倍长中线模型-中考复习讲义及练习（解析版）

模块二常见模型专练

专题27倍长中线模型

O氟题四究

瓯（2021•黑龙江大庆•统考中考真题）已知，如图1,若A。是ABC中/BAC的内角平

分线，通过证明可得要=黑，同理，若AE是一ABC中/84C的外角平分线，通过探究

也有类似的性质.请你根据上述信息,求解如下问题:如图2,在MC中，BD=2,CD=3,AD

是ABC的内角平分线，则ASC的BC边上的中线长/的取值范围是

125

【答案］7<Z<∈Γ

22

ARO

【分析】根据题意得到黑=彳，设A8=2%,AC=3k,在aABC中，由三边关系可求出我

zɪ（∙z5

的范围，反向延长中线AE至尸，使得AE=EF,连接C尸，最后根据-：角形三边关系解题.

【详解】如图，反向延长中线AE至尸，使得AE=EF,连接CT,

8O=2,CD=3,A。是ABC的内角平分线，

ABBD_2

'AC^CD-3

可设A8=2&,AC=3k,

在aA5C中，BC=5,

Λ5Λ>5,ZV5,

Λl<⅛<5,

BE=EC

<ZAEB=ZCEF

AE=EF

,ABE^FCE(SAS)

:.AB=CF

由三角形三边关系可知，

AC-CF<AF<AC+CF

:.k<AF<5k

125

故答案为：r∕<τ.

【点睛】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关

系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.

瓯（2021•贵州安顺•统考中考真题）（1）如图①，在四边形ABCf）中，AB〃CD,点、E

是BC的中点，若AE是-34）的平分线，试判断A3,AD,OC之间的等量关系.

解决此问题可以用如下方法：延长AE交。C的延长线于点F,易证ΔAE8四AREC得到

AB=FC,从而把A3,AD,OC转化在一个三角形中即可判断.

AB,AD,OC之间的等量关系；

（2）问题探究：如图②，在四边形ABCO中，AB//CD,"与OC的延长线交于点F,

点E是BC的中点，若AE是NBA尸的平分线，试探究AB,AF,CF之间的等量关系，并

证明你的结论.

A

【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得A。=DF,再根据AAS证得

∖CEF∆β∆4,于是AB=CF,进一步即得结论；

（2）延长AE交。尸的延长线于点G,如图②，先根据AAS证明AGEC,可得

AB=CG,再根据角平分线的定义和平行线的性质证得FA=FG,进而得出结论.

【详解】解：(1)AD=AB+DC.

理由如下：如图①，;AE是的平分线，.∙.NZME=NS4E

,/ABDC,：.ZF=ZBAE,ΛZDAF=ZF,.,.AD=DF.

；点E是BC的中点，.∙.CE=BE,

又,：NF=ZBAE,ZAEB=NCEF

：.NCEFABEA(AAS),ΛAB=CF.

：.AD=CD+CF=CD+AB.

故答案为AD=AB+DC.

(2)AB=AF+CF.

理由如下：如图②，延长AE交DF的延长线于点G.

,.∙ABDC,：.ABAE=AG,

乂,.∙BE=CE,ZAEB=NGEC,

/.ΔAEβ^ΔGEC(AAS),.,.AB=GC,

：AE是NBAF的平分线，；.ZBAG=ZFAG,

∙/ZBAG=ZG,：.ΛFAG=ZG,：.FA=FG,

YCG=CF+FG,：.AB=AF+CF.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等

边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键.

瓯(2021•山东东营•统考中考真题)已知点。是线段AB的中点，点P是直线/上的任意

一点，分别过点A和点B作直线/的垂线，垂足分别为点C和点D我们定义垂足与中点之

间的距离为“足中距

(1)［猜想验证］如图1,当点P与点。重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”。C和

0。的数量关系是.

(2)［探究证明］如图2,当点尸是线段AB上的任意一点时，“足中距”0C和。力的数量关系

是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)［拓展延伸］如图3,①当点尸是线段84延长线上的任意一点时，“足中距”0C和0。

的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由;

②若NCOD=60。，请直接写出线段AC、BD,OC之间的数量关系.

≡1

【答案】(1)OC=OD,(2)仍然成立，证明见解析；(3)①仍然成立，证明见解析；

@AC+BD=y/3OC

【分析】(1)根据三角形全等可得；

(2)方法一:过点。作直线EFHCD,交BD于点F,延长AC交EF于点E,证明VCOE丝VOOF

即可，

方法：：延长CO交丁点E,证明AOegJ5OE即可；

(3)①方法r过点。作直线EF〃8,交BO于点凡延长C4交E尸于点E,证明

,COE=ΔDOF,

方法一延长。。交。B的延长线于点E,证明AAoC丝.3OE；

②延长C。交。8的延长线于点证明二AOCgzi3。石，根据已知条件得出。E=G8.

