吉林省长春市南关区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案）

2022-2023学年吉林省长春市南关区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.二次根式GZ在实数范围内有意义，贝Ik的取值范围是（）

A.X≤—3B.X>—3C.X>—3D.X≥3

2.下列运算正确的是（）

A.4√r3—√3=4B.V3XVβ=3V∑

C.Λ∕5+√5=5D.V15÷V5-3

3.已知关于X的一元二次方程m/-（z∏-l）x+^=0有两个实数根，则实数Tn的取值范围

是（）

A.m≥-ɪB.m<ɪ

C.m≥—；且Zn≠0D.m≤ɪ⅛τn≠0

4.用配方法解方程χ2+8x-2=0,配方后所得的方程是（）

A.（x+4）2=18B.（x-4）2=18C.（x+4）2=14D.（x-4）2=1

5.如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相

似比为2：3,且三角板的一边长为IoCnl,则投影三角板的对应边

长为（）行

A.IOcm

B.15cm

C.20cm

√20

D.—cm

6.如图是一架人字梯，已知AB=AC,两梯脚之间的距离BC=4米，AC

与地面BC的夹角为α,则人字梯4C长为（）

A.2cosa^.

B.4sinα米

C.二-米

COStt

士米

D.cosa

7.如图，AABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（-3,0）,现将AABC绕

点B按逆时针方向旋转90。，则旋转后点4的坐标是（）

A.(1,3)B.(-1,-4)C.(~2,—4)D.(—3,3)

8.如图，P是。ABCC内一点，连结P与。ABCD各顶点，口EFGH各顶点分别在边4P、BP、CP、

OP上，且H。=2PH,HG〃C。.若△PEF与4PGH的面积和为6,贝IJQ4BCO的面积为（）

A.108B.54C.18D.12

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.将舟化为最简二次根式的结果是_.

10.设m、n是一元二次方程M+4χ-7=0的两个根，贝∣j2m+2n的值为

11.若（=；，则亨=一.

14.如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E在边A。上，CE

与BO相交于点F.若4E=2,贝!]BF的长的—.

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题6.0分）

计算：（5√δ-√Π）x√5.

16.（本小题6.0分）

解方程：（x-5）（x+2）=1.

17.（本小题6.0分）

如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB.BC可分别绕点4、B转动，测量知AB=

10cm,BC=8cm.^AB,BC转动至∣JNB4E=70。，/ABC=65。时，求点C至IJ直线AE的距离.（

精确到0.1C机，参考数据：sin70o≈0.94,cos70o≈0.34,√2≈1.41）

图①图②

18.（本小题7.0分）

如图，是4X6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点，

△4BC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留

适当的作图痕迹.

(1)以点O为位似中心，画出△ABC的位似图形AOEF,使它与AABC的相似比为2：1.

(2)在线段OF上找出所有的点M,将线段OF分为2：3两部分.

r∙∙∖一∙-r∙∙∙-r∙∙∖

19.(本小题7.0分)

新时代教育投入得到了高度重视，某省2020年公共预算教育经费是200亿元，到2022年公共

预算教育经费达到242亿元.

(1)求2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率.

(2)按照这个增长率，预计2023年公共预算教育经费能否超过266亿元？

20.(本小题7.0分)

已知关于X的一元二次方程/+(2fc-l)x-fc-2=0.

(1)求证：无论/c取何值，此方程总有两个不相等的实数根.

(2)若方程有两个实数根X1、x2,⅛%ι+x2-4xix2=1,求k的值.

21.(本小题8.0分)

三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心.如图，G是△4BC重心.求证：BE=

3GE.

22.(本小题9.0分)

先阅读方框中方程的求解过程，然后解答问题:

解方程：X3-4x=0.

解：方程左边分解因式，

得X(X+2)(x-2)=0,

解得Xl=0>X2=-2,X3==2.

(1)解方程：2χ3+4χ2—io%=o.

(2)解方程:(x2+3x)2—(X2+3χ)=0.

(3)方程(2χ2+X_1)2+2(2X2+X)-17=0的解为—.

23.(本小题10.0分)

如图，正方形4BC0的边长为12,E是BC边上一点(与点B、C不重合)，连结。E,G是CB延长

线上的点，过点E作DE的垂线交乙4BG的角平分线于点F,若FGICG.

⑴求证：ADCESAEGF.

