专题18条件概率5种常见考法归类（原卷版）

专题18条件概率5种常见考法归类思维导图核心考点聚焦考点一、利用定义求条件概率考点二、条件概率的性质及应用考点三、乘法公式考点四、全概率公式及其应用考点五、贝叶斯公式及其应用1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，记为，读作“发生条件下发生的概率”，即．(2)条件概率具有的性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)2、两点说明（1）一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件），求另一事件在此条件下发生的概率；（2）通常情况下，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的。3、乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则.4、全概率公式：P(B)＝eq\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)注：全概率公式的来由：不难由看出，全概率被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于在较复杂情况下直接计算不易，但总伴随着某个出现，适当去构造这一组往往可以简化计算。5、贝叶斯公式设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，，有，注：在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率．1、求条件概率的常用方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A)).(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的样本点数，即n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(n(AB),n(A)).2、应用全概率公式求概率的步骤(1)根据题意找出完备事件组，即满足全概率公式的Ω的一个划分A1，A2，A3，…，An；(2)用Ai(i＝1,2,3，…，n)来表示待求的事件；(3)代入全概率公式求解．考点剖析考点一、利用定义求条件概率1．（2023·全国·模拟预测）为了给学生树立正确的劳动观，使学生懂得劳动的伟大意义，某班从包含甲、乙的6名学生中选出3名参加学校组织的劳动实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（

）A． B． C． D．2．（2024上·北京昌平·高二统考期末）已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（

）A．22.5% B．30% C．40% D．75%3．（2023上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（

）A． B． C． D．4．（2024·全国·模拟预测）我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件为“两位游客选择的景点相同”，则等于（

）A． B． C． D．5．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为，下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为.记事件为“8月份某天刮风”，事件为“8月份某天下雨”，则（

）A． B． C． D．6．（2024·河南·模拟预测）现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中装有3个白球、2个黑球，现从袋中随机依次摸出2个球，若第一次摸出的是白球，则放回袋中；若第一次摸出的是黑球，则把黑球换作白球，放回袋中.记事件“第一次摸球摸出黑球”，事件“第二次摸球摸出白球”，则（

）A． B． C． D．7．（2023·四川宜宾·统考一模）某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为（

）A． B． C． D．考点二、条件概率的性质及应用8．（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（

）A． B．C． D．9．（2023下·陕西西安·高二校联考阶段练习）下列说法正确的是（

）A． B．是可能的C． D．10．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（

）A． B． C． D．11．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知，，则.12．（2021上·安徽安庆·高二安徽省桐城中学校考期末）已知，且若，，则．13．（2023上·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（

）A． B． C． D．14．（2024·全国·模拟预测）已知，是一个随机试验中的两个事件，若，，则等于（

）A．3 B．4 C．5 D．615．（2022·湖北武汉·武汉二中校考模拟预测）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则A，B对立C．若A，B独立，则D．若A，B互斥，则考点三、乘法公式16．（2022上·高二课时练习）已知，，则（

）A． B． C． D．17．（2021·高二课时练习）设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于（

）A． B． C． D．18．（2023上·高二课时练习）已知，则．19．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知，为两个随机事件，，，，，则（

）A．0.1 B． C．0.33 D．考点四、全概率公式及其应用20．（2024·全国·高三专题练习）书架上有3本语文书，2本数学书，甲、乙两位同学先后从书架上任取一本书，则乙取到语文书的概率是（

）A． B． C． D．21．（2023·河南·统考模拟预测）小明参加答题闯关游戏，答题时小明可以从A，B，C三块题板中任选一个进行答题，答对则闯关成功.已知他选中A，B，C三块题板的概率分别为0.2，0.3，0.5，且他答对A，B，C三块题板中题目的概率依次为0.91，0.92，0.93.则小明闯关失败的概率是（

）A．0.24 B．0.14 C．0.077 D．0.06722．（2024上·安徽合肥·高三合肥市第八中学校联考期末）若某地区一种疾病流行，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0688，则该地区疾病的患病率是（

）A．0.02 B．0.98 C．0.049 D．0.0523．（2024·全国·模拟预测）现有两个袋子，第一个袋子中有2个红球和3个黑球，第二个袋子中有1个红球和3个黑球．随机选择一个袋子，然后从中随机摸出2个球，则恰好摸出1个红球和1个黑球的概率为（

）A． B． C． D．24．（2024上·黑龙江·高二校联考期末）某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.1.若邻居浇水的概率为，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.83，则实数的值为（

）A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.7525．（2024上·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（

）A．0.48 B．0.52 C．0.56 D．0.6526．（2023上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）第19届亚运会正在杭州举行，运动员甲就近选择A餐厅或者B餐厅就餐，第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（

）A．0.75 B．0.6 C．0.55 D．0.4527．（2023·全国·模拟预测）某部门对一家食品店的奶类饮品和面包类食品进行质检，已知该食品店中奶类饮品占，面包类食品占，奶类饮品不合格的概率为0.02，面包类食品不合格的概率为0.01．现从该食品店随机抽检一件商品，则该商品不合格的概率为（

）A．0.03 B．0.024 C．0.012 D．0.01528．（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是（

）A．0.24 B．0.14 C．0.067 D．0.07729．（2024·贵州·校联考模拟预测）甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.(1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；(2)已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.30．（2023上·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，又知这四条流水线的产品不合格率依次为和.(1)每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自同一流水线的概率；(2)从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是多少？考点五、贝叶斯公式及其应用31．（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（

