ABCD且NB=60°,ZDEF=120°,其他条件不变，当

AE=2几时，请直接写出A'尸的长.

图3

图4

图1图2

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

1.如图所示的钢块零件的主视图为（

【解答】解：从正面看是一个“凹”字形，

故选：A.

2.小明在解方程W+3x=0时，只得一个根尤=-3,他漏掉的另一个根是（）

A.x=3B.x—2C.x—1D.x=0

【解答】解：f+3x=0,

x（x+3）=0,

xi=0,X2~~3.

故选：D.

3.在如图所示的电路中，随机闭合开关Si、S2、S3中的两个，能让灯泡L发光的概率是（）

【解答】解:画树状图得:

开始

..•共有6种等可能的结果,能让灯泡L1发光的有2种情况,

；•能让灯泡£1发光的概率为2=

63

故选：B.

4.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与2D相交于点O,下列结论中不正确的是（）

AD

/^^0\/

BC

A.当ACLBD时，四边形ABC。是菱形

B.当/BAO=NDAO时，四边形ABCD是菱形

C.当。4=0B时，四边形ABC。是矩形

D.当AB=AC时，四边形ABC。是菱形

【解答】解：A.'：AB±AD,

：.ZBAD=90°,

平行四边形ABCD是矩形，

故结论正确，但不符合题意；

B.'：AC±BD,

平行四边形ABCD是菱形，

故结论正确，但不符合题意；

C.•.•四边形ABC。是平行四边形，

：.AO=-^AC,BO=^BD,

22

又；OA=OB,

：.AC=BD,

平行四边形ABCD是矩形，

故结论正确，但不符合题意；

D.当AB=AC时，四边形ABCZ）不一定是菱形，

故结论错误，符合题意.

故选：D.

5.如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△<%>£>是以原点为位似中心的位似图形，若AC=3O4,点2的坐标为

A.(2,6)B.(-2,-6)C.(3,9)D.(-3,-9)

【解答】解：：AC=3O4,

.0A_1

••----,

0C2

VAAOB与△COD是以原点为位似中心的位似图形，

:.△AOBsXcOD,且相似比为1：2,

的坐标为（1,3）,

二点。的坐标为（IX（-2）,3X（-2））,即（-2,-6）,

故选：B.

6.点（2,-3）在函数■图象上，下列说法中错误的是（）

A.它的图象分布在二、四象限

B.当x>0时，y的值随x的增大而增大

C.当x<0时，y的值随x的增大而减小

D.它的图象过点（-1,6）

【解答】解：..•点（2,-3）在函数y上图象上，

：.k=2X（-3）=-6<0,

反比例函数的解析式为丫=-旦，

x

它的图象分布在二、四象限，当x>0时，y的值随x的增大而增大，当x<0时，y的值随x的增大而增大，

它的图象过点（-1,6）

故选项A、B、D不符合题意，C选项符合题意.

故选：C.

7.电线杆AB直立在水平的地面BC上，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC=5,ZACB=52°,则拉线AC的

长为（）

A.——B.——C.5・cos52°D•徐

tan52cos52

【解答】解：'：ZABC=90°,ZACB=52°,BC=5,

・3谭爱'

：.AC=——

cos52

故选：B.

8.小区有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域进行绿化（如图），原空地一边减少了1m,另一边

减少了2m,剩余空地的面积为20〃，，求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为xm,则可列方程为

（）

B.x2-3x+18=0

D.(x-1)(x-2)=20

【解答】解：设原正方形的边长为xm,依题意有

(X-1)(X-2)=20,

故选：D.

9.在同一直角坐标系中，一次函数＞=区-左与反比例函数yJ二年卉0）的图象大致是（)

【解答】解：当%＞0时，-

反比例函数的图象在一、三象限，一次函数〉="-左的图象经过一、三、四象限，故C,D错误；

当上＜0时，-左＞0,

反比例函数的图象在二、四象限，一次函数），=依-左的图象经过一、二、四象限，故2选项错误，A选项正

确；

故选：A.

10.如图，等腰△ABC的面积为2我，AB=AC,BC=2.作AE〃BC且AE=』BC.点P是线段AB上一动点，连

2

结PE,过点E作PE的垂线交BC的延长线于点凡M是线段E尸的中点.那么，当点尸从A点运动到8点时，

A.V3B.3C.2A/3D.4

【解答】解：如图，过点A作AHL2C于点

A(P')E

当点尸与A重合时，点歹与C重合，当点尸与2重合时，点P的对应点为r'，

点M的运动轨迹是的中位线，M'M"=^-CF",

2

'：AB=AC,AH±BC,

：.BH=CH,

'：AE//BC,AE=^BC,

2

：.AE=CH,

四边形AHCE是平行四边形，

ZAHC=90°,

四边形AHCE是矩形，

：.EC±BF",AH=EC,

,:BC=2,S^ABC=2M，

.,.AX2XA/7=2V3>

2

:.AH=EC=2如,

'：ZBEF"=ZECB=ZECF",

：.ZBEC+ZCEF"=90°,

ZCEF"+ZF"=90°,

：.ZBEC=ZF",

:.△ECBS^F"CE,

：.EC1=CB'CF",

：.CF")[=6,

2

：.M'M"=3

故选：B.

