2023届高考数学二轮复习 10 解析几何1 二级结论讲练 学案

专题10解析几何1

二级结论1：焦点三角形的面积公式

【结论阐述】1.椭圆中焦点三角形面积公式

在椭圆靛+记―1(a>b>O')中，6,工分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，ΛFiPF2=θ,∖PFiF2

11n

的面积记为SMf；&，贝∣J:①阴曰中=dy∕;②SAm=耳∣PK∣∣∣P引sin。；③S""?=〃tan,,其

θ=ZF1PF2,

22

在双曲线「-斗=1（α>O,b>0）中，Fl,F,分别为左、右焦点，尸为双曲线上一点，ZF1PF2=θ,

ab

]1Sɪɪ

APF、B的面积记为SAm,则：①SMFM=5由ElyJ=彻,I;②SA呷小i"；MKISin，；③AMLtanθ-

2

注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余

弦定理，基本不等式等综合应用.

【应用场景】

【典例指引1】

（2022・湖北・天门教育科学研究院高二期末）

1.已知《、既是椭圆。：三+上=1的两个焦点，P是椭圆上一点，NKP6=60,则耳巴的面积

43

是（）

4I-

A.B.2C.-√3D.√3

【答案】D

【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得ImI忖身的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.

【详解】由椭圆C：¥■+*=1的方程可得方=4,b2=3,C=I,贝IJlP周+∣P用=2a=4,

43

因为N"居=60°,则IP用2十|Pg「一2|对HP用cos60=旧用?，

即（附∣+I%∣f-3∣叫∙∣"I=内用2,即16-3IP耳HPgI=4,解得|尸耳∣∙∣P用=4,

因此，S"内=」归用IP用sin60=1×4×-=√3.

故选：D.

【典例指引2]

（2022•安徽亳州一中高二月考）

22

2.已知双曲线S-点∙=l（α>0力>0）,过原点的直线与双曲线交于A,B两点，以线段4B为直径的

圆恰好过双曲线的右焦点尸，若aABF的面积为2片,则双曲线的离心率为（）

A.√2B.√3C.2D.√5

【答案】B

【分析】设双曲线的左焦点为尸，连接A尸'，BF',由题意可得AF_LM,设IA用="?,∖BF∖^n,

根据对称性可得IAUI=〃，∖BF'∖^m,根据双曲线的定义可得〃-帆=2α,n2+m2^4c2,

2

SABF=-mn=2a,整理可得关于。，的齐次方程，再由离心率公式即可求解.

【详解】解：设双曲线的左焦点为F',连接AF',BF',

因为以A8为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F（Go）,

所以AF_LB尸，圆心为。（0,0）,半径为，

根据双曲线的对称性可得四边形AEB尸'是矩形，设IAFl=机，∖BF∖=n,

n-m-fIa

222

则<∕/+nr=4c,由（〃-∕%y=>+-2mn可得4/-Sa=4a,

1ɔ，

—tnn=2a~

12

所以d=3∕,所以e2=∙4=3,所以e=√L

a~

故选：B.

【针对训练】

（2022•吉林吉林・高三期末）

22

3.已知P是椭圆「+左=1但>6>°）上一动点，6，工是椭圆的左、右焦点，当4"=。时，

S.空=46;当线段PK的中点落到y轴上时，tan/耳尸工=§，则点P运动过程中，国+西的

取值范围是（）

-121（82一

123j<153」

「18、Γl2}

C.D.二,彳

\_215J\_23）

【答案】A

2211

【分析】设∣W∣=%∣PR∣=〃.先由题意求出椭圆标准方程为.^+5=1.把国+国转化为

118

∖PF∖∖+\PF]=^iτm'由"+”=8求出12≤W"≤16'即可求得.

【详解】τ^∖PFi∖=m,∖PF2∖=n.

在△耳P心中，当NEPE=AH寸，由椭圆的定义，余弦定理得：

m+n=2aC2

πAlj

（22。∕π\2整理得：mtl=--

m+n-2mncos-=[2c）3

由三角形的面积公式得：S&FPF=1〃?〃Sin工="0=4—，解得：Z?2=12.

