2022年江西省九江市修水职业中学高二数学理期末试题含解析

2022年江西省九江市修水职业中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，则△PF1F2内切圆半径的最大值为（）A． B．1 C． D．2参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】找出△PF1F2内切圆半径与P点纵坐标的关系，要使△PF1F2内切圆半径最大可得P点的纵坐标最大，由此求得△PF1F2内切圆半径的最大值．【解答】解：由椭圆+=1，得a2=25，b2=16，∴c2=a2﹣b2=9，则c=3，如图，∵=，∴2c?|yP|=（2a+2c）?r，则r=|yP|，要使△PF1F2内切圆半径最大，则需|yP|最大，∵|yP|≤b=4，∴△PF1F2内切圆半径的最大值为．故选：C．2.若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|}，则a+b的值为（）A．-10

B．-14

C．10

D．14参考答案：B3.在等差数列中，若则=

A．

B．

C．

D．1参考答案：A略4.现有5种不同颜色的染料,要对如图中的四个不同区域进行着色,要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色,则不同的着色方法的种数是（

）．

A．120

B．140

C．240

D．260参考答案：D略5.函数f(x)=ax3+3x2+2,若,则a的值是

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D6.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任）,要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有

A．420

B.360

C.400

D.380参考答案：A略7.已知a=，b=log2，c=，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【分析】判断a、b、c与1，0的大小，即可得到结果．【解答】解：a=∈（0，1），b=log2＜0，c=log＞1．∴c＞a＞b．故选：C．8.在等差数列{an}中,若,则等于(

)A.

B.2

C.

D.4参考答案：A9.过点（2,1）的直线中，被圆截得弦长最长的直线方程为（

）A. B. C. D.参考答案：A10.已知平面向量满足的夹角为60°，若则实数的值为（

）A．1

B．

C．2

D．3参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，DACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________.

参考答案：.解析：连A1B，沿BC1将△CBC1旋转与△A1BC1在同一个平面

内，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值.如下图所示，通过计算可得DA1C1B＝90°，又DBC1C＝45°，\DA1C1C＝135°，由余弦定理可求得A1C＝.12.(Cx＋Cx2＋Cx3＋Cx4)2的展开式的所有项的系数和为.参考答案：略13.不等式的解为

．参考答案：14.曲线（为参数）与曲线

（为参数）的交点个数为__________个.

参考答案：415.将全体正整数排成一个三角形数阵：12

34

5

67

8

9

10．．．．．．．按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为

．参考答案：16.（概率）抛掷一枚均匀的正方体骰子，点数为3的倍数的概率为

.

参考答案：1/3略17.函数f（x）=x3+sinx，（﹣1＜x＜1），若f（x2）+f（﹣x）＞0，则实数x的取值范围是：．参考答案：（﹣1，0）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，分析可得函数f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上增函数，由此可以将f（x2）+f（﹣x）＞0转化为，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=x3+sinx，f（﹣x）=（﹣x）3+sin（﹣x）=﹣（x3+sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，其导数f′（x）=3x2+cosx，又由﹣1＜x＜1，则有f′（x）=3x2+cosx≥0，故函数f（x）为增函数，f（x2）+f（﹣x）＞0?f（x2）＞﹣f（﹣x）?f（x2）＞f（x）?，解可得：﹣1＜x＜0，即x的取值范围是（﹣1，0）；故答案为：（﹣1，0）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若对于x1，x2∈R且x1＜x2，f(x1)≠f(x2).试证明：方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有两不等实根，且必有一个实根属于(x1，x2)．参考答案：即函数g(x)在区间(x1，x2)内有零点，则方程g(x)＝0有一实根属于(x1，x2)，由二次函数的性质可知必有另一实根．

19.已知数列{an}满足：a1=3，an=an﹣1+2n﹣1（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项；（Ⅱ）若bn=n（an﹣1）（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn；（Ⅲ）设cn=，Tn=2c1+22c2+…+2ncn（n∈N*），求证：Tn＜（n∈N*）．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（I）利用“累加求和”即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）及题设知：，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出；（III）利用“裂项求和”即可得出．【解答】（I）解：∵，∴当n≥2时，an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣1﹣an﹣2）+（an﹣an﹣1）=；又，故．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及题设知：，∴∴∴．（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）及题设知：，∴，∴即

，∴．【点评】本题考查了“累加求和”方法、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）根据条件利用等比数列的公式，求出公差，即可求数列{an}的通项公式；（2）化简bn=2，然后根据等比数列的前n项和公式即可求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）∵a1，a3，a7成等比数列．∴a32=a1a7，即（a1+2d）2=a1（a1+6d），化简得d=a1，d=0（舍去）．∴S3=3a1+=a1=9，得a1=2，d=1．∴an=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）=n+1，即an=n+1．（2）∵bn=2an=2n+1，∴b1=4，．∴{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴Tn==2n+2﹣4．【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用，以及等比数列前n项和的计算，要求熟练掌握相应的公式．21.函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a（a∈R），e为自然对数的底数．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若存在实数x∈（1，+∞），满足f（x）＜0，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）a=1时，f′（x）=ex（2x+1）﹣1，f′（0）=0，且函数f′（x）在R上单调递增，即可得出函数f（x）的单调性；（2）由f（x）＜0，则ex（2x﹣1）﹣ax+a＜0，ex（2x﹣1）＜a（x﹣1），由x＞1，化为a＞，利用导数研究其单调性即可得出g（x）的最小值．【解答】解：（1）f′（x）=ex（2x+1）﹣a，a=1时，f′（x）=ex（2x+1）﹣1，f′（0）=0，且函数f′（x）在R上单调递增，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；函数f（x）在（0，+∞）单调递增．（2）由f（x）＜0，则ex（2x﹣1）﹣ax+a＜0，ex（2x﹣1）＜a（x﹣1），∵x＞1，∴a＞，令g（x）=，则g′（x）=，∴函数g（x）在（1，）上单调递减；在（，+∞）上单调递增．∴当x=时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（）=4，∴x＞1时，a＞4，∴实数a的取值范围是（4，+∞）．22.已知函数，其中a，b∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，求b的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；7E：其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即为点的斜率，再根据f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，解出a值；（Ⅱ）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，因极值点含a，需要分类讨论它的单调性；（Ⅲ）已知，恒成立的问题，要根据（Ⅱ）的单调区间，求出f（x）的最大值，让f（x）的最大值小于10就可以了，从而解出b值．【解答】解：（Ⅰ）解：，由导数的几何意义得f'（2）=3，于是a=﹣8．由切点P（2，f（2））在直线y=3x+1上可得﹣2+b=7，解得b=9．所以函数f（x）的解析式为．（Ⅱ）解：．当a≤0时，显然f'（x）＞0（x≠0）．这时f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上内是增函数．当a＞0时，令f'（x）=0，解得．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：xf′（x）+0﹣﹣0+f（x）↗极大值↘↘极小值↗所以f（x）在，内