2022-2023学年高一数学人教A版2019必修第二册试题7-3-1复数的三角表示式

731复数的三角表示式（分层作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

（2023•高一课时练习）以下不满足复数34的三角形式的是（？??？）.

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【分析】逐一计算每个选项即可得答案.

【详解】对于A：COS卜1+isin卜］）=g一亭,符合;

C陪）+isin⅛H+2li,不符合;

对于C：

对于D：CoSf也）+isinj也］=，-立i,符合

I3JI3J22

故选：C.

2.（2023•高一课时练习）下列结论中正确的是（????）.

A.复数Z的任意两个辐角之间都差2π的整数倍；

B.任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；

C.实数0不能写成三角形式；

D.复数0的辐角主值是0.

【答案】B

【分析】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0辐角判断各项的正误.

【详解】A：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为2π整数倍，错误;

B：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确；

C：OX（COSe+isin6）=0其中6eR,故实数O能写成三角形式，错误;

D：复数O的辐角主值不唯一，错误.

故选：B

3.（2023•高一课时练习）欧拉公式eκ=cosx+isinx建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的

天桥”，现有以下两个结论：①小+②。咔2π..2πCoS里+isin打

1=0;kSYiSicos——+ιsιn——=>.下

10101010

列说法正确的是（????）

A.①②均正确B.①②均错误C.①对②错D.①错②对

【答案】A

【分析】利用欧拉公式即可判断①，逆用欧拉公式即可判断②

【详解】®e,7t+1=cosπ+isinπ÷l=-l÷l=0

÷isinπɪ∣cos^÷isin⅛9π..9π

②COS—cos—+ιsιn—

(10IOA10101010

9.1

.ɪ.2π也∣++i

iIO=eT=cos^2Ξ=

=e10×e10××e10=e(,⅛⅛+isini

22

则①②均正确

故选：A

2π2π

4.（2022・全国•高一假期作业）复数Z=COS+isin的辐角主值为（????）

5)

A8π8πC.空C2π

A∙TB.D.——

555

【答案】A

2

【分析】设出辐角为利用公式计算出。=-（+ZE,%∈Z,结合辐角主值的取值范围求出答案.

2π2π

【详解】设复数Z=COS÷isin的辐角为凡

2π

则tanθ==tan

2

所以。=一μ兀+2E,k∈Z,

因为argze[(),2τι),

Qπ

所以当&=1时，满足要求，argz≈y

所以辐角主值为M

故选：A

02/18

5.（2022春•河北张家口•高一统考期末）欧拉公式e'°=cose+isine（e=2.71828）是由18世纪瑞士数学

:唱弓+?，则〜????）

家、自然科学家莱昂哈德・欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知e

A.]+2E(k∈Z)B.∙^+2Aπ(⅛∈Z)C.ʒ-+Aπ(⅛∈Z)D.ɪ+Aπ(⅛∈Z)

【答案】B

【分析】按已知公式展开，由等式列出方程组，解出即可.

【详解】e'β=cos0+isin(9,

θ+-=2kπ+-

63

故选：B.

二、多选题

6.（2022・高一单元测试）欧拉公式e"=CoSX+isinX（其中i为虚数单位，XeR）是由瑞士着名数学家欧

拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数

论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是（????）

A.复数e?i对应的点位于第三象限B.3'为纯虚数

C.复数的模等于;D.1的共聊复数为且i

√3+ι2e22

【答案】BC

【分析】根据欧拉公式写出e2i=cos2+isin2、e守=COS巴+isin工、eð''=cos-+isin-,再判断复数所在

2266

象限、类型及求模长、共轨复数.

【详解】由题知e2i=cos2+isin2,而cos2<0,sin2>0,则复数/对应的点位于第二象限，故A错误;

eɪ'=Cos-+isinɪɪi,贝IJ(Ji为纯虚数，故B正确;

22e

evicosx+isinx_(cosx+isinx')(∖∣3-i)_5^cosx+sinx>∕3sinX-COSX.则W的模为

----------------1T

√3+i√3+i^(√3+i)(^-i)-44

V3cosx÷sinxGsinx-CoS3cos2x÷sin2x+3sin2x+cos2x

ʌ,故C正确;

2

.=cos巴+isin乌=立+L,其共粗复数为也-Li,故D错误.

