余角和补角 完整版

4.3.3余角(yújiǎo)和补角第四章图形(túxíng)初步认识导入新课讲授(jiǎngshòu)新课当堂练习课堂小结4.3角第一页，共三十一页。学习目标1.

了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.(重点、难点(nádiǎn))2.

了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.(难点)第二页，共三十一页。导入新课情境(qíngjìng)引入

将一张长方形纸片，沿一个角折叠(zhédié)后，折痕与长方形的边形成了4个角.1234思考(sīkǎo)：1.∠1与∠2有什么数量关系？∠1+∠2=90°2.∠3与∠4有什么数量关系？∠3+∠4=180°第三页，共三十一页。讲授(jiǎngshòu)新课余角和补角的概念一1

如果两个(liǎnɡɡè)角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角(简称为两个角互余).

如图，可以(kěyǐ)说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余.2第四页，共三十一页。图中给出的各角，哪些(nǎxiē)互为余角？15o24o66o75o46.2o43.8o第五页，共三十一页。

如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角(bǔjiǎo)

(简称为两个角互补).

如图，可以说∠3是∠4的补角(bǔjiǎo)，或∠4是∠3的补角，或∠3和∠4互补.43第六页，共三十一页。图中给出的各角，哪些(nǎxiē)互为补角？10o30o60o80o100o120o150o170o第七页，共三十一页。例1

若一个角的补角(bǔjiǎo)等于它的余角的4倍，求这个角的度数.解：设这个(zhège)角为x°，则它的补角是(180－x)°，

余角是(90－x)°.根据题意，得180－x=4(90－x).

解得x=60.答：这个角的度数是60°.典例精析第八页，共三十一页。练一练

已知∠A与∠B互余，且∠A的度数(dùshu)比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数.解：设∠B的度数为x°，则∠A的度数为

(3x+30)°.根据(gēnjù)题意得：x+(3x+30)=90.解得x=15.故∠B的度数为15°.第九页，共三十一页。例2

如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补(hùbǔ)，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．O

DA

B

C

N

M

解：设∠AOB=x，因为(yīnwèi)∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC=180°-x．因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，所以∠AOM=，∠AOM=.第十页，共三十一页。O

DA

B

C

N

M

所以解得x=50°，则180°-x=130°.即∠AOB=50°，∠AOC=130°.第十一页，共三十一页。∠α∠α的余角∠α的补角5°32°45°77°62°23′x°(0＜x＜90)27°37′117°37′85°175°58°148°45°135°103°13°观察(guānchá)与思考(90－x)°(180－x)°观察可得结论：锐角的补角(bǔjiǎo)比它的余角大_____.90°第十二页，共三十一页。∠1与∠2，∠3都互为补角(bǔjiǎo)，∠2与∠3的大小有什么关系？余角和补角的性质二思考(sīkǎo)：12同角

(等角)的补角(bǔjiǎo)相等.结论：3∠2=180°－∠1∠3=180°－∠1同角(等角)的余角相等.类似地，可以得到：=第十三页，共三十一页。例3

如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别(fēnbié)平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？解：因为(yīnwèi)点A，O，B在同一直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.O

A

B

C

D

E

又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠COD+∠COE=∠AOC+

∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°.第十四页，共三十一页。O

A

B

C

D

E

所以(suǒyǐ)∠COD和∠COE互为余角，同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角(yújiǎo).第十五页，共三十一页。如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明(shuōmíng)理由．变式训练(xùnliàn)∠COE、∠BOEO

A

B

C

D

E

∠COE、∠BOE解：OE平分∠BOC，理由(lǐyóu)如下：∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，∴∠COD+∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE，∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．第十六页，共三十一页。

如图,已知∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.∠BOC和∠AOD练一练O

A

B

C

D

第十七页，共三十一页。方位角三互动(hùdònɡ)探究观看下列视频(shìpín)，议一议其中蕴含的数学知识.第十八页，共三十一页。东西北南O正东：正南：正西：正北：西北方向(fāngxiàng)：西南方向：东北方向：东南方向：

射线(shèxiàn)

OAABCD45°EGFH45°八大方位(fāngwèi)45°45°射线OB射线OC射线OD射线OE射线OF射线OH射线OG第十九页，共三十一页。45°

如图，说出下列(xiàliè)方位(1)射线OA表示的方向为

.(2)射线OB表示的方向为

___

_.

(3)射线OC表示的方向为

.

(4)射线OD表示的方向为

.北东西南CABD北偏东40°北偏西(piānxī)

65°南偏西(piānxī)

45°(西南)南偏东20°40°65°70°O20°第二十页，共三十一页。例4

如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°，南偏西(piānxī)10°，西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线.东南西北60°●B40°10°45°C●●A●DO●第二十一页，共三十一页。

费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测.其中远望一、二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别测得神舟六号在北偏东60°和北偏东30°的方向，你能在下图中画出当时神舟六号所处(suǒchǔ)的位置吗？●●远望一号远望二号练一练第二十二页，共三十一页。●●远望一号远望二号60°30°●第二十三页，共三十一页。当堂(dānɡtánɡ)练习1.一个角的余角(yújiǎo)是它的2倍，这个角的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°A2.下列说法(shuōfǎ)正确的是（）A．一个角的补角一定大于它本身B．一个角的余角一定小于它本身C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角D．一个角的余角一定小于其补角D第二十四页，共三十一页。3.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补(hùbǔ)，若∠A=60°，则∠C的度数是_______.150°4.∠1与∠2互余，∠1=(6x+8)°，∠2=(4x－8)°，则∠1=

，∠2=

.62°28°第二十五页，共三十一页。5.

如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.(1)图中有哪几对互余的角？(2)图中哪几对角是相等(xiāngděng)的角(直角除外)？为什么？答案(dáàn)：∠A+∠B=90°∠A+∠2=90°∠1+∠B=90°∠1+∠2=90°答案(dáàn)：∠B=∠2∠A=∠1(同角的余角相等)(同角的余角相等)ACD12B第二十六页，共三十一页。60°30°6.

垃圾打捞船A和B都停驻在湖边观测湖面，从A船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物，同时，从B船也发现该白色漂浮物在它的北偏西30°方向.(1)试在图中确定(quèdìng)白色漂浮物C的位置；AB北北C第二十七页，共三十一页。60°北A.南偏东30°B.南偏西(piānxī)30°C.南偏东60°D.南偏西60°(2)点C在点A的北偏东60°的方向(fāngxiàng)上，那么点A

在点C的______方向上.

60°30°AB北北CD第二十八页，共三十一页。同角或等角的补角(bǔjiǎo)相等课堂(kètáng)小结同角或等角的余角(yújiǎo)相等互余互补两角间的数量关系对应图形性质第二十九页，共三十一页。方位角物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转(xuánzhuǎn)的角度表示方向定义(dìngyì)

书写(shūxiě)通常要先写北或南，再写