教师版-转化与化归思想

【专题三】转化与化归思想常见的转化方法有：〔1〕直接转化法：把原问题直接转化为根本定理、根本公式或根本图形问题；〔2〕换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的根本问题；〔3〕参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；〔4〕构造法：“构造”一个适宜的数学模型，把问题变为易于解决的问题；〔5〕坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；〔6〕类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；〔7〕特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；〔8〕一般化方法：假设原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；〔9〕等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，到达转化目的；〔10〕补集法：〔正难那么反〕假设过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决。【考点例析】题型1：集合问题例1．设平面点集，那么所表示的平面图形的面积为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解析：D；由可知或者，在同一坐标系中做出平面区域如图：由图象可知的区域为阴影局部，根据对称性可知，两局部阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为，选D.〔2〕函数,在区间上至少存在一个实数使,求实数的取值范围.分析:运用补集概念求解。解答：设所求的范围为A,那么注意到函数的图象开口向上；点评：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决。题型2：函数问题例2．函数的定义域为．解析：根据二次根式和对数函数有意义的条件，得：。点评：函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式；还有函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．题型3：不等式问题例3．〔1〕不等式的解集为〔〕A.B.C.D.对解析：A；原不等式等价于或，即或，所以不等式的解为，选A.〔2〕设集合,,假设那么实数m的取值范围是___________；〔2〕解析：当时，集合A是以〔2，0〕为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间；，因为此时无解；当时，集合A是以〔2，0〕为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有。.又因为。【温馨提示】此题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用别离变量转化为最值的方法求解。构造函数解题是数学中的常用方法，通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，从而到达解题目的。〔3〕某公司生产甲、乙两种桶装产品。生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的方案中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产方案，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是〔〕A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元解析：C；设生产桶甲产品，桶乙产品，总利润为Z，那么约束条件为，目标函数为：可行域为，当目标函数直线经过点M时有最大值，联立方程组得，代入目标函数得，应选C.评析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，此题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题。题型4：三角问题4．〔1〕在中，假设，那么的形状是〔〕A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析：C；根据正弦定理可知由,可知，在三角形中，所以为钝角，三角形为钝角三角形，选C。点评：本小题主要考查解三角形知识，并突出了边角互化这一转化思想的应用。〔2〕假设tan+=4,那么sin2=〔〕A．B.C.D.解析：D由得，，即，所以，选D.点评：此题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的根本关系式。表达在三角函数中是切化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值〔域〕、最值、比拟大小等问题。题型5：数列问题例5．数列满足那么的最小值为__________.【答案】【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n所以设，令，那么在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时有最小值。又因为，，所以，的最小值为.点评：数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义在正整数集〔或它的有限子集〕上的函数。如等差数列的通项公式，前n项的和公式。当时，可以看作自变量n的一次和二次函数。因此利用函数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解，也有助于学生解题思维能力的培养及增强应用函数思想解题的意识。题型6：立体几何问题例6．如果，三棱锥P—ABC中，PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P—ABC的体积。分析：如视P为顶点，△ABC为底面，那么无论是S△ABC以及高h都不好求．如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，那么可走出困境．解析：如图，连结EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD．这样，截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以VP－ABC=VP－ECD+VA－ECD=S△ECD•AE+S△ECD•PE=S△ECD•PA=•BC·ED·PA=。点评：辅助截面ECD的添设使问题转化为问题迎刃而解。题型7：解析几何问题例7．〔1〕设x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范围。分析：设k＝x＋y，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。解析：由6x－3x＝2y≥0得0≤x≤2。设k＝x＋y，那么y＝k－x，代入等式得：x－6x＋2k＝0，即k＝－x＋3x，其对称轴为x＝3。由0≤x≤2得k∈[0,4]。所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。另解：数形结合法〔转化为解析几何问题〕：由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，即表示如下图椭圆，其一个顶点在坐标原点。x＋y的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x＋y＝k，代入椭圆中消y得x－6x＋2k＝0。