622

故选：BC

7.（2022春•江苏常州•高一统考期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，

并给出公式∕=CoSe+isin6（i为虚数单位，e为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据

此公式，下列说法正确的是（????）

A.e"表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限

B.ebr+l=0

【答案】BCD

【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项.

JT

【详解】解：对于A：e3i=cos3+isin3»因为二<3<万，所以sin3>0,cos3<0,

2

所以表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误；

对于B：e"÷1=cos^∙+isinæ∙+l=-l÷l=0,故B正确；

（]∕ξY/∖3（£V

对于C：-+—i=cos^+isin—=e3i'=e"r,=cos÷isin-1,故C正确

（22）（33；J

对于D：由3θ=COSe+isine,e~=cos（-6）+iSin（-，）=cos。-isin6,

/+p~iθ

所以/+e-J2cosO,所以CoSe=e2,选项D正确；

2

故选：BCD

三、填空题

8.（2023・高一课时练习）把复数TT（i为虚数单位）改写成三角形式为.

5π..5兀

——+ιsιn——

【分析】根据复数三角表示的定义求解即可.

【详解】由题可得r="（-评+（-1）2=夜,tanθ=[=l且e在第三象限,

—1

所以辐角的主值为5一π，

4

04/18

.rτ(5π..5兀)

所以-1-ι=√2cos—+ɪsɪn—

I44J

n:(5π..5兀)

故答案为:5/2COS-----F1sin—

I44)

9.（2023•高一课时练习）复数l+√5i（i为虚数单位）的辐角主值为

【答案】*600

【分析】将复数写成三角表达形式即可.

【详解】l+6i=2（cosg+ising）

故答案为：y

10.（2022春•上海闵行•高一校考期末）若复数z=-√5+i（i为虚数单位），则Mgz=

5TT

【答案】ɪ

6

【分析】将复数化为三角形式即可得辐角.

【详解】设复数Z的辐角为6，

⅛z=-75+i-2-^+ɪi=2^cos^+isin∙^j

所以argz="

6

故答案为：¥5TT

0

11.（2022・全国•高一专题练习）计算：3（cos?+isin?}2（cosK+iSinK）=

（用代数形式

表示）

【答案】-Ii

【分析】由复数三角形式的除法运算直接求解即可.

【详解】

Jπ..5π..5π

3cos—+ιsιn-÷2cos——+ιsm——

I33jI662J2

,3

故答案为：---ɪ.

2

12.(2023・高一课时练习)设0=-'+34,则㈤K)=

22

【答案】二+回

22

【分析】将复数0表示成三角形式，利用复数三角形式的乘方法则可化简GK）.

【详解】因为0=-1+且i=cos型+isin型，

2233

而卜I（2π..2πY°20π..20π2π..2π1ʌ/ɜ.

明以，O10=cos—+ɪsin—=Cos-----+ιsιn------=cos----i-ɪsɪn—=——+——ι.

（33）333322

故答案为：+.

22

13.（2023,高一课时练习）若Z=COSe-isin。（i为虚数单位），则使z?=-1的。的一个可能值是

【答案】ɪ（答案不唯一）

2

【分析】z2=-1EPcos2θ-isin2θ=-1,可得CoS2。=一1,sin2析=0,求得兄

【详解】解：.z=coSeTSin6（i为虚数单位），z2=T即cos26-isin29=T,

/.cos20=-1,sin20=0,.∙.26=2E+π,θ=kπ+-ZeZ.

29

所以〃的一个可能值是Tr:（满足e=E+27Γ,keZ）.

22

ITTT

故答案为：ɪ（满足+⅛eZ）.

22

四、解答题

14.（2023・高一课时练习）-3（cos]+isin]]是不是复数的三角形式？如果不是，将它表示成三角形式.

【答案】不是三角形式，三角形式表示为3（COSM+isin^）.

【分析】根据三角形式的定义判断，再根据三角形式的结构确定辐角主值即可求解.

【详解】因为三角形式是形如r（cos8+isin8）,r≥0的形式,

所以-3（cos]+is呜J不是三角形式,

因为-3卜osg+isin])=3(一cosɪ-isin

L兀6兀.兀.

且l-cos—=cos—,-sin—=sin

555

所以-31cosy+isi∏yj=31cos-y-÷isin-^

即复数的三角形式为3(CoS^+isin^).

15.(2023•高一单元测试)已知/(Z)=I—1,且/(z∣-Z2)=4+4i,若z∣=2-2i.

