第五章一元函数的导数及其应用（知识清单）高二数学（人教A版2019选择性）

选择性必修二第五章一元函数的导数及其应用知识点清单一、本章思维导图5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题知识点一平均速度与瞬时速度(1)平均速度：设物体运动的位移与时间的关系是s＝s(t)，从t0到t0＋Δt时间段内的平均速度eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（t0＋Δt）－s（t0）,Δt).(2)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．若物体运动的位移与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，平均速度eq\f(f（t0＋Δt）－f（t0）,Δt)趋近于常数，我们把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度，记为eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(f（t0＋Δt）－f（t0）,Δt).【易错点】(1)“Δt→0”读作Δt趋近于0，是指时间间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，即|Δt|要多小就有多小，其含义是可以小于任何预先给定的正数，但Δt始终不能为零．(2)Δt，Δs在变化中都趋近于0，其比值eq\f(Δs,Δt)趋近于一个确定的常数，此时该常数才称为t0时刻的瞬时速度．【解题秘籍】求平均变化率的步骤物体的运动方程为y＝f(x)，求在区间[x0，x]的平均变化率的步骤：(1)求时间的改变量Δx＝x－x0；(2)求函数值的变化量Δy＝f(x)－f(x0)；(3)求平均变化率eq\f(Δy,Δx).典例：某质点运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为()A．－4 B．－8C．6 D．－6【解析】由题得该质点从x＝1到x＝2的平均速度为eq\f(f（2）－f（1）,2－1)＝eq\f(－8＋1－（－2＋1）,1)＝－6.【答案】D【解题秘籍】求运动物体瞬时速度的步骤第一步：求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；第二步：求平均速度eq\o(v,\s\up10(－))＝eq\f(Δs,Δt)；第三步：求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于常数，即v＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δs,Δt).典例：一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．解：质点M在t＝2s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．因为质点M在t＝2附近的平均变化率为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（2＋Δt）－s（2）,Δt)＝eq\f(a（2＋Δt）2－4a,Δt)＝4a＋aΔt，所以eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝4a＝8，解得a＝2.知识点二割线斜率与切线斜率(1)割线与切线的关系如图所示，当点Pn(xn，f(xn))沿着曲线无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0Pn无限趋近于一个确定的位置．这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线．(2)割线斜率与切线斜率的关系割线P0Pn的斜率是kn＝eq\f(f（xn）－f（x0）,xn－x0)，当点Pn沿着曲线无限接近点P0时，kn无限趋近于切线P0T的斜率k0，即k0＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)(Δx＝xn－x0)．典例：求函数y＝eq\f(4,x2)在x＝2处的切线方程．【解】因为Δy＝eq\f(4,（2＋Δx）2)－eq\f(4,22)＝eq\f(4,（2＋Δx）2)－1＝－eq\f(（Δx）2＋4Δx,（2＋Δx）2)，所以eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(Δx＋4,（Δx＋2）2)，所以k＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(－Δx－4,（Δx＋2）2)＝eq\f(－4,4)＝－1.又x＝2时，y＝eq\f(4,22)＝1.所以切线方程为y－1＝－1×(x－2)，即x＋y－3＝0.【解题秘籍】求函数y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率的步骤典例：已知函数f(x)＝ax2＋b在点(1，3)处的切线的斜率为2，则eq\f(b,a)＝________．解析：因为f(x)在点(1，3)处的切线的斜率为2，又eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(a（1＋Δx）2－a,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))(aΔx＋2a)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1.又f(1)＝a＋b＝3，所以b＝2.所以eq\f(b,a)＝2.答案：25．1.2导数的概念及其几何意义知识点一函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．【易错点】(1)Δx是自变量的变化量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数值的变化量，它可以为正，可以为负，也可以等于零．(2)eq\f(Δy,Δx)的实质是函数在某一区间内函数值变化量与自变量变化量之比．【解题秘籍】求函数平均变化率的步骤(1)先计算函数值的变化量Δy＝f(x1)－f(x0)；(2)再计算自变量的变化量Δx＝x1－x0；(3)最后求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x1）－f（x0）,x1－x0).典例：求函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．解：因为f(x)＝3x2＋2，所以f(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋2.f(x0＋Δx)＝3(x0＋Δx)2＋2＝3xeq\o\al(2,0)＋6x0Δx＋3(Δx)2＋2，所以f(x0＋Δx)－f(x0)＝6x0Δx＋3(Δx)2，所以f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为eq\f(6x0Δx＋3（Δx）2,Δx)＝6x0＋3Δx.所以当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.知识点二导数的概念(1)定义：如果当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)．