二.填空题(共5小题)

11.如图，AB//CD//EF,若里=A,BD=3,则DF=3.

AE2----

【解答】W：,：AB//CD//EF,

•.•AC=BD——1,

AEBF2

:・BF=6,

：.DF=BF-BD=6-3=3.

故答案为：3.

12.已知关于x的一元二次方程7-5冗+2=0,它的根是

【解答】解：解方程，得J土旧.

“心8立一5±JF7

故答案为：-------

2

13.一个盒中有8枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别.从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色,

再放回盒中.不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中有16枚白棋

子.

【解答】解：：共取了300次，其中有100次取到黑棋子，

摸到黑色棋子的概率约为工耍=工，

3003

•••摸到白色棋子的概率约为1-工=2,

33

•.,共有10可黑色棋子，

•••设有X个白色棋子，则-^=2,

x+83

解得:x=16,

故答案为：16.

14.如图，点尸在反比例函数y2(k>0)的图象上，抬，X轴于点A,PBLy轴于点B,PA=PB.一次函数>=

x+1的图象与PB交于点。，若。为PB的中点，则k的值为4.

【解答】解：设一次函数图象与x轴的交点为与y轴的交点为N,则0),N(0,1),

：.OM=ON=1,

轴于点A,PBLy轴于点3,PA=PB,

四边形AOBP是正方形，

轴，PB=OB,

：.丛DBNs丛MON,

•BD=OM=1

"BNON

•.•。为PB的中点，

；.N为的中点，

：.OB=2ON=2,

：.PB=OB=2,

：.P(2,2),

•••点P在反比例函数y=K(k>0)的图象上，

X

"=2X2=4,

故答案为：4.

/o|AX

15.如图，在矩形ABC。中，将NA3C绕点A按逆时针方向旋转一定角度后,2C的对应边8C'交CD边于点G.连

AB'=B'G,则£—=虫鱼(结果保留根号).

接8B'、CC.若AD=7,CG=4,

BB'—5一

AD/'

M

BC

【解答】解：连接AC,AG,AC,

由旋转可得，AB^AB',AC=AC',ZBAB'=ZCAC,

.AB—AB'

"ACAC，，

△ABB"△ACC,

.CCy_AC

•'BB，AB，

VAB'=B'G,ZAB'G=ZABC=90O

••.△A8G是等腰直角三角形，

：.AG=42AB',

设AB=AB'=x,则AG=&x,DCj=x-4,

RtAADG中，AD1+DG2=AG2,

：.12+(x-4)2=(ax)2,

解得X1=5,X2=-13(舍去)，

.".AB=5,

RtAABC中，^C=7AB2+BC2=V52+72=V74，

三.解答题(共7小题)

16.计算：(A)-1+4cos45°-%应+(2023-TT)0

2

【解答】解：原式=2+4义亚-26+1

2

=2+272-2加+1

=3.

17.在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调

查了他们平均每周的课外阅读时间寅单位：小时）.把调查结果分为四档，A档：f<8；2档：8W/<9；C档:

9Wf<10；。档：/N10.根据调查情况，绘制了如图所示的两幅不完整统计图，根据图中信息解答问题:

（1）本次调查的学生共有40人;扇形统计图中，C档对应的圆心角度数为108。；请将条形统计图补充

完整；

（2）学校要从。档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生中1名来自七年级，1名来自

八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率.

【解答】解：（1）本次调查的学生共有16・40%=40（人），

扇形统计图中，C档对应的圆心角度数为360°X12=1O8°,

40

A档人数为40-（16+12+4）=8（人），

补全图形见解答：

出数

故答案为：40、108°；

（2）用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C和。分别表示九年级学生，画树状图如下,

开始

ABCD

/N/1\/N/4\

BCDACDABDABC

因为共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的有10种，

所以抽到的2名学生来自不同年级的概率是」与=$.

126

18.消防车是救援火灾的重要装备.图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AB可伸

缩，伸缩范围为10“zWABW40相，且起重臂A3可绕点A在一定范围内转动，张角为/C4S张角范围为90°W

NC42W150。，转动点A距离地面MN的高度AC为5%（参考数据：愿=1.73）

（1）当起重臂A2长度为20m,张角为135°时，云梯消防车最高点8距地面的高度为_______m；（结果保留

根号）

（2）某栋楼高39处若该楼中有居民家突发险情，请问该消防车能否实施有效救援？请说明理由.

【解答】解：（1）过点8作交CA的延长线于点D,过点B作垂足为E.

'：BD±AD,BE±MN,DCLMN,

四边形OBEC是矩形.

：.BE=DC.

