5.1.2数据的数字特征

5.1.2数据的数字特征TOC\o"13"\h\z\u题型1平均数相关考点 4题型2众数相关考点 6题型3中位数百分位数 8题型4极差、方差、标准差 11◆类型1极差、方差、标准差的意义 11◆类型2极差、方差、标准差的计算 14◆类型3极差、方差、标准差的性质 16◆类型4极差、方差、标准差的作用 18题型5最值相关考点 23知识点一.最值1.最值的定义∶一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值。2.最值的特征∶最值反应的是这组数最极端的情况。3.最值的表示∶一般地，最大值用max表示，最小值用min表示。知识点二.平均数1.平均数的定义∶如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为x=2.平均数的特征∶平均数用来刻画一组数据的平均水平（或中心位置）。3.平均数的表示∶x=x1+x2+...+xnn=i=1nxin,其中的符号""4.性质：如果x1，x2，…，xn，的平均数为x，且a，b为常数，则ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为ax+b.注意：平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值．很多情况下，为了避免过于极端的值对结果影响太大等，会去掉最小值与最大值后再计算平均数.知识点三.中位数定义：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，则称xn+1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称xn+注意∶优点∶①不受少数几个极端数据的影响。②易计算，便于利用中间数据的信息。缺点：对极端值不敏感。知识点四.百分位数1.定义：一组数的p%（p∈（0，100））分位数指的是满足下列条件的一个数值∶至少有p%的数据不大于该值，且至少有（100p）%的数据不小于该值.直观来说，一组数的p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p%位置的数.2.步骤：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i=np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取Xi0为p%分位数；如果i是整数，取xi+xi+12为p%分位数.特别地，规定∶0分位数是x（即最小值），100%注意：(1)中位数就是一个50%分位数.(2)按照定义可知，p%分位数可能不唯一，也正因为如此，各种统计软件所得出的p%分位数可能会有差异.（3）实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数）.知识点五.频数与众数：1.频数的概念∶一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数。2.众数的概念∶一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数。注意：若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都称为众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数。注意：(1)众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有.如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数.(2)众数一定是原数据中的数，百分位数和中位数都不一定是原数据中的数.知识点六.极差、方差与标准差1.极差一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.极差反映了一组数的变化范围.不难看出，极差反映了一组数的变化范围，描述了这组数的离散程度.注意：(1)极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感.一般情况下，极差大，则数据较分散，数据的波动性大；极差小，则数据相对集中，数据的波动性小，极差的计算非常简单，但极差只考虑了两个极端值，而没有考虑中间的数据，因此很多时候，极差作为数据的离散程度的统计量，可靠性较差.(2)极差的取值范围是[0，+∞）.2.方差（1）定义∶如果x1，x2，…，xn，的平均数为x，则方差可用求和符号表示为s（2）性质∶如果a，b为常数（a=0），则ax1+b，ax2+b，...,axn+b的方差为a2s2.3.标准差（1）定义∶方差的算术平方根称为标准差.一般用s表示，即样本数据x1，x2，…，xn，的标准差为s=（2）性质∶如果a，b为常数，则ax1+b，ax2+b，...,axn+b的标准差为|a|s（3）如果一组数中，各数据值都相等，则标准差为0，表明数据没有波动，数据没有离散性;若各数的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也较大，数据的离散程度较高，因此标准差（或方差）描述了数据相对于平均数的离散程度.题型1平均数相关考点【方法总结】平均数与每一个样本数据都有关，受个别极端数据（比其他数据大很多或小很多的数据）的影响较大，因此若在数据中存在少量极端数据，平均数对总体估计的可靠性较差，这时往往用众数或中位数去估计总体，有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体.【例题1】（2022·全国·高一课时练习）一组5个数据中，前4个数据的平均数是20，全部5个数据的平均数是19，则第5个数据是______．【答案】15【分析】设5个数据为a,b,c,【详解】设5个数据为a,b,c,d,e，因为前4个数据的平均数是20，所以a+②-①得：e=15【变式11】1．（多选）（2023下·四川乐山·高一期末）下列说法中正确的是（

