二次函数与几何图形综合题（7大类型）-中考复习讲义及练习（解析版）

模块三重难点题型专项训练

专题38二次函数与几何图形综合题（7大压轴

类型）

考查类型一与线段有关的问题

考查类型二与图形面积有关的问题

考查类型三角度问题

考查类型考查类型四与特殊三角形判定有关的问题

考查类型五与特殊四边形判定有关的问题

考查类型六与三角形全等、相似有关的问题

考查类型七与圆有关的运算

新题速递

考查类型一与线段有关的问题

H（2020・吉林长春•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,2）,

点B的坐标为（4,2）.若抛物线y=-∣（χ-（〃、k为常数）与线段AB交于C、。两

【答案】I7

【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和人的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式,

即可得到人的值，本题得以解决.

【详解】解：.•点A的坐标为Q2）,点B的坐标为（4,2）,

.∙.AB=4,

31

抛物线y=-；（Xi）〜9、Z为常数）与线段AB交于C、O两点，且CD=]A8=2,

••・设点C的坐标为(C,2),则点。的坐标为(c+2,2),仁fp=c+l,

•••抛物线2=-5[cτc+l)F+k,

解得，々=；7.

【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确

题意，利用二次函数的性质解答.

画国(2020-111东滨州•中考真题)如图,抛物线的顶点为A(∕?,—1),与y轴交于点8(0,-g),

点尸(2,1)为其对称轴上的一个定点.

(1)求这条抛物线的函数解析式；

(2)已知直线/是过点C(0,—3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P("?,〃)

到直线/的距离为d,求证：PF=d;

(3)已知坐标平面内的点0(4,3),请在抛物线上找一点。，使AOFQ的周长最小，并求

此时OF。周长的最小值及点。的坐标.

【分析】(1)由题意抛物线的顶点A(2,-1),可以假设抛物线的解析式为y=α(x-2)2-l,

把点B坐标代入求出”即可.

(2)由题意尸(m,-m2--m--),求出才,P产(用/n表示)即可解决问题.

822

(3)如图，过点。作。”，直线/于H,过点。作QNL直线/于M因为的周长

=DF+DQ+FQ,DF是定值=与方=2√J,推出DQ+QF的值最小时，AOFQ的周长最小,

再根据垂线段最短解决问题即可.

【详解】解：(1)设抛物线的函数解析式为y=”(x-∕jy+Z,

由题意,抛物线的顶点为A(2,T),

.∙.y=6f(x-2)^-1.

又•.抛物线与y轴交于点B[O,-∣

1

Q2

2-(O-

1

=8-

抛物线的函数解析式为J=∣(X-2)2-1

O

(2)证明：VP(m,〃)，

.∖n=-(m-2)2-↑=—/?r——m——,

8822

..II1「、1215

..a=-m~2—m------(—3)=—m~—zπ+-,

822822

VF(2,1),

・・,呼=、(〃2.2)2+口病一ILJ_L/.L川+工/一2小十竺,

V1822JV648824

・・・1」/」小〃二加十生，疗='”」病+工病一与+经

648824648824

22

.∖d=PF9

C.PF=d.

(3)如图，过点。作QH_L直线/于"，过点。作拉NJ_直线/于M

;△拉尸。的周长二D∕7+OQ+bQ,。产是定值=√F万=2收，

・・・。。+。产的值最小时，ZkOF0的周长最小，

,

.∙QF=QH1

：.DQ+DF=DQ+QH,

根据垂线段最短可知，当。，Q,”共线时，OQ+Q”的值最小，此时点〃与N重合，点Q

在线段DN上，

・・・。。+。”的最小值为6,

•••△。/。的周长的最小值为2√Σ+6,此时。(4,.

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知

识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题.

厚命题出限

二次函数中求线段问题：

1.直接求解线段长度表达式型

2.线段转化型

3.将军饮马问题、胡不归问题、阿氏圆问题等

4.瓜豆原理最值问题，圆中的线段最值

【变式1】（2022•广东珠海.珠海市九洲中学校考一模）如图，二次函数y=-χ2+2x+m+∖的

图象交X轴于点4（“，0）和8（40）,交y轴于点C,图象的顶点为D下列四个命题：

①当x>0时，y>0；

②若a=-\,则6=4；

③点C关于图象对称轴的对称点为E,点M为X轴上的一个动点，当机=2时，AMCE周

长的最小值为2亚；

④图象上有两点尸（x∕,y∣）和Q（X2，”）,若x∕<l<X2,且X∕+X2>2,则N>以，

其中真命题的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】①错误，由图象可知当α<x<b时，y>0；②错误，当α=T时，6=3；③错误,