(2)写法：记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).【易错点】对于导数的概念，注意以下几点：(1)要想函数y＝f(x)在x＝x0处可导，必须有f(x)在x＝x0附近有定义．(2)在极限式中，Δx趋近于0且Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正、可负，但不能为0.(3)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函数值有关，与Δx无关．【解题秘籍】求函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数的步骤典例：已知f(x)＝eq\f(2,x)，且f′(m)＝－eq\f(1,2)，则m的值为________．解析：因为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（m＋Δx）－f（m）,Δx)＝eq\f(\f(2,m＋Δx)－\f(2,m),Δx)＝eq\f(－2,m（m＋Δx）)，所以f′(m)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－2,m（m＋Δx）)＝－eq\f(2,m2)，所以－eq\f(2,m2)＝－eq\f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2.答案：±2知识点三导数的几何意义(1)切线：如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线．(2)导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P0(x0，f(x0))处的切线斜率k0，即k0＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝f′(x0)．【解题秘籍】求曲线在某点处的切线方程的步骤典例：求曲线y＝x2－2x＋2在点(2，2)处的切线方程．【解】因为Δy＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx＋(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝2＋Δx，所以y′|x＝2＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))(2＋Δx)＝2.所以曲线在点(2，2)处的切线斜率为2.所以切线方程为y－2＝2(x－2)，即2x－y－2＝0.知识点四导函数(1)定义：当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．(2)写法：记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).【易错点】“函数y＝f(x)在x＝x0处的导数”是一个数值，“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数．【解题秘籍】(1)求函数的改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(2)求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)；(3)取极限，得导数y′＝f′(x)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).上述求导方法可简记为“一差、二化、三极限”．典例：已知函数f(x)＝x2－eq\f(1,2)x.求f′(x)．解：因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2x·Δx－eq\f(1,2)Δx，所以eq\f(Δy,Δx)＝2x＋Δx－eq\f(1,2).所以f′(x)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝2x－eq\f(1,2).考点利用图象理解导数的几何意义已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是()A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)B．0＜f′(2)＜f(3)－f(2)＜f′(3)C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)【解析】kAB＝eq\f(f（3）－f（2）,3－2)＝f(3)－f(2)，f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，根据图象可知0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)．【答案】C【解题秘籍】导数与函数图象升降的关系若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)＞0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)＜0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升或下降的快慢．5.2导数的运算 5.2.1基本初等函数的导数知识点一几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝x3f′(x)＝3x2f(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))知识点二基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos

xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin

xf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axln

af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)【易错点】指数函数，y′＝(ax)′＝axlna，当a＝e时，y＝ex的导数是指数函数的导数的特例；对数函数，y′＝(logax)′＝eq\f(1,xlna)，当a＝e时，y＝lnx的导数也是对数函数的导数的特例．(1)y＝coseq\f(π,6)；(2)y＝eq\f(1,x5)；(3)y＝eq\f(x2,\r(x))；(4)＝lgx；(5)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)).【解】(1)因为y＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).所以y′＝0.(2)因为y＝eq\f(1,x5)＝x－5，所以y′＝－5x－6.(3)因为y＝eq\f(x2,\r(x))＝eq\f(x2,x\s\up6(\f(1,2)))＝xeq\s\up6(\f(3,2))，所以y′＝eq\f(3,2)xeq\s\up6(\f(1,2)).(4)因为y＝lgx，所以y′＝eq\f(1,xln10).(5)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝sinx，所以y′＝cosx.