△*233

因为线段P片的中点落到y轴上，又。为KK的中点，所以P∕"∕y轴，即

由tan"”=；得耦J,解得：∣^2∣=y.所以尸（堂

代入椭圆标准方程得：⅞<=.∙

22

又有"二〃2一,2=12,解得：/=16,θ2=4,所以椭圆标准方程为：—+ɪ=1.

1612

所以m+〃=8.

因为α-c≤"2≤α+c,所以2≤m≤6.

11_1∖m-∖-n_8

所以西+网=7+7=蔡T=嬴.

因为力优=机(8—m)=一>+8〃?=—(/%—4)~+16,

当2<相<6时，12≤/切7≤16,

118「12一

所以西+西=嬴七外

故选：A.

【点睛】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：

①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；

②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.

(2022•天津和平•高二期末)

4.双曲线W-[=l的两个焦点分别是片,心，点尸是双曲线上一点且满足NKPK=60，则△耳Pg的

169

面积为()

A.25√3B.16√3C.9月D.3√3

【答案】C

【分析】设|明|=，"，归闾=〃，可得WiI=2"=2,AξP8中再利用余弦定理可得∕≡=36,由面

积公式即可求得答案.

【详解】⅛-⅞=l,所以α=4,6=3,c=5,

169

P在双曲线上，设归四=%,归闾=〃，

.∙.∣∕Π-Λ∣≈2α=8①，

由NGP居=6(),在△耳P用中由余弦定理可得：

∖FtF2f=∖PFif+∖PF2f-2∣Pξ∣∣P^∣cos60,

22

⅛100=m+??-Im=(Jn-n)~+tnn®9

由①②可得∕τιn=36,

.∙.直角△耳桃的面积S或=3俨耳HPEkinNKPE=；相〃∙Sin60=9√3.

故选：C.

（2022•江西鹰潭•高二期末）

5.椭圆C：：+5=1的焦点为片，F2,点尸在椭圆上，若IP用=8,则4/VM的面积为（）

A.48B.40C.28D.24

【答案】D

【分析】根据给定条件结合椭圆定义求出IPKI,再判断鸟形状计算作答.

【详解】椭圆C工+f=1的半焦距c=5,长半轴长α=7,由椭圆定义得IPgl=2αTPKI=6,

4924

而I4入1=10,且IKEF=I/F+∣p居『，则有鸟是直角三角形，S郎弓=：|P∕"∙∣P居=24,

所以aPf;E的面积为24.

故选：D

（2022.安徽亳州第一中学高二期末）

6.设月,6是椭圆[+（=I的两个焦点，尸是椭圆上一点，且es/月桃=g.则APKg的面积为

（）

A.6B.6√2C.8D.8√2

【答案】B

【分析】利用椭圆的几何性质,得到I尸4+IpEl=2α=4&，巧图=2c=4g,进而利用CosZFiPF2=ɪ

得出IPKHPE|=18,进而可求出SPF1F2

【详解】解：由椭圆工+片=1的方程可得42=24,U=12,

1224

所以<?=6-6?=12,得a=2娓,c=

S.∖PFl∖+∖PF2∖=2a=4y[6,怩闾=2c=4√5,

在APKg中，由余弦定理可得

户P户」PKi2+1P8/T耳段2_（lWl+1Pg1>—2IPGlPgH6名产

2∖PFl∖∖PF2∖2∖PF^PF2∖

_4q2-4c2-2∣P6∣∣Pg∣_4/-2|呷26|=4χl2-2∣WIlPKl

2∣WIIPEI-2∖PFi∖∖PF2∖2∖PFi∖∖PF2∖

]{↑iCosZFlPF2=^,所以，∣P耳HP闾=18,

又因为，cos/耳尸片=：,所以SinNKPE=手，

11ɔ/ɔ

所以，SPFtF2=-∣P^∣∣P∕ζ∣∙sinZ^P7ς=-×l8×-^-=6√2

故选：B

（2022・甘肃・永昌县第一高级中学高二期末）

2_

7.椭圆工+产=1的左右焦点为K、鸟，尸为椭圆上的一点，NF∖PF,=j则4PFf的面积为（）

4'3

/7

A.IB.√3C.—D.2

3

【答案】C

【分析】由椭圆方程可得|「制+归q=4,结合余弦定理求得∣P∕讣IP图=；最后根据三角形面积公

式求△P”鸟的面积.

