圆周角 省赛一等奖完整版

24.1圆的有关(yǒuguān)性质第二十四章圆24.1.4圆周角第一页，共四十三页。学习(xuéxí)目标1.理解圆周角的概念，会叙述(xùshù)并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.第二页，共四十三页。

问题1

什么(shénme)叫圆心角？指出图中的圆心角？

顶点(dǐngdiǎn)在圆心的角叫圆心角,

∠BOC.导入新课A复习(fùxí)引入2.上节课我们学习了一个反映弧、弦、圆心角三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？答:在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。第三页，共四十三页。定义：顶点在圆上,并且两边(liǎngbiān)都与圆相交的角,叫做圆周角..OBCA特征(tèzhēng)：①角的顶点(dǐngdiǎn)在圆上.②角的两边都与圆相交.问题2

如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?

∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.第四页，共四十三页。oABC你能说出圆周角与圆心角的区别(qūbié)吗？圆周角的顶点(dǐngdiǎn)在圆上；圆心角的顶点是圆心.第五页，共四十三页。判断(pànduàn)下列各图中，哪些是圆周角，为什么？oABoABoABoABoABoABoABoABoABCCCCCCCC巩固(gǒnggù)：第六页，共四十三页。有没有圆周角？有没有圆心角？它们有什么共同(gòngtóng)的特点？它们(tāmen)都对着同一条弧⌒⌒⌒第七页，共四十三页。

下列图形中，哪些(nǎxiē)图形中的圆心角∠BOC和圆周角∠A是同对一条弧。第八页，共四十三页。如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想(cāixiǎng)∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.圆周角定理及其推论二第九页，共四十三页。2.当圆心(yuánxīn)在圆周角内部时提示:能否(nénɡfǒu)转化为1的情况?过点B作直径(zhíjìng)BD.由1可得:∴∠ABC=∠AOC.∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,●OABCD第十页，共四十三页。3.当圆心(yuánxīn)在圆周角外部时提示:能否转化(zhuǎnhuà)为1的情况?过点B作直径(zhíjìng)BD.由1可得:∴∠ABC=∠AOC.∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,●ODABC第十一页，共四十三页。

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于(děngyú)这条弧所对的圆心角的一半．概括(gàikuò)：圆周角定理(dìnglǐ)第十二页，共四十三页。BAO.70°x1.求圆中角X的度数(dùshu)AO.X120°CCDB第十三页，共四十三页。2、如图，AB是⊙O的直径(zhíjìng)，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角，若∠BCD=25°，则∠AOD=

。

130°第十四页，共四十三页。3.已知△ABC的三个顶点(dǐngdiǎn)在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,则∠AOB=

．BACO166°第十五页，共四十三页。4、如图，在⊙O中，弦DC,AB的延长线相交(xiāngjiāo)于点P，如果∠AOD=1200,∠BDC=250,那么∠P=

．ADCPBO第十六页，共四十三页。问题1

如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A,D是上任意(rènyì)两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.D∴∠BAC=∠BDC相等(xiāngděng)第十七页，共四十三页。DABOCEF问题(wèntí)2

如图，若则∠A与∠B相等吗？相等(xiāngděng)想一想：反过来，若∠A=∠B，那么(nàme)成立吗？CD=EF((CD=EF((CD=EF((第十八页，共四十三页。圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等(xiāngděng).知识(zhīshi)要点A1A2A3第十九页，共四十三页。1、如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角(nèijiǎo)分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ABCD12345678∠1=∠4∠5=∠8∠2=∠7∠6=∠3巩固(gǒnggù)：第二十页，共四十三页。2、如果(rúguǒ)∠A=44°,则∠BOC=____.如果∠BOC=44°,则∠A=____.如果∠A=35°,则∠BDC=____.OABCD圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等(xiāngděng)，都等于这条弧所对的圆心角的一半．88°22°22°第二十一页，共四十三页。3.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在(suǒzài)直线的同侧，∠BAC=35º.(1)∠BOC=

º，理由(lǐyóu)是

;(2)∠BDC=

º，理由是

.7035同弧所对的圆周角相等(xiāngděng)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半第二十二页，共四十三页。4.如图，已知BD是⊙O的直径(zhíjìng)，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.60°A【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题(wèntí),要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.第二十三页，共四十三页。如图，已知AB=AC，∠APC=60°求证(qiúzhèng)：△ABC是等边三角形．第二十四页，共四十三页。想一想如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意(rènyì)一点（除点A、B外），那么，∠ABC就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？·OACB解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.第二十五页，共四十三页。圆周角和直径的关系圆周角和直径的关系(guānxì)：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.知识(zhīshi)要点第二十六页，共四十三页。典例精析例1

如图，AB是☉O的直径(zhíjìng)，∠A=80°.求∠ABC的大小.OCAB解：∵AB是☉O的直径(zhíjìng)，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角等于90°.）∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB

=180°-90°-80°=10°.第二十七页，共四十三页。如图，BD是⊙O的直径(zhíjìng)，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(

)A．30°B．45°C．60°D．75°解析(jiěxī)：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.方法总结：在圆中，如果(rúguǒ)有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．C第二十八页，共四十三页。如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接(liánjiē)AE，则∠AEB的度数为（）36°第二十九页，共四十三页。如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径(zhíjìng)，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（）A．116° B．32° C．58° D．64°B第三十页，共四十三页。例.如图⊙o的直径(zhíjìng)AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙o与D,求BC,AD,BD的长.ACBDO解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造(gòuzào)直角三角形来求解.第三十一页，共四十三页。如图，⊙O的直径(zhíjìng)AC为13cm，弦AD为5cm.（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B,求AB、BC的长．B第三十二页，共四十三页。例4

如图,AB是⊙O的直径(zhíjìng),弦CD交AB于点P,∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数..OADCPB解:连接(liánjiē)BC,则∠ACB=90°,∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°.又∵∠BAD=∠DCB=30°,∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.第三十三页，共四十三页。如果一个(yīɡè)多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形三第三十四页，共四十三页。

如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.

探究(tànjiū)性质猜想(cāixiǎng)：∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为：

∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º想一想：如何证明(zhèngmíng)你的猜想呢？第三十五页，共四十三页。∵弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角(zhōujiǎo)，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°，证明(zhèngmíng)猜想归纳(guīnà)总结推论：圆的内接四边形的对角互补.第三十六页，共四十三页。CODBA∵弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角(zhōujiǎo)，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°，E延长(yáncháng)BC到点E，有∠BCD＋∠DCE＝180°.∴∠A＝∠DCE.想一想图中∠A与∠DCE的大小(dàxiǎo)有何关系？第三十七页，共四十三页。归纳(guīnà)总结推论(tuīlùn)：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.CODBAE第三十八页，共四十三页。1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=

，∠D=

.2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠D=

.

70º100º90º练一练第三十九页，共四十三页。如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么(nàme)∠BCD是(

)A．120°B．100°C．80°D．60°