【详解】⑴。是线段AB的中点

OA=OB

AClhBDll

.∖ZACO=ZBDO

在ZXACO和ABDO中

OA=OB

<ZACO=ZBDO

ZAOC=NBoD

∙∙∙ΛACO丝∕∖BDO(AAS)

图1

OC=OD

(2)数量关系依然成立.

证明（方法一）：过点。作直线曾7/CO,交BD于点F,延长AC交石厂于点£

,.∙EFHCD

：•ZDCE=ZE=ZCDF=90°

・•・四边形CE尸。为矩形.

/.AOFD=90o,CE=DF

由（1）知，OE=OF

：.-CoE缘DOF（SAS）,

OC=OD.

证明（方法二）：延长C。交8。丁点E,

，ACHBD,

；•ZA=ZB,

；点。为AB的中点，

.,.AO=BO,

又：ZAoC=NBOE,

：..AOC^..BOE（ASA）,

OC=OE.

,:NCDE=90°,

OD=OC.

（3）①数量关系依然成立.

证明（方法一）：

过点。作直线砂〃Cz）,交BD于点、F,延长。交E尸于点E.

/.ZDCE=ZE=NCDF=90o

・・・四边形CMD为矩形.

.,.NoFD=90。,CE=DF

由(1)知，OE=OF

Λ；COEPOF(SAS),

ΛOC=OD.10分

证明(方法二)：延长C。交。8的延长线于点E,

VAC±CD1BDA-CD1

：.ACHBD,

/.ZACO=NE,

・•・点。为的中点，

・•・AO=BO,

又YZAOC=ZBOE,

ΛAOCBOE(AAS),

：•OC=OE,

・・・ZCDE=90°,

.*.OD=OC.

②如图，延长。。交OB的延长线于点E,

VACA-CDiBDLCD,

：•AC∕∕BD,

.*.ZACO=ZE,

・・・点。为AB的中点，

/.AO=BOf

又「ZAOC=NBOE,

：.AC=BEf

:.AC+BD=BE+BD=DE

・・・/CDE=90o,ZCOD=60°

/.OD=OC

.∙ZCOD=60o

.∙.ZDCE=60°

DFL

—=tanNDCE=tan60o=√3

CD

:.DE=y∕3CD

，AC+BD=6OC∙

【点睛】此题主要考查了三角形全等的性质与判定，直角三角形的性质，锐角三角函数，根

据题意找到全等的二角形，证明线段相等，是解题的关键.

厚命题矗曲

倍长中线模型概述：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长

后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS),并将已知条件中的线段和角进

行转移。A

倍长中线模型模型：

【倍长中线】已知点D为AABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE_Λc

∖/D

1)连接EC,则AABDgAECD,AB〃CE\//

2)连接BE,则△ADC名△EDB,AC〃BE

证明：a

点D为△ABC中BC边中点

，BD=DC\

在4ABD和4ECD中'厂”

\，/

AD=ED>

E

Z1=Z2/.ΔABD^ΔECD(SAS).∖ZABD=ZECD.'.AB//CE

BD=DC

在AADC和AEDB中

AD=ED

ZADC=ZBDE.,.ΔADC^ΔEDB(SAS)ZEBD=ZACD.∙.AC∕7BE

BD=DC

【倍长类中线】已知点D为AABC中BG边中点，延长线段DF到点E使DF=DE,

连接EC,则ABDFWACDE

总结：

【变式D（2021•浙江湖州■统考二模）如图，在四边形ABCD中，ABHCD,ABYBD,AB=5,

BD=4,CQ=3,点E是AC的中点，则BE的长为（）.

【答案】C

【分析】延长BE交C。延长线于P,可证AAEB/zλCEP,求出DP,根据勾股定理求出BP

的长，从而求出的长.

【详解】解：延长8E交CO延长线于P,

∙.,AB∕∕CD,

.∙.NEAB=NECP,

在aAEB和中，

ZEAB=ZECP

-AE=CE

NAEB=NCEP

：.AAEBmACEP(ASA)

：.BE=PE,CP=AB=5

又∙.∙Cf>=3,

.,.PD=2,

"：BD=4

二BP=y∣DP1+BD2=2√5

：.BE=WBP=B

【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全

等，依据勾股定理求出8P∙

【变式2］（2021.贵州遵义•校联考二模）如图，DE是AABC的中位线，F是DE的中点，

CF的延长线交AB于点G,若ACEF的面积为12cπ√,则SADGF的值为（）

【答案】A

【分析】取CG的中点H,连接EH,根据三角形的中位线定理可得EH//AC,再根据两直线

平行，内错角相等可得NGoF=然后利用“角边角”证明△力FG和△EFH全等，根据

全等三角形对应边相等可得FG=全等三角形的面积相等可得SzEFH=S∕DGF,再求出

FC=3FH,再根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，从而得解.