【详解】∙.∙点尸是椭圆三+V=I上的一点，1、6是焦点，

4

.∙.∖PFl∖+∖PF2∖=4,即（归用+|ρ用）2=16①，

；在APEE中N与Pg=

.∙.∣wf+∣”--2∣W∣∙∣P&CoSm=（2&『=12②，

①一②得：∖PFl∖.∖PF2∖^,一鸣=JM.|尸周呜=；XgX曰=当

故选：C.

（2022.北京第五十七中学高二月考）

8.已知椭圆C：1+[=1，Fi）8分别为它的左右焦点，A,8分别为它的左右顶点，点尸是椭

圆上的一个动点，下列结论中错误的是（）

4

A.离心率c=1B.△耳P行的周长为18

C.直线R4与直线尸8斜率乘积为定值总D.若/月P入=90°,则△怔的面积为8

【答案】D

【分析】根据离心率的定义可判断A：利用椭圆的定义可判断B；求出⑥“•即8可判断C；利用勾股

定理以及椭圆的定义求出IpElIPEl可判断D.

22_________

【详解】由+=可得a=5,b=3,c=∖∣c^-b?=4，

c4

A,离心率e=—=—,故A正确；

a5

B,△片P鸟的周长为IP制+∣P闾+忻川=2α+2c=18,故B正确.

9J”

C,设P（Xo，儿），,,%=短I25人9,故C正确；

papb

x0+5x0-5√-25√-2525

2

D,ZFtPF2=9O°,.∙.∖PFl∖+∖PF2^=∖FlF2^=64,

又因为∣PK∣+∣Pg∣=2α=10,所以（Iwl+1尸图）2=100,

即尸周尸欧+尸周忸周解得用=

.∙J2+|2|=Io0,IPGP18,

所以SM隼=Jp用IP图=9,故D错误.

故选：D

（2022•黑龙江♦大庆中学高二期末）

22

9.已知片，心分别为椭圆C:'+春∙=l（4>%>0）的左右焦点，。为坐标原点，椭圆上存在一点P,

使得2∣OP∣=∣4闾，设△耳桃的面积为，若S=（IP耳尸&Y,则该椭圆的离心率为（）

A.-B.ɪC.—D.也

3223

【答案】D

21

【分析】由2∣oH=年用可得△尸耳鸟为直角三角形，故S=（IP用TP用）-=Jp用归段，且

∖PFlf+∖PF2f=∖FtF2f,结合IP用+∣P用=24,联立可得c?=孚，即得解

【详解】由题意2|oH=田闾，故△?/=；鸟为直角三角形，

∙∙∙s=（∣wk∣p局）2=J∣WllP周，

又（「修-俨用）2=（|3|+归周）2-4|尸制|「周=3对疗用，|尸胤+归段=24

•••1明附1=9

又△?/谯为直角三角形，故归用2+归闾2=恒闾2,

2i

.∙.（∖PFl∖+∖PF2∖）-2∖PFl∖∖PF2∖=∖FlF2∖,

g|J4«2--=4C2.∙.c2=—,

99

cʌ/ʒ

.∖e=-=——.

a3

(2022.山西运城.高二期末)

10.已知点耳、鸟是双曲线W-I=I(α>0,6>0)的左、右焦点，以线段6苞为直径的圆与双曲线在第一

a~h-

象限的交点为P,若附∣=3M,则()

A.|尸制与双曲线的实轴长相等

B.^的面积为

C.双曲线的离心率为I

D.直线3x+2y=O是双曲线的一条渐近线

【答案】B

【分析】由题意及双曲线的定义可得IP币，I尸8I的值，进而可得A不正确，计算SW可判断B正

确，再求出。，的关系可得C不正确，求出。，b的关系，进而求出渐近线的方程，可得D不正确.

