画法几何及机械制图点直线和平面的投影

画法几何及机械制图点直线和平面的投影2024/3/11画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－1点的投影平面直线点点、直线和平面称为构成立体的几何元素§2-1点的投影一、点在三投影面体系中的投影二、点的投影和坐标三、两点间的相对位置、重影点下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影VHWOXZYHYWVHWOXYZ§2－1点的投影一、点在三投影面体系中的投影Aayaxazaa

a

a

正面投影a

侧面投影a水平投影1.点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴（aa

OX）；2.点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（a

a

OZ）；3.点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离（aax=aaz）。axaz下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－1点的投影例：已知点的正面投影a

和水平投影a，求其侧面投影a

a

aa

XZOYWYHaxa

a

OX;a

a

OZ;aax=a

az下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－1点的投影二、点的投影和坐标VHWOXZYHYWa

aa

axaz1.点的坐标XAyAyAVHWOXYZAaa

a

axayazxAyAzAZAXA(Oax)＝Aa

——点到W投影面的距离；YA(Oay)＝Aa——点到V投影面的距离；ZA(Oaz)＝Aa——点到H投影面的距离；点到投影面的距离2.点的投影XA，ZA()XA，yA()yA，ZA()每个投影反映点的两个坐标；每个坐标在两个投影中得到反映。下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影cc

VHWOXYZabax§2－1点的投影例：已知点的坐标，求投影。A(15,8,10),B(15,8,0),C(15,0,0)aXZOYWYHa

A15810158a

10a

a

Bb

b

bb

axb

Ccc

c

c

投影面上点，其该面投影与点本身重合，另两投影在相应的投影轴上；投影轴上点，有两个投影与点本身重合，另一投影与原点重合。下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－1点的投影三、两点间的相对位置VHWOXYZAaa

a

axayazVHWXZYHYWaa

a

Bb

bb

Ob

bb

上下后前后前后前左右两点间的相对位置可用它们同方向的坐标差来判断两点中X坐标大的点——在左方两点中Y坐标大的点——在前方两点中Z坐标大的点——在上方下页章目录上页结束VHWXZYHYWaa

a

画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－1点的投影XA>XBYA>YBZA>ZB

A在B的左方XA-XB处

A在B的前方YA-YB处

A在B的上方ZA-ZB处

点A在点B的左、前、上方下页章目录上页结束VHWOXYZAaa

a

axayazVHWXZYHYWaa

a

Bb

bb

Ob

bb

上下后前后前后前左右画法几何及机械制图点直线和平面的投影VHWOXYZAaa

a

Bbb

b

§2－1点的投影（

）VHWOXYZAaa

a

C（c

）cc

重影点及可见性当空间两点位在某一投影面的同一条投射线上时，它们的该面投影重合,这时，空间两点称为对该投影面的重影点。对H面的重影点对V面的重影点下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－1点的投影例：已知B点的三投影，A点在B点之右8毫米，之前5毫米，之上9毫米，求A点的投影。bb

XZOYWYHb

aa

5a

89下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影§2-2直线的投影一、直线的投影二、各种位置直线的投影特性三、一般位置直线的实长及其对投影面的倾角四、直线上的点的投影五、两直线的相对位置六、直角投影定理下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影

§2－2直线的投影一、直线的投影

ABaa

a

bb

b

XZOYWYHbb

b

aa

a

直线上两点同面投影的连线可确定直线的投影直线对投影面的倾角下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影二、各种位置直线的投影特性VHWOXYZVHWOXYZVHWOXYZ投影面平行线：平行于一个、倾斜于另两个投影面的直线