）A．数据1，1，2，3，4，4的众数是1，4B．数据2，3，4，5，6，7的中位数是4，5C．一组数据的中位数、众数、平均数可能是同一数D．3个数据的平均数是5，另外4个数据的平均数是4，则这7个数据的平均数是3×5+4×4【答案】ACD【分析】根据众数，中位数，平均数的定义即可判断A,B,C选项；根据平均数的计算方法即可判断D选项【详解】对于A,数据1，1，2，3，4，4的众数是1，4,故A正确；对于B，数据2，3，4，5，6，7的中位数是4+52对于C，一组数据的中位数、众数、平均数可能是同一数，比如3，3，3，3，故C正确；对于D，3个数据的平均数是5，则3个数据得和是3×5，另外4个数据的平均数是4，则4个数据得和是4×4，故这7个数据的平均数是故选：ACD.【变式11】2．（2022·广东·）已知一组数x1,x【答案】8【分析】根据给定条件利用一组数据及平均数的定义列式计算即可作答.【详解】因数据x1,x所以数据2x1,2x2故答案为：8.【变式11】3．（2021·辽宁大连·）已知一组数x1,x【答案】12【分析】根据给定条件利用一组数据平均数的定义列式计算即可作答.【详解】因数据x1,x所以数据3x1,3x2故答案为：12【变式11】4．（2022·全国·高一课时练习）一般地，若取值为x1,x【答案】x【分析】由数据集中各数据及其出现频率与数据集平均数的关系，写出平均数的表达式.【详解】由题设，该数据集的平均数x=故答案为：x题型2众数相关考点【方法总结】确定众数的关键是统计各数据出现的频数，频数最大的数据就是众数，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映数据的集中趋势.【例题2】（2023上·云南红河·高一校考开学考试）空气质量指数简称AQI，是定量描述空气质量状况的无量纲指数.某市4月30日22时至5月1日5时的空气质量指数的整点报告为70,71,69,70,72,70,68,72，这一时段整点空气质量指数的众数是（

）A．69 B．70 C．71 D．72【答案】B【分析】根据众数的定义分析判断.【详解】将数据按由小到大排序得：68,69,70,70,70,71,72,72，显然数据70出现次数最多，所以空气质量指数的众数是70.故选：B.【变式21】1．（2023下·全国·高一随堂练习）惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则（

）A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a【答案】D【分析】将平均数，中位数，众数计算出来即可得.【详解】平均数a=10+12+14+14+15+15+16+17+17+17中位数b=15+15众数c=17，故c>b>a.故选：D.【变式21】2．（2022上·高一校考单元测试）一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为（

）A．14，14 B．12，14 C．14，15.5 D．12，15.5【答案】A【分析】把给定数据按由小到大排列，再结合众数、中位数的定义求解作答.【详解】把这组数据按由小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，所以其众数为14，中位数为14.故选：A【变式21】3．（2023下·河北衡水·高一河北武强中学校考期末）七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：84,79,86,87,84,93,84，则这组分数的中位数和众数分别是（

）A．84，85 B．84，84 C．85，84 D．85，85【答案】B【分析】利用中位数和众数的定义进行判断.【详解】数据84,79,86,87,84,93,84按从小到大的顺序排一列：79,84,84,84,86,87,93,所以这组分数的中位数和众数分别是84，84，故A，C，D错误.故选：B.【变式21】4．（2022·全国·）2022年6月6日是第27个“全国爱眼日”，为普及科学用眼知识，提高群众健康水平，预防眼疾，某区残联在残疾人综合服务中心开展“全国爱眼日”有奖答题竞赛活动.已知5位评委老师按百分制（只打整数分）分别给出某参赛小队评分，可以判断出一定有评委打满分的是（