【详解】解：如图，取CG的中点4,连接E4,

A

AE

BC

・・・七是4C的中点，

JE”是△ACG的中位线，

：.EHHAD,

：•NGDF=NHEF,

。尸是DE的中点,

LDF=EF,

在^DFG和^EFH中,

NGDF=ZHEF

<DF=EF,

ZDFG=ZEFH

C.∕∖DFG^∕∖EFH(ASA),

：.FG=FH,SΔEFH=SΔDGF,

又∖∙FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH,

.∖SΔCEF=3SΔEFH,

.∖SΔCEF=3SΔDGF,

2

ΛSzlDGF=∣×12=4(cm).

故选：A.

【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、平行线性质.利用

倍长类中线构造全等三角形转换面积和线段关系是解题关键.

【变式3](2022.四川成都.统考一模)在二ABC中，AB=6,AC=4,A。是BC边上的中

vnχ—1I

线，记4)="且m为正整数.则机使关于X的分式方程竽—+4=—=有正整数解的概率

3-xx-3

为.

【答案W

【分析】延长A。至IjE,使AD=OE,连接BE,iιE∆ADC^∆EDB,得至IJAC=8E=4,在AABE

中，根据三边关系可知A8-8E<AE<AB+BE,代入求出〃?的取值范围，解分式方程得到有正

整数解时，”的值有2个，再利用概率公式求解.

【详解】延长A。到E，使AO=QE,连接BE,如图

A

・・,AD是BC边上的中线，

LBD=CD,

在△4。。和4EDB中，

AD=DE

ZADC=ZEDB

DC=BD

：.∆ADC^AEDB(SAS)

：・AC=BE=4,

⅛ΔABEAB-BE<AEvAB+BE,

Λ6-4<2ΛD<6+4,

Λ1<ΛZX5,

即IVznV5,

/.m=2,3,4,

AZtr-I，1

解分式方程--------+4=-------

3-XA1-3

12

..X--

ZZ7-4

・.”为正整数,

.,.∕π-4<0,

Λm<4,

/.tn=2,3,

.∙∙m使关于X的分式方程竽心+4=ɪ有正整数解的概率为：.

3-xx-33

【点睛】本题考查了概率公式、解分式方程、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是

解题的关键.

【变式4］（2021•河南周口•统考二模）如图，在一ABC中，AB=4,ZBAC=I35。，D为边BC

的中点，若A。=1.5,则AC的长度为.

A

【答案】2√2+l

［分析】延长AD到E,使得AD=DE,证明△ADB^∆EDC,得CE=ΛB=4,过点E作EWJ_AC

于H,分别求出CH和AH的长即可得到结论.

【详解】解：延长A。到E,使得AC=DE,如图，

,/。为边BC的中点，

.".BD=CD

在^AoB和4EOC中，

AD=DE

■ZADB=ZEDC

BD=CD

：.4ADB咨AEDC

.∙.ZB=NDCE,CE=AB=4

：.ABHCE

∙,.ZBAC+ZACE=ISO°

：.ZACE=I80°-135°=45°

过点E作EHLAe于H

在RtΔE"C中，CE=4,NHCE=45"

CH=EH=2√2

在MΔA∕7E中，A£=24)=3,HE=2-/1

∙-∙AH=∖∣AE2-EH2=1

AC=AH+HC=2y∕2+l

故答案为：2√Σ+1∙

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，中线的性质，等腰直角三角形的性质以

及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键.

【变式5](2022•山东泰安・校考二模)已知,ABC中，ZBAC=60o,以AB和BC为边向外作

等边A8。和等边BCE.

(1)连接AE、CD,如图1,求证：AE=CDi

(2)若N为CO中点，连接AM如图2,求证：CE=IAN

(3)若A8LBC,延长A8交OE于M,DB=42,如图3,则(直接写出结果)

【答案】(1)见解析

(2)见解析

喈

【分析】(1)先判断出Nf)BC=NABE,进而判断出△QBCgZsABE,即可得出结论；

(2)先判断出AACW丝Z^FCM得出CF=A£),NNCF=NAND,进而判断出/BAC=/AC尸,

即可判断出△A8C岭Z∖C7¾,即可得出结论；

(3)先判断出△ABC丝4"E8(ASA),得出8H=AC=2&，AB=EH，再判断出

ADM^AHEM(AAS),得出AM=即可得出结论.