【解题秘籍】运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项(1)对于简单的函数，直接套用公式；(2)对于较为复杂，不能直接套用公式的，可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再求导．典例：求下列函数的导数．考点利用导数研究曲线的切线方程典例：若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，求切点P的坐标及b的值．【解】设P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝ex0，所以ex0＝1，即x0＝0，所以点P(0，1)．由点P(0，1)在直线y＝x＋b上可知b＝1.【解题秘籍】与切线有关问题的解题策略(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．5.2.2导数的四则运算法则知识点一f(x)±g(x)的导数若函数f(x)，g(x)均为可导函数，则有两个函数的和的导数[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)两个函数的差的导数[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)【易错点】导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．典例：求下列函数的导数：(1)y＝x5－x3＋cosx；(2)y＝lgx－ex.【解】(1)y′＝(x5)′－(x3)′＋(cosx)′＝5x4－3x2－sinx.(2)y′＝(lgx－ex)′＝(lgx)′－(ex)′＝eq\f(1,xln10)－ex.【解题秘籍】由基本初等函数经加、减运算得到的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要用导数的定义去求．知识点二f(x)g(x)和eq\f(f（x）,g（x）)的导数若函数f(x)，g(x)均为可导函数，则有符号表达文字叙述[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)两个函数的商的导数，等于分子上函数的导数乘分母上的函数减去分子上的函数乘分母上函数的导数，再除以分母上函数的平方【解题秘籍】利用导数运算法则求导的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．(2)如果待求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．典例：求下列函数的导数：(1)y＝x3ex；(2)y＝x2＋tanx；(3)y＝eq\f(ex,x＋1).解：(1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝(3x2＋x3)ex.(2)因为y＝x2＋eq\f(sinx,cosx)，所以y′＝(x2)′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝2x＋eq\f(cos2x－sinx（－sinx）,cos2x)＝2x＋eq\f(1,cos2x).(3)y′＝eq\f(（ex）′（x＋1）－（x＋1）′ex,（x＋1）2)＝eq\f(ex（x＋1）－ex,（x＋1）2)＝eq\f(xex,（x＋1）2).考点导数四则运算法则的应用角度1曲线的切线问题典例：(1)曲线y＝f(x)＝eq\f(x,x－2)在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝－2x＋1 B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3 D．y＝x－2(2)已知函数f(x)＝eq\f(lnx,x)－ax2，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＋1＝0平行，则a＝()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．1 D．2【解析】(1)y＝f(x)＝eq\f(x,x－2)的导数为y′＝－eq\f(2,（x－2）2)，在点(1，－1)处的切线斜率k＝f′(1)＝－2，所以曲线y＝eq\f(x,x－2)在点(1，－1)处的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.(2)函数f(x)＝eq\f(lnx,x)－ax2的导函数f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)－2ax，可得曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率k＝f′(1)＝1－2a，由切线与直线2x－y＋1＝0平行，可得1－2a＝2，解得a＝－eq\f(1,2).【答案】(1)A(2)A角度2导数在实际生活中的应用典例：日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝eq\f(4000,100－x)(80＜x＜100)．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是()A．－40元/t B．－10元/tC．10元/t D．40元/t【解析】净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，因为c(x)＝eq\f(4000,100－x)(80＜x＜100)．所以c′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4000,100－x)))′＝eq\f(4000,（100－x）2)，又因为c′(90)＝eq\f(4000,（100－90）2)＝40，所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/t，故选D.【答案】D【解题秘籍】(1)利用导数的几何意义求参数时，常根据以下关系列方程(组)：①函数在切点处的导数值等于切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上；④题目所给的其他条件．最后通过解方程(组)得到参数的值．(2)含f′(c)函数的求导问题的解决策略，含f′(c)函数在求导时一定要抓住f′(c)为一常数这一特点，也就是说，不管应用加、减、乘、除哪一法则，求导时，把f′(c)一律充当常系数处理．5.2.3简单复合函数的导数知识点一复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．思考函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？答案函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．知识点二复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【易错点】对复合函数求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成较简单的函数，再用复合函数的求导法则求导．典例：求下列函数的导数：(1)y＝eq\r(3x＋5)；(2)y＝e－x；(3)y＝log2(4x＋7)；(4)y＝sin(2x＋1)．【解】(1)函数y＝eq\r(3x＋5)可以看作函数y＝eq\r(u)和u＝3x＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有y′x＝y′u·u′x＝(eq\r(u))′·(3x＋5)′＝eq\f(3,2\r(u))＝eq\f(3,2\r(3x＋5)).