由题意，知/C4B=135°,

/.ZZ）AB=45°.

在Rt/XADB中，

：cosNa4B=也，

AB

AD—AB9cosZDAB

=20Xcos45°

=20X亚

2

=10A/2.

：.CD=AC+AD

=5+10V2.

ABE=5+1O/2.

答：当起重臂AB长度为20m,张角为135°时，云梯消防车最高点B距地面的高度为（5+10底）m；

（2）该消防车能实施有效救援.

理由：当3£1=39加时，

*：AC=5m,

AZ）=34帆.

在RtZXAOB中，当A5=40加时，

cosZDAB=AD=34=0.85,

AB40

.".ZDAB^31.788°.

/.ZCAB=148.212°.

•张角NCA3范围为90°WNCA3W150°,

该消防车能实施有效救援.

19.如图，在菱形ABCD中，尸是它对角线上面的一个点，连接C尸后并延长，交CD于点E,交A4的延长线于点

F.

(1)求证：/DCP=NDAP；

(2)如果PE=4,EF=1,求线段尸C的长.

【解答】(1)证明：•••四边形4BCD是菱形,

：.AD=CD,BD平分NADC,

ZADP=ZCDP,

在△AOP与中，

'AD=CD

，ZBDC=ZCBD>

DP=DP

:.△ADP=/\CDP(SAS),

ZDAP=ZDCP；

(2)解：由(1)得：△ADP=ACDP,

ZDAP=ZDCP,

■:CDaAB,

：.ZDCF=ZDAP=ZCFB,

又：AFPA=AFPA,

AAPE^AF/M,

•••―APP,E

PFPA

：.PA1=PE-PF,

,：AADP咨ACDP,

：.PA=PC,

：.PC2=PE-PF,

；PE=4,EF=T,

：.PF=U,

•••PC=2Vli-

20.2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红.据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销

售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件.

(1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？

(2)市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售

价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每

天获利1200元，则售价应降低多少元？

【解答】解：(1)设月平均增长率是X,

依题意得：5(1+x)2=7.2,

解得：xi=0.2=20%,X2=~2.2(不合题意，舍去).

答：月平均增长率是20%.

(2)设售价应降低y元，则每件的销售利润为(100-y-60)元，每天的销售量为(20+2y)件，

依题意得：(100-y-60)(20+2y)=1200,

整理得：/-30y+200=0,

解得：yi=10,y2=20.

又：要尽量减少库存，

；.y=20.

答：售价应降低20元.

21.我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是2矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形3的完全N倍体.

(1)若矩形A为正方形，是否存在一个正方形8是正方形A的完全2倍体？不存在(填“存在”或“不存

在").

【深入探究】长为3,宽为2的矩形C是否存在完全2倍体？

小鸣和小棋分别有以下思路：

【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y,则依题意x+y=10,xy=12,X+V=10,得x?-10x+12=0,再探

Ixy=12

究根的情况；

【小棋函数流】如图，也可用反比例函数/2：与一次函数/I：y=-X+10来研究，作出图象，有交点，意

X

味着存在完全2倍体.

(2)那么长为4.宽为3的矩形C是否存在完全上倍体？请利用上述其中一种思路说明原因；

2

(3)如果长为5,宽为4的矩形C存在完全左倍体，请直接写出％需要满足的不等式.

【解答】解：(1)假设存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体，则正方形B的周长是正方形A周长的2

倍，

正方形B的边长是正方形A边长的2倍，

正方形8的面积是正方形A面积的4倍，这与“完全2倍体”矛盾，所以不存在一个正方形8是正方形A的

完全2倍体.

故答案为：不存在.

(7_

(2)方法1：设新矩形长和宽为X、》则依题意得x+y=二，xy=6,联立，'"一2,得2?-7x+12=0,

xy=6

/.A=(-7)2-4X2X12=-47<0,

方程无解，

，长为4,宽为3的矩形C不存在完全1倍体.

2

方法2：如图，反比例函数：>=2与一次函数：y=-x+/■没有交点，所以不存在完全£倍体.

(3)设新矩形长和宽为x、y,则依题意得x+y=9怎xy=2Qk,

.,.x2-9kx+2Qk=Q,

：.A=(-9左)2-4X1X2(R=81M-80ZN0,

22.某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由

“特殊到一般”的思想进行了探究:

【问题背景】如图1,正方形ABC。中，点E为AB边上一点，连接。E,过点E作EFLOE交BC边于点尸，

将△&£)£沿直线DE折叠后，点A落在点4处，当NBEF=25°,则NFEA=25°.

【特例探究】如图2,连接。R当点A恰好落在。E上时，求证：AE=2A'F.

【深入探究】如图3,若把正方形A8CD改成矩形A8CD,且AD=加48,其他条件不变，他们发现AE与A'F

之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A'尸之间的数量关系式.

【拓展探究】如图4,若把正方形ABC。改成菱形ABCZ),且NB=60°,ZD£F=