【详解】因为∣P"I=3∣P鸟|,又由题意及双曲线的定义可得：IPGITPKl=2”，

贝”P6∣=”,∣P∕>∣=3α≠2α,所以A不正确；

因为P在以耳鸟为直径的圆上，所以PGJ

所以S女=g∣M∣∣%∣=J∙3α∙α=q/,所以B正确;

,2222

22

在Rr△P"K中，由勾股定理可得I月用F=IP耳2+1PF21=IOtI,

gp4c2=10«2,所以离心率e=£=如，

a2

所以C不正确；

由C的分析可知：4C∙2=10/,故从=C~=∣∕,所以渐近线的方程为y=±'x=±与，

即G龙士JΣy=O,所以D不正确；

故选：B.

（2022.内蒙古赤峰.高三期末）

11.已知双曲线£=1的两个焦点为耳，F2,P为双曲线上一点，PF2IFtF2,△尸耳心的内切圆

916

的圆心为/,则|出=（）

A及B.甄U也D.叵

3322

【答案】A

【分析】根据题意得/'（5,野∣P周=?归国=10,阀I=昔，进而在△尸斗心中，利用等面积法

得心的内切圆的半径z∙=2,再设心的内切圆与边Pg相切于点”，进而在中结合

勾股定理求解即可.

【详解】解：因为双曲线二-2=1的两个焦点为「，居，户为双曲线上一点，PF^F,F2,

916

所以N吟）归周号,内用=1（），

因为四-M=2a=6,所以用=6+|明=”，

设aPKE的内切圆的半径为，

则S好=NlP用+∣"∣+忻段）r=g∣K用IP周，即日―巾修，解得z∙=2,

如图，设耳片的内切圆与边尸用相切于点”，则|出|=2,闾=2,

（2022・广东・执信中学高三月考）

12.已知双曲线C的离心率为E是C的两个焦点，P为C上一点，IPEl=3∣p用，若△尸/例的

面积为亚，则双曲线C的实轴长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据双曲线的定义，在△尸与鸟中，运用余弦定理，并结合IP用=3∣P用和鸟的面积建

立方程，解出方程即可

【详解】根据双曲线的定义，可得：∣P周TP闾=2α

又：∖PFl∖=3∖PF2∖

解得：∣"∣=34,仍用=。

双曲线C的离心率为则有：C=吗

c。SNFPF一⅛⅜⅛Lɪ

在△?/=；6中,由余弦定理，可得:KL2附-

3

则有：SinNKPE=半

2

△W心的面积为0,可得：^∖PF,∖∖PF2∖sinZFtPF2=√2α=√2

解得：a=∖

故双曲线C的实轴长为：2

故选：B

（2022•广西玉林•模拟预测）

13.已知双曲线C:1-£=l的左，右焦点为耳,鸟，尸为双曲线右支上的一点，NP耳舄=30。，/是

2

△尸耳鸟的内心，则下列结论错误的是（）

A.耳鸟是直角三角形B.点/的横坐标为1

C.∣P∕∣=2√3-2D.4鸟的内切圆的面积为万

【答案】D

【分析】由双曲线的定义得，I附HP周=2,1耳片=26,设IP闾=x,IPKI=X+2,由余弦定理可求

解x=2,即可判断出F鸟，耳鸟，再由等面积法计算内接圆的半径，即可得点/的坐标和面积，写出

点尸坐标，利用距离公式可求解出∣P∕I.