(2)方法一(应用复合函数求导法则)：因为y＝e－x可以看作y＝eu和u＝－x的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－x)′＝－eu＝－e－x.方法二(应用四则运算法则)：因为y＝e－x＝eq\f(1,ex)，所以y′＝eq\f(－（ex）′,（ex）2)＝－eq\f(1,ex)＝－e－x.(3)函数y＝log2(4x＋7)可以看作函数y＝log2u和u＝4x＋7的复合函数，根据复合函数求导法则有y′x＝y′u·u′x＝(log2u)′·(4x＋7)′＝eq\f(1,u·ln2)·4＝eq\f(4,（4x＋7）·ln2).(4)函数y＝sin(2x＋1)可以看作函数y＝sinu和u＝2x＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有y′x＝y′u·u′x＝(sinu)′·(2x＋1)′＝2cosu＝2cos(2x＋1)．【解题秘籍】求复合函数的导数的步骤[提醒](1)内、外层函数通常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数的导数时的易错点．(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁．考点一复合函数求导与导数的运算法则典例：求下列函数的导数：(1)y＝eq\f(ln3x,ex)；(2)y＝xeq\r(1＋x2)；(3)y＝xcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))).【解】(1)因为(ln3x)′＝eq\f(1,3x)×(3x)′＝eq\f(1,x)，所以y′＝eq\f(（ln3x）′ex－（ln3x）（ex）′,（ex）2)＝eq\f(\f(1,x)－ln3x,ex)＝eq\f(1－xln3x,xex).(2)y′＝(xeq\r(1＋x2))′＝x′eq\r(1＋x2)＋x(eq\r(1＋x2))′＝eq\r(1＋x2)＋eq\f(x2,\r(1＋x2))＝eq\f(（1＋2x2）\r(1＋x2),1＋x2).(3)因为y＝xcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝x(－sin2x)cos2x＝－eq\f(1,2)xsin4x，所以y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)xsin4x))′＝－eq\f(1,2)sin4x－eq\f(x,2)cos4x·4＝－eq\f(1,2)sin4x－2xcos4x.【解题秘籍】复杂函数求导的注意事项(1)仔细观察和分析函数的结构特征，紧紧扣住求导运算法则，联系基本初等函数的求导公式．不具备求导法则的可适当恒等变形．(2)复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成较简单的函数，再用复合函数的求导法则求导．考点二利用导数解决实际问题典例：某市在一次降雨过程中，降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝eq\r(10t)，则在时刻t＝40min的降雨强度为()A．20mm/min B．400mm/minC.eq\f(1,2)mm/min D.eq\f(1,4)mm/min解析：选D.因为f′(t)＝eq\f(1,2\r(10t))·10＝eq\f(5,\r(10t))，所以f′(40)＝eq\f(5,\r(400))＝eq\f(1,4).【解题秘籍】将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数，反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况．微专题：曲线的切线问题类型一曲线在某点处的切线问题典例：写出曲线y＝ln|x|过坐标原点的切线方程为________，________．(2)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．【解析】(1)因为y＝ln|x|，当x＞0时，y＝lnx，设切点为(x0，lnx0)，由y′＝eq\f(1,x)，所以y′|x＝x0＝eq\f(1,x0)，所以切线方程为y－lnx0＝eq\f(1,x0)(x－x0)，又切线过坐标原点，所以－lnx0＝eq\f(1,x0)(－x0)，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝eq\f(1,e)(x－e)，即y＝eq\f(1,e)x；当x＜0时，y＝ln(－x)，设切点为(x1，ln(－x1))，由y′＝eq\f(1,x)，所以y′|x＝x1＝eq\f(1,x1)，所以切线方程为y－ln(－x1)＝eq\f(1,x1)(x－x1)，又切线过坐标原点，所以－ln(－x1)＝eq\f(1,x1)(－x1)，解得x1＝－e，所以切线方程为y－1＝eq\f(1,－e)(x＋e)，即y＝－eq\f(1,e)x.综上，满足条件的切线方程为y＝eq\f(1,e)x和y＝－eq\f(1,e)x.(2)令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.【答案】(1)y＝eq\f(1,e)xy＝－eq\f(1,e)x(2)2【解题秘籍】求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程的步骤(1)求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)；(2)根据直线方程的点斜式，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．类型二曲线经过某点的切线问题典例：已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．【解】设切点坐标为(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)．因为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x－2)．又因为切线过点(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，所以xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－2＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1.当x0＝2时，f′(x0)＝1，此时所求切线方程为x－y－4＝0；当x0＝1时，f′(x0)＝0，此时所求切线方程为y＋2＝0.故经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.【解题秘籍】求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤(1)设切点为P′(x′，f(x′))，求切线的斜率k＝f′(x′)，写出切线方程(含参)；(2)把点P′(x′，f(x′))的坐标代入切线方程，建立关于x′的方程，解得x′的值，进而求出切线方程．类型三两曲线的公切线问题典例：(1)已知曲线f(x)＝x3＋ax＋eq\f(1,4)在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－lnx相切，求a的值．