(2)若EC=9,求ABEF的面积.

(3)当BE为何值时，ABEF的面积最大，最大值是多少？

24.(本小题12.0分)

如图，在△48C中，ZC=90o,AC=3,AB=5,动点P从点4出发沿折线4C—CB以每秒5个

单位长度的速度向终点B运动.当点P不与A4BC的顶点重合时，过点P作PDIAB于点D,以PD

为边在PD的下方作正方形PDEF.设点P运动的时间为t秒.

(1)用含t的代数式表示线段PF的长.

(2)当点尸落在边BC上时，求t的值.

(3)作点C关于直线PF的对称点C,

①当点G在AABC的内部时，求t的取值围.

②连结EC1，当直线ECl与AABC的边平行时，直接写出t的值.

答案和解析

I.【答案】C

【解析】解：••・二次根式√Γ”在实数范围内有意义，

∙∙∙X+3≥O,

解得：X≥—3.

故选：C.

直接利用二次根式的定义得出x+3≥0,进而得出答案.

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键.

2.【答案】B

【解析】解：4√3-√3=3√3,故A不符合题意；

√3×√6=3√2.故8符合题意；

√5+√5=2√5,故C不符合题意；

√15÷√5=√3.故。不符合题意.

故选：B.

根据二次根式的加减运算可判断4,C,根据二次根式的乘除运算法则可判断B,D,从而可得答

案.

本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运

算法则”是解本题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：由题意得：Δ≥O,

■.[-(m-I)]2—4m×γ≥0,

整理得：m≤∣.

又•・,m≠0,

••・实数m的取值范围是Tn≤T且巾≠0.

故选：D.

由题意可得4>≥。且m≠0,然后解不等式即可.

本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一

隐含条件.

4.【答案】A

【解析】解：X2+8x-2=0,

X2+8x=2,

X2+8%+16=2+16,

(%+4)2=18,

故选：A.

利用解一元二次方程-配方法：当二次项系数化为1时，常数项等于一次项系数一半的平方，进行

计算即可解答.

本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：设投影三角尺的对应边长为XCrn,

•••三角尺与投影三角尺相似，

10：%=2：3>

解得X=15.

故选:B.

根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.

本题主要考查相似三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容，解决此问

题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.

6.【答案】C

【解析】解：如图，过点4作ACLBC,

•：AB=AC,

.∙.BD=CD=；BC=2(米)，

二在RtMDC中，cosa=

.∙∙AC=0=二-（米）

cosacosa'"

故选：C.

过点A作ADlBC,根据等腰三角形的性质可得，BC=2CD,再根据余弦的定义即可求解.

本题主要考查解直角三角形的应用、等腰三角形的性质，正确运用锐角三角函数是解题关键.

7.【答案】B

【解析】AZBC绕点B按逆时针方向旋转90。后，得到AA'BC',如图,

由图可知，点4'的坐标为(—1,—4),

故旋转后点4的坐标是(一1,一4).

故选：B.

根据网格的特点结合旋转的性质画出△4BC绕点B按逆时针方向旋转90。的图形，以此即可求解.

本题主要考查坐标与图形变化-旋转，解题关键是图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的

特殊性质来求出旋转后的点的坐标.

8.【答案】A

【解析】解：1■•HD=2PH=2EP,

PH1

λPD=3,

・・・四边形4BCD与四边形EFG”是平行四边形，

ʌEF=GH9AB=CD,ADllBC,AB//CD9EFllGH,EH//FGf

•・・EF//AB,

ʌGH//CD—,

〃fABPA

.GH_PH

∙*∙———=,—9

CDPD

ttEF__GH_

•而—丽‘

.竺_竺

,'~PA~~PD9

・・・ADllEH,

同理：FG//BC,

•・,EF//AB,

・••△PEFSAPABf

.PE_PF_1

Λ==一,

PAPB3

.SAPEF_fPH∖2_ɪ

•,S3ABTPD）-9'

同理，^δ≡=∣,

3APCDY

∙∙'SAPAB+SAPCD=,S平行四边形.co，

--111

=

・•・△PEF与^PGH的面积和为6=-（,SΔPAB+S"CO）ξ×尹平行四边形幺BCQ，

・・・。/8CO的面积=108.

故选：A.

根据平行四边形的性质和平行线的性质推出EH〃4D,FG//BC,根据相似三角形的性质得到

料"=镭A=3,同理，主一于是得到结论.

