2023届高考数学三轮复习卷：离散型随机变量的数字特征（含解析）

2023届高考数学三轮冲刺卷：离散型随机变量的数字特征

一、选择题(共20小题；)

1.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了IOoo粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒,

补种的种子数记为X,则X的数学期望为()

A.100B.200C.300D.400

2.已知随机变量f满足下列分布列，当Pe(0,1)且不断增大时()

ξ012

P(I-P)22p(l—p)p2

A.E(f)增大，Do增大

B.E(f)减小，D(f)减小

C.E(f)增大，DG)先增大后减小

D.E(f)增大，D(f)先减小后增大

3.甲、乙两自动车床生产同种标准件，X表示甲机床生产IOOO件产品中的次品数，Y表示乙机床

生产IOOO件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X,Y的分布列分别是

XOl23YOl23

P0.70.10.10.1P0.50.30.20

据此判断()

A.甲比乙质量好B.乙比甲质量好

C.甲比乙质量相同D.无法判定

4.设X是一个随机变量，若Z)(IOX)=10,则D(X)=()

A.—B.1C.10D.100

10

5.已知随机变量X满足E(I-X)=5,£)(1-X)=5,则下列说法正确的是()

A.E(X)=-5,D(X)=5B.E(X)=-4,D(X)=-4

C.E(X)=-5,D(X)=-5D.E(X)=-4,Z)(X)=5

6.如果X是离散型随机变量，E(X)=6,D(X)=O.5,X1=2X-5,那么E(XI)和D(XI)分别是

()

A.E(Xi)=12,O(XI)=IB.E(Xi)=7,D(XI)=I

C.E(X1)=12,D(XI)=2D.E(Xi)=7,D(XI)=2

7.从某班6名学生(其中男生4人，女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选

3人中女生人数为f,则均值E(f)等于()

47

A.-B.1C.-D.2

55

8.已知离散型随机变量f~B(20,0.9),若随机变量τ7=5f,则〃的数学期望ET7的值为()

A.100B.90C.18D.4.5

9.若随机变量ξ的分布列如下表所示，EG)=1.6,则Q-b=()

f0123

p0.1ab0.1

A.0.2B.-0.2C.0.8D.-0.8

10.已知随机变量X满足E(2X+3)=7,D(2X+3)=16,则下列选项正确的是()

712

A.E(X)=%D(X)=TB.F(X)=2,D(X)=4

C.E(X)=2,D(X)=8D.E(X)=:,D(X)=8

II.已知随机变量ξt满足P(&=I)=Pt,P&=O)=I-Pi,i=1,2.若0<p1<p?<之，则

()

A.E(A)<E&)，C(A)VD(A)

B∙%)<E(<),D(f1)>D(f2)

C.E(A)>E(A),D(<1)<D(f2)

D.E(G)>E(f2),D(G)>。&)

12.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个

同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,

同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得

分之和X(单位：分)的均值为()

A.0.9B.0.8C.1.2D.1.1

13.已知随机变量7?满足〃=-2f+5,若E(f)=3,OG)=2,则()

A.E(v)=-1,D(η)=8B.E(η)——1,OS)=-4

C.ES)=3,D(?j)=2D.ES)=—3,Ds)=I

14.设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记

下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相

同，每次抽取相对独立，则方差D(X)=()

23

A.2B.1C.-D.-

34

15.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹，命中后的剩余子

弹数目S的期望为()

A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4

16.某群体中每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立，设X为该群体10

位成员中使用移动支付的人数，O(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=()

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

17.某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，则再重新试验一次；若试验3次

均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为|,则此人试验次数f的数学期望是()

A.-B.-C.-D.-

3937

18.已知p>0,q>0,随机变量f的分布列如下：

WPq

PqP

若E(f)=%则p2+q2=()

19.已知随机变量f+?=8,若f〜B(Io,0.6),贝∣]E小Zh7分别是()

A.6和2.4B.2和2.4C,2和5.6D,6和5.6

20.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且

此人是否游览哪个景点互不影响，设X表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点

数之差的绝对值，则E(X)等于()

A.1.48B.0.76C.0.24D.1

二、填空题(共5小题；)

21.已知X是离散型随机变量，E(X)=6,D(X)=O.5,X1=2X-5,那么E(XI)=,

D(Xl)=.