）A．平均数为98，中位数为98 B．中位数为96，众数为99C．中位数为97，极差为9 D．平均数为98，极差为6【答案】D【分析】根据平均数、中位数、众数、极差的计算公式分析选项或举出反例即可【详解】解：选项A：当打分结果为98,98,98,98,98时，满足平均数为98，中位数为98，所以A错误；选项B：当打分结果为99,99,96,95,94时，满足中位数为96，众数为99，所以B错误；选项C：当打分结果为89,97,97,97,98时，满足中位数为97，极差为9，所以C错误；选项D：假设没有评委打满分，结合极差为6可得总成绩S≤则平均数x≤故选：D.题型3中位数百分位数【方法总结】计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．【例题3】（2024上·辽宁朝阳·高一统考期末）抽样统计某位学生10次的数学成绩分别为86,84,88,86,89,89,90,87,85,92，则该学生这10次成绩的40%A．86.5 B．87.5 C．91 D．89【答案】A【分析】将该学生的10次数学成绩从小到大排列，即可求出该学生这10次成绩的40%【详解】该学生10次的数学成绩从小到大分别为84,85,86,86,87,88,89,89,90,92.又10×40%=4，这10次成绩的40%故选：A.【变式31】1．（2023上·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考阶段练习）学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分（单位：分）分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75%分位数为.【答案】8.5【分析】由平均数求出a的值，将这组数据从小到大的顺序排列，由百分位数的定义即可求解.【详解】由题意可得10+8+a+8+7+9+6+88=8，解得a=8，将这组数据按从小到大的顺序排列为6，7，8，8，8，8，9，10，因为8×75%故答案为：8.5【变式31】2．（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）高一某班举行党史知识竞赛，其中12名学生的成绩分别是：82、74、76、90、94、82、87、73、61、67、97、98，则该小组12名学生成绩的75%【答案】92【分析】利用百分位数的计算公式进行计算.【详解】从小到大排列数据为：61、67、73、74、76、82、82、87、90、94、97、98，由12×7500=9即90+942=92，所以该小组12名学生成绩的75%故答案为：92.【变式31】3.下表记录了一个家庭6月份每天在食品上面的消费金额：（单位：元）第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天第9天第10天31292632342834313434第11天第12天第13天第14天第15天第16天第17天第18天第19天第20天35262735342828303228第21天第22天第23天第24天第25天第26天第27天第28天第29天第30天32263534353028343129求该家庭6月份每天在食品上面的消费金额的5％，25％，50％，75％，95％分位数.【解析】该样本共有30个数据,所以30×5％=1.5,30×25％=7.5,30×50％=15,30×75％=22.5,30×95％=28.5将所有数据由小到大排列得：26,26,26,27,28,28,28,28,28,29,29,30,30,31,3131,32,32,32,34,34,34,34,34,34,34,35,35.从而得5个百分位数如下表：百分位数5％25％50％75％95％消费金额/元2628313435【变式31】4.（多选）（2023下·全国·高一随堂练习）已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（

）A．这10个数据中至少有8个数小于或等于31B．把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31C．把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31D．把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是31【答案】AB【分析】由百分位数的概念可判断.【详解】因为这10个数据的第75百分位数是31，由10×0.75=7.5，可知把这10个数据从小到大排列后，第8个数为31，可知，选项A，B正确，C，D错误.故选：AB.题型4极差、方差、标准差【方法总结】标准差与方差的统计意义（1）标准差（方差）的取值范围是[0，+oo）（标准差的大小不会超过极差）.（2）标准差（方差）描述了一组数据相对于平均数离散程度的大小.◆类型1极差、方差、标准差的意义【例题41】（2022上·高一单元测试）为了判断甲乙两名同学本学期几次数学考试成绩哪个较稳定，通常需要知道这两人的（

）A．平均数 B．众数 C．方差 D．频率分布【答案】C【分析】根据统计数据所表示的含义可确定结果.【详解】∵方差用来衡量数据的稳定性，方差越小，数据越稳定，∴判断两名同学哪个同学数学成绩较稳定，通常需要知道这两人的方差.故选：C.【变式41】1．（2023上·辽宁朝阳·高一统考阶段练习）下列统计量中，能更好地度量样本x1，x2，…，A．样本x1，x2，…，xn的众数 B．样本x1，C．样本x1，x2，…，xn的标准差 D．样本x1，【答案】C【分析】利用众数，中位数，标准差，平均数定义及含义分析求解.【详解】众数、中位数是反映数据的集中趋势的量；平均数是反映数据的平均水平及集中趋势的量；极差是最大值与最小值之差，能在一定程度上刻画数据的离散程度，但可能会忽略一些重要的信息，因此能更好地反映一组数据离散程度的是标准差.故选：C．【变式41】2．(多选)（2023下·湖北·高一安陆第一高中校联考期末）学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是1.9，失球个数的标准差为0.3；乙班每场比赛平均失球数是1.3，失球个数的标准差为1.2，你认为下列说法中正确的是（