5∆PAB〃H9∙J>∆PCD9

本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是

解题的关键.

9.【答案】苧

【解析】解：第==苧，

故答案为：苧.

被开方数的分子分母乘以2,然后再开方即可.

此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被

开方数中不含能开得尽方的因数或因式.把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

10.【答案】-8

【解析】解：m、n是一元二次方程/+4x-7=0的两个根，

.∙∙m+n=—4,

2m+2n=2(m+n)=—8.

故答案为：-8.

直接根据根与系数的关系求解.

本题考查了根与系数的关系：若X1，%2是一元二次方程α∕+bx+c=0(αRo)的两根时，与+

b_c

x2=---xlx2=--

Ii.【答案】I

【解析】解：沁,可设y=2MX=7k,%是非零数，

则七2=7k-2k=5

JX7k~7,

故答案为：γ

根据比例的基本性质变形，代入求值即可.

本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键.

12.【答案】2

【解析】解：把X=-2代入一元二次方程k/-3x-2k2=6得4k+6-2⅛2=6,

整理得/-2k=0,

解得自=0,∕c2=2,

•••k≠0,

/c的值为2.

故答案为:2.

先把X=—2代入原一元二次方程得4k+6-2/=6,解关于k的方程得到B=0,k2=2,然后

根据一元二次方程的定义得到满足条件的k的值.

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.

13.【答案W

【解析】解：由题意得：

AC=√22+42=2√5,

AB=√32+32=3√2,

BC=√12+I2=√2(

.∙.ΛC2+BC2=ZlB2,

••.△ABC是直角三角形，

r,.z,BC√21

.∙.tanzBΛC=-=5√==-)

故答案为:

根据勾股定理的逆定理先证明AABC是直角三角形，然后在Rt△4BC中，利用锐角三角函数的定

义进行计算即可解答.

本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键.

14.【答案】与

【解析】解：四边形ABCC是矩形，且AB=6,BC=8,

ΛBD=yjAB2+AD2=√62÷82=10，

VAD=BC=8,AE=2,

DE=6,

・・・四边形ZBCD是矩形，

・・・ADllBC,

ʌ乙EDF=乙CBF,乙DEF=乙BCF,

••・△EDFCFB,

DFDE

V~BF=~BC"

BF8

40-4BF=3BF,

dc.40

故答案为：岑.

根据勾股定理求出BO=IO,再根据矩形的性质证明AEDFsACFB,再根据形似三角形的性质得

出关于BF的方程，解方程即可.

本题考查三角形相似的判定和性质，矩形的性质，关键是掌握三角形相似的判定和性质.

15.【答案】解：原式=(Io√Σ-2√5)x√5

=lθV6—6.

【解析】利用二次根式的混合运算法则计算即可.

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键.

16.【答案】解：方程化为/一3x-11=0,

Q=1,b=—3,C=-Il,

.・・∆=b2-4ac=9+44=53>0,

2

_-b±y∣b-4ac_3±√53,

ʌX=2a=

3+√533-√53

ʌxl=x2=

【解析】先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解.

本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握公式法解方程的一般步骤是解决问题的关键.

17.【答案】解：过点B作BMLAE,垂足为M,过点C作CNLAE,垂足为N,过点C作CD，BM,

・・・Z,AMB=乙BME=乙CNM=4CDM=乙CDB=90°,

・・.四边形MNn）是矩形，

.∙.DM=CN,

在RtM中，∆BAE=70o,AB=10cm,

・•・∆ABM=90o-∆BAE=20o,

BM=AB∙sin70o≈10×0.94=9.4(Crn),

vZ-ABC=65o,

Λ(CBD=∆ABC-∆ABM=45°,

・•・Z.BCD=90°-乙CBD=45°,

在RtZkBCO中，BC=8cm,

141

・・・BD=BC∙sin45o≈8×-^-=5.64(cm),

ΛDM=BM-BD=9.4-5.64≈3.8(cm),

.∙.DM=CN—3.8cm,

，点C到4E的距离为3.8cm.

【解析】过点B作BMLAE,垂足为M,过点C作CN_L4E,垂足为N,过点C作CD_LBM,垂足为

D,从而可得四边形MNCO是矩形，进而可得DM=CN,先在RMBM中，利用锐角三角函数的定

义求出BM的长，并且可以求出乙48M=30°,从而求出4C80=45°,进而求出NBCo=45°,然

后在RtABCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，进行计算即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关

键.