【详解】(1)解：∙.∙Z∖ABC和△8CE是等边三角形，

：.BD=AB,BC=BE,ZA8D=ZCBE=GQo,

：.ZABD+ZABC=ZCBE+ZABC,

：.ZDBC=ZABE,

：.∕∖ABE^ΛDBC(SAS),

."E=CO;

(2)解：如图，延长AN使NF=AM连接FC,

・・・N为CQ中点，

：・DN=CN,

YZAND=ZFNCf

：.AADN学AFCN(SAS),

：.CF=ADfZNCF=ZAND9

9：ZDAB=ZBAC=6Qo

・•・ZACD+ZADN=60o

：.ZACF=ZACD+Z∕VCF=60o,

."BAC=NACF,

V∆ABD是等边三角形，

：.AB=ADf

：.AB=CFf

VAC=CA,

Λ∆ABC^∆CM(SΛS),

：.BC=AFf

•••△3CE是等边三角形，

：・CE=BC=AF=2AN；

(3)解：∙.∙Z∖A8O是等边三角形，

∙'∙AB=AD=DB=y/2ZBΛZ>60o,

在RmABC中，ZACB=90o-ZBAC=30o,

∙'∙AC=2AB=2^,

如图，过点E作EH〃AO交AM的延长线于从

•••△3CE是等边三角形,

,BC=BE,NCBE=60。,

・・・NABC=90。，

JZEBH=90o~NCBE=30。=NaC8,

/.NBEH=I80。-NEBH—NH=90。=NABC,

：.∆ABC^∆HEβ(ASA)t

•**BH=AC=2√2，AB=EH,

：.AD=EH1

,.∙/AMD=NHME,

：.4ADMm∕∖HEM(AAS),

：.AM=HM,

.*.BM=AM-AB=-AH-AB=-(AB+BH)-AB=-BH--AB=-(BH-AB)

22v7222v7

VBH=2血，AB=6，

,√2

・・BM=-.

2

故答案为：立.

2

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，含3()。角的直角三角形的性

质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.

AD=3»AC=4,则48的长的取值范围是()

B.2<AB<∖0C.3<AB<5D.2<AB<7

【答案】B

【详解】解：延长A。至点E使Z?E=AZ)，连接5E,

A

：A。为&ABC的中线，

.∙.BD=CD,

在ABDE与，CDA中，

BD=CD

-NBDE=NCDA,

ED=AD

：..BDE-CDA(SAS),

BE=AC,

:在-ABE中，AE-BE<AB<AE+BE,又A£)=3,AC=4，

Λ6-4<Λβ<6+4,

2<AB<10,

故选：B.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，添加辅助线构造全等三角

形是解答的关键.

2.如图，在√1BC中，AB=6,BC=IO,8。是边AC上的中线，则Bo的长度可能为()

【答案】C

【分析】延长BO至点E,使%>=r>E,连接CE,证明aABO丝Z∖CE3,得至IJCE=45,

利用三角形的三边关系，即可得到80的取值范围.

【详解】解：如图，延长5D至点E,使BD=DE,连接CE,

,.∙BD是边AC」二的中线，

，AD=CD,

又：ZADB=NCDE,

：.△ABD^ACfD(SAS),

,CE=AB=6

：.BC-CE<BE<BC+CE,

.∙.10-6<BE<10+6,即：4<BE<16,

2<BD<8,

故选C.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系.解题的关键是：倍长

中线法，证明三角形全等.

3.如图，ABC中，AO为中线，ADlAC,ZBA£>=30o,AB=3,贝IJAC长()

A.2.5B.2C.1D.1.5

【答案】D

【分析】延长A。到E,使AD=ED,连接8E,证明△8EDgZ∖C4D,根据全等三角形的性

质可得BE=AC,ΛBED=ZCAD=90o,在RtZ∖AE8中，ZBΛE=30o,AB=3,根据30。角直

角三角形的性质即可求得AC的长.

(详解】延长AO到E,使AD=ED,连接BE,

YA。为中线，

LBD=CD,

在4BE。和△CAc中,

BD=CD

NBDE=NCDA

ED=AD

.'.△BEDqACAD(SAS),

：.BE=AC,NBED=NCAD,

∙/ADLAC,

：.ZCAD=90o,

NBEO=NC4Z>90。，

在RtAAE8中，ZBAE^30o,AB=3,

；.AC=LAB=I.5.

2

故选D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、30。角直角三角形的性质，正确作出辅助线,

构造全等三角形是解决问题的关键.