由判别式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。再解：三角换元法，对式和待求式都可以进行三角换元〔转化为三角问题〕：由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，设，那么x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα＝－cosα＋2cosα＋∈[0,4]所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。点评：题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。〔2〕两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，那么下面结论正确的选项是〔〕(A)a∥b(B)a⊥b(C)|a|=|b|(D)a+b=ab解析：B；法一、由|a+b|=|ab|，平方可得ab=0,所以a⊥b，应选B法二、根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b|=|ab|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b，应选B点评：此题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。解析一是利用向量的运算来解，解析二是利用了向量运算的几何意义来解。这种通过特殊值确定一般性结果的思路还有很多，如归纳、猜测、证明的方法，过定点问题，定值问题也可以用这样的思路。题型8：具体、抽象问题例8．假设f〔x〕和g〔x〕都是定义在实数集R上的函数，且方程x－f［g〔x〕］＝0有实数解，那么g［f〔x〕］不可能是〔〕〔A〕x2＋x－〔B〕x2＋x＋〔C〕x2－〔D〕x2＋分析：此题直接解不容易，不妨令f〔x〕＝x，那么f［g〔x〕］＝g〔x〕，g［f〔x〕］＝g〔x〕，x－f［g〔x〕］＝0有实数解即x－g〔x〕＝0有实数解。这样很明显得出结论，B使x－g〔x〕＝0没有实数解，选B这种从抽象到具体再到抽象，使学生从心理上感到非常轻松，象这样常见抽象函数式还有一次函数型f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕＋m，对数函数型f〔xy〕＝f〔x〕＋f〔y〕，幂函数型f〔xy〕＝f〔x〕f〔y〕。点评：把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和再认识，在抽象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归。题型9：正难那么反转化问题例9．,且.试证:中至少有一个小于2.点评：一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难那么反”。“正难那么反”是一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。题型10：实际应用问题例10．把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是P，怎样设计才能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面积。分析：这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决。x·ODCx·ODCBA矩形的另一边长为=设零件的面积为S，那么S==∵a＜0∴当时，S有最大值，这时AB=。∴当矩形的两邻边AB与BC之比为1︰2时，Smax=。点评：实际问题转化为数学问题，用数学结果解释最终的实际问题。【专题训练】1．向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，那么|b|＝________.2．函数f(x)＝eq\r(x)＋eq\r(1－x)的值域为________．3．在等比数列{an}中，a1＝a，前n项和为Sn，假设数列{an＋1}成等差数列，那么Sn＝________.4．在各棱长都等于1的正四面体OABC中，假设点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，那么|eq\o(OP,\s\up6(→))|的最小值等于________．5．函数f(x)＝－sin2x＋sinx＋a，假设1≤f(x)≤eq\f(17,4)对一切x∈R都成立，那么参数a的取值范围为____________．6．假设二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少有一个值c，使f(c)>0，那么实数p的取值范围为____________．7．数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq且a2＝－6，那么a10＝________.8．函数f(x)＝(4a－3)x＋b－2a，x∈[0,1]，假设f(x)≤2恒成立，那么a＋9．a1>a2>a3>0，那么使得(1－aix)2<1(i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是____________．10．数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，那么eq\f(a2－a1,b2)的值为________．11．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为eq\f(\r(3)a,6)，那么eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)的最大值为________．12．假设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x都有f(x＋3)≤f(x)＋3和f(x＋2)≥f(x)＋2，且f(1)＝1，那么f(2012)＝________.13．设f(x)是定义在R上的单调增函数，假设f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，求x的取值范围．A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}，假设A∩R－≠，求实数m的取值范围(R－负实数集)．15．奇函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，当0≤θ≤eq\f(π,2)时，是否存在这样的实数m，使f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有的θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))均成立？假设存在，求出所有适合条件的实数m；假设不存在，请说明理由．【参考答案】1．52.[1，eq\r(2)]3.na4.eq\f(\r(6),3)5．3≤a≤46.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))7．－308.eq\f(17,4)9．(0，eq\f(2,a1))10.eq\f(1,2)11．412．201213．解:∵f(x)在R上是增函数，∴由f(1－ax－x2)≤f(2－a)可得1－ax－x2≤2－a，a∈[－1,1]．∴a(x－1)＋x2＋1≥0，对a∈[－1,1]恒成立．令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1.那么当且仅当g(－1)＝x2－x＋2≥0，g(1)＝x2＋x≥0，解得x≥0或x≤－1