18.【答案】解：(1)如图，AOEF即为所求.

(2)如图，点Mi，M2满足要求.

证明：由作图知，NM7JIAD,

：.FN：NA=FM2:M2D,

-FN：NA=2：3,

:，FM2:M2D=2：3,

即点“2满足要求,

同理：Ml也满足要求.

【解析】(1)根据位似的性质作图即可.

(2)取格点G,H,K,N,连接GH,KN,分别交。F于点

O

M2,则点M2满足要求.

本题考查作图-位似变换，熟练掌握相似的性质是解答本题的关键.

19.【答案】解：(1)设2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率为工,

依题意得:200(1+X)2=242,

解得：Xi=0.1=10%,刀2=-2.1(不合题意，舍去)，

答：2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率为10%；

(2)由题意得：2023年公共预算教育经费为242×(1+10%)=266.2(亿元)，

266.2>266,

二按照这个增长率，预计2023年公共预算教育经费能超过266亿元.

【解析】(1)设2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率为X,利用2022年公共预算教育

经费=2020年公共预算教育经费X(1+年平均增长率)2,即可得出关于X的一元二次方程，解之取

其正值即可得出结论；

(2)由题意求出2023年公共预算教育经费，即可解决问题.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

20.【答案】(1)证明：∙.∙21=(2⅛-l)2-4×l×(-fc-2)

=4A:2+1-4fc+4∕c+8

=4∕c2+9>0,

・•・无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

(2)解：由根与系数的关系得出：Xi+X2=^^(2∕C-1),X1X2=-k-2,

由#1+%2-4巧久2——1得：—(2k—1)—4(—k—2)=1,

解得：k=-4.

【解析】(1)根据根的判别式得出4,据此可得答案；

(2)根据根与系数的关系得出Xi+X2=—(2fc—1),X1X2=—k—2,代入Xl+x2-4x1x2=1得出关

于k的方程，解之可得答案.

本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握打,冷是方程久2+px+q=0的

两根时，x1+x2=-p>X1X2=<7.

21.【答案】证明：连接DE,

•••点G是△/!BC的重心，

・••点E和点。分别是AB和BC的中点，

.∙.DE是△4BC的中位线，

DE//ABS.DE=^AB,

**.△Z)EGS△BAG9

DEEG1

Λ——=——=—,

ABBG2

..星=L

BE3

ʌBE=3GE,

【解析】根据题意，可以得到DE是aABC的中位线，从而可以得到DE〃AB且DE=g∕W,然后即

可得至IJADEGsABAC,即可得到EG和BE的比值，进而可得出结论.

本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形

结合的思想解答.

22.【答案】X1=x2=

【解析】解：(l)2x3+4X2-IOx=0.

2x(x2+2%—5)=0,

2x=0或/+2χ­5=0,

解得：%ι=0,%2=-1+V6»%3=—1—√6*

(2)(x2+3%)2—(x2+3x)=0,

(x2+3X)(X2÷3%-1)=0,

X2+3x=。或产+3%—1=0,

-3+√13-3-√13

解得：XI=O,x=-3,χ

23-2-X4~~2^~

(3)(2x2+%—1)2+2(2X2+x)-17=0,

(2x2+x-l)2÷2(2x2+x-l)-15=0,

(2%24-X—1+5)(2%?4-X—1-3)=0,

(2x2+x+4)(2X2+χ-4)=0,

2x2+%+4=O或2/+%—1—3=0,

方程2/+%+4=O无解；

-l+√33-l-√33

解方程2/+%-4==O得:xl=-4-，%2=-4-

故答案为：X=-l+√33-l-√33

1^4;，%42=4T

(1)先把方程的左边分解因式，即可得出两个方程2%=。或％2+2%-5=0,再求出方程的解即可;

(2)先把方程的左边分解因式，即可得出两个方程/+3%=O或M+3%-1=0,再求出方程的解

即可;

(3)变形后把方程的左边分解因式，即可得出两个方程27+χ+4=O或2/+%-1-3=0,再

求出方程的解即可.

本题考查了解高次方程和解一元二次方程，能把高次方程转化成一元二次方程或一元一次方程是

解此题的关键.