△MCE的周长的最小值为2亚+2；④正确，函数图象在x>l时，），随X增大而减小，则

y2<y∣-

【详解】解：①当"<x<8时，二次函数图象在X轴上方，则y>0,故①错误；

人b__2

®-2Λ--2×（-1）-1,

.∙.当a=-l时，h=3,故②错误；

③这是将军饮马问题，作E关于X轴的对称点£,连接ME、CE',如图所示:

当m=2时，C(0,3),E(2,3),

E'与E关于%轴对称，

E'(2,-3),

.∙.AMCE的周长的最小值就是C、用、£三点共线时取到为CE'+CE=2ji6+2,

.∙.ZXMCE的周长的最小值为2√宿+2,故③错误；

④设X/关于对称轴的对称点为,，

.β.x∕=2-Xb

∙."∕+X2>2,

∙u∙X2>-X/+2,

・∙Λ2>X∣9

Vχ∕<l<%2»

,

Λx∕<l<xl<X2,

・・・函数图象在JV>1时，y随X增大而减小，

.∖y2<y∣,则④正确;

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，解题的关键是灵活掌

握二次函数的有关性质，第四个结论的判断关键是利用对称点性质解决问题，所以中考压轴

题.

【变式2](2022•广东东莞♦校考一模)如图，抛物线y=-χ2+χ+6交九轴于A、4两点(A在B

的左侧)，交V轴于点C,点。是线段AC的中点，点P是线段A3上一个动点，Z^APD沿DP

【答案】5-√iθ⅛*-√iθ+5

【分析】先根据抛物线解析式求出点A,B,C坐标，从而得出04=2,08=3,0C=6,

再根据勾股定理求出AC的长度，然后根据翻折的性质得出H在以。为圆心，幺为半径的

圆弧上运动，当D,A',8在同一直线上时，加最小；过点。作Z)ElA垂足为E,由

中位线定理得H；OE,OE的长，然后由勾股定理求出80,从而得出结论.

【详解】解：令y=0,则=-χ2+x+6=0,

解得为=-2,X2=3,

.∙.A(-2,0),8(3,0),

.∙.OA=2,OB=3>

令％=O,则y=6,

.∙.C(6,0),

.,.OC=6，

AC=√22+62=2√10-

£>为AC中点：，

.∙.DA=DC=M,

.AP。由Z∖APD沿。P折叠所得，

.-.DA=DA',

A'在以。为圆心，DA为半彳仝的圆弧上运动，

当O,A),B在同一直线上时，的，最小，

过点。作r>E∕AB,垂足为E，

AE=OE=1,DE=3,

.∙.BE=4,

.∙.βD=√32+42=5-

乂•,DA=DA,=√iθ,

.∙.BA,=5-√1O,

故答案为：5-λ∕10.

【点睛】本题考查了抛物线与X轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识,

关键是根据抛物线的性质求出A,B,C的坐标.

【变式3］（2022•云南文山•统考三模）已知抛物线y=加+（l-3a）x-3与X轴交于A、B

两点（点A在点8左侧），顶点坐标为点。（1,机）.

（2）设点尸在抛物线的对称轴上，连接BP,求OP+石BP的最小值.

【答案】（1）-4

（2）8

i-3i7

【分析】⑴根据题意可得=1，求出“的值，即可求解；

2a

(2)过B作BKJ_3P,且BK=2BP,过K作KS_LX轴于S,过K作KT〃X轴交。户于T,

设抛物线对称轴交X轴于R,先求出5(3,0),可得BR=2,再证得aPBRsBKS,可得

KS=28R=4,即K为直线y=4上的动点,从而得到7(1,4),进而得到DP+旧BP=DP+PK,

可得到当K运动到T时，DP+√5BP=DP+PK=DP+PT=DT,此时。尸+&BP取最小值，

最小值即是Z5T的长，即可求解.