【详解】由已知可得，|尸耳HP闾=2,闺段=26,设IPq=X,IPN=X+2,则

CoSNP耳6=号号号=乎，得x=2,所以附∣=2,1M=4,即附『+|质HP用2,所以

”_LK5，所以A正确；设内接圆半径为，则;∙(∣P用+1明+1枢∣)"=g∙∣P用MEl，得r=6-l,

所以/的坐标为(1,6-1)，面积为S=k(√5-l)2=(4-2百%所以B正确，D错误；由题意P(62),

IPlI=7(>^-1)2+(3-√3)2=2(√3-1).所以C正确；

故选：D.

二级结论2：圆锥曲线的切线问题

【结论阐述】

22

1.过圆C：(x-a)+(y-b)2=K上一点P(x0,y0)的切线方程为(⅞-a)(x-a)+(y0-h)(y-h)=R.

2.过椭圆1+£=1上一点P(x°,%)的切线方程为誓+萼=1.

ab~ab^

3.已知点Mo⅛,%),抛物线C：)2=2/Zr(PHO)和直线：为y=P(X+x1)).

(1)当点M(Xo，%)在抛物线C上时，直线与抛物线C相切，其中M为切点，为切线.

(2)当点M(X0,%)在抛物线C外时，直线与抛物线C相交，其中两交点与点M的连线分别是抛物线

的切线，即直线为切点弦所在的直线.

(3)当点M(Xo,%)在抛物线C内时，直线与抛物线C相离.

【应用场景】圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的

距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据Δ=0来求解；比如涉及到椭圆的切

线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据△=()来求解；对于抛物线的切线问题，可以联立，有时

也可以通过求导来求解.也可以运用上述结论快速得出切线方程.

【典例指引1】

14.过点尸(2,2)作抛物线V=2χ的切线，切线在y轴上的截距为一.

【答案】1

【分析】设出切线方程，与抛物线联立，利用A=O求得％=ɪ,即可得出所求.

【详解】设切线斜率为上，则切线方程y-2=k(x-2),

联立方程七2：MA=2)可得62—2)-必+4=0,

[y=2x

则A=4-4%("+4)=0,解得A=g,

即切线方程为y-2=*x-2),

取X=0,得y=L

切线在y轴上的截距为1.

故答案为：1.

【典例指引2]

(2022・安徽•六安一中高二期末)

22

15.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为=+5=l(4>b>0),则椭圆在其上一点A(XO,%)处

ab~

的切线方程为学+等=1,试运用该性质解决以下问题；椭圆G：[+V=1，点B为G在第一象

限中的任意一点，过2作G的切线/，/分别与X轴和y轴的正半轴交于c,。两点，则OCD面积的

最小值为()

A.1B.√3C.√2D.2

【答案】C

【解析】设Ba,y),(x∣>0,y>0),根据题意，求得过点8的切线/的方程，即可求得C、。坐标，

代入面积公式，即可求得08面积S的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.

【详解】设8(芭，乂)，(内>0/>0),由题意得，过点B的切线/的方程为：^+yly=l,

21

令y=0,可得C(—,0),令X=0,可得。(0,1),

ɪiM

01211

所以OeD面积S=不x—x-=,

又点B在椭圆上，所以子+短=1,

所以S=-I-=Z^=J*2区∙X=B

XBXIyl2y∣x1∖2ylX1

当且仅当2=M,即%=1,%=变时等号成立，

Zylχι2

所以OCD面积的最小值为√L

故选：C

【点睛】解题的关键是根据题意，直接写出过点B的切线方程，进而求得面积S的表达式，再利用基

本不等式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.

【针对训练】

16.已知过圆锥曲线片+炉=1上一点P(X”为)的切线方程为更+结=L过椭圆江+片=1上的点

mnmn124

4(3,-1)作椭圆的切线，则过A点且与直线垂直的直线方程为()

A.x-j-3=0B.x+y-2=0

C.2x+3y-3=0D.3x-y-10=0

【答案】B

【解析】根据题中所给的结论，求出过A(3,-l)的切线方程，进而可以求出切线的斜率，利用互相垂

直的直线之间斜率的关系求出过A点且与直线垂直的直线的斜率，最后求出直线方程.