（1）求复数4的三角形式与argz∣;

06/18

∣

⑵求Z-Z2

z∣+z2

【答案】⑴Z∣=2&(cos号+isin∕j,argz∣=B

⑵百

【分析】(1)求出复数Zl的模和辐角主值后，可得复数Zl的三角形式;

Z112

(2)根据/(Z)=W-1,〃z「Z2)=4+4i以及z∣=2-2i求出Z2,将Zi和々代入可求出结果.

Z1+Z2

【详解】(1)因为z∣=2-2i,所以其模r=j2?+(-2>=2&,设其辐角为

则8S公统邛，Sine=羌=一容

因为复数4=2-2i对应的点(2,-2)在第四象限，所以argz∣=一，

4

所以复数4的三角形式为4=2√∑(cos亨+isin∏.

(2)因为/(Z)=Z—1,所以/(z∣—22)=4—z2T=Z-1=4+4i,

因为z∣=2-2i,所以2+2i-马-l=4+4i,

所以当=-3-2i,所以Z?=—3+2i,

∣_2-2i+3-2i5-4i

所以Z-Z?=√24+16=√4l.

Z1+Z2—2-2i-3+2i-1

16.(2022.全国•高一假期作业)已知复数Z=(〃?+3)-(m+l)i已在复平面内对应的点在第一象限，i是虚

数单位.

(1)求实数W的取值范围

(2)当加=-2时，求复数Z的三角表示

(3)若复平面内，向量OZ对应(2)中的复数z,把。Z绕点。顺时针方向旋转60。得到OZ「求向量04对

应的复数z,(结果用代数形式表示)

【答案】(I)(TT)

(2)z=V2∣cos—+sinɪi|

=2+Bi

22

∕w+3>O

【分析】(I)根据题意得l-(w÷l)>0'再求解集即可；⑵根据题意得z=l+i,再分别求出『，cos。，

a2+b2=2

Sine即可求解；(3)设OZl=(α,A),根据题意得,a*b_1,再分析求解即可.

,>∕2×∖∣a2+b22

(1)

因为复数Z=(m+3)-(m+l)i已在复平面内对应的点在第一象限，

∕n÷3>0/、

所以卜(…〉。,解得一3<…1，所以实数m的取值范围为：(Tf

⑵

______1/5

当机=—2时，z=l+i,所以尸=Jf+]?=,cosθ=sinθ=-j==

所以O=?,所以z=0(cos?+sin?i

(3)

根据题意得OZ=(1,1),设其旋转60。后对应向量OZ∣=(a,A),

l+√3l-√3

a2+b2=2a=--------a=--------

2

所以解得，2厂或,

a+bL,

bMfι1÷√3

+b^2

22

又因为绕点。顺时针方向旋转60。得到OZ1,所以OZl对应的点在第四象限,

^l+√3

‘三二，所以ZL匕虫+匕叵「

所以

,1-6122

b=--------

2

17.(2022・全国・高一专题练习)下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式.

⑴「2c°sO+isinL

v7,I1212

C1(2..2ʌ

(2)z=-∖cos-π-ism-π∖∙

22

(3)Z3=-2(COS9+isinθ).

【答案】(1)是三角形式.

(c』+isi4]

(2)不是三角形式，z2=∣

I33)

08/18

(3)不是二角形式，Zj-2[cos(π+0)+isin(π+^)]∙

【分析】(1)由复数的三角形式的特征判断即可;

(2)由复数的三角形式的特征判断，求出复数的模和辐角可得答案；

(3)由复数的三角形式的特征判断，求出复数的模和辐角可得答案.

(1)

解：z∣=2(cos++isin*)符合三角形式的结构特征，是三角形式.

(2)

解：由“加号连'’知，不是三角形式.

If2..2}ɪ√3.

z,=—CoS-1τ-ιsιn—万I=-----------ɪ，

-2133J44

1I4π

模r=：,cos。=-：.复数对应的点在第三象限，所以取，=?,

223

UUZ1(4••4)

所以Z2=51cos§;r+isin§7rJ；

(3)

解：由“模非负''知，不是三角形式.

复平面上的点Z∕(-2cos仇一2sin0)在第三象限(假定6为锐角)，余弦“一CoS夕，已在前，不需要变换三角函

数名称，因此可用诱导公式“兀+夕’将。变换到第三象限.

所以Z3——2(cos0÷isin6)=2[cos(ττ+6)+isin(π+0)].

