2022-2023学年山西省晋中市榆次区长凝镇中学高二数学理期末试题含解析

2022-2023学年山西省晋中市榆次区长凝镇中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：C略2.若,则等于（

）A．

B．

C． D．参考答案：A3.设随机变量X的概率分布列如表，则P（|X﹣3|=1）（）X1234PmA． B． C． D．参考答案：B【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】根据随机变量X的概率分布列，求出m的值，再利用和概率公式计算P（|X﹣3|=1）的值．【解答】解：根据随机变量X的概率分布列知，+m++=1，解得m=；又|X﹣3|=1，∴X=2或X=4，则P（|X﹣3|=1）=P（X=2）+P（X=4）=+=．故选：B．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列计算问题，是基础题．4.下列说法正确的是（

）A.直线平行于平面α内的无数直线，则∥αB.若直线在平面α外，则∥αC.若直线∥b，直线bα，则∥αD.若直线∥b，直线bα，那么直线就平行平面α内的无数条直线参考答案：D略5.设函数，则不等式的解集是

A．

B．

C．

D．参考答案：D6.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是()A．5,10,15,20,25

B．2,4,8,16,32

C．1,2,3,4,5,

D．7,17,27,37,47参考答案：D略7.直线l过抛物线的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（

）A. B.2 C. D.参考答案：C抛物线的焦点为，直线与抛物线的交点为，因此．

8.以下四个命题中是真命题的是（）A．对分类变量x与y的随机变量k2的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0C．若数据x1，x2，x3，…，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为2D．在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好．参考答案：D【考点】BL：独立性检验；BK：线性回归方程．【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：A，对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，判断“x与y有关系”的把握程度越大，故错误；B，根据|r|越趋近于1，两个随机变量的相关性越强，故错误；C，数据x1，x2，x3，…，xn和2x1，2x2，2x3，…，2xn的数据满足Y=2X，则方程满足DY=4DX，若数据x1，x2，x3，…，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为4正确，故错误；D，用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，故正确．故选D．【点评】本题主要考查回归分析，属于基础题，解答此题的关键是理解对于拟合效果好坏的几个量的大小反映的拟合效果的好坏，以及对于某组数据可以采用几种不同的回归方程进行分析，可以通过比较相关系数的值选择较大的模型作为这组数据的模型．9.如果执行下面的程序框图，那么输出的S等于()A．10

B．22

C．46

D．94参考答案：C10.已知实数a，b满足，x1，x2是关于x的方程x2﹣2x+b﹣a+3=O的两个实根，则不等式0＜x1＜1＜x2成立的概率是(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；几何概型．【专题】不等式的解法及应用．【分析】构造函数，利用0＜x1＜1＜x2，可得a，b的范围，作出图形，计算面积，可得概率．【解答】解：构造函数f（x）=x2﹣2x+b﹣a+3，则∵0＜x1＜1＜x2，∴，∴，作出可行域，如图所示，阴影部分的面积为正方形的面积为4×4=16∴不等式0＜x1＜1＜x2成立的概率是=故选A．【点评】本题考查方程根的研究，考查几何概型，正确计算面积是关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合A={3，6，9，12，…3n}(n≥3)，从中选出3个不同的数，使这3个数按一定的顺序排列构成等差数列，记满足此条件的等差数列的个数为f(n)如A={3，6，9，12}，则①3，6，9；②9，6，3；③6，9，12；④12，6，9均为等差数列，所以f(4)=4。则（Ⅰ）f(6)=

；（Ⅱ）f(n)=220，则n=

。参考答案：Ⅰ）12；

Ⅱ）2312.函数f(x)＝－a2x－1＋2恒过定点的坐标是________．参考答案：13.某设备的使用年限x与所支出的维修费用y的统计数据如表：使用年限x（单位：年）23456维修费用y（单位：万元）1.54.55.56.57.0根据表可得回归直线方程为=1.3x+，据此模型预测，若使用年限为14年，估计维修费用约为

万元．参考答案：18【考点】BK：线性回归方程．【分析】计算、，根据回归直线方程过样本中心点（，），求出回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算x=14时的值即可．【解答】解：根据题意，计算=×（2+3+4+5+6）=4，=×（1.5+4.5+5.5+6.5+7.0）=5，且回归直线方程=1.3x+过样本中心点（，），所以=﹣1.3=5﹣1.3×4=﹣0.2，所以回归方程为=1.3x﹣0.2，据此模型预测，当x=14时，=1.3×14﹣0.2=18（万元）．故答案为：18．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．14.已知命题，若的充分不必要条件，则的取值范围是