【详解】⑴解：：抛物线y=加+(l-3α)x-3顶点坐标为点仇1,加)，

l-3α,

/.---------=1,

2a

解得α=l，

Λγ=x2-2x-3=(x-l)2-4,

••・顶点坐标为(I,τ),

.∙.m的值是-4;

(2)解：过B作BK_LBP，ΛBK=2BP,过K作KS_Lx轴于S,过K作KT〃X轴交。P于

T,设抛物线对称轴交X轴于心如图：

由(1)知抛物线y=∕-2x-3对称轴为直线X=I,顶点0(1,T),

在y=∕-2x-3中，

令丫=0，得：/-2X-3=0,

解得：X=-I或3,

.∙.8(3,0),

/.BR=2,

,：BKA.BP,

.∙.NPBR=90o-NKBS=NBKS，

,：NPRB=NKSB=90。,

：..PBRSLBKS,

BPBR

'^κ~~κs,

∙/BK=2BP∙

：.KS=2BR=4,

即K为直线y=4上的动点,

T(l,4),

∖∙BKLBP,BK=2BP,

：.pκ=-BBP,

.∙.DP+遥BP=DP+PK、

由垂线段最短可得，当K运动到了时，DP+>f5BP=DP+PK=DP+PT=DT,此时

OP+√?BP取最小值，最小值即是。T的长，如图：

•；Z)(IT),7(1,4),

二DT=8,

：.OP+石BP的最小值为8.

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，解题

的关键是添加辅助线，构造相似三角形，转化正BP成尸K.

考查类型二与图形面积有关的问题

gl](2021•山东淄博•统考中考真题)已知二次函数y=2∕-8x+6的图象交》轴于AB两

点.若其图象上有且只有R鸟,A三点满足SAg=Sa铝=S,%=，”，则机的值是()

3

A.1B.-C.2D.4

2

【答案】C

【分析】由题意易得点儿6线的纵坐标相等，进而可得其中有一个点是抛物线的顶点，然

后问题可求解.

【详解】解：假设点4在点8的左侧，

：二次函数y=2∕-8x+6的图象交X轴于A8两点，

.∙.令y=0时，则有0=2f-8x+6,解得：Xl=LX2=3,

.∙.A(Lo),8(3,0),

AB=3-1=2,

m

V图象上有且只有耳，6,W三点满足SABPI=SAm=SABK=，

.∙.点4£,勺的纵坐标的绝对值相等，如图所示：

Vy=2x2-8x+6^2(x-2)2-2,

•••点田2,-2),

，机=S,A贴=Jx2x2=2：

故选C.

【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

瓯(2022•山东淄博・统考中考真题)如图，抛物线y=-χ2+∕w+c与X轴相交于4,B两

4

点(点4在点B的左侧)，顶点O(1,4)在直线/：y^-x+t1.,动点P(m,n)在X轴

上方的抛物线上.

(—

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；

(2)过点尸作PMLX轴于点M,PNLl于点、N,当l<m<3时，求PM+PN的最大值；

(3)设直线AP,BP与抛物线的对称轴分别相交于点E,F,请探索以A,F,B,G(G是点E

关于X轴的对称点)为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这

个四边形的面积；若变化，说明理由.

【答案】(l)y=-N+2χ+3

(2)最大值年22

⑶定值16

【分析】(1)利用顶点式可得结论；

(2)如图，设直线/交X轴于点T,连接PT,BD,BD交PM于点J,设P(町-m2+2m+3),

S四边形“加=5pnτ+Spκτ,推出SWDTBP最大时，PM+/W的值最大，求出四边形DTBP的

面积的最大值，可得结论；

(3)如图，设P(m,-M+2m+3),求出直线"，BP的解析式，可得点E,尸的坐标，求

出FG的长，可得结论.

【详解】(1)解：Y抛物线的顶点为Q(1,4),

••・根据顶点式，抛物线的解析式为y=—(x—iy+4=—d+2x+3；

(2)解：如图，设直线/交X轴于点T,连接P7,BD,

BD交.PM于点J设P{m,-ιτΓ+2m+3),

点0(1,4),在直线/：y=gx+f上

8

3

48

・•・直线07的解析式为y=^χ÷j,

令y=0,得到X=-2,

・・・T(-2,0),

：•07=2,

・・,8(3,0),

：.37=5,

YDT=M+4?=5,

/.σr=κr,

VPMVBT.PNLDT,

,∙S四边形"BP=SwDT+SAPBT=QxDTXPN-ι--×BT×PM=G(PM+PN),

・•・S四边形°的最大时，PM+PN的值最大，

V0(1,4),8(3,0),

・・・直线BD的解析式为y=-2x+6,

J(∏7,-2∕H+6),

∙'∙PJ=-nr+4∕n-3，

S四边形£)78P=SDTB+S=—×5×4+-×(T%?+4∕n-3)x2

BDp22

=-w2+4机+7

=—(机—2)~+11,

;二次项系数-IV0,

.∙.机=2时，S四边形“BP最大，最大值为11,

,PM+*V的最大值=I2XIl=彳22；

(3)解：四边形AFBG的面积不变.