18.(2022・全国・高一专题练习)设ZI=百+i,Z2=l-i,Z3=si∏C→icosC,求郎巨■的值

12121∙z3

【答案】-2√2-2√6i

【分析】将4,4化为三角形式，利用复数三角形式的乘除法、乘方运算直接求解即可.

1.rτ(lπ..7π∖

【详解】¾=√3+i=2∣cos—Fisin—,=l-ι=√2cos——+1sin——,

I66),I44)

【能力提升】

一、单选题

1.(2022•全国•高一假期作业)欧拉公式e"=cosx+isinx(i为虚数单位，XeR)是由数学家欧拉创立

的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥''.依据欧拉公式，下列选项正确的是

(????)

i

A.e次的虚部为iB.e+

e22

C.∣eri∣=∣cosx∣+∣sinx∣D.e?的共也复数为;-*i

【答案】D

【分析】对于A,由其虚部为1,可判断A；对于B,e争=-也→也i,判断B；对于C,

eτ22

∣eri∣=√cos½+sin2x=l,判断C；对于D,求得/结合共扼复数的概念即可判断.

【详解】对于A,e^=cos-+isin-=i,其虚部为1,故A错误；

22

对于B,e4'=COS-+isin-=-i,故B错误；

4422

对于C,exi=cosx÷isinx,则卜[=Jcos'x+sin?x=1,故C错误；

对于D,e至=CoS巴+isin工故J的共辄复数为L-3i,D正确，

故选：D

2.(2022•高一单元测试)在复平面内，复数z=α+6i(α,b∈R)对应向量为。Z(O为坐标原点)，设IOZl=r，

以射线Z为始边，OZ为终边逆时针旋转所得的角为0,贝IjZ=r(cose+isin。)，法国数学家棣莫弗发现棣

莫弗定理：Z]=4(cos6∣+isin(9∣),z2=^(cos6ζ+isinð,),则z∣z?=牝[cos(6∣+q)+isin(q+。)],由棣

莫弗定理导出了复数乘方公式：z"=[r(cose+isin6)r=r"(cos〃，+isin〃0(〃eN"),则(_[+百斤。=(????)

A.1024-I024√3iB.-1024+1024GiC.5l2-512√3iD.-512+512√3i

【答案】D

【分析】先将z=T+bi表示为三角形式，然后结合棣莫弗定理求得正确答案.

【详解】由题意，得当z=-l+√5i时，r=2,θ=y,

10/18

20πf_π∖π1.20π.πʌ/ɜ

•COS-----=CoSlZTT—I=—cos—=—,sin------Sin(7万一三=sin-=—,

3V3J32332

.∙.2"(CoS等+isin等)=2"[-g+李=-512+5l2√3i,

故选：D

3.(2023•高一课时练习)计算：(-l+^i)"'=(????).

A.1024-1024/；B.-1024+1024√3i:

C.512-512√3i:D.-512+512&

【答案】D

【分析】首先写成复数的三角形式，再利用乘方公式，即可化简求值.

【详解】设z=-l+√5i=2-→^-i=2fc0sy+isiny

=[2(c0sy+isin=2">(cos竽+isin竽

所以严

=-512+512√3i.

故选：D

4.(2022♦全国・高一专题练习)已知复数Z满足zi=4且z+W+√5∣z∣=0,则式3”：的值为(????)

l976976

A.-2B.一23952C.2'D.23952

【答案】D

【分析】首先根据条件求得复数Z,再利用三角函数表示复数，以及结合欧拉公式,计算复数的值.

【详解】设Z=X+yi(x,yeR),

Z-Z=(x+}i)(x->d)=X2+y2=4,即恸==2,

z+z+>∕2∣z∣=0<≠>2x+2yf2=0,解得：X=-V∑

.X2+y2=4,y=+yj2

当z=-0+√Σi时,

z=2=2∣cos—+sin

22I4

7

.3”、3952

ι—

l93ll4_<>3952J2964Λ-

则z÷≡2e一乙e

=23952[COS(2964Λ-)+isin(2964%)]

=23952(cos0+isin0)=2≡,

当Z=—y/2—V2i时，

ɔππ.

z=-2-2∖cos—+sin—ɪ=一2”

122JI44

则∕931+2MI988Λ∙

=23952[cos(988万)+isin(988万)]

=23952（cos0÷isin0）=23952,

故选：D

二、多选题

5.（2022・高一单元测试）已知单位向量OZroZ2分别对应复数Zr∑2,且OZ「OZ?=。，则F可能为（？??？）

A.iB.1C.-1D.-i

【答案】AD

【分析】根据题意，设复数ZLCoSa+isin4，z2=cos^+isin^2,计算可得至=±i,即可选出答案.