V面—正平线

H面—水平线

W面—侧平线投影面垂直线：垂直于一个、同时平行于另两个投影面的直线

V面—正垂线

H面—铅垂线

W面—侧垂线投影面倾斜线：对三个投影面都倾斜的直线特殊位置直线一般位置直线下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影1.投影面平行线（1）正平线XZOYWYHaba

b

a

b

投影特性：a

b=AB;ab

OX、a

b

OZ;反映、角的真实角度。VHWOXYZABaa

a

bb

b

下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影（2）水平线（3）侧平线cd=CD;c

d

OX、c

d

OYW;反映、角的真实角度e

f

=EF;e

fOZ、efOYH;反映、角的真实角度XZOYWYHVHWOXYZEFff

f

ee

e

ef

f

fe

e

VHWOXYZCDcc

c

dd

d

XZOYWYH

cc

c

dd

d

下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影1)在与其平行的投影面上的投影显实长，且与两投影轴的夹角反映直线对另两投影面的真实倾角；2)另两个投影长度缩短，且分别平行于相应的投影轴。例：过点A作正平线AB，长为20mm,α＝30°。aa

XO30°20mmbb

投影面平行线的投影特性VHWOXYZABaa

a

bb

b

下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影2.投影面垂直线（1）正垂线ZXOYWYHbaa

(b)b

a

投影特性：a(b)积聚为一点;ab

OX、a

b

OZ。ab＝a

b＝AB;VHWOXYZABba

b

a(b)a

下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影（2）铅垂线（3）侧垂线c(d)积聚为一点;c

d

OX、c

d

OYW;e(f)积聚为一点;e

f

OZ、ef

OYH;VHWOXYZCDcc

c

（d）d

d

XZOYWYHcc

c

(d)d

d

c

d＝c

d＝CD;VHWOXYZXZOYWYHEFff

(f)ee

e

ef

(f)fe

e

e

f＝ef＝EF;下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影VHWOXYZABba

b

a(b

)a

投影面垂直线的投影特性1)在与其垂直的投影面上的投影积聚为一点；2)另两个投影显实长，且分别垂直于相应的投影轴。VHWOXYZXZOYWYHVHWOXYZXZOYWYH投影面上的直线的投影下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影3.投影面倾斜线ABaa

a

bb

b

b

bXZOYWYHb

aa

a

投影特性：1)直线的三个投影均为倾斜于投影轴的直线;2)投影中不能反映直线段的实长和倾角。下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影例：判断各直线对投影面的相对位置（b）bb

XZOYWYHc

aa

a

cdc

d

d

AB为____线BC为____线CD为____线§2－2直线的投影侧垂线倾斜线水平线下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影VHOXABaa

bb

§2－2直线的投影三、一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角1.求线段的实长及对水平面的倾角

ZAB

B0

ZAB

AB

abAB

bb

XOaa

ZAB

直角三角形法下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影2.求线段的实长及对正平面的倾角

VHOXABab

a

b

yAB

yAB

AB

AB

bb

XOaa

yAB

A0a

b

下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影3.求线段的实长及对侧平面的倾角

bb

XZOYWYHb

aa

a

XAB

XAB

AB

ABaa

a

bb

b

XAB

下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影直角三角形法小结ABaa

a

bb

b

记忆立体图实长倾角投影长坐标差实长投影长坐标差倾角ab

ZAB

ABa'b'

YAB

ABa"b"

XAB

AB四个量中，已知两个量可求出另外两个量下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影例：已知直线AB的正面投影a

b

及点B的水平投影b,

=30°,求ab。实长投影长坐标差倾角ab

ZAB

ABa'b'

YAB

ABa"b"

XAB

AB§2－2直线的投影Xa'b'b30°ababaa

ZAB下页章目录上页结束O画法几何及机械制图点直线和平面的投影ABaa

a

bb

b

§2－2直线的投影四、直线上点的投影Za

bb

XOYWYHb

a

ac

c

cC1、点在线上，则点的投影必在直线的同面投影上；2、点分线段成定比，其空间比等于投影比。

AC：CB=ac：cb=a

c

：c

b

=a

c

：c

b

c

c

c下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影c

AC:CB=ac:cb=a

c

:c

b

=2:1

§2－2直线的投影例1已知线段AB的投影图，试将AB分成AC:CB=2:1两段，求分点C的投影。OXbb

aa

c0b0c

下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影下页章目录上页结束例2已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。bcc