）．A． B． C． D．32．（2023上·江苏常州·高三统考期中）居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（

）A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.133．（2023·云南大理·统考模拟预测）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（

）A． B． C． D．34．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（

）A． B． C． D．35．（2023上·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考开学考试）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则（

）A． B． C． D．36．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；(2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．37．（2023下·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考阶段练习）三批同种规格的产品，第一批占25%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%；第三批占45%，次品率为5%．将三批产品混合，从混合产品中任取一件．(1)求这件产品是次品的概率；(2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．38．（2023·全国·高二随堂练习）现在一些大的建筑工程都实行招投标制．在发包过程中，对参加招标的施工企业的资质（含施工质量、信誉等）进行调查和评定是非常重要的．设B=“被调查的施工企业资质不好”，A=“被调查的施工企业资质评定为不好”．由过去的资料知，．现已知在被调查的施工企业当中有确实资质不好，求评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率（精确到0.01）．过关检测一、单选题1．（2023上·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）一枚硬币掷三次，已知一次正面朝上，那么另外两次都是反面朝上的概率为（

）A． B． C． D．2．（2024上·广东江门·高三统考阶段练习）设A，B为两个事件，已知，则（

）A． B． C． D．3．（2023·四川甘孜·统考一模）某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售.检测人员从这批产品中随机抽取了5件产品来检测，现已知这5件产品中有3件正品，2件次品，从中不放回地取出产品，每次1件，共取两次.已知第一次取得次品，则第二次取得正品的概率是（

）A． B． C． D．4．（2023·湖南郴州·统考一模）湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则（

）A． B． C． D．5．（2023上·贵州·高三校联考阶段练习）在2023亚运会中，中国女子篮球队表现突出，卫冕亚运会冠军，该队某球员被称为3分球投手，在比赛中，她3分球投中的概率为，非3分球投中的概率为，且她每次投球投3分球的概率为，则该球员投一次球得分的概率为（

）A． B． C． D．6．（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（

）A． B． C． D．7．（2023上·山东济宁·高二济宁一中校考阶段练习）甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（

）A． B． C． D．8．（2023·四川雅安·统考一模）甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择①，则等于（

）A． B． C． D．9．（2024·全国·高三专题练习）甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（）A． B．C．事件与事件不相互独立 D．、、两两互斥10．（2023·全国·模拟预测）某罐中装有大小和质地相同的个红球和个绿球，每次不放回地随机摸出个球．记“第一次摸球时换到红球”，“第一次摸球时摸到绿球”，“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到绿球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（

）A． B．C． D．二、多选题11．（2024上·全国·高三期末）已知随机事件满足，，，则下列说法正确的是（

）A．不可能事件与事件互斥B．必然事件与事件相互独立C．D．若，则12．（2023下·湖南·高二校联考期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则（

）A． B．C． D．13．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，事件“第二次取出的是红球”，事件“取出的两球同色”，事件“取出的两球不同色”，则（

）A．与互斥 B．与互为对立事件C．与相互独立 D．14．（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（

）A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为C．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为D．若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为15．（2024上·湖北武汉·高三统考期末）设A，B是一次随机试验中的两个事件，且，，，则（

）A．A，B相互独立B． C．D．16．（2023上·广东深圳·高三校考期末）深圳某中学社团招新活动开展得如火如荼，小王、小李、小张三位同学计划篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为，且每人选择相互独立，则（

）A．三人选择社团一样的概率为B．三人选择社团各不相同的概率为C．至少有两人选择篮球社的概率为D．在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为三、填空题17．（2022上·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）甲同学和乙同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若甲同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在甲先胜一局的条件下，甲最终能获胜的概率是.18．（2024上·江苏泰州·高三统考期末）袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为.19．（2024上·山东滨州·高三统考期末）甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用、和表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则20．（2024上·重庆·高三统考期末）一个袋子中有5个大小相同的球，其中有编号为1，2的黑球和编号为1，2，3的白球，从中随机取出两个球，在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为．21．（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）有6道不同的数学题，其中有4道函数题，2道概率题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.在第一次抽到函数题的条件下，第二次还是抽到函数题的概率是．22．（2023上·四川攀枝花·高二统考期末）某公司为提高产品的竞争力、开拓市场，决定成立甲乙两个小组进行新产品研发，已知甲小组研发成功的概率为，乙小组研发成功的概率为．则在新产品研发成功的情况下，新产品是由甲小组研发成功的概率是．23．（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有的可能性能做对，没思路的有的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是.24．（2024上·上海·高二校考期末）某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为.25．（2024上·广东东莞·高三统考期末）用试剂检验并诊断疾病，表示被检验者患疾病，表示判断被检验者患疾病．用试剂检验并诊断疾病的结论有误差，已知，，且人群中患疾病的概率．若有一人被此法诊断为患疾病，则此人确实患疾病的概率．四、解答题26．（2023下·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）某电子设备厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录得到以下数据：元件制造厂次品率提供元件的份额10.010.120.020.730.030.2设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志(1)在仓库中随机抽取1个元件，求它是次品的概率；(2)在仓库中随机抽取1个元件，若已知抽取的是次品，求该次品出自元件制造厂3的概率.27．（2023下·福建泉州·高二校考期末）在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人