【详解】过椭圆片+t=1上的点4(3,-1)的切线的方程为包+上»=[,即χ-y-4=0,切线的斜

率为.与直线垂直的直线的斜率为-1,过A点且与直线垂直的直线方程为y+1=-(x-3),即

x÷y-2=0.

故选：B

【点睛】本题考查了求过点与已知直线垂直的直线方程，考查了数学阅读能力，属于基础题.

17.过圆/+上一定点P(X的圆的切线方程为不χ+y,y=r2此结论可推广到圆锥曲线上

过椭圆会+^=1上的点A(3,T)作椭圆的切线•则过A点且与直线垂直的直线方程为()

A.x+y-2=0*iB.x-y-3=0

C.2x+3y-3=0D.3x-γ-10=0

【答案】A

【解析】根据类比推理，可得直线的方程，然后根据垂直关系，可得所求直线方程.

【详解】过椭圆专+]∙=1上的点A(3,-l)的

切线的方程为募+?=1,

即χ-y-4=0,切线的斜率为，

与直线垂直的直线的斜率为-1,

过A点且与直线垂直的

直线方程为y+ι=-(L3),

即x+y-2=0.

故选：A

【点睛】本题考查类比推理以及直线的垂直关系，属中档题.

(2022•新疆♦乌苏市第一中学高二月考)

18.已知点P(X,y)是椭圆片+[=1上任意一点，则点尸到直线:y=χ+5的最大距离为()

A.5国乒B.5垃一辰c.5√2+^6D.5√2-√26

22

【答案】A

【分析】求出椭圆与直线平行的切线，它们与的距离一个最大值一个是最小值.

2

-V,√1

【详解】设直线y=x+m与椭圆相切，由，94得13χ2+i8,nx+9"-36=0,

y=x+m

.*.Δ=(18m)2—4×13(9∕W2—36)=0,tn=±VΓ3>

切线方程为y=x+g和y=x-√i5,与距离较规远的是y=x—屈，

所求最大距离为d==5√∑+疡.

√22

故选：A.

【点睛】本题考查椭圆上的点到直线距离的最值，解题方法是转化为平行直线与椭圆相切，求出两平

行线间的距离即可.

(2022∙广东佛山•模拟预测)

22

19.过双曲线C=]-*∙=l(α>0,6>0)上一点尸作双曲线C的切线，若直线OP与直线的斜率均存在,

2

且斜率之积为二，则双曲线C的离心率为()

A叵B.叵C.叵D.叵

5355

【答案】C

【分析】设P(%,%),则可得切线为华-答=1,从而可求出直线的斜率左="，再由题意可得

aba~y0

卒・九=之则得与=2,进而可求出双曲线的离心率

«y0⅞ɔa5

【详解】设p(∙⅝,%),由于双曲线C在点P(%%)处的切线方程为今-繁=ι,故切线的斜率

k=胃;因为—|，则篙缁=|，哈9即双曲线C的离心率-R=亭,

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的方程与性质，考查考生直观想象、数学运算的核心素养，解

题的关键是求出双曲线C在点尸(跖,%)处的切线方程为华-簪=1,则有切线的斜率k=",再

abay0

结题意可得答案，属于中档题

20.若直线N=丘+2与曲线X=曲石交于不同的两点，那么左的取值范围是

A.J叵,叵)B.(0,—)C.J叵,0)D.(-ɔʌɪ,-l)

33333

【答案】D

【详解】由直线V=履+2与曲线/-丁=6相切得

X2-(fcv+2)2=6,Δ=16⅛2-4(l-fc2)(-10)=0=>⅛=±^

由图知,&的取值范围是(-姮,7),选D.