22.中国福利彩票3D游戏(以下简称3D),是以一个3位自然数(如：0记作OOo)为投注号码

的彩票，投注者从Ooo〜999这些3位自然数中选择一个进行投注，每注2元，如果与官方公

布的三位数相同，则视为中奖，获得奖金IOoo元，反之则获得奖金0元，某人随机投了一注，

他的奖金的期望是元.

23.已知随机变量X的概率分布如下：

X0246

P0.10.32aa

那么a=,EX=.

24.设离散型随机变量f的可能取值为1,2,3,4,P(f=k)=αk+b(k=1,2,3,4),又f的数学

期望E(f)=3,则α+b=.

25.一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个

白球的概率是孑则袋中的白球个数为:若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数

为ξ,则随机变量ξ的均值EG)=.

三、解答题(共5小题；)

26.为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课

程，并对全校学生的选择意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出

唯一一门课程).本次调查结果整理成条形图如下.如图中，已知课程A,B,C,D,E为人

文类课程，课程F,G,H为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采

取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组(以下简称“组M”).

(1)在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？

(2)为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取

4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择

课程G的同学参加，费用为每人2000元.

(i)设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数，求随机变量X的分布列；

(>i)设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y的期望.

27.4B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：

4组：10,11,12,13,14,15,16

B组：12,13,15,16,17,14,a

假设所有病人的康复时间互相独立，从4,B两组随几各选1人，4组选出的人记为甲，B组选

出的人记为乙.

(1)求甲的康复时间不少于14天的概率.

(2)如果α=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率.

(3)当α为何值时，A,B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)

28.己知某种动物服用某种特药一次后当天出现A症状的概率为为了研究连续服用该药物后出现

A症状的情况，做药物试验.试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期.假设

每次用药后当天是否出现A症状与上次用药无关.

(1)如果出现A症状即停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率；

(2)如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至

多持续两个周期.设药物试验持续的用药周期数为3求〃的期望.

29.如图，某工人的住所在A处，上班的企业在。处，开车上、下班时有三条路程几乎相等的路线

可供选择：环城南路经过路口C,环城北路经过路口F,中间路线经过路口G.如果开车到8,

C,E,F,G五个路口时因遇到红灯而堵车的概率分别为；，ɪ,ɪ,ɪ,此外再无别的路口会

52436

遇到红灯.

E

（i）为了减少开车到路口时因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该选择哪条行驶路线？

（2）对于（1）中所选择的路线，求其堵车次数的方差.

30.某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门

从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测,

结果如下：

患者的检测结果人数

阳性76

阴性

非患者的检测结果

阳性

阴性

（1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；

（2）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X表

示检测结果为阳性的患者人数，利用（I）中所得概率，求X的分布列和数学期望；

（3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一

次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5?并说明理由

答案

1.B【解析】E(X)=IOOO×0.9×0+1000×0.1×2=200.

2.C【解析】由题意可知，随机变量f满足二项分布，即卓〜B(2,p),

易得E(f)=2p,D(f)=2p(l-p),

所以当0<p<l且不断增大时，EG)增大，D(f)先增大后减小.

3.A【解析】E(X)=0.1+0.2+0.3=0.6,E(Y)=0.3+0.4=0.7,

所以E(X)<E(Y),所以甲车床生产的零件次品较少.

4.A【解析】由C(IOX)=10,得D(IOX)=IOoD(X)=10,

所以D(X)=M

5.D

【解析】因为随机变量X满足E(I-X)=5,D(I-X)=5,

所以I-E(X)=5,C(X)=5,

解得E(X)=-4,D(X)=5.