(2)求曲线y＝lnx＋2和曲线y＝ln(x＋1)公切线的方程．【解】(1)由f(x)＝x3＋ax＋eq\f(1,4)，得f′(x)＝3x2＋a.因为f′(0)＝a，f(0)＝eq\f(1,4)，所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－eq\f(1,4)＝ax.设直线y－eq\f(1,4)＝ax与曲线g(x)＝－lnx相切于点(x0，－lnx0)，g′(x)＝－eq\f(1,x)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－lnx0－\f(1,4)＝ax0，①,a＝－\f(1,x0)，②))将②代入①得lnx0＝eq\f(3,4)，所以x0＝eeq\s\up6(\f(3,4))，所以a＝－eq\f(1,e\s\up6(\f(3,4)))＝－e－eq\f(3,4).(2)函数y＝lnx＋2的导函数为y′＝eq\f(1,x)，函数y＝ln(x＋1)的导函数为y′＝eq\f(1,x＋1).设曲线y＝lnx＋2和曲线y＝ln(x＋1)公切线上的切点横坐标分别为m，n，则切线方程可以写成y＝eq\f(1,m)(x－m)＋lnm＋2，也可以写成y＝eq\f(1,n＋1)(x－n)＋ln(n＋1)．整理后对比得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＝\f(1,n＋1)，,lnm＋1＝ln（n＋1）－\f(n,n＋1)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2)，,n＝－\f(1,2)，))则公切线方程为y＝2x＋1－ln2.【解题秘籍】解决两曲线的公切线问题的两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解．(2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝eq\f(f（x1）－g（x2）,x1－x2).5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性知识点一函数的单调性与导数的关系一般地，在某个区间(a，b)上的函数y＝f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间有如下关系：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)＞0函数f(x)在(a，b)上单调递增f′(x)＜0函数f(x)在(a，b)上单调递减【易错点】“在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)”是“函数f(x)在此区间上单调递增(减)”的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性．例如函数f(x)＝x3，在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但因为f′(x)＝3x2，所以f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)＞0.思考如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？答案f(x)是常数函数．【解题秘籍】运用导数研究函数单调性的方法利用导数判断或证明函数的单调性时，一般是先确定函数的定义域，再求导数，最后判断导数在所给区间上的符号，从而确定函数的单调性．典例：利用导数判断下列函数的单调性：(1)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋2x－5；(2)f(x)＝x－ex(x＞0)．解：(1)因为f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋2x－5，x∈R，所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，所以函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋2x－5在R上单调递增．(2)因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex＜0，所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上单调递减．知识点二函数值变化快慢与导数的关系设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)典例：(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是()(2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()【解析】(1)因为函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，所以当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0，f′(x)＜0.(2)方法一：由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小．方法二：由于f′(x)>0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f(x)单调递增，即图象从左至右上升．四个图象都满足．由于当x＞0时，f′(x)＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当x＜0时，f′(x)＞0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象呈现下凸状，可以判断B正确．【答案】(1)D(2)B【解题秘籍】研究函数图象与导函数图象之间关系的方法导函数f′(x)图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象上升部分对应的区间(单调递增区间)，导函数f′(x)图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象下降部分对应的区间(单调递减区间)．典例：求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sinx－x(0＜x＜π)．解：(1)f(x)的定义域为R.f′(x)＝6x2＋6x－36＝6(x－2)(x＋3)．由f′(x)＞0得x＜－3或x＞2；由f′(x)＜0得－3＜x＜2.故f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；单调递减区间是(－3，2)．(2)f(x)定义域为(0，π)．f′(x)＝cosx－1.因为0＜x＜π，所以cosx－1＜0恒成立，故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)，无单调递增区间．【解题秘籍】利用导数求函数单调区间的方法(1)解不等式法①定域：确定函数f(x)的定义域．②求导：求f′(x)．③解不等式：在定义域内，令f′(x)＞0，解得函数f(x)的单调递增区间；令f′(x)＜0，解得函数f(x)的单调递减区间．