2023-2024学年株洲市茶陵县高一数学下学期入学考试卷附答案解析

-2024学年株洲市茶陵县高一数学下学期入学考试卷一、单选题（每小题5分，共计40分）1．设集合，，则（

）A． B． C． D．2．函数的定义域是（

）A．B．C．D．3．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数的图象大致为（

）A．B．C．D．5．已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（

）A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]6．为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（

）

A．， B．，C．， D．，7．设，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．8．已知函数，则函数的零点个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多选题（每小题6分，共计18分）9．下列说法正确的是（

）A．若不等式的解集为，则B．若命题p：，，则p的否定为，C．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是D．已知.若的值域为R，则实数m的取值范围10．图象经过第三象限的函数是（

）A． B． C． D．11．已知且，，则下列说法正确的是（

）A．一条对称轴方程为B．时值域为C．的图像可由的图像向左平移个单位得到D．的一个对称中心为三、填空题（每小题5分，共计15分）12．函数是偶函数，当时，，则.13．已知，则．14．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是．

四、解答题（本题共5小题，共计77分）15．已知(1)求的值(2)求的值16．已知平面向量(1)若，求x的值：(2)若，求17．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.18．已知函数.(1)写出的定义域并判断的奇偶性；(2)证明：在是单调递减；(3)讨论的实数根的情况.19．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．(1)求的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？1．C【分析】根据交集运算法则即可计算得出.【详解】根据列举法表示的集合可知，由，，利用交集运算可得.故选：C2．C【解析】根据函数解析式，列不等式组求解即可.【详解】根据题意可得，所以.故选：C.3．C【分析】根据绝对值不等式以及一元二次不等式化简不等式，即可由充要条件进行判断.【详解】由得，由得，所以“”是“”的充要条件，故选：C4．A【分析】根据函数的奇偶性以及值域即可解出．【详解】因为的定义域为，且，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C；又当时，，当且仅当时取等号，所以排除B，D．故选：A．5．A【分析】由对称轴与1比大小，确定实数a的取值范围.【详解】对称轴为，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以.故选：A6．C【分析】由函数图象特殊点代入解析式求解，【详解】当时，，代入解析式得，得，令，解得，即，，故选；C7．A【分析】利用指数函数和对数函数的性质分别比较，，与中间量0，1的大小，从而可比较出，，的大小关系【详解】解：因为在上单调递增，且，所以，即，因为在上单调递增，且，所以，即，因为在上单调递减，且，所以，即，所以，故选：A8．D【分析】令，根据分别求出函数的零点或零点所在区间，再作出函数的图象，根据数形结合即可求出函数的零点个数；【详解】令．①当时，，则函数在上单调递增，由于，由零点存在定理可知，存在，使得；②当时，，由，解得．作出函数，直线的图象如下图所示：

由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为5．故选：D．9．AB【分析】对于A，不等式解集的端点即对应方程的根，可求出，判断正误；对于B，使用含有一个量词的命题的否定的知识进行判断；对于C，结合函数单调性的定义，结合分段函数单调性知识进行判断；对于D，可使用复合函数的值域知识进行判断.【详解】对于A，不等式的解集为，则和是方程的两个根，故，解得，所以，故A正确；对于B，全称量词命题“，”的否定为存在量词命题“，”因此命题，则其否定为，故B正确；对于C，因为是增函数，需满足当时，为增函数，当时，为增函数，且当时，，所以，解得，故C不正确；对于D，令，，的值域为R，则的值域为R，即为值域的子集，当时，，值域为R，满足题意，当时，需，即，解得，综上所述，实数的取值范围是，故D不正确.故选：AB.10．BD【分析】结合常见的幂函数图象，数形结合得到答案.【详解】由幂函数的图象可知，A中，过第一、二象限；B中，过第一、三象限；C中，且定义域为R，过第一、二象限；D中，过第一、三象限.故选：BD11．AD【分析】根据代入求出，再利用诱导公式化简，最后根据正弦函数的性质一一分析即可.【详解】因为且，所以，即，所以，因为，所以，所以，因为，所以一条对称轴方程为，故A正确；当时，，所以，则，故B错误；将的图像向左平移个单位得到，故C错误；因为，所以的一个对称中心为，故D正确；故选：AD12．【分析】根据函数的奇偶性求出解析式后即可代入求解.【详解】因为当时，，所以当时，，所以，函数是偶函数，所以，所以，故答案为：.13．【分析】利用二倍角公式对化简后代值求解即可.【详解】因为，所以，故答案为：14．【详解】试题分析：因为点O是线段AB的中点，所以向量=.所以=.又因为向量是互为相反向量.所以=-2=-2=.所以填.考点：1.向量的求和运算.2.向量的数量积.3.最值问题.15．(1)(2)【分析】（1）通过求出然后代入公式求解即可；（2）结合诱导公式与齐次式化简，代入求解即可；【详解】（1）因为，所以；（2）=，齐次式化简：，故16．(1)或(2)或【分析】（1）直接利用向量垂直的坐标表示列方程求解；（2）先通过向量平行的坐标公式求出，再通过向量的坐标运算求模.【详解】（1），，解得或；（2），，即解得或，当时，，，；当时，，，，或.17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.【详解】（Ⅰ），所以的最小正周期为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.18．(1)，偶函数(2)证明见解析(3)有2个实数根【分析】（1）根据题意可得分母不能为0，即，求解函数的定义域即可，利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；（2）利用定义法证明函数在是单调递减即可.（3）构造函数，求解函数与函数在区间上的单调性，利用极限的思想可得函数与函数在区间上有一个交点，利用偶函数的性质可得函数与函数共有2个交点，即为方程的根.【详解】（1）解：由题可知，所以函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数.（2）解：当时，，设为区间上的任意的两个值，且，则，因为，所以，故，即，所以函数在区间上单调递减.（3）解：由（2）得，当时，函数在区间上单调递减，且，当时，，当时，，设为区间上的任意的两个值，且，则，因为，所以，故，即，所以函数在区间上单调递减.且当时，，当时，，设，则为偶函数，且恒成立，当时，函数在区间单调递增，且，当时，.所以函数与函数在区间必有一个交点，又因为函数与函数均为偶函数，所以函数与函数在区间必有一个交点，所以函数与函数有2个交点，即方程有2个实数根.1