6.D【解析】E(Xl)=2E(X)-5=12-5=7,D(Xl)=4D(X)=4×0,5=2.

7.B

8.B【解析】由题设离散型随机变量f~B(20,0.9),若随机变量z7=5f,

所以Ef=20X0.9=18,

因为?7=5f,

所以Eη=E(5f)=5Ef=5义18=90.

9.B【解析】因为分布列中所有概率和为1,所以α+b=0.8,

因为E(J)=1.6,

所以α+2b+0.3=1.6,a+2b=1.3,

解得α=0.3,b=0.5,a—b=—0.2.

10.B

【解析】E(2X+3)=2E(X)+3=7;D(2X+3)=4。(X)=I6.故E(X)=2,O(X)=4.

故选：B.

H.A【解析】因为随机变量S满足PG=I)=p,-,P(g=O)=Ii=l,2,∙∙∙,

o<Pι<P2<],所以2<ι—P2<1—Pi<1，

E(A)=l×Pι÷0×(l-PI)=Pi,

E(A)=1XP2+0X(1-P2)=P2，

D(G)=(I-Pι)2Pι+(0-Pι)2(l-Pi)=Pi-Pi2,

。(七)=(I-P2)2P2+(0-P2)2(l-P2)=P2-P22>

2

C(A)-O(ξ2)=Pi-Pi-(p2-P2)=(P2-PI)(Pl+Pzτ)<O,

所以E(G)<E(A),。(G)<。(&).

12.A【解析】由题意得X=0,1,2,则

P(X=O)=0.6×0.5=0.3,

P(X=1)=0.4X0.5+0.6×0.5=0.5,

P(X=2)=0.4X0.5=0.2,

所以E(X)=1×0.5+2×0.2=0.9.

13.A【解析】因为〃=-2f+5,所以Eg)=-2E(f)+5,Dm)=(-2)2D(ξ),

又E(f)=3,D(ξ)—2,所以ES)=-1,D(η)—8.

14.C

15.C

【解析】由题意知f=0,1,2,3,

因为当¢=0时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，

所以P(f=0)=0.43,

因为当f=ι时，表示前两次都没射中，第三次射中，

所以P(f=1)=0.6X0.42,

因为当f=2时，表示第一次没射中，第二次射中，

所以P(f=2)=0.6x0.4,

因为当f=3时，表示第一次射中，

所以P(f=3)=0.6,

所以Ef=2.376.

16.B【解析】某群体中每位成员使用移动支付的概率都为p,可看做是独立重复事件，该群体10

位成员的支付情况满足X〜B(10,p),

甘中(D(X)=2.4,(10p(l-P)=2.4,

4664

IP(X=4)<P(X=6)(Cj0p(l-p)<Cf0p(1-p),

解得p=0.4或0.6,且p>0.5,故p=0.6.

17.B【解析】试验次数f的可能取值为1,2,3,

P(<=l)=∣,^=2)=i×∣=∣,P(f=3)=i×i×g+i)i.

所以S的分布列为

ξ123

221

P———

399

所以EG)=IX歼2X：+3X；学

18.C

19.B

20.A

【解析】X的可能取值为1,3,X=3表示这三个景点都游览了或都没有游览，

所以P(X=3)=0.4×0.5×0.6+0.6X0.5X0.4=0.24,P(X=I)=I-0.24=0.76,

所以X的分布列为

Xl3

P0.760.24

所以E(X)=Ix0.76+3×0.24=1.48.故选A.

21.7,2

22.1

23.0.2,3.4

24.ɪ

io

3

25.5,:

2

【解析】设袋中的白球个数为X,则有

L1O9

即(10-x)(9-X)=20=5X4,

由此解得K=5.

f的所有可能取值分别为0,1,2,3,

且P("0)=£=2

∕5(f=D=⅛i=⅛

Llo必

r2,plC

P(f=2)=警号，

LlOk£.