4.对于任意4ABC（见示意图）.若AO是4A8C的边BC上的中线，NADB、NADC的

角平分线分别交AB、AC于点E、F,连接所，那么ERBE、C尸之间的数量关系正确的

是（）

A.BE+CF=EFB.BE+CF≥EF

C.BE+CF<EFD.BE+CF>EF

【答案】D

［分析］延长FD到G,使DG=FD,根据角平分线和平角定义证得/EDF=90。，即ED_LFD,

则ED垂直平分GF,根据线段垂直平分线的性质可得EF=EG,再证明ABDGgaCDF,则

有BG=CF,再根据三角形三边关系可得BE+BG>EG即可解答.

【详解】解：延长FD到G,使DG=FD,

:NADB、N">C的角平分线分别交A8、AC于点E、F,

：./ADE=/BDE=TZADB,NADF=NCDF=∣∙ZADC,

：/ADB+/ADC=I80°,

.∙.ZEDF=ZADE+ZADF=ɪ(ZADB+ZADC)=90°,

ΛEDlFD,又DG=DF,

ED垂直平分GF,

ΛEF=EG,

,.∙AD是4ABe的边BC上的中线，

BD=DC,又NBDG=NCDF,DG=DF,

Λ∆BDG^ΔCDF(SAS),

.∙.BG=CF,

在△BEG中，：BE+BG>EG,

ΛBE+CF>EF,

故选：D.

【点睛】本题考查了角平分线的定义、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角

形的三边关系，熟练掌握相关知识的应用，延长FD使DG=FD是解答的关键.

5.如图，/BC中，点。是BC边的中点，线段45平分NBAC∙8F//AC,在£＞的延长线交AC

于点E,且AE=2BF.下列结论：

®ADlBC-.@DElAC-,③DE=DF;®AB=3BF.

正确的个数为（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【分析】延长A。，BF交于点G,如图，根据平行线的性质和AAS可证AGBQ且"CD,可

得BG=CA,易得BG=BA,于是有C4=8A,然后利用等腰三角形三线合一的性质即可判断

①；

根据ASA易证ABDF丝ACOE,进而可根据全等三角形的性质判断③；

由AE=2班"，再结合全等三角形的性质即可判断④；

而QElAC无法证明，继而可判断②，于是可得答案.

【详解】解：延长月3、8尸交于点G,如图，VBF//AC,...NG=NCAD,NGBD=NC,

：点。是BC边的中点，.∙.BD=CD,

Λ∆GBD^∆ΛCD(AAS),，BG=CA,

：A。平分∕BAC,ΛZBAD=ZCAD,,NBAD=NG,

：.BG=BA,：.CA=BA,

；点。是BC边的中点，...AQ13C,所以①正确；

*：NGBANC,BD=CD,NBDF=NCDE,

,△BDF冬4CDE(ASA),：.BF=CE,DE=DF,所以③正确;

VAE=2BF,BF=CE,.".AC=AE+CE=3BF,

,：CA^BA,：.AB=3BF,所以④正确；

而OE上4C无法证明，所以②错误.

综上，正确的是①③④，有3个，故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，属于常考题型,

倍长中线构造全等三角形、熟练掌握全等三角形和等腰三角形的判定和性质是解题的关键.

6.在“A3C中，AB=8,AC=6,则BC边上的中线A。的取值范围是.

【答案】KAEXl

【分析】延长AO至E,使DE=AD'然后证明二ABr)四一£8(SAS),根据全等三角形对应

边相等可得n=AB,然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出

AE的取值范围，然后即可得解.

【详解】解：延长AD至E,使DE=4),连接CE.

在△ABD和4ECD中，

DE=AD

<AADB=NCDE

DB=DC

ABD^ECD(SAS),

.*.CE=AB,

在ZSACE中，

CE-AC<AE<CE+AC，

即2<2AZX14

故1<ACX7.

故答案为：IVADV7.

E

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助

线构造出全等三角形是解题的关键.

7.如图，在ABC中，Ao为中线，且AC=5,AD=6,则AB边的取值范围是.

【分析】延长AO至E,使得AO=OE,连接先证明VΛT>C怂VE£出，由此可得，

AC=BE,再根据三角形存在性，求得AE-BE<ABVAE+BE,即得到AB边的取值范围.

【详解】解：如图，延长A£)至E，使得AO=OE,连接8E,

：在ABC中，A。为中线，

CD=BD,

在ZxADC与△口汨中，

AD=DE

'：«ZADC=NEDB,

CD=DB

：.AADC名八EDB(SAS),

：.AC=BE.

"."AC=5,AD=6,

又,：AC=BE,AD=DE,

：・BE=5,AE=2AD=12,

在Z∖A1叩中，

：AE-BE<AB<AE^BE,

PBE=5,ΛE=12,

.∙.7<AB<17,

故答案为：7VABV17.