理由：如图，设耳机,-疗+2m+3),

VA(-1,O),3(3,0),

直线AP的解析式为y=-(机-3八一机+3,

E(l,-2wι+6),

；E,G关于X轴对称，

G(l,2∕π-6),

直线PB的解析式为y=-(m+l)x+3(m+l),

.∙.F(l,2m+2),

GF=2m+2-(2m-6)=8,

四边形AFBG的面积=,xABxFG='x4χ8=16,

22

四边形AFBG的面积是定值.

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题

的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题.

厚命题自曲

解决二次函数动点面积问题，常用的方法有三种

方法一：铅垂高法。

如图1,过AABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，铅垂高穿过的线段两端点

的横坐标之差叫AABC的水平宽(a),中间的这条平行于y轴或垂直于X轴的直线在AABC

内部线段的长度叫aABC的铅垂高(h).此时三角形面积的计算方法：即三角形面积等于水平

宽与铅垂高乘积的一半(s=1∕2ah)

方法二，平行法。平行法最关键的知识点，是平行线之间高的问题，一般这种情况都是平移

高到与坐标轴交点处，最后用相似求值。

方法三，矩形覆盖法。这是最容易想到的方法，但也是计算最麻烦的方法。利用面积的大减

小去解决，一般不太建议使用这种方法，庞大的计算量很容易出错。

,曾就SD演

【变式1】(2022.河北•校联考一模)如图，在ASC中，ZACB=90。，8C边在X轴上，

A(-l,4),3(7,0).点P是AB边上一点，过点P分别作PELAC于点E,PDLBC下点D,

【答案】D

【分析】先求出直线4B的解析式为y=-∣x+(,然后设点P的坐标为。可

LL1乙乙)

得PE=m+∖,PD=--m+-,从而得到四边形CDPE的面积为PE-PD=++

22V22)

再根据二次函数的性质，即可求解.

【详解】解：设直线AB的解析式为

y=kx+b(^k≠0)f

把点A(T,4),5(7,0)代入得:

-⅛+⅛=4

,解得:

7JI+⅛=0

17

・・・直线AB的解析式为γ=--Λ+-,

设点尸的坐标为(机,-gm+g)，

∙.,ZAC8=90°,

."C(-1,0),

∙.∙PE，AC丁点E,PD±BC「点D,

__17

PE="2+1,PD-——tn+—,

22

・•.四边形CQPE的面积为=++

12Q7

=——m~+36+—

22

1、)

=--(∕n-3)'+8,

当加=3时，四边形COPE的面积最大，此时点P(3,2).

故选：D

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，二次函数的应用，熟练掌握一次函数的图

象和性质，二次函数的图象和性质是解题的关键.

【变式2](2022・江苏盐城•一模)如图，抛物线y=-∕+4χ+i与>轴交于点P,其顶点是

A,点P，的坐标是(3,-2),将该抛物线沿Pp方向平移，使点P平移到点P,则平移过程

中该抛物线上尸、A两点间的部分所扫过的面积是.

【答案】18

【分析】将X=O代入求产点坐标，由y=-f+4x+l=-(x-2y+5,可知A点坐标，如图,

连接B4，AA',AP1,过A作X轴，交V轴于8,过P，作。轴，交V轴于。，

过A作ECLBOFC,交DE于E,则四边形BCEZ)是矩形，

β(0,5),C(5,5),D(0,-2),£(5,-2),由题意知四边形APPA的面积即为平移过程中该抛

物线上P、4两点间的部分所扫过的面积，根据

S四边窗/MV=S黜彩BCED-SΛHP—SPW—Saca.—Sa∙ep,,计算求解即可.

【详解】解：当X=O时，N=I

.∙.p(θ,l)

∙.∙γ=-χ2+4x+l=-(x-2)2+5

.∙.A(2,5)

Y产(3,-2),抛物线沿PP'方向平移

∙∙∙A平移后的点坐标为4(5,2)

如图，连接E4,A4',A'P',过A作X轴，交了轴于8,过P作。EX轴，交y轴于

D,过A作ECLBCT-C,交.DE于E

•••四边形BCEZ)是矩形，3(0,5),C(5,5),0(0,-2),E(5,-2)

由题意知四边形APPA的面积即为平移过程中该抛物线上P、A两点间的部分所扫过的面积

,,

•∙¾iil)f⅛ΛP∕Λ,=SjgjgBCED-SΛBP~SPDP~~SΛCΛ,_SA'EI),

=7χ5-Lχ4χ2-Lχ3χ3-!χ3χ3-2x4x2

2222

=18

故答案为：18.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移，二次函数与面积综合等知识.解

题的关键在于确定尸、A两点间的部分.