P(S=3)=导=，

6Cfo12

因此E(f)=0×-^+l×^^^+2×-+3×--=—

121212122

26.(1)选择人文类课程的人数为(IOO+200+400+200+300)X1%=12(人)；

选择自然科学类课程的人数为(300+200+300)X1%=8(人).

(2)(i)依题意，随机变量X可取0,1,2.

P(X=O)=臂=卷，P(X=I)=警4，p(χ=2)=等=*

故随机变量X的分布列为

X012

343

P———

14714

(ii)法1：依题意，随机变量Y=2000X+1500(4-X)=6000+500X,

所以随机变量Y的数学期望为

E(Y)=6000+500E(X)

=6000+500(0×ɪ+1×+2×ɪ)

=6500.

(ii)法2：依题意，随机变量Y可取6000,6500,7000.

所以随机变量y的分布列为

Y600065007000

343

PU7U

所以随机变量y的数学期望为

•24?

E(Y)=6000X二+6500X±+7000×ɪ

'/14714

6500.

27.(1)设“甲康复的时间不少于14天”为事件4.

由“从A,B两组随机地各选1人”，可认为基本事件数为7X7=49,其中满足“甲康复的时间不少于

14天”的基本事件数为3x7=21,所以P(A)=洛=?.

7X77

(2)设事件4为“甲是A组第i个人”,事件Bi为“乙是B组第i个人"，i=1,2,-,7.

由题知，当甲是从4组中康复时间为10,11两人中选或乙是从B组中康复时间为17,25两人中选时,

必不满足“甲的康复时间比乙的康复时间长故甲是从A组中康复时间为12,13,14,15,16五人

中选取，且乙是从B组中康复时间为12,13,14,15,16五人中选取，

可认为基本事件数为5×5=25,其中满足“甲的康复时间比乙的康复时间长”的基本事件数为10.

设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，因此P(C)=^×∣×g=g.

(3)α=ll或18；

28.(1)方法一：设持续i天为事件4，i=1,2,3,4.

用药持续最多一个周期为事件B,

所以P(AI)=%P(A2)=I×I=∣>P(A3)=^x(9=*P("4)=gx(0=4,

则P(B)=P(AI)+PG42)+P(4)+PG¾)=S-

Oi

方法二：设用药持续最多一个周期为事件B,则后为用药超过一个周期，

所以P⑸=(∣)4喑

所以P(B)=ITJ=出

(2)因为随机变量4可取1,2,

34

所以P(τ∣=1)=Ciɑ)ɑ)ɪ+G)=右P(J7=2)=1-≡=∣,

所以E(Jj)=IXl+2Xg=学

29.(1)设这位个人选择行驶路线：A-B-C-D,A-F-E-D,A-B-G-E-D时堵车的次

数分别为Xi,X2,X3,

则Xi，X2的可能取值均为0，1-2,

X3的可能取值为0，1，2,3.

P(XLo)=2

Γ*∕Y,«、11,411

P(Xl=∙1)=-×-÷-×-=-,

k1752522

P(x1=2)=∣×μ⅛

所以E(XI)=OXl+1x2+2x±=^∙

P(X2=0)=∣×∣=i,

P(X2=I)=JX三+2χ5=三，

P(X2=2)=ɪ×ɪ=ɪ.

所以E(X2)=Ox/lx5+2X*=

P,(x3=7o)=5-×6-×4~=2",

n∕0V、153,413.45147

p(X3=1)=-x—x—I—×~×—I—X—x—=—,

7564564564120

.,c、411,151,1131

Prt(zX∙3=2)=-x—X—I—x—X—I—X—X-=—,

756456456410

P(X=3)=LXJXJ=-ɪ-,

'337564120

所以E(X3)=0×i+l×-+2×-^-+3×-ʌ-=-

'"21201012060

综上，E(Xz)最小，

所以这位工人应该选择行驶路线A-F-E-D.

(2)由(1)知，

71

E(XZ)=WP(X2=0)=/

ς1

P(