【点睛】本题考查了倍长中线构造全等三角形以及三角形存在性，掌握倍长中线法构造全等

三角形是解题的关键.

8.如图,在△ABC中，点。是BC的中点,点E是AO上一点,BE=AC.若ZC=10o,ZDAC=SOo,

则ZEBD的度数为.

【答案】10°##10度

【分析】根据题目中的图形和已知条件，可以求得NFBE和NFB。的度数，从而可以得到

/EBO的度数.

【详解】解：延长4。到R使得DF=AD,连接8尸，如图，

；点。为BC的中点，

；.BgCD

在ABDFCDA中，

BD=CD

-NBDF=ZCDA

AD=FD

.∙.∆BDF^∆CDΛ(SAS)

：.AF=ΛDAC,ZFBD=ZC,AC=FB,

VZC=70o,ND4C=50°,BE=AC

，NFBD=70°,ZF=50o,BE=BF

.,.ZF=ZBEF

：.NBEF=50。

：.NFBE=8。。

.∖ZEBD=ZFBE-ZFBD=SOo-IOo=1Oo

故答案为：10。.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用三角形全等

的判定和性质、数形结合的思想解答.

9.如图，在AfiC中，A。是BC边上的中线.延长AO到点E,使OE=4),连接BE.

⑴求证：AACD咨AEBD；

(2)AC与BE的数量关系是：,位置关系是：；

(3)若NB4C=90。，猜想AO与BC的数量关系，并加以证明.

【答案】(1)见解析

(2)AC=BE,AC//BE

(3)2AD=BC,证明见解析

【分析】(1)根据三角形全等的判定定理SAS,即可证得；

(2)由AACD经AEBD,可得AC=8E,NC=NEBC,据此即可解答；

(3)根据三角形全等的判定定理SAS,可证得AA40ABE,据此即可解答.

【详解】(1)证明：A£＞是BC边上的中线，

.-.BD=CD,

在AACD与AEBD中

AD=ED

/ADC=/EDB,

BD=CD

:.ACD^,EBD(SAS)；

(2)解：.-ACD—EBD,

:.AC=BE,ZC=ZEBC,

:.ACBE,

故答案为：AC=BE,AC//BE；

(3)解：2AT>=3C

证明：ACD^EBD,

:.AC=BE,ΛC=AEBC.

:.ACBE,

ZBAC=90o

.∖ZBAC=ZABE=90o

在C和ZVUS石中，

AB=BA

<NBAC=NABE=90。

AC=BE

ΛBAC^ABE(SAS),

.∙.BC=AE=2AD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握和运用全等

三角形的判定与性质是解决本题的关键.

10.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1,ABC中，若A3=8,AC=6f求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经

过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AO到点EDE=AD,请根据小明的方法思

考：

⑴由已知和作图能得到AADC之△互出的理由是___.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得AO的取值范围是

A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1<AD≤7

(3)如图2,AO是C的中线，BE交AC于E,交Ao于F,h,AE=EF.求证：AC=BF.

【答案】(I)B

⑵C

(3)见解析

【分析】(1)根据AD=DE∙ZADC=ZEDB,BD=DC推出ZXAOC和全等即可，据

此即可判定；

(2)根据全等得出BE=AC=6,AE=2AD,由三角形三边关系定理得出8-6<2AD<8+6,

求出即可；

(3)延长AO到例，使AO=Zw,连接BM,根据SAS证得△4£)C丝Z∖MD8,推出BM=AC,

ZC4D-ZM,根据AE=瓦'，推出NC43=NAFE=NBEO,求出N3ED=∕M,根据等

腰三角形的性质即可证得.

【详解】(1)解：A£>是ABC中线，

.,.BD=DC>

在A4Z)C与△££■中，

AD=ED

ZADC=NEDB

CD=BD

.∖∆ADC^ΔEZ)B(SAS),

故选：B；

(2)解：由⑴知：AADC@AEDB,

.-.BE=AC=6,AE^2AD,

由三角形三边之间的关系可得：AB-BE<AE<AB+BE,

即8-6<2AZ><8+6,

解得1<AD<7,

故选：C；

(3)证明：如图：延长Ar)到M,使AE>=DM,连接BM,,

A£>是ABC中线，

√.BD=DC,

在∕∖ADC⅛∕∖MDB中，

AD=MD

<ZADC=NMDB

CD=BD

.∙∙∆ΛDCAJWDB(SAS),

:.AC=MB,NCW=ZM,

AE=EF,

NCAD=ZAFE,

ZAFE=ZBFD,

:.NBFD=NCAD=NM,

.-.BF=BM=AC,

即AC=BF.