3

(2022•山西临汾•一模)

21.过点尸(LT)作抛物线C:f=2y的两条切线，切点分别为M,N.若。为PMN的重心，则点。的

坐标为()

A.(1,1)B.(0,0)D.(2,2)

【答案】A

【分析】根据题意，设M,根据导数的几何意义，求出切线PM和PN的方程,

ɪ_xl+X2

x+X=2

联立方程可得，根据P(l,-1),可得l2再根据重心坐标公式，即可求出结果.

xlx2=-2

2

【详解】由题意，设,N∖x2,

又抛物线C:Y=2y,所以y=gχ2,所以y'=χ

所以切线PM的方程为>-立=玉(尤-xj,

；

BPy=xlx-^-

同理切线PN的方程y=X4-今；

1

不_X1+X2

x^2

联立PΛ∕,PN的方程，,,，解得<

尸竽

L

西+尤21

X=------=1x+x=2

又P(l,-1),所以`，所以l2

xx=-2

y——Ii2

•2

又。为.PMN的重心，所以。的横坐标为*+,+∣=1,

22

X1X2XXX2

纵坐标为ɪɪɪɪɪɪzx2+√+XΛ_(^+x)2-XX_4-(_2)_

112_212__ɪ

3666

所以点。的坐标为(1,1).

故选：A.

(2022・甘肃・金昌市教育科学研究所高三月考)

22.倾斜角为135。的直线与抛物线V=8x相切,分别与X轴、y轴交于A、B两点，过A,8两点的

最小圆截抛物线V=8x的准线所得的弦长为()

A.4B.2C.20D.√2

【答案】B

【分析】由题可求直线Ly=-x-2,进而可得圆的方程为(x+iy+(y+l)2=2,再利用弦长公式即求.

【详解】由题可设直线的方程/：y=-x+f,

y=-X+/ʌ

由√=8Λ--得f。,

ΛΔ=82-4×(-8f)=O,解得,=-2,

令y=0,得x=-2,令y=0,得x=-2,即A(-2,0),8(0,-2),

•••过A,B两点的最小圆即以AB为直径的圆，其圆心为(T,T),半径为正，方程为

(x+l)2+(y+l)2=2,

又抛物线y2=8x的准线为x=-2,

过A,B两点的最小圆截抛物线V=8χ的准线所得的弦长为2,2-(-1)2=2

故选：B.

23.设抛物线尤2=2py(P>0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A,

B,A,B,M的横坐标分别为XQXB，XM贝IJ()

A.XΛ+XU=2XMB.×a.Xβ=×l

112

C.—+—=—D.以上都不对

λAABΛM

【答案】A

【分析】利用导数求出切线斜率，写出切线方程，消去y,联立方程组即可得解.

【详解】由炉=2p),得y=在，得了=土，

2pP

VX

所以直线的方程为，+2P=?(X-XM),直线的方程为y+2p=-^∙(x-X"),

V2YY2Y

所以，—jl-+2p=-(X-X)(T),-s-+2p=-(X-X)(2)

2PPAw2PPβw

由①、②得2XΛJ=X"+X,,.

故选：A

(2022•河南•高三月考)

24.已知抛物线C：Y=2Py(O<p<6)的焦点为尸，P为C上一点，点A(3,0),B(l,-2),设/AfiP取

最小值和最大值时对应的点分别为4，6,且曲.丽=0,则。=()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】如图所示，8《与抛物线相切时，NABl最小，BE与抛物线相切时，NABg最大.设切点为

(玉”；婕)，切线的斜率为LX°,由切线方程得到与2-2%-4p=(),即得到韦达定理，设

2pP

'(*'/**E(X*/七2)，化简BPi-BP,=O代入韦达定理得解.

【详解】解：如图所示，与抛物线相切时，乙48片最小，与抛物线相切时，NABg最大.

由χ2=2Py(O<p<6)得y=//,所以y'=£x.

1,1

设切点为(%,丁X)),切线的斜率为一X。，

2ptP

所以切线方程为='Xo(X-X0),

2pP

因为切线过点8(1,-2),所以-2-∕xj=qx0(l-X°),即x°2-2x°-4p=0.

