数列专题讲义

教师辅导讲义〔2〕讲义编号：学员编号年级高三课时数学员姓名辅导科目数学学科教师戴老师课题数列专题授课时间：教学目标教学内容备考策略：数列问题历来是江苏卷压轴题的必考内容，解答题中难度很大，填空题根本上为根底题，所以在今后的复习中需要关注以下几点：1．等差、等比数列的根本量的求解．2．等差、等比数列的性质如等差(比)中项．3．多采取从特殊到一般研究问题的角度．4．恒等问题和不等关系根本论证的训练．数列通项及求和主干知识整合：1．数列通项求解的方法(1)公式法；(2)根据递推关系求通项公式有：①叠加法；②叠乘法；③转化法．(3)不完全归纳法即从特殊到一般的归纳法；(4)用an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1,Sn－Sn－1n≥2))求解．2．数列求和的根本方法：(1)公式法；(2)分组法；(3)裂项相消法；(4)错位相减法；(5)倒序相加法．►探究点一公式法如果所给数列满足等差或者等比数列的定义，那么可以求出a1，d或q后，直接代入公式求出an或Sn.例1(1)正数数列{an}对任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap·aq，假设a2＝4，那么an＝________.,(2)数列{an}为正项等比数列，假设a2＝1，且an＋an＋1＝6an－1(n∈N，n≥2)，那么此数列的前n项和Sn＝________.(1)2n(2)2n－1－eq\f(1,2)【解析】(1)由ap＋q＝ap·aq，a2＝4，可得a2＝aeq\o\al(2,1)＝4⇒a1＝2，所以ap＋1＝ap·a1，即eq\f(ap＋1,ap)＝a1＝2，即数列{an}为等比数列，所以an＝a1·qn－1＝2·2n－1＝2n.设等比数列的公比为q，由an＋an＋1＝6an－1知，当n＝2时，a2＋a3＝6a1.再由数列{an}为正项等比数列，a2＝1，得1＋q＝eq\f(6,q)，化简得q2＋q－6＝0，解得q＝－3或q＝2.∵q>0，∴q＝2，∴a1＝eq\f(1,2)，∴Sn＝eq\f(\f(1,2)1－2n,1－2)＝2n－1－eq\f(1,2).【点评】这两题都是由“ap＋q＝ap·aq”和“an＋an＋1＝6an－1”推出其他条件来确定根本量，不过第(1)小问中首先要确定该数列的特征，而第(2)小问已经明确是等比数列，代入公式列方程求解即可．{an}是等差数列，a10＝10，前10项和S10＝70，那么其公差d＝________.eq\f(2,3)【解析】方法一：因为S10＝70，所以eq\f(10a1＋a10,2)＝70，即a1＋a10a10＝10，所以a1＝4，故9d＝10－4＝6，所以d＝eq\f(2,3).方法二：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋9d＝10，,10a1＋45d＝70，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝\f(2,3).))►探究点二根据递推关系式求通项公式如果所给数列递推关系式，不可以用叠加法或叠乘法，在填空题中可以用不完全归纳法进行研究．例2(1)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(5an－13,3an－7)(n∈N*)，那么数列{an}的前100项的和为________．(2)数列{an}，{bn}满足a1＝1，a2＝2，b1＝2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i＋j＝k＋l时，都有ai＋bj＝ak＋bl，那么eq\f(1,2010)的值是________．(1)200(2)2012【解析】(1)由a1＝2，an＋1＝eq\f(5an－13,3an－7)(n∈N*)得a2＝eq\f(5×2－13,3×2－7)＝3，a3＝eq\f(5×3－13,3×3－7)＝1，a4＝eq\f(5×1－13,3×1－7)＝2，那么{an}是周期为3的数列，所以S100＝(2＋3＋1)×33＋2＝200.(2)由题意得a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5；b1＝2，b2＝3，b3＝4，b4＝5，b5an＝n，bn＝n＋1；设cn＝an＋bn，cn＝an＋bn＝n＋n＋1＝2n＋1，那么数列{cn}是首项为c1＝3，公差为2的等差数列，问题转化为求数列{cn}的前2010项和的平均数．所以eq\f(1,2010)＝eq\f(1,2010)×eq\f(2010×3＋4021,2)＝2012.【点评】根据数列的递推关系求数列的通项，除了常规的方法外，还可以用不完全归纳法进行研究，如数列周期性的研究．►探究点三数阵问题数阵问题主要指的是不仅仅是将数排成一列的数列，而是既有行的排列也有列的排列的数字规律变换的研究．例3所有正奇数如下数表排列(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：第一行1第二行35第三行791113……那么第6行中的第3个数是________．67【解析】先计算第六行第三个数为正奇数排列的第几个数，由1＋2＋4＋8＋16＋3＝34得所求的数为第34个，所以2×34－1＝67.