ca定比作图方法b

a

abcXOb

c

bcaa

VHXBACO画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影下页章目录上页结束a

b

例2已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。OZYHYWc

a

b

c

bcaa

VHXBACOb

a

abcXO画法几何及机械制图点直线和平面的投影c0c

§2－2直线的投影例3.在直线AB上取一点C,使AC=L，求点C的两投影。a

b

abL

ZAB

ZABcb0ABVHOXABaa

bb

CLc

cLXO下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影VHOXAaa

CcLc

§2－2直线的投影例3.在过点A且已知方向的直线上取一点C,使AC=L，求点C的两投影。c'a'adL

ZAD

ZADcd0c0ADLDdd

d'XO下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影五、两直线的相对位置1.平行两直线aa

XZOYWYHb

c

d

bcda

b

c

d

（1）若空间两直线平行，则他们各同面投影仍然平行。（2）两直线段空间长度比等于他们各同面投影的长度比。下页章目录上页结束VHOXADaa

CBb

c

d

bcd画法几何及机械制图点直线和平面的投影aa

XZOYWYHb

c

d

bcd§2－2直线的投影a

b

c

d

若两直线的各同面投影互相平行，则两直线空间平行；当为一般位置直线时，若有两个同面投影互相平行，则两直线空间平行。下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影2.相交两直线VHXADaa

CBb

c

d

bcdOKk

kaa

XZOYWYHb

c

d

bcda

b

c

d

k

kk

若空间两直线相交，则他们各同面投影也相交，且三个交点符合一点的投影规律。下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影若两直线的各同面投影都相交，且交点符合一点的投影规律，则空间两直线相交；当两直线均为一般位置直线时，若有两个同面投影满足上述条件，则空间两直线相交。aa

XZOYWYHb

c

d

bcdc

d

a

b

下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影3.交叉两直线bb

XOaa

c

d

cd121

(2)既不平行又不相交的两直线VHXADaa

CBb

c

d

bcdO121

(2)ⅠⅡ下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影3412（）bb

XOaa

c

d

cd（）§2－2直线的投影21判断两直线上重影点投影的可见性Ⅰ∈ABⅡ∈CDⅢ∈ABⅣ∈CD判断重影点重合投影的可见性时，要在其他投影中比较它们坐标的大小。4

3

下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影六、直角投影定理空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。若两直线的某面投影互相垂直，且其中一条平行于该投影面，则两直线空间互相垂直。AaCBbcHbb

XOaa

c

c下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－2直线的投影d

例1已知长方形ABCD中边BC的两投影和边AB的正面投影（a'b'//OX)，求作长方形的两投影。bb

XOa

c

cadABCD有ab

bc分析：

空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。因为AB

BC,且AB

H根据直角投影定理下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影（e）§2－2直线的投影空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。fe

f

分析：ABCDEFabecdfH因为AB

H,EF

AB,所以EF//H；又因为EF

CD,EF//H所以ef

cd。例2求直线AB和CD间的最短距离。Xcd（b）b

aa

c

d

o因为EF//H,所以e'f'//OX；EF

AB,EF

CD下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影f0§2－2直线的投影e

ef

f

ZFE

ZFELc0cc

dd

ABCDEL

L

例3已知菱形ABCD的对角线AB的两投影，另一对角线CD长为2L,且知其正面投影的方向，求作菱形的两投影。Xa

ab

bLo分析：因为AB

CD,且AB//H所以ab

cd；于是CD成为过E点且已知方向的直线；在CD线上取点C和D,使EC=ED=L,求投影c、d下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－3平面的投影§2-3平面的投影一、平面的投影二、各种位置平面的投影特性三、平面上的点和直线下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－3平面的投影一、平面的投影1.用几何元素表示平面各种形式可以互相转换bb

aa

c

cXObb

aa

c

cXOa

bb

ac

cXObb

aa

c

cXOd

dbb

aa

c

cXO不共线三点直线和线外一点两相交直线平面图形两平行直线下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－3平面的投影2.用迹线表示平面VHWOXYZPPVPHPW