【变式3](2022•四川泸州•泸县五中校考一模)如图，抛物线y=∕+w+c经过点A(T,O),

点3(2,-3),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D

(1)求抛物线的解析式；

⑵当0<x<4时，y的取值范围是；

(3)抛物线上是否存在点P,使PBC的面积是4BCD面积的4倍，若存在，点P的坐标；

若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=∕-2x-3

⑵-4≤y<5

(3)存在，点P的坐标为(1+石,1)或(1-6,1)

【分析】(1)待定系数法求解析式即可；

(2)当x=0,求出y值，当x=4求出y值，再结合二次函数最小值，即可得出当()<x<4时，

y的取值范围；

(3)设抛物线上的点尸坐标为(利,加-2利-3),结合方程思想和三角形面积公式列方程求

解.

【详解】⑴解：•••抛物线y=χ2+⅛r+c经过点A(-l,0),点3(2,—3),

.∫l-⅛+c=0

"{4+2b+c=-3,

f⅛=-2

解得：,

[c=-3α

•••抛物线的解析式：y=χ2-2x-3；

(2)解：Vy=x2-2x-3=(x-l)2-4,

又..∙ι>o,

，抛物线开口向上，当x=l时，y有最小值-4，

当X=O时,y=-3,

当χ=4时，y=5,

・，.当OVXV4时，-4≤y<5,

故答案为：-4≤y<5;

(3)解：存在，理由如下：

,.∙γ=x2-2x-3=(x-l)2-4,

。点坐标为(LY),

令X=0,则y=f-2x-3=-3,

C点坐标为(0,-3),

又：8点坐标为(2,-3),

.,.BC〃x轴，

∙'∙^VBCO=—×2×1=1,

设抛物线上的点尸坐标为(孙)-2相-3),

22

/.Spac=ɪ×2×∣∕n-2m-3-(-3)∣=∣w-2w∣,

当Iτn2—2w∣=4X1时,

解得m=1±Λ∕5，

当，〃=1+逐时，m2—2m-3=1,

当，〃=I-逐时，ni1-2m-3=∖,

综上，P点坐标为(1+石,1)或(1-石,∣).

【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解二次函数图

象上点的坐标特征，利用方程思想解题是关键.

考查类型三角度问题

雨(2021•江苏连云港•统考中考真题)如图，抛物线'=如2+(〃?2+3)》一(6皿+9)与X轴

交于点A、B,与)，轴交于点C,已知8(3,0).

(1)求机的值和直线BC对应的函数表达式；

(2)P为抛物线上一点，若SMBC=SMBC，请直接写出点P的坐标；

(3)。为抛物线上一点，若ZACQ=45。，求点。的坐标.

……C∕c八(3+√Γ7-7+√17>∣(3-√17-7-√17^

【答案】⑴"=-1,y=x-3；(2)Prι(2,l),P-A—,―--,Pn―^―,―--；

\/\)

【分析】(1)求出4,8的坐标，用待定系数法计算即可；

(2)做点A关于8C的平行线Aq,联立直线A[与抛物线的表达式可求出片的坐标，设出

直线APt与y轴的交点为G,将直线BC向下平移,平移的距离为GC的长度,可得到直线g,

联立方程组即可求出P：

(3)取点Q,连接C。，过点A作AD，C。于点O,过点Z)作。尸，X轴于点产，过点C作

CELD尸于点E,得直线8对应的表达式为y=3x-3,即可求出结果；

【详解】(1)将3(3,0)代入尸皿2+(川+3)x-(6s+9),

化简得小+帆=O,则加=0(舍)或加=-1,

ZH=-I,

得：y=-x2+4x-3,则C(O,-3).

设直线BC对应的函数表达式为y=a+∕),

(0=3k+8

将3(3,0)、0(0,—3)代入可得J_3=。，解得女=1，

则直线BC对应的函数表达式为y=χ-3.