）A．平均来说乙班比甲班防守技术好B．乙班比甲班防守技术更稳定C．乙班在防守中有时表现非常好，有时表现比较差D．甲班很少不失球【答案】ACD【分析】由平均数及方差的大小关系逐一判断各选项.【详解】对于A，从平均数角度考虑是对的，甲班每场比赛平均失球数大于乙班每场比赛平均失球数，故A正确；对于B，从标准差角度考虑是错的，甲失球个数的标准差小，防守技术更稳定；故B错误；对于C，乙失球个数的标准差大，防守中的表现不稳定，故C正确；对于D，从平均数和标准差角度考虑是对的，故D正确.故选：ACD.【变式41】3．（多选）（2023下·陕西宝鸡·高一宝鸡中学校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．抽样调查具有花费少、效率高的特点B．数据2，3，9，5，3，9的中位数为7，众数为3和9C．极差和标准差都能描述一组数据的离散程度D．数据a1,a2,⋅⋅⋅,a【答案】AC【分析】根据抽样调查的特点判断A，将数据从小到大排列求出中位数与众数，即可判断B，根据方差、标准差的定义判断C，根据方差的性质判断D.【详解】对于A：抽样调查相比全面调查具有花费少、效率高的特点，故A正确；对于B：数据从小到大排列为2、3、3、5、9、9，所以中位数为3+52=4，众数为3和对于C：极差和标准差都能描述一组数据的离散程度，故C正确；对于D：数据a1,a2,⋅⋅⋅,an故选：AC【变式41】4．（2022下·福建福州·高一校考期末）下列命题中是真命题的有（）A．有A，B，C三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30B．一组数据1,3,3,4,5的平均数、众数、中位数相同C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，则这两组数据中较稳定的是甲D．一组数6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的85%分位数为5【答案】D【分析】根据分层抽样的性质判断A；计算出平均数、中位数、众数判断B；计算乙的方差判断C；由百分位数的性质判断D.【详解】对于A项，B、C抽取的个体数分别为3,6，则样本容量为3+6+9=18，故A错误；对于B项，平均数为1+3+3+4+55=3.2，中位数为3，众数为对于C项，乙的平均数为5+6+9+10+55=7，方差为对于D项，将该组数据总小到大排列1,2,2,2,3,3,3,4,5,6，由10×85%故选：D◆类型2极差、方差、标准差的计算【例题42】（2023下·天津武清·高一校考阶段练习）设样本数据1，3，a，2的平均数为5，则样本的方差为（）A．5 B．27.5 C．27 D．110【答案】B【分析】由平均数以及方差的计算公式求解.【详解】由1+3+a+24=5,得a=14，则样本的方差为故选：B【变式42】1．（2023上·云南保山·高一校考开学考试）若一组数据a1，a2，a3的平均数为4，方差为3，那么数据a1+2A．4，3 B．6，3 C．3，4 D．6，5【答案】B【分析】根据平均数以及方差的性质及可求解.【详解】若一组数据a1，a2，a3的平均数为4，方差为3，那么数据a1+2故选：B【变式42】2．（2023上·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）已知一组数据9.92,9.96,9.97,9.98,10,10.02,10.03,10.04,10.08的平均数为X，方差为s2，则这组数据的平均数X=；若新增3个均为10的数据，方差记为s'2，那么s'2s2【答案】10>【分析】空1，利用平均数的计算公式即可得解；空2，再利用方差的定义判断即可.【详解】依题意，得X=因为新增的3个数据均为10，所以新的数据组的平均数不变，仍为10，则i=19因为s2=1所以s2故答案为：10；>.【变式42】3．（2023·全国·）已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一的众数是3，则这6个数的极差最大时，方差的值是__________.【答案】373##【分析】根据给定信息，分析可得6个正整数依次为1，3，3，5，6，12，再利用方差定义计算作答.【详解】因6个正整数极差最大，则最小数是1，而唯一众数是3，则3只能出现两次，若超过两次，则中位数是3，与中位数是4矛盾，因此前4个数为1，3，3，5，设另两个数为b,c(b<要使极差c-1最大，当且仅当c最大，此时，b所以这6个数的方差为：16故答案为：37【变式42】4．（2020·广西·平果二中）在某次测量中得到的A样本数据如下17，25，11，27，18，19，31，27，41，16，若，B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（