【点评】数阵问题中第m行的第n个数的研究，需要分两步研究，第一步研究每一行的数变换规律，第二步再研究列的变换规律．此题实为将一个等差数列分成了假设干局部进行研究．下面的数组均由三个数组成，它们是：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(an，bn，cn)．(1)请写出cn的一个表达式，cn＝________；(2)假设数列{cn}的前n项和为Mn，那么M10＝________.(用数字作答)cn＝n＋2n2101【解析】由1,2,3,4,5，…猜测an＝n；由2,4,8,16,32，…猜测bn＝2n；由每组数都是“前两个之和等于第三个”猜测cn＝n＋2n.从而M10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝eq\f(10×10＋1,2)＋eq\f(2210－1,2－1)＝2101.►探究点四数列的特殊求和方法数列的特殊求和方法中以错位相减法较为难掌握，其中通项公式{anbn}的特征为{an}是等差数列，{bn}是等比数列．例4在各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝2a1＋3，且3a2，a4,5a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3an，求数列{anbn}的前n项和Sn.【解答】(1)设{an}公比为q，由题意得q>0，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝2a1＋3，,3a2＋5a3＝2a4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q－2＝3，,2q2－5q－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,q＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－\f(6,5)，,q＝－\f(1,2)))(舍去)，所以数列{an}的通项公式为an＝3·3n－1＝3n，n∈N*.(2)由(1)可得bn＝log3an＝n，所以anbn＝n·3n.所以Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1.②②－①得，2Sn＝－3－(32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1＝－(3＋32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1，＝－eq\f(31－3n,1－3)＋n·3n＋1＝eq\f(3,2)(1－3n)＋n·3n＋1＝eq\f(3,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,2)))3n＋1.所以数列{anbn}的前n项和为Sn＝eq\f(3,4)＋eq\f(2n－1,4)3n＋1.【点评】此题考查等差数列、等比数列的根底知识，第(1)问求数列的通项公式，主要是用解方程组的方法求出首项和公比，注意取舍；第(2)问，求数列的前n项和，主要考查错位相减法．错位相减时要注意各项的位置要错开，还要注意2Sn的左边的系数要处理后，才算求出Sn，最后还需要用n＝1,2进行检验．规律技巧提炼1．数列通项公式的研究主要是研究相邻项之间的关系，江苏卷对递推关系的考查不多，填空题中出现复杂递推关系时，可以用不完全归纳法研究．在解答题中主要是转化为等差、等比数列的根本量的求解．2．数列求和问题中特殊求和方法在江苏卷的考查也不多，主要还是利用公式法求数列的前n项和，再论证和的性质，故不过多涉及求和的技巧以及项的变形．江苏真题剖析例[2008·江苏卷]将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________【分析】此题考查了推理能力，但其本质为分组求和．数阵问题中的某一项的求解，需要先求行的规律，再求列的规律．【答案】eq\f(n2－n＋6,2)【解析】前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即eq\f(n2－n,2)个，因此第n行第3个数是全体正整数中第eq\f(n2－n,2)＋3个，即为eq\f(n2－n＋6,2).[2010·江苏卷]函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，aeq\o\al(2,k))处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，那么a1＋a3＋a5＝________.21【解析】此题考查了导数的几何意义，该知识点在高考考纲中为B级要求．函数y＝x2(x>0)在点(16,256)处的切线方程为y－256＝32(x－16)．令y＝0得a2＝8；同理函数y＝x2(x>0)在点(8,64)处的切线方程为y－64＝16(x－8)，令y＝0得a3＝4；依次同理求得a4＝2，a5a1＋a3＋a5＝21.专题十四等差、等比数列的性质主干知识整合：(1)等差数列①定义法：an＋1－an＝d(n∈N*)；②等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．