23.【答案】(1)证明：•••四边形ZBCD是正方形,

.∙.CD=BE,ZC=∆ABC=90°,

VDE1EF,FG1CG,

乙FED=90o=Z.FGE=H

•••乙DEC+∆EDC=90o=∆AEG+乙DEC,

・•・∆AEG=乙EDC,

.∙∙∆DCE~>EGF；

(2)解:VEC=9,BC=CD=12,

.・.BE=3,

•・•8尸平分Z48G,∆ABG=90°,

・•・Z.FBG=45°,

ʌ乙FBG=乙BFG=45°,

••・FG=BG,

∙.,∆DCESbEGF,

FGGE

***--~~~,

ECCD

.FG_FG+3

912

・•・FG=9,

1127

:∙SABEF=/BE∙FGEX3x9=学

(3)解:设BE=%,K∣JCF=12-X,

∙∙,∆DCE~>EGF,

FGGE

Λ---=----,

ECCD

FG_FG+x

ʌ12-x=12,

.∙.GF=12-x,

∙,∙SABEF=TXBE∙FG=TX(12—%),%=—ɪ(%—6)2+18,

・・・当％=6时,ABE尸的最大面积为18,

・•・当BE为6时，ABEF的面积最大，最大值是18.

【解析】(1)由余角的性质可得乙4EG=KEDC,可得结论；

(2)由相似三角形的性质可得尊=需，可求FG的长，即可求解；

L.CCu

(3)设BE=%,贝IJCE=I2-和由相似三角形的性质可得北=萼，可求尸G的长，由二次函数的

LCCU

性质可求解.

本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的面积公式等知

识，证明三角形的相似是解题的关键.

24.【答案】解：(1)由题意得AP=53

①当点P在边47上，即0≤t≤∣时，如图，

在448C中，ZC=90o,AC=3,AB=5,

・・・BC=y∕AB2-AC2=√52-32=4，

•・•PDLABf

，Z.ADP=90°,

・•・∆ADP=ZC,

V∆PAD=乙BAC,

・•・△APD-ΔABC,

PDBCfcjπPD4

APAB1St5

・•.PD=4t,

・・・四边形PDEF是正方形，

.・・PF=PD=4t；

②当点P在边BC上，即∣<t［时，如图,

•・・AC+CP=5t,AC+BC=3+4=7,

/.BP=7-5t,

•・•乙BDP=∆C=90°,乙PBD=Z.ABC,

•••△BPDSABAC9

.・・生=也，即包=3,

BPAB17-5t5

21-15t

・•・PD=

-5~~

•・•四边形PDEF是正方形,

・・・21-15t

PF=PD-5-

4t(0≤t≤∣)

综上所述,线段PF=

失%l<W)∙

(2)如图，AP=53点尸在BC边上,

.∙.PC=AC-AP=3-5t,

由(1)知：DP=PF=4t,AAPDTABC,

AD_AC即丝_ɜ

∙t∙AP-AB9即St-5,

：・AD=33

・・・四边形PDEF是正方形，

：•乙DPF=90°,

ʌ∆APD+∆FPC=90°,

•・•∆ADP=∆C=90°,

ʌ∆APD+Z-A=90°,

∆A=LFPC,

••・△APD^Δ,PFC,

.AD_PCg∩3t_3-5t

ʌ布=而‘USt=4£'

解得：t=袅

(3)①如图，取AC、BC的中点M、N,

当点P运动到点M时，直线PF与MN重合，

.∙.5t=p

解得：t=^，

当点P运动到点N时，直线PF与MN重合，

.∙∙5t=∣+2,

解得：t=A

・•・当C关于直线PF的对称点CI在^ABC的内部时，t的取值范围为4<t<I或?<t<⅛.

ɪMɔɔJk.U

②当ECJ/BC时，如图，连接CCl交PF于H,延长ECl交4C于G,

-C1.C关于直线PF对称，

・・・CCl=2CH,CC1JLPH,

-AP=5t,AD=3t,PD=43CP=3-53乙CHP=乙DPF=90。,

・・・CC√∕DP,

Z-C1CG=∆APD1

•・•EC1∕∕BC,

・•.∆AGE=∆ACB=90°,

ooo

ʌ∆CGC1=180-90=90,

•・•∆ADP=90o,

乙

・・・ZCGC1=∆ADP=CHP,

∙,∙∆