XZOYWYHPVPHPW迹线——平面与投影面的交线正面迹线水平迹线侧面迹线平面对投影面的倾角、、下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－3平面的投影二、各种位置平面的投影特性投影面垂直面：垂直于一个、倾斜于另两个投影面的平面

V面—正平面

H面—水平面

W面—侧平面投影面平行面：平行于一个、同时垂直于另两个投影面的平面

V面—正垂面

H面—铅垂面

W面—侧垂面投影面倾斜面：对三个投影面都倾斜的平面特殊位置平面一般位置平面VHWOXYZVHWOXYZVHWOXYZ下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影VHWOXYZaa

(b)bcda

b

c

d

ADCBd

(c)P§2－3平面的投影1.投影面垂直面（1）正垂面PVXZOYWYHa

b

c

d

a

(b)d

(c)abdc

投影特性：abcd积聚为直线;abcd和abcd为面积缩小的类似形。反映

、

角的真实角度；

PV下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－3平面的投影VHWOXYZGHhh

g

e(g)EFh

f

(f)f

e

e

Q(g)f

(f)f

e

e

heh

g

h

g

XZOYWYH（2）铅垂面（3）侧垂面反映、角的真实角度;VHWOXYZi

i

l

j

i

XZOYWYHLKIJj

jk(l)(k)R

RW

(l)i

(k)j

i

l

j

K

ijklRWefgh--直线;efgh和efgh--类似形。反映、角的真实角度;ijkl--直线;ijkl和ijkl--类似形。QHQH下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－3平面的投影投影面垂直面的投影特性1)在与其垂直的投影面上的投影积聚为直线，其与相邻投影轴的夹角反映平面对另两投影面的真实倾角；2)另两投影为面积缩小的类似形。下页章目录上页结束VHWOXYZaa

(b)bcdb

c

d

ADCBd

(c)

Pa

画法几何及机械制图点直线和平面的投影a(d)(c)b

a(b)d(c)PWPH§2－3平面的投影2.投影面平行面（1）正平面XZOYWYHVHWOXYZa

b

a(b)a(d)ADCBd

Pd(c)(c)b

PHPWa

b

d

c

投影特性：abcd显示平面的实形;abcd和abcd积聚为直线；abcd∥OX轴、abcd∥OZ轴。下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－3平面的投影（2）水平面（3）侧平面efgh--实形;efgh和efgh--直线，分别平行于OX、OYW轴ijkl--实形;ijkl和ijkl--直线，分别平行于OZ、OYH轴VHWOXYZXZOYWYHGHEFff

f

(e)QV(g)g

(h)egh(h)e

Qefghf

(e)g

(h)e

(h)f

(g)QVVHWOXYZi

(i)l

j

XZOYWYHLKIJi(j)l

k

RHR(j)k

(k)li

j

k

l

(i)l

(j)k

i(j)(k)lRH下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－3平面的投影VHWOXYZa

b

a(b)a(d)ADCBd

Pd(c)(c)b

投影面平行面的投影特性1)在与其平行的投影面上的投影反映平面的实形；2)另两个投影积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。3.投影面倾斜面1)三个投影均为面积缩小的类似形；2)投影不反映平面的真实形状和倾角。VHWOXYZa

b

aACBc

bca

c

b

下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影ABC为_______面SAC为_______面SAB为_______面SBC为_______面§2－3平面的投影例1判断三棱锥各表面的位置水平面侧垂面倾斜面倾斜面下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影§2－3平面的投影例2过点A作铅垂面，使

＝30°例3过直线AB作正垂面b

c

aa

XObc30°XOa

b

abc

c还能作哪些位置的平面？下页章目录上页结束画法几何及机械制图点直线和平面的投影f

fee

XOa

b

abc

cP1.直线通过平面上两个点；§2－3平面的投影三