Z2

【详解】因为单位向量OZpOZ2分别对应复数4、Z2,

设复数ZI=cosa+isinθλ,z1=cosθ2+isinθ1,

.--TT

因为OZi∙0Z2=0,所以OZlj_oz2，即4-a=±,,

所以言=：；比黑=COS（…HiSiMiJ=COS阕+isin（±9=±i,

故选：AD.

6.（2022春・江苏宿迁•高一统考期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并

写出以下公式e"=8sx+isinxY是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的

t

地位，被誉为“数学中的天桥“，已知复数4=e∖Z2=e"LZ3=e%在复平面内对应的点分别为乙，Z2,

12/18

Z3,且心的共蛹复数为e"=e*,则下列说法正确的是(????)

B.e”表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限

lrv,ir5i

C.e'+e-+e∙=e^+e^^+e^

D.若Z∣,Z?为两个不同的定点，4为线段4Z2的垂直平分线上的动点，则区-Z3∣=%-Z3∣

【答案】ACD

【分析】根据共甑复数的定义及复数的几何意义，对各选项逐一判断即可.

【详解】解：对于A选项，e"=COSX+isinx,e'lr=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx

∙,∙elv+e^lv=2cos%,

则CoSX='+e—，选项A正确；

2

对于B选项，e2i=cos2+isin2，

£<2<乃，/.cos2<0,sin2>0,

2

∙∙∙e》表示的复数对应的点在复平面中位于第二象限，选项B错误；

L2

对于C选项，e"+eɑ+S"=(cosx1+COSΛ2+cosx3)+(sinx1÷sinx2+si∏Λ⅛)i

iA

则eI+e"2+e均=(∞sx1+cosx2+cosx3)-(sinΛ⅛÷sin¾+sin¾)i,

Ltv,bc2lt3

eM+e%+/=e^÷e~÷e^=(cosx1+cosx2+cosΛ3)-(sinx1+sinx2+si∏Λ⅛)i

iχ

.∙.e"∣+e%+e3=1+支+］，选项C正确；

对于D选项，％-Z3∣可转化为Zl与Z,两点间距离，"-Z3∣可转化为Zz与Z,两点间距离，

由于乙为线段ZZz的垂直平分线上的动点，

根据垂直平分线的性质可知Z1与Z∙i两点间距离等于Z2与Z,两点间距离，

∣jl∣∣∣zl-¾∣=∣z2-z3∣,选项D正确.

故选：ACD.

7.(2022春•江苏宿迁•高一统考期中)设Z-z2,Z3为复数，z∣≠0.下列命题正确的有(？??？)

A.^ziz2=zlz39则Z2=Z3B.若z；+z；>0,则z；>-∑2

C.∣z1+z2∣≤∣zl∣+∣z2∣D.若z：+z；=O,则Zl=O且Z2=0

【答案】AC

【分析】利用复数除法判断A,根据复数模的几何含义判断C,应用特殊值法判断B、D即可.

【详解】A：将z-=Z-两边同时除以z∣,可得Z2=Z3,正确;

B：若z；=l+i£=l-i,而复数不能比大小，故此时z；>-z；不成立，错误；

C：由复数模的三角含义有∣z∣+z2∣≤∣zJ+∣Z2∣,当z∣=初2且4>O时等号成立，正确；

D：若z；=-l+i£=l-i,此时zj+z”0,故此时ZI=O且Z2=O不成立,错误.

故选：AC

三、填空题

8.（2023・高一课时练习）计算：2（COSr+isin^）］=

【答案】-落上

【分析】根据复数的三角运算公式运算即可.

【详解】cosjξ-+isin∙^)]=

5

Ucosɪ+isin^T=(-16√3+16iΓ'=7~~_呼-也__

Ll66〃∖'(-16√3÷16i)(-16>Λ-16i),

π..π-16√3-16i√31.