）A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数【答案】C【解析】根据样本数据的特征及计算方法分析即可.【详解】当A样本数据都减2，每个数据大小改变，则数据的中位数、众数都发生变化，设A样本数据的平均数为xA=m所以B样本数据中xi-x故选：C.【点睛】本题考查样本数据的数字特征，◆类型3极差、方差、标准差的性质【方法总结】一般地，设样本数据为x1,x2,（1）数据x1+b,x（2）数据ax1,ax（3）数据ax1+b,【例题43】（2023上·全国·高一专题练习）已知一组数x1，x2，x3，x4的平均数是x=2，方差s2=2，则数据2A．3，4 B．2，8 C．2，4 D．5，8【答案】D【分析】根据平均数和方差的性质运算求解.【详解】由题意可得：数据2x1+1，2x2+1，2x故选：D.【变式43】1．（2023下·云南玉溪·高一统考期末）若数据x1,xA．5，5 B．15，15 C．19，19 D．19，45【答案】D【分析】根据平均数的定义和方差的定义结合题意求解【详解】由题意得：1ni=1nxi=5，1n则x=s2所以3x故选：D．【变式43】2．（2023下·广西南宁·高一校联考期末）设一组数据x1,xA．3 B．5 C．9 D．13【答案】C【分析】根据方差的性质计算可得.【详解】因为一组数据x1,x所以数据3x1+2,3故选：C【变式43】3．（2023下·安徽淮南·高一淮南第三中学校考期末）已知一组数据x1,xA．6 B．10 C．18 D．22【答案】C【分析】根据一组数据都乘以同一个数以及加上一个数后新数据的方差的性质即可求得答案.【详解】由题意知数据x1则3x1+4,3故选：C【变式43】4.（多选）（2023下·福建福州·高一校联考期末）设一组样本数据x1，x2，⋅⋅⋅，xn的平均数为2，方差为0.01，则数据2x1+3，A．平均数为5 B．平均数为7 C．标准差为0.2 D．标准差为0.1【答案】BC【分析】由题意，根据平均数和方差的变化规律即可得到另一组数据的平均数和方差，进而可得标准差．【详解】已知一组样本数据x1则数据2x1+3,2方差s2=故选：BC．◆类型4极差、方差、标准差的作用【例题44】（2022上·辽宁阜新·高一校考期末）甲、乙两机床同时加工直径为100mm甲9910098100100103乙9910010299100100分别计算甲乙的众数、中位数、平均数、方差，根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．【答案】众数中位数平均数方差甲1001001007乙1001001001乙稳定【分析】根据给定的数表，利用众数、中位数、平均数、方差的定义计算即可，再比较回答.【详解】甲机床样本数据为98,99,100,100,100,103，因此众数为100，中位数为100，平均数为98+99+3×100+1036=100，方差为乙机床样本数据为99,99,100,100,100,102，因此众数为100，中位数为100，平均数为2×99+3×100+1026=100，方差为所以甲机床样本数据的众数、中位数、平均数都为100，方差为73乙机床样本数据的众数、中位数、平均数都为100，方差为1，而乙机床样本数据的方差小于甲机床样本数据的方差，所乙台机床加工零件的质量更稳定.【变式44】1．（2023下·陕西西安·高一校考阶段练习）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下（单位：分）：甲9582888193798478乙8375808090859295(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；(2)请你计算这两组数据的方差，现要从中选派一人参加操作技能比赛，从平均数、中位数和方差的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由（言之有理即可）.【答案】(1)甲的平均数为：85，甲的中位数为：83；乙的平均数为：85，乙的中位数为：84(2)选甲，理由详见解析（答案不唯一）【分析】（1）根据平均数、中位数的知识求得正确答案.