(2)列表法①定域：确定函数f(x)的定义域；②求导：求f′(x)；③确定零点：判断导函数f′(x)有无零点，若有零点，通过解方程f′(x)＝0求出零点；④列表：用f′(x)的零点和函数的无定义点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负；⑤得结论：由此得出函数f(x)在定义域内的单调性．第2课时函数的单调性的综合问题考点一含参数函数的单调性典例：设函数f(x)＝ex－ax－2(a∈R)，求f(x)的单调区间．解：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，lna)，单调递增区间为(lna，＋∞)．【解题秘籍】讨论含参函数的单调性的关键点(1)涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数f′(x)在某一区间内的正负是否有影响．若有影响，则必须分类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结．(2)求含参函数y＝f(x)的单调区间，实质上就是解含参数的不等式f′(x)>0，f′(x)<0.考点二已知函数的单调性求参数典例：已知函数f(x)＝x3－ax－1为R上的单调递增函数，求实数a的取值范围．【解】由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.即a的取值范围为(－∞，0]．【解题秘籍】已知函数单调性求参数的两种方法(1)分离参数法f(x)在(a，b)上单调递增(减)等价于f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，将参数分离后可转化为求其函数的值域问题，注意验证等号是否成立．(2)子集法若能较容易地求出函数的单调区间，则可利用子区间来解决．若f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．考点三函数单调性的应用典例：函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为()A．(－1，1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析：选B.构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)＞2.所以g′(x)＝f′(x)－2＞0，所以g(x)是R上的增函数，所以f(x)＞2x＋4⇔g(x)＞0⇔g(x)＞g(－1)，所以x＞－1.【解题秘籍】构造函数法证明不等式构造函数转化为用导数证明不等式．以证明不等式f(x)＞g(x)，x∈(a，b)为例说明一般步骤：(1)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈(a，b)；(2)证明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)≥0(或F′(x)≤0，且F(b)≥0)；(3)F(x)在(a，b)上是单调递增(或递减)函数，所以F(x)＞F(a)≥0(或F(x)＞F(b)≥0)，所以f(x)－g(x)＞0，即f(x)＞g(x)．5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值知识点一函数极值的定义1．极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．【易错点】(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点附近左右两侧的点而言的．(2)极值点是函数定义域上的自变量的值，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．(3)若f(x)在[a，b]上有极值，那么f(x)在[a，b]上一定不是单调函数，即在定义区间上单调的函数没有极值．(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，且极小值不一定比极大值小，极大值也不一定比极小值大．典例：函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间(3，5)内单调递增；②函数y＝f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增；④当x＝－eq\f(1,2)时，函数y＝f(x)有极大值；⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值．则上述判断中正确的是________．(填序号)【解析】对于①，当x∈(3，4)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(4，5)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以①错误；对于②，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(2，3)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以②错误；对于③，当x∈(－2，2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以③正确；对于④，当x∈(－2，2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，故当x＝－eq\f(1,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))不是极大值，所以④错误；对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确．【答案】③⑤【解题秘籍】极值存在性的判断方法(1)函数角度先减后增取极小值，先增后减取极大值．(2)导数的角度先负后正取极小值，先正后负取极大值．知识点二求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．典例：求下列函数的极值：(1)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝eq\f(3,x)＋3lnx.【解】(1)函数的定义域为R，f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增eq\f(14,3)单调递减－6单调递增所以x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．所以f(x)极大值＝eq\f(14,3)，f(x)极小值＝－6.(2)函数f(x)＝eq\f(3,x)＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－eq\f(3,x2)＋eq\f(3,x)＝eq\f(3（x－1）,x2).令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减3单调递增所以x＝1是函数f(x)的极小点，所以f(x)极小值＝3.f(x)无极大值．【解题秘籍】函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．考点一含参数函数的极值典例：若函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，求函数f(x)的极值．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－eq\f(a,x)＝eq\f(x－a,x).