(2)如图，过点A作A[〃8C,设直线与y轴的交点为G,将直线BC向下平移GC个

单位，得到直线尸也，

由(1)得直线BC的解析式为y=x—3,A(1,O),

.∙.直线AG的表达式为y=x-l,

,fy=x-l

联立，/ɔ-

[y=-x+4x-3

fx=l[x=2

解得：C（舍），或｛1

[y=0[y=1

《（2,1）,

由直线AG的表达式可得G(T0),

GC=2,CH=2,

二直线P3P2的表达式为y=X—5,

y=x-5

联立

y=-x2+4Λ-3

3+√173-√17

X.=----------

22

解得：

-7+√Π,-7-√Π'

y=----------M=----------

r3+√17-7+√Γ7'

-2-，-2-

"3+√Γ7-7+√∏>∣（3-717-7-√∏›

/.P（2,l）,

-2-'~^2-'-2^-'-^2-

∖/\7

(3)如图，取点。，连接C。，过点A作A。，CQ于点

过点D作£)尸，X轴于点F,过点C作CELDF于点E.

,o

.∙ZACQ=45f

：.AD=CDf

乂YNADC=90。，

ZADF+NCDE=9O0,

YNCDE+/DCE=90°,

・・・ZDCE=ZADF9

又∙.∙NE=NAEo=90。，

/.ACDE^ΔDAF,则A尸=£>石，CE=DF.

设OE=AJF=α,

V0Λ=l,OF=CE1

：.CE=DF=a+∖.

由OC=3,Pl1JDF=3—a,即α+l=3-4,解之得，a=∖.

所以£>(2,-2),又C(0,-3),

可得直线C。对应的表达式为y=；x-3,

设,代入y=-x?+4x-3,

1217

z得一%一3=-m~+4,"-3,—m--m~2+4m,m2^——m-0,

222

Xm≠O,则，"=g.所以

【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键.

瓯(2020∙黑龙江•统考中考真题)如图，已知二次函数y=-χ2+%χ+c的图象经过点

A(TO),B(3,0),与y轴交于点C.

(I)求抛物线的解析式;

(2)抛物线上是否存在点P,使44B=ZABC,若存在请直接写出点尸的坐标.若不存在,

请说明理由.

【答案】(1)y=-√+2x+3;(2)存在,4(2,3),r(4,-5)

【分析】(1)把点AB的坐标代入y=-∕+⅛r+c即可求解;

(2)分点P在X轴下方和下方两种情况讨论，求解即可.

【详解】(1)丁二次函数y=-f+-+c的图象经过点A(-l,0),B(3,0),

ʃ-∖-b+c=O

*∣-9+3⅛+c=0t

b=2

解得:

c=3

抛物线的解析式为：y=-V+2x+3;

(2)存在，理由如下:

当点P在X轴下方时,

如图，设AP与V轴相交于E,

VA(-1,O),B(3,0),

.∙.OB=OC=3,OA=I,

ΛZABC=45o,

VZPAB=ZABC=450,

...△OAE是等腰直角三角形，

.,.OA=OE=L

，点E的坐标为(0,-1),

设直线AE的解析式为y=依-1,

把A(-l,0)代入得：k=-∖,

直线AE的解析式为y=-X-I,

解方程虱f工y=-+x2-xl+3,

得邛舍去)或卜=4

Iy=Ol%=-5

•••点P的坐标为(4,-5)；

当点P在X轴上方时，

如图，设AP与y轴相交于D,

同理，求得点D的坐标为(0,1),

同理，求得直线AD的解析式为y=x+1,

y=x+l

解方程组

y=-x2+2x+3

=

X-1X2=2

得:金。(舍去)或

*=3

•••点P的坐标为(2,3)；

综上，点P的坐标为(2,3)或(4,-5)

【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的判定

和性质，解方程组，分类讨论是解本题的关键.

窜命题劣限

角度问题涵盖的题型

1.角度相等问题

2.角度的和差倍分关系

3.特殊角问题

4.非特殊角问题

方法点评：由特殊角联想到直接构造等腰直角三角形，通过全等三角形，得到点的坐标，从

而得到直线解析式,联立得到交点坐标.这个方法对于特殊角30度、60度90度都是适用的，

是一种通用方法.