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角

形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力.

11.（1）阅读理解：

如图①，在ΛBC中，若A8=8,AC=12,求BC边上的中线相＞的取值范围，并说明理由.

解决此问题可以用如下方法：延长AO到点E使。E=AD,再连接8E（或将ACD绕着点

。逆时针旋转180。得到AEBD）,把Afi、AC,2A£）集中在中，体现了转化和化归的

数学思想，利用三角形三边的关系即可判断.

A

A

JV

/∖

BDC

图①图②

(2)问题解决：

如图②，在二4BC中，。是BC边上的中点，DMLDN于点、D,Z)M交AB于点M,DN交

AC于点N,连接MN,求证：BM+CN>MN；

【答案】(1)2<ΛD<10,详见解析；(2)详见解析

【分析】(1)延长AD到点E使OE=AD,连接8E,证明ZXACOqAEBD得至∣]BE=AC=12,

再利用三角形三边的关系即可求解；

(2)延长Nz)至点凡使ED=MD,连接BRMF,证明一8ED四一CN。得到5尸=CN,再

利用线段垂直平分线的性质得到MF=MN,再根据三.角形的三边关系即可证得结论.

【详解】(1)解：延长AD到点E使DE=4),连接5E,

：A。是BC边上的中线，

二BD=CD,

在“AC£>和AEBD中，

CD=BD

"ZADC=NEDB,

AD=ED

：.ACD^^EBD(SAS),

：.BE=AC=12,

在“ABE中，由三角形的三边关系得：BE-AB<AE<BE+AB,

二12-8<AE<12+8,即4<2AE><20,

.,.2<AD<10;

(2)问题解决：

证明：延长NO至点片使FD=ND,连接8/、MF,如图1所示：

A

N

MZ/∖

∖

//,ʌs.J∖∖

b∖~:/bc

∖y

、I'

图1

•••。是BC边上的中点，

二BD=CD,

在4BFD和ACND中，

BD=CD

"ZBDF=NCDN,

FD=ND

BFD^CND(SAS),

BF=CN,

'：DMɪDN,FD=ND,

：.MF=MN.

在，BRW中，由三角形的三边关系得：BM+BF>MF,

：.BM+CN>MN.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的三边关系，

添加适当的辅助线构造全等三角形解决问题是解答的关键.

12.某数学兴趣小组在活动时:老师提出了这样一个问题：如图，在ABC中，AB=6,

AC=8,。是BC的中点，求BC边上的中线的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长力。到E,使。E=AD，请补充完

整证明”ABD^.EeD”的推理过程.

(1)求证：ABD^ECD

证明：延长Af)到点E,使Z)E=Af)

在AABD和；Ea)中

VAD=ED（已作）

ZADB=ZEDC（对顶角相等）

CD=（中点定义）

.,.ABg,.ECD（）

（2）由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出A3的取值范围是；

【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线''等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形,

把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

（3）【问题解决】如下图，4?C中，?B90?,AB=2,AO是.45C的边BC上的中线，

CElBC,CE=A,且ZAD£=90。，求AE的长.

【答案】(I)BO,SAS

(2)1<AD<7

⑶AE=6

【分析】（1）由“SAS”可证，AB*.ECD：

（2）由全等三角形的性质可得CE=AB=6,由三先形的三边关系可求解：

（3）由“ASA”可证BDFqCDE,则BF=CE=4,Ez）=£>F,可求AF=6,根据线段垂

直平分线的性质可得AE的长.

【详解】（1）证明：延长AD到点E,使OE=AD

在AABD和CEa）中，

VAD=ED（已作），

ZADB=ZEDC（对顶角相等），

CD=BD（中点定义），

Λ..ABD^,.ECD（SAS）,

故答案为：BD，SAS：

（2）解：Y.ABD^.ECD,

：.CE=AB=6,

在ZkACE中，AC-AE<AE<AC+CE,

∙∙∙2<2AD<14,

Λ1<AO<7.

故答案为：1<AD<7;

(3)解：如图3,延长EDA8交于点尸,

ZECD=90°,

：.ZABD=ZDBF=ZECD=90°,

：A。是中线，

BD=CD,

'：NBDF=NCDE,

ABDF沿ACDE(AS0,

；.BF=CE=4,ED=DF,

∙∙AF=2+4=6,

VZADE=90°,DF=ED,

AO是E尸的垂直平分线，

AE=AF=6.

【点睛】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角

形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的

方法解决问题.

13.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

图2

如图1,ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线Af)的取值范围.小明在组内经过

合作交流，得到了如下的解决方法：延长AO到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考:

(1)由已知图能得到C必EDB的理由是.