(1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值．(2)当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝a.当0＜x＜a时，f′(x)＜0；当x＞a时，f′(x)＞0.所以f(x)在x＝a处取得极小值，且f(a)＝a－alna，无极大值．综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．【解题秘籍】解析式中含参数的函数极值的求法由于求函数的极值首先需要确定函数的单调区间，因此解析式中含参数的函数极值的求法类似于解析式中含参数的函数的单调区间的求法，求解的方法是：先根据参数对导函数的零点的影响确定分类讨论的标准(导函数是否存在零点以及导函数存在零点时零点的大小)，然后根据函数的单调区间确定函数的极值．考点二利用函数极值确定参数典例：已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．解：因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（－1）＝0，,f（－1）＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－6a＋b＝0，,－1＋3a－b＋a2＝0.))解之得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝9.))当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－∞，－3)和(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x＝－1时取得极小值0，因此a＝2，b＝9.【解题秘籍】已知函数极值求参数的方法对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的必要条件：极值点处的导数值为0；极值点两侧的导数值异号．具体步骤如下：(1)求函数的导数f′(x)；(2)由极值点处的导数值为0和极值两个条件列出方程组，求解参数．第2课时函数的最大(小)值知识点一函数最值的定义1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．思考如图所示，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值．若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？答案函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)．若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值．【易错点】(1)函数的最值是一个整体性的概念．函数的最值是比较整个区间内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的．(2)一般地，函数f(x)的图象在闭区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分不必要条件．(3)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(4)在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．如函数f(x)＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上连续，但没有最大值与最小值．知识点二求函数的最大值与最小值的步骤函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．典例：求下列各函数的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]；(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2，5]．【解】(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－2(－2，0)0(0，2)2(2，4)4f′(x)＋0－0＋f(x)－37单调递增极大值3单调递减极小值－5单调递增35所以在区间[－2，4]上，当x＝4时，f(x)取得最大值35；当x＝－2时，f(x)取得最小值－37.(2)因为f(x)＝3ex－exx2，所以f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)．因为在区间[2，5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0，即函数f(x)在区间[2，5]上单调递减，所以在区间[2，5]上当x＝2时，函数f(x)取得最大值－e2；当x＝5时，函数f(x)取得最小值－22e5.【解题秘籍】求函数最值的四个步骤第一步，求函数f(x)的定义域；第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0；第三步，列出关于x，f′(x)，f(x)的变化情况表；第四步，求极值、端点值，确定最值．考点一含参数的最值问题典例：若函数f(x)＝eq\f(x,x2＋a)(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为eq\f(\r(3),3)，则a的值为()A.eq\r(3)＋1 B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)－1解析：选D.f′(x)＝eq\f(x2＋a－2x2,（x2＋a）2)＝eq\f(a－x2,（x2＋a）2).当x＞eq\r(a)或x＜－eq\r(a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当－eq\r(a)＜x＜eq\r(a)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．若a＞1，则当x＝eq\r(a)时，f(x)取得[1，＋∞)上的最大值，此时f(eq\r(a))＝eq\f(\r(a),2a)＝eq\f(\r(3),3)，解得a＝eq\f(3,4)＜1，不符合题意；若a≤1，则f(x)在[1，＋∞)上的最大值f(x)max＝f(1)＝eq\f(1,1＋a)＝eq\f(\r(3),3)，a＝eq\r(3)－1.故选D.【解题秘籍】求解含参函数的最大值和最小值的步骤(1)求函数的导函数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的全部实根，同时，根据参数的范围，判断f′(x)＝0的根是否在区间[a，b]内；(3)根据参数的取值范围，确定函数的极大值、极小值；(4)将函数的极值与端点处的函数值进行比较，得到函数的最大值、最小值．考点二生活中的优化问题典例：某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低售价，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数．(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？【解】(1)若商品单价降低x元，则一个星期多卖出的商品件数为kx2件．由已知条件得k·22＝24，解得