(2)等比数列①定义法：eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；②等比中项：aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)．要点热点探究►探究点一等差、等比中项性质等差中项和等比中项不仅仅可以解决两项和(积)之间的等量关系，也可以进一步推广至假设干项如，假设m＋n＋p＝r＋s＋t，那么等差数列有am＋an＋ap＝ar＋as＋at；等比数列有am·an·ap＝ar·as·at.例1(1)[2011·广东卷]等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．假设a1＝1，ak＋a4＝0，那么k＝________.各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，那么a1a2…a9＝________.(1)10(2)50eq\f(3,2)【解析】(1)由S9＝S4，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，即5a7＝0，所以a7＝0，由a7＝a1＋6d得d＝－eq\f(1,6)，又ak＋a4＝0，即a1＋(k－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))＋a1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))＝0，即(k－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))＝－eq\f(3,2)，所以k－1＝9，所以k＝10.(2)由等比数列的性质知a1a2a3＝(a1a3)·a2＝aeq\o\al(3,2)＝5，a7a8a9＝(a7a9)·a8＝aeq\o\al(3,8)＝10，所以a2a8＝50eq\f(1,3)，所以a1a2…a9＝aeq\o\al(9,5)＝(eq\r(a2a8))9＝50eq\f(3,2).【点评】等差中项和等比中项的本质是整体思想运用，用来实现等量项之间的代换．这是在数列运用根本量研究外的一个重要的处理问题的手段．设等差数列{an}的公差为正数，假设a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，那么a11＋a12＋a13＝________.105【解析】由条件可知，a2＝5，从而a1＋a3＝10，a1a3＝16，得a1＝2，a3＝8，公差为3，所以a11＋a12＋a13＝6＋(10＋11＋12)×3＝105.►探究点二数列单调性的研究数列的单调性研究方法有三种：一是用数列的单调性的定义，如an＋1>an；二是假设数列是等差或等比数列可以观察其通项的系数特征；三是可以构造相应的函数，通过函数单调性得到对应数列的单调性．例2有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk(m，k＝1,2,3，…，n，n≥3)，公差为dm，并且a1n，a2n，a3n，…，ann成等差数列．且dm＝(2－m)d1＋(m－1)d2.(1)当d1＝1，d2＝3时，将数列{dm}分组如下：(d1)，(d2，d3，d4)，(d5，d6，d7，d8，d9)，…(每组数的个数构成等差数列)．设前m组中所有数之和为(cm)4(cm>0)，求数列{2cndn}的前n项和Sn；(2)设N是不超过20的正整数，当n>N时，对于(1)中的Sn，求使得不等式eq\f(1,50)(Sn－6)>dn成立的所有N的值．【解答】(1)当d1＝1，d2＝3时，dm＝2m－1(m∈N*)．数列{dm}分组如下：(d1)，(d2，d3，d4)，(d5，d6，d7，d8，d9)，…按分组规律，第m组中有(2m－1)个奇数，所以第1组到第m组共有1＋3＋5＋…＋(2m－1)＝m2个奇数．注意到前k个奇数的和为1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，所以前m2个奇数的和为(m2)2＝m4.即前m组中所有数之和为m4，所以(cm)4＝m4.因为cm>0，所以cm＝m，从而2cmdm＝(2m－1)·2m(m∈N*)．所以Sn＝1·2＋3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，2Sn＝1·22＋3·23＋5·24＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，故－Sn＝2＋2·22＋2·23＋2·24＋…＋2·2n－(2n－1)·2n＋1＝2(2＋22＋23＋…＋2n)－2－(2n－1)·2n＋1＝2×eq\f(22n－1,2－1)－2－(2n－1)·2n＋1＝(3－2n)2n＋1－6.所以Sn＝(2n－3)2n＋1＋6.(2)由(1)知dn＝2n－1(n∈N*)，Sn＝(2n－3)2n＋1＋6(n∈N*)．故不等式eq\f(1,50)(Sn－6)>dn就是(2n－3)2n＋1>50(2n－1)．考虑函数f(n)＝(2n－3)2n＋1－50(2n－1)＝(2n－3)(2n＋1－50)－100.当n＝1,2,3,4,5时，都有f(n)<0，即(2n－3)2n＋1<50(2n－1)．