（2）根据两组数据的数字特征进行说明.【详解】（1）甲的平均数为：95+82+88+81+93+79+84+788从小到大排序：78,79,81,82,84,88,93,95甲的中位数为：82+842乙的平均数为：83+75+80+80+90+85+92+958从小到大排序：75,80,80,83,85,90,92,95乙的中位数为：83+852（2）甲的方差为：95-852乙的方差为：83-852由于甲的平均数和乙的平均数相同，甲的方差比乙的方差小，所以应该选甲参加合适.【变式44】2．（2023下·云南·高一校考期末）某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩（单位：分）如下：甲组60，90，85，75，65，70，80，90，95，80乙组85，95，75，70，85，80，85，65，90，85(1)试分别计算两组数据的平均数、方差；(2)判断哪一组的成绩较稳定？【答案】(1)甲、乙的平均数，方差分别为79,119、81.5,75.25；(2)乙组的成绩比较稳定.【分析】（1）根据给定数据求甲乙的平均数、方差即可；（2）比较甲乙的方差，即可确定哪一组成绩的稳定.【详解】（1）甲的平均数x=方差s1乙的平均数y=方差s2（2）由（1）知：s1【变式44】3．（2023下·广西南宁·高一校联考期末）某旅游网考察景区酒店A，B，依据服务质量给酒店综合评分，下表是考察组给出酒店A，B的评分（满分100分），记A，B两个酒店得分的平均数分别为x和y，方差分别为s12和A（单位/分）60756580657585705570B（单位/分）75706580805080706070(1)分别求这两个酒店得分的极差和中位数；(2)求x，y，s12，(3)若要推荐A，B酒店中的一家，依据以上计算的结果分析推荐哪一家酒店，并说明理由.【答案】(1)极差均为30，中位数均为70，(2)x=70，y=70，s(3)选酒店A【分析】（1）根据极差的定义求解，对两组数从小到大排列后，根据中位数的定义求解；（2）根据平均数和方差的定义直接求解即可；（3）根据平均数和方差的性质分析即可【详解】（1）酒店A的得分从小到大排列为：55，60，65，65，70，70，75，75，80，85，酒店B的得分从小到大排列为：50，60，65，70，70，70，75，80，80，80，所以酒店A的得分的极差为85-55=30，酒店B得分的极差为80-50=30，酒店A得分的中位数为70，酒店B得分的中位数为70，（2）酒店A的得分平均数为x=方差s酒店B得分的平均数为y=方差为s（3）因为A，B两个酒店得分的平均数相同，而酒店A的得分的方差小于酒店B得分的方差，所以酒店A的得分比较稳定，所以选择酒店A.【变式44】4.（2023下·山东菏泽·高一统考期末）通过简单随机抽样，得到20户居民的月用水量数据（单位：t），这20户居民平均用水量是8t，方差是6.其中用水量最少的5户用水量为3t,5(1)求20个样本数据的17.5%和90(2)估计其它10户居民的月用水量的平均数和方差.【答案】(1)6t；(2)8t；【分析】（1）根据百分位数的定义即可求解；（2）设其它10个样本为x1，x2，x3，x4，…，x10，平均数记为x，根据平均数的计算公式即可求得i=110xi【详解】（1）20×17.5%=3.5，则17.5%分位数是第4项数据，为20×90%=18，则90%分位数是第18项和19项数据的平均数，为（2）设其它10个样本为x1，x2，x3，x4，…，x10，平均数记为x，i=110所以i=110xi=80，20户居民的月用水量数据的方差记为s12，所求10户居民的月用水量数据的方差记为s1解得i=110xi所以所求10户居民的月用水量的平均数8t题型5最值相关考点【方法总结】求解最值时需将数据排序，数据中任何值都不会超过最大值，也不会小于最小值。【例题5】（多选）（2023上·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考阶段练习）有一组数据x