2cos—+ism—---------------=-----------ɪ

6610246464

故答案为一备拉

9.（2。23.高一课时练习）将复数争Zi对应的向量绕原点逆时针方向旋唁后，所得向量对应的复数

为i,则复数Z=

【答案】那-0.5

【分析】先求得复数i对应的向量绕原点顺时针方向旋转号后，所得向量对应的复数，再利用复数相等即

可求得复数Z

【详解】由题意，复数i对应的向量绕原点顺时针方向旋转?后，所得向量对应的复数为@-Li

322

14/18

r∣ι∣∣ʌ/ɜ1.ʌ/ɜ.∣τ∣,∣।

则------1=——+Zl，则z=--

2222

故答案为:

.π.π

10.(2023・高一单元测试)已知复数Z=sin-----!cos—，若右=Z(w∈N*,且"≠1),则〃的最小值为

66

【答案】7

【分析】根据复数的三角表示及三角形式下的乘方求得-g=-∣→2Z乃次eZ,然后根据”的范围求得最

小值.

[详解]复数Z=Si吟TeOSA∙=cosgTsi∏W=cos[q)+isin(-3若

zπ=COS(一号)+isin(-g)=z=cos^-yj+isin^-

则-竺=-2+2Jbr«eZ,

33

则〃=—6k+l,ReZ,〃eN'，且〃工1

故〃的最小值为7,

故答案为：7.

11.(2022・全国•高一专题练习)对任意三个模长小于1的复数z∣,Z2,Z3,均有上邑+Z2Z3+Z3zj+%Z2Z3∣-＜几

恒成立，则实数2的最小可能值是.

【答案】10

【分析】利用复数的三角形式结合余弦函数的性质可得∣Z∕2+Z2Z3+Z3ZJ+LZ2Z3∣2的取值范围，从而得到

实数2的最小可能值.

【详解】设Zl=Ql(CoSa+isin6j),z2=yθ2(cosβ,+isin⅛),z?=∕¾(CoSa+isi∏q),

由题设有2∈[0,l)(i=l,2,3).

2

又归z?+z2z3+Z3Z11=[plp2CoS(a+幻+0203cos(a+a)+0R∞s(^∣+a)T

+

[pιp2sin(a+a)+PMsin(a+。3)+PiP3sin((9l+4)了,

2ɔ2222

=p；p;+p2p;+p；p3

+2日√⅛χ¾cos(4-4)+2月∣6∕⅞cos(α-夕2)+2。2夕:夕38s(a-q)，

22

rfij∣z,z2z3∣=(∣z,∣∣z2∣∣z3∣),

所以上仔2+Z2Z3+Z3zj+∣Z]Z2Z3∣~<4+2[cos(α-β,)+cos(6ζ-q)+cos(q,

而cos(a—q)+COS(α-a)+cos(a-q)≤3,当且仅当配名,a终边相同时等号成立，

故∣z∣z?+Z2Z3+Z3Z∣∣~+上仔2231<10,所以∕l≥10,

故实数2的最小可能值为10,

故答案为：10.

四、解答题

12.(2023•高一课时练习)设i为虚数单位，〃为正整数，^∈[0.2π).

(1)观察(COSe+isineP=COS26+isin2。，(CoSe+isin。)'=cos36+isin3。,

(CoSe+isin。)"=COS46+isin46,…猜测：(COSe+isin。)"(直接写出结果)；

(2)若复数z=>Λ-i,利用(1)的结论计算

【答案】⑴CoS"6+isinn6

(2)512+512√3i

【分析】(1)观察规律即可得；

(2)由特殊角三角函数得z=2(cos肾+isin等),结合(1)的结论及诱导公式化简求值即可.

【详解】(1)由观察得(COSe+isirIey=COS〃夕+isin〃夕；

由(1)得ZK)=2K)(COSf+isin等)

=2")(COSIOX∙!∙^+isin1OX

=2l0fcos-+isin-

I33J

=2l0CoS[18π+1)+isin(18π+5)]

=210(COS^+isin∙∣∙)

16/18

2'°

I22J

=512+512后

13.(2023・高一课时练习)如果复数z∣=∕[(cos6∣+isin6j,z2=r2(cosθ2+isin6ζ)(z2≠0),(其中q>0,

4>0,i为虚数单位).求证：五=二[cos(α-eJ+isin(α-%)].

Z2rI

【答案】证明见解析

【分析】利用复数代数形式的四则运算，结合三角函数的平方关系与和差公式即可得证明.

【详解】因为4=q(cosα+isin6j,z2=∕s(cos¾+isin^)(z2≠0),

所以Zl=CoSa+isi∏α)={(cos01+isin0l)(cos02-isinft)

Z20(C