■级就硼绕

1Q

【变式D（2022秋.浙江宁波.九年级校考期中）如图，抛物线y=与X轴交于

点A和点8两点，与V轴交于点C,D点为抛物线上第三象限内一动点，当

NACZ）+2NABC=I80。时，点。的坐标为（）

【答案】B

1Q

【分析】根据二次函数y=/+聂-3与坐标轴的交点坐标分别求出04、OB、。C的长度；

然后通过勾股定理逆定理判断出NAc8=90°,得出2NB4C+2ZA5C=180。；由

NACD+2NA3C=180。得出乙4CO=2NB4C;作点C关于X轴的对称点E,连接AE；即可

构造出NE4C=NACD,从而得出A£〃L»C；根据平行线的斜率相同以及点C的坐标求出

直线OC的表达式；最后联立方程组求解即可；

1Q

【详解】解：令y=o,则一/+2>3=0

33

解得：X=-9,x2=1

A(-9,0),B(LO)

.∙.OA=9,OB=I,AB=IO

当X=O时，丁二一3

JC(0,-3)

・•・OC=3

在AACB中

BC2+AC2=(OB2+OC2)+(OC2+OΛ2)=100=AB2

ZACB=90。

：.ZβAC+ZABC=90o

：.2ZBAC+2ZABC=180°

∖∙ZACD+2ZA80=180。

JZACD=IABAC

如图，作点。关于X轴的对称点E,连接AE；

则Et(0,3),ZBAC=ΛBAE

：.AEAC=2ZBAC=ZACD

：.AE//DC

DC~ΛE~~OA~3

设直线QC的表达式为：y=^x+b

将C(0,-3)代入得：b=—3

直线。C的表达式为：＞=gχ-3

V=-x-3X=-I

3

解方程组得・或.1

128」

y=—X'+-X-3y=-3y=-

・・♦点。在第三象限

，点D的坐标为（-7,-ɪ）

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数图像的性质、一次函数的性质、勾股定理逆定理、直角二角形

两锐角互余等知识点；综合运用上述知识求出直线。。的函数表达式是解题的关键.

【变式2］（2020•江苏无锡・无锡市南长实验中学校考二模）如图，一次函数y=gx-2的

图象交X轴于点A，交y轴于点B,二次函数y=-gχ2+⅛x+c的图象经过A、8两点，与X

轴交于另一点C.若点用在抛物线的对称轴上，且NAMB=NACB,则所有满足条件的点

M的坐标为.

【答案】阂或停一空）

【分析】讨论：当点M在直线AB上方时，根据圆周角定理可判断点M在AABC的外接圆

上，如图所示，由于抛物线的对称轴垂直平分AC,则AABC的外接圆。I的圆心在对称轴

上，设圆心O∣的坐标为伍,，根据半径相等得到（MI+（P+2）?=（|一4）+产，解方

程求出t得到圆心。的坐标为信,-21，然后确定Oa的半径为《，从而得到此时M点的坐

I?J2

标；当点M在直线AB下方时，作。I关于AB的对称点。2,如图所示，通过证明

NaAB=NQ48可判断。2在X轴上，则点。2的坐标为停ο），然后计算DM即可得到此时

M点坐标.

【详解】（I）当点M在直线AB上方时，则点M在AABC的外接圆上,

V∆ABC的外接圆0∣的圆心在对称轴上,设圆心。1的坐标为

则。0=O1A,

解得r=2,

.∙.圆心α的坐标为1-2

即（。的半径为T，

’51

此时M点的坐标为---

当点M在直线AB下方时，作。I关于AB的对称点。2,如图所示,

.∙.∕O∖AB=/OTAB,

∙.∙0"X轴，

ΛZOiBA=ZOAB7

：."AB=ZOAB,O2在X轴上,

•••点。2的坐标为(∕θ)

,

..O2D=I,

综上所述，点M的坐标为(∙∣,;)或(∙∣,—ɪ-.

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，准确进行点的位置的判断是解题的关键.

【变式3](2022・四川绵阳・东辰国际学校校考模拟预测)如图，以43C的边A3和45边

上高所在直线建立平面直角坐标系，已知AB=4,C(0,-3),tanZCAB+tanZCBA=4,

抛物线y=4χ2+bx+c经过A,B,C三点、.

(1)求抛物线解析式.

(2)点G是X轴上一动点，过点G作6"_1_》轴交抛物线于点H,抛物线上有一点。,若以C,

G,Q,”为顶点的四边形为平行四边形，求点G的坐标.

(3)点P是抛物线上的一点，当NPCB=NACO时，求点P的坐标.