。参考答案：15.第一象限内有一动点，在过点且方向向量的直线上运动，则的最大值为________________________参考答案：316.[1]、过点（1，3）且与曲线相切的直线方程为_______

__；参考答案：或17.曲线在点（1，2）处的切线方程是

．

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知的周长为,且(I)求边AB的长

(II)若的面积为,求角C的度数参考答案：(I)

所以(II)

C=

得:因为

所以略19.已知圆心为C的圆经过三个点O（0，0）、A（1，3）、B（4，0）（1）求圆C的方程；（2）求过点P（3，6）且被圆C截得弦长为4的直线的方程．参考答案：考点：圆的一般方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）设出圆的一般式方程，利用圆上的三点，即可求圆C的方程；（2）通过过点P（3，6）且被圆C截得弦长为4的直线的斜率不存在推出方程判断是否满足题意；直线的斜率存在是利用圆心距与半径的关系，求出直线的斜率，即可解得直线的方程．解答：解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．圆C经过三个点O（0，0）A（1，3）B（4，0），所以解得D=﹣4，E=﹣2，F=0，所以圆C的方程x2+y2﹣4x﹣2y=0．（2）①过点P（3，6）且被圆C截得弦长为4的直线的斜率不存在，此时x=3，满足题意．②当过点P（3，6）且被圆C截得弦长为4的直线的斜率存在时设为k，直线方程为y﹣6=k（x﹣3）．则，解得k=，所求直线方程为：12x﹣5y﹣6=0．故所求直线方程为：x=3或12x﹣5y﹣6=0．点评：本题考查圆的一般式方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．20.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，．（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．参考答案：【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）利用向量平行的条件，写出向量平行坐标形式的条件，得到关于三角形的边和角之间的关系，利用余弦定理变形得到三角形是等腰三角形．（2）利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形面积所需的两边的乘积的值，求出三角形的面积．【解答】证明：（1）∵m∥n∴asinA=bsinB即a?=b?．其中R为△ABC外接圆半径．∴a=b∴△ABC为等腰三角形．

（2）由题意，m?p=0∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0∴a+b=ab由余弦定理4=a2+b2﹣2ab?cos∴4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab∴（ab）2﹣3ab﹣4=0∴ab=4或ab=﹣1（舍去）∴S△ABC=absinC=×4×sin=21.（本小题10分）（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值.参考答案：解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程可化为……………2分又,所以曲线的直角坐标方程为…………4分

（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得…

………………6分

令,得,即点的坐标为(2,0).又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1,0)，半径，则……………8分

所以………………10分22.随着智能手机等电子产品的普及，“低头族”正成为现代社会的一个流行词．在路上、在餐厅里、在公交车上，随处可见低头玩手机的人，这种“低头族现象”冲击了人们面对面交流的温情，也对人们的健康构成一定的影响．为此，某报社发起一项专题调查，记者随机采访了M名市民，得到这M名市民每人在一天内低头玩手机的时间（单位：小时），根据此数据作出频数的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[0，0.5）40.10[0.5，1）mp[1，1.5）10n[1.5，2）60.15[2，2.5）40.10[2.5，3）20.05合计M1（Ⅰ）求出表中的M，p及图中a的值；（Ⅱ）试估计这M名市民在一天内低头玩手机的平均时间（同一组的数据用该组的中间值作代表）；（Ⅲ）在所取样本中，从一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民中任取2人，求两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由频率=，利用频率分布表频率分布直方图能求出表中的M，p及图中a的值．（Ⅱ）先求出，由此利用频率分布直方图能估计这M名市民在一天内低头玩手机的平均时间．（Ⅲ）所取样本中，一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民共有6人，由此利用列举法能求出两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵分组[0，0.5）内的频数是4，频率是0.10∴，得M=40…∵频数之和为M=40∴4+m+10+6+4+2=40，得m=14∴分组[0.5，1）内的频率…∵a是分组[0.5，1）内频率与组距的商，∴…（Ⅱ），设这40名市民一天内低头玩手机的平均时间为x，则x=0.25×0.1+0.75×0.35+1.25×0.25+1.75×0.15+2.25×0.1+2.75×0.05=1.225…（Ⅲ）所取样本中，一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民共有6人…设一天内低头玩手机的时间在区间[2，2.5）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[2.5，3）内的人为b1，b2，则任取2人有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b