因为有两个切点，所以A=4+16p>0,

1,1,

设6(内，丁玉),P,(x^-x)，则有X1+X,=2,X∣∙X,=-4p,

2p2p2

→1→1

22

B/]=(X,-1,—X,+2),B∕>=(Λ1-1,—X,+2),

2p2p

所以曲・丽=α-1)(%-1)+(1X；+2)(-5-X,2+2)=0,

2〃Zp

所以F/-(x∣+X)+ɪ+~7(XIX9)2H(ʃ12+∙¾2)+4=0,

24p-P

yf弋入韦达定理得4p2—15〃_4=。,.二〃=_：或〃=4.

4

因为。<p<6,所以p=4.

故选：A

二级结论3：圆锥曲线的中点弦问题

【结论阐述】

2-5

1.在椭圆C:二+与=1(。>6>0)中(特别提醒此题结论适用焦点在X轴上椭圆)：

a-⅛

(I)如图①所示，若直线y=依(Z≠0)与椭圆C交于A,B两点，过A,B两点作椭圆的切线，，有

//,设其斜率为即,则耕=-∙⅛.

a

(2)如图②所示，若直线y=h(kwθ)与椭圆C交于A,B两点,P为椭圆上异于A,8的点，若直

b2

线R4,PB的斜率存在，且分别为匕，包，则他=-勺.

a

(3)如图③所示，若直线y=H+伙A≠0,^x0)与椭圆C交于4,B两点，P为弦AB的中点，设直线

PO的斜率为幻，则端:=-4■.

图①图②图③

r22∣2

2.在双曲线C：=-[=l（α>O∕>O）中，类比上述结论有（特别提醒此题结论）：（1）%k=[；

a-b-a

b2b?

（2）klk2=-;（3）k0k=∖.

aa

3.在抛物线C：y2=2px（p>0）中类比1（3）的结论有忆='。。^。）.

%

【应用场景】以上关于椭圆（双曲线）的结论适用于焦点在X轴上椭圆（双曲线）.圆锥曲线的中点弦

问题常用点差法，但是注意使用点差法后要检验答案是否符合题意；另外也可以通过联立+韦达定理

求解.

【典例指引1】

（2022•内蒙古•海拉尔二中高三期末）

25.设椭圆的方程为5+1=1,斜率为k的直线不经过原点O,而且与椭圆相交于A,8两点，M为

线段48的中点，下列结论正确的是（）

A.直线AB与0例垂直；

B.若直线方程为y=2x+2,则=

C.若直线方程为y=x+l,则点M坐标为（罟）

D.若点M坐标为（1,1）,则直线方程为2x+y-3=0；

【答案】D

【分析】利用椭圆中中点弦问题的处理方法，结合弦长的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可

判断和选择.

【详解】不妨设A,B坐标为（XQJ,（孙％），贝IJ会+,=1，号+,=，两式作差可得：

7TT×7≡Γ=^2）设M（X。，％），则心χ*=-2.

人II√vɔ人I人ɔ人n

对A：kABxkOM=⅛×A=-2,故直线A8,OM不垂直，则A错误；

⅞

对B：若直线方程为y=2x+2,联立椭圆方程2f+∕=4,

42

可得：6X2+8X=0,解得石=。，+=_§,故X=2,%=-

则IM=居+《=竽,故B错误；

对C：若直线方程为y=x+l,故可得&xl=-2,即%=-2%,又y°=%+l,

⅞

解得X。=-；，%=1，即用（一μ），故C错误；

对D：若点M坐标为（1,1）,则卜衣=一2,则L=-2,

又AB过点（1,1）,则直线AB的方程为yT=-2（xT）,即2尤+y-3=0,故D正确.

故选：D.

【点睛】本题考察椭圆中弦长的求解，以及中点弦问题的处理方法；解决问题的关键是利用点差法,

属中档题.

【典例指引2]

（2022.安徽.淮北师大附中高二期中）

v-22

26.已知椭圆£：r+4=l（a>6>0）的右焦点厂与抛物线V=I2x的焦点重合，过点F的直线交E于

ab

A、B两点，若AB的中点坐标为（L-I）,则E的方程为（）

a+1B.—+

∙⅛⅛=36

CX—

D.——+

2718