(2)求得AD的取值范围是.

(3)如图2,Az)是；ABC的中线，BE交AC于E,交AZ)于F,JiAE=EF.求证：AC=BF.

【答案】(D必S

(2)1<AD<7

(3)见解析

【分析】(1)根据三角形全等的判定定理即可进行解答；

(2)根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行

解答；

(3)延长AO至点G,使Gz)=Ar>,连接BG,先证明aADC也4GDB,即可得出

BG=AC,ZG=ΛDAC,再根据A£=£7L得出NAFE=最后根据等角对等边，即

可求证AC=BF.

【详解】(1)解：•；A。为BC边上的中线，

.∙.BD=CD,

在/MDC和Z∖EZ)3中，

BD=CD

<ZADC=NEDB,

AD=ED

：.∕∖ADC^ΛEDB(SAS),

故答案为：SAS.

(2)由(1)可知，AADC迫乙EDB,

：.BE=AC=6,

"：AB=S,

Λ8-6<AE<8+6,即2<AE<14,

∙.'DE=AD,

.∙.AD=-AE.

2

Λ1<AD<7.

故答案为：1<4)<7.

(3)延长AO至点G,使GO=AD,连接BG,

A

G

・・•A。为BC边上的中线，

JBD=CD,

在zMDC和Z∖GΓ>3中，

BD=CD

ZADC=NGDB,

AD=GD

：.i.ADC^,GDB(SAS),

,BG=ACZG=ZDAC,

'/AE=EF,

JZAFE=AFAE>

J/DAC=ZAFE=/BFG,

：.ZG=ZBFGf

：.BG=BF,

：.AC=BF.

【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，解题的关键是正确做出作辅

助线，构造全等三角形.

14.在_ABC中，ZABM=45o,AMVBM,垂足为M,息C是BM延长线上一点，连接AC.

(2)如图②，点。是线段AM上一点，MD=MC,点E是二ABC外一点,EC=ACf连接ED

并延长交BC于点尸，且点”是线段BC的中点，求证：ZBDF=ZCEF.

【答案】(1)拒

(2)证明见解析

【分析】(1)在等腰直角=角形“4WB，AM=BM,AB=M,由勾股定理可求出

AM=BM=3,再由勾股定理可求AC的长；

(2)延长EF到点G,使得FG=E尸，连接BG,证,BMD会.AMC(∙S4S)得AC=BO,再

证明BFG名一CFE(SAS)可得BG=CE,NG=NE,从而得到BD=BG=CE,即可得出

NBDF=NCEF

【详解】(1)解：VZABM=45°,AMVBM,

：.AM=BM

：.AM2+BM2=AB2=↑8,解得ΛM=BM=3

贝IJaW=BC-BM=5—3=2,

AC=y∣AM2+CM2=√32+22=√13；

(2)证明：延长E尸到点G,使得FG=EF,连接8G∙如图所示：

在和AMC中，

DM=CM

-NBMD=ZAMC,

BM=AM

.∙.一BMD^cAMCCSAS),

：.BD=AC,

又「CE=AC,

：.BD=CE,

在,BAG和,,CFE中，

BF=FC

NBFG=NEFC,

FG=FE

BFG-CFE(SAS),

:.BG=CE,NG=NCEF,

：.BD=CE=BG,

：.ABDF=ZG=NCEF.

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形性质等知识，解

题关键是掌握全等三角形的判定与性质.

15.数学活动课中，老师给出以下问题：

图3

(1)如图1,在一A8C中，。是边BC的中点，若AB=5,AC=9,则中线AO长度的取值范

(2)如图2,在ABC中，。是边BC的中点，过。点的射线DE交边AB于E,再作DF_LZ)E

交边AC于点尸，连结EF,请探索三条线段BE、EF、CP之间的大小关系，并说明理由.

(3)已知：如图3,AB=AC,/a4。=/。。£=90。且。。=。£,F是线段8E的中点.求

证：AFVFD.

【答案】(1)2<4)<7

(2)CF+BE>FE,证明见解析

(3)见解析

【分析】(1)延长4。到E,使AD=DE,连接CE,证.ADB^EDC,推出EC=A8,

根据三角形的三边关系定理求出即可；

(2)延长尸。到点G使。G=RD,连结GE,GB,就有FE=GE,连结EG、BG,可证

DCF-DBG,则BG=CF,即可得出结论；

(3)延长所到G使/G=AF,连接GEGD,证明ABF^GEF(SAS),

MCDgGED(SAS),根据全等三角形的性质得出A。=GD,根据等腰三角形的性质即可

得证.

【详解】(1)解：延长AD到E,使4)=r>E