而f(6)＝9(128－50)－100＝602>0，注意到当n≥6时，f(n)单调递增，故有f(n)>0.因此当n≥6时，(2n－3)2n＋1>50(2n－1)成立，即eq\f(1,50)(Sn－6)>dn成立．所以，满足条件的所有正整数N＝6,7，…，20.【点评】此题第二小问构造了函数f(n)＝(2n－3)(2n＋1－50)－100，其中所构成的函数为一次函数与指数函数的乘积函数，由于g(n)＝2n－3，h(n)＝2n＋1－50都是单调递增函数，但不是恒正，故只有当n≥6时才能保证恒正，这样得到的函数f(n)才是单调递增函数，前五项的性质，可以代入后一一进行比拟．(1)数列{an}为等差数列，假设eq\f(a5,a6)<－1，那么数列{|an|}的最小项是第________项．数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，那么eq\f(an,n)的最小值为________．(1)6(2)eq\f(21,2)【解析】(1)由eq\f(a5,a6)<－1得，假设a6>0，那么a5<－a6<0，此时等差数列为递增数列，|a5|>|a6|，此时{|an|}中第6项最小；假设a6<0，那么a5>－a6>0，此时等差数列为递减数列，|a5|>|a6|，仍然有{|an|}中第6项最小．故{|an|}中的最小项是第6项．(2)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＋33＝n2－n＋33，所以eq\f(an,n)＝n＋eq\f(33,n)－1，设函数f(x)＝x＋eq\f(33,x)－1，那么f′(x)＝1－eq\f(33,x2)，从而在(eq\r(33)，＋∞)上函数f(x)为增函数，在(0，eq\r(33))上函数f(x)为减函数，因为n∈N＋，所以eq\f(an,n)在eq\r(33)附近的整数取得最小值，由于eq\f(a5,5)＝eq\f(53,5)，eq\f(a6,6)＝eq\f(21,2)，所以当n＝6时，eq\f(an,n)有最小值为eq\f(21,2).►探究点三等差、等比数列的证明等差、等比数列的证明方法有两种：一是用数列的定义；二是等差中项或等比中项，但其本质都是根据条件寻求相邻两项或几项之间的关系．例3数列{an}，{bn}满足bn＝an＋1－an，其中n＝1,2,3，….(1)假设a1＝1，bn＝n，求数列{an}的通项公式；(2)假设bn＋1bn－1＝bn(n≥2)，且b1＝1，b2cn＝a6n－1(n≥1)，求证：数列{cn}为等差数列．【解答】(1)当n≥2时，有an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋b1＋b2＋…＋bn－1＝1＋eq\f(n－1×n,2)＝eq\f(n2,2)－eq\f(n,2)＋1.又因为a1＝1也满足上式，所以数列{an}的通项为an＝eq\f(n2,2)－eq\f(n,2)＋1.(2)因为对任意的n∈N*有bn＋6＝eq\f(bn＋5,bn＋4)＝eq\f(1,bn＋3)＝eq\f(bn＋1,bn＋2)＝bn，所以cn＋1－cn＝a6n＋5－a6n－1＝b6n－1＋b6n＋b6n＋1＋b6n＋2＋b6n＋3＋b6n＋4＝1＋2＋2＋1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝7(n≥1)，所以数列{cn}为等差数列．【点评】此题中{cn}是由{an}构成，而数列{an}又由数列{bn}构成，所以此题要证明数列{cn}是等差数列，其本质还是论证数列{bn}的特征，其中bn＋6＝bn是数列周期性的证明．规律技巧提炼1．等差、等比数列性质很多，在江苏卷的考查中以等差中项和等比中项的考查为主，在运用该技巧时，要注意该等式两边的项数必须相等即两项与两项互换，三项与三项互换．2．在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．3．由一个数列构造生成的新数列，再证明其是否是等差或等比数列时，如果已经有通项公式，那么可以直接由通项公式的特征判断，如果只有递推关系，那么需要用定义来证明．江苏真题剖析：例[2009·江苏卷]设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，假设数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，那么6q＝________.【答案】－9【解析】由条件知数列{an}中连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由|q|>1，所以{an}中连续四项可能为(1)－24，36，－54,81，q＝－eq\f(3,2)，6q＝－9；(2)18，－24,36，－54，(该数列不成等比数列，不合题意)；其他情形都不符合．三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后，变成一个等比数列，那么此等比数列的公比是________．－2或－eq\f(1,2)【解析】设这三个数分别为a－d，a，a＋d(d≠0)，由于d≠0，所以a－d，a，a＋d或a＋d，a，a－d不可能成等比数列；假设a－d，a＋d，a或a，a＋d，a－d成等比数列，那么(a＋d)2＝a(a－d)，即d＝－3