【答案】(l)y=∕-2x-3

(2)G的坐标为,0或

5_7

当时，点的坐标为或

(3)NPCB=NACOP(4,5)2,^4

114

【分析】(1)先求出OC=3,再根据正切的定义得到士+白=?,结合O4+QB=4求出

OAOB3

A(T,0),B(3,0),再利用待定系数法求出对应的函数解析式即可；

2

(2)先证明只存在以GH为对角线的平行四边形，设G("Q),Q{m,fn-2m-3),则

H("，«2-2«-3),根据平移的特点建立方程九2一2"-3=0进行求解即可；

(3)先求出NOBC=45。，βC=√2OC=3√2.如图②，作NqCB=NAe0,过点B作

BR_LBC交C/?于点R,过点。作RM∙Lx轴于点M,可得.BMR为等腰直角三角形，

BM=AM=逝。/,再由tan∕[CB=tanZACO=S=;,得到BM=AM=曰D∣B=1,

/、(y=2x-3

则点。的坐标为(2,1),求出直线C。的解析式为y=2x-3,联立°ɔQ，可得[的

坐标为(4,5).如图②，延长至2,使得RB=D/,连接CA交抛物线于点鸟，过点2

作Z¾NLx轴于点M则D2(4,-1),求出直线CA的解析式为尸白-3,联立,丫=5'7

y=x2-2x-3

可得点2的坐标为

【详解】(1)解：・・・。(0,-3),

・•.OC=3,

*.,tanZCAB+tanNCBA=4,

.OCOC

..——+——=4λ,

OAOB

.1ɪ14

OAOB3

'114

由jQAOB3,

04+08=4

9[0408=3

可得IoA+08=4，

解得[I。oA『=I或I(OoAg=3(舍去)，

A(TQ),8(3,0),

a-b+c=0

将A(T,0),3(3,0),C((),-3)代入y=α∕+"+°可得(9q+3A+c=0,

C=一3

a=l

解得，=-2,

c=-3

抛物线解析式为y=x2-2x-3.

(2)W-：如图①，・・,G〃〃y轴，点。在抛物线上，

・・・以GH为边的平行四边形不存在，只存在以GH为对角线的平行四边形，

设G(∏,0),Q(m,nr-2m-3),则H(〃，"一2〃一3),

m-n=n-0

由点的平移可得〈ɔɔα/q\，消元整理可得3〃2一2〃-3=0,解得

m2-2m-3q-0n=n2-2〃-3-(-3)

l+√101-√K)

%=--------,%

33

；・点、G的坐标为

图①

(3)解：VOC=OB=?,,

：.NOBC=45。,BC=√2OC=3√2>

如图②，作=NACO,过点B作_LBC交C［于点口，过点口作AM_LX轴于点

M,

：.NDlBM=45°,

BMR为等腰直角三角形，BM=D.M=-D.B,

2

“八OA1

,.∙tanZPCB=tanZACO==-

1OC3

.RBDlBI

Dβ=√2,

"BC-3√2-3l

BM=RM=-γDtB=∖,

点A的坐标为(2,1),

由Di(2,1),C(0,-3)可得直线CA的解析式为y=2x-3,

y=2x-3

联立

y=x~~2x—3

X=OX=4

解得《1,(舍去)2

Iy=-3%=5

二A的坐标为(4,5).

如图②，延长AB至。2,使得RB=D/,连接CA交抛物线于点鸟，过点马作。釉

于点N,

：.D2(4,-1),

由D2(4,-l),C(O,-3)可得直线CD2的解析式为y=3-3,

联立f3,

y=x2-2x-3

5

解得广xl=oɔ（舍去），“2―5

J=-3〔必_一_；

点鸟的坐标为（I，-/）.

图②

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，等腰直

角三角形的性质与判断，解直角三角形等等，灵活运用所学知识并利用数形结合的思想求解

是解题的关键.

考查类型四与特殊三角形判定有关的问题

0氟题华宛一

硝（2022•山东东营・统考中考真题）如图，抛物线丁=奴2+法-3（“片0）与》轴交于点

A（To）,点8（3,0）,与），轴交于点C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)在对称轴上找一点。使.ACQ的周长最小，求点。的坐标；

(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当APMB是以PB为

腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标.

【答案】(l)y=f-2x-3

(2)(1,-2)

(3)(-1,0)或(1-&，-2)或(I-2)

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线X=I的对称点E,

连接AE,EQ,则点E的坐标为(2,-3),根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的

交点即为点Q;

(3)分两种情况当N8PM=90。和当NP8M=90。两种情况讨论求解即可.

【详解】(1)解：•••抛物线y=α√+fov-3(α*0)与X轴交于点A(To),点8(3,0),

.(a-b-3=0

"[‰+3⅛-3=0,

・••卜力，

[⅛=-2

•••抛物线解析式为y=√-2x-3≡

(2)解：∙.∙抛物线解析式为y=/—2x-3=(x-l)2-4,与y轴交于点C,

二抛物线对称轴为直线x=l