2023年高考数学解析几何模型练习 圆锥曲线压轴小题（解析版）

突破圆锥曲线压轴小题

圆锥曲线的压轴小题往往与圆的方程、平面向量、解析几何等知识交回，与实际生活密切相关，提升

数学运算，逻辑推理，数学建模的核心素养。

类型一圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题

【例1】⑴(2022・济南联考)已知椭圆C：5+W=im>b>0)的左、右焦点分别是Fι(-c,0),B(c,0),点P是

椭圆C上一点，满足I同T+百7|=|百7一¥万|,若以点P为圆心，r为半径的圆与圆Q：(x+c)2+y2=

4a2,圆尸2：(x-c)2+>2=/都内切，其中0<yq,则椭圆C的离心率为()

A.1B∣C邛D.华

【答案】C

【解析】由|百7+不KI=|而*一下KI两边平方，

可得PF；∙PF；=0,则PF；_LPF；,

∖∖PFi∖=2a-r,

由已知得即IPFIl-IPF2∣=d

[∖PFι∖-a-r,

f∣PFιI=y,

由IPQl+∣PBI=24,得，

在aPQE中，由IP吊F+∣P尸2∣2=∣BF/

得竽+*4c2,即e2=H所以e=乎.

(2)(2022•广州模拟)已知A,8分别为椭圆C：，+产=1的左、右顶点，P为椭圆C上一动点，PA,PB与直

线x=3交于M,N两点，与△/¾B的外接圆的周长分别为∕∣,I2,则£的最小值为()

A乎B坐C乎D.∣

【答案】A

【解析】由已知得4—2,0),8(2,0),设椭圆C上动点P(X,y),

2

则利用两点连线的斜率公式可知上％=三，⅛β≈-⅞,

X十2X-2

^2

.y—0y—0______∖2________F'4ɪ

•-=X+2、_2=(X+2)(L2)=X2_4=W_4=

设直线PA的方程为y=k(x+2),

则直线PB的方程为产一如一2),

根据对称性设Q0,

令x=3,得加=5%,yN=—

即M(3,5A),N(3-~),则IMN=5%+1.

4k"

设aPMN与△/¾2的外接圆的半径分别为r∣,⑵

由下船生神彳日。IMNCIABl

由正弦定理付2∏-sin∕MPN'2z^2-sinZAPB'

,.∙ZMPN+ZAPB=180o,sin/MPN=SinNAPB,

.h_2πr∣_r∣_∣MN∣_.+籥＞豆—小

,『赤一彳一∖AB∖—一4-14-4，

当且仅当5&=七,即无=*时,等号成立，

即上的最小值为手.

【方法总结】

高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与

不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题.

【针对训练】(1)(2022•深圳模拟)B,巳分别为双曲线C：X2—上=1的左、右焦点，过Q的直线/与C的左、

右两支曲线分别交于A,B两点,若ILFzB,则寿•用等于()

A.4-2√3B.4+√3C.6~2√5D.6+2√5

【答案】C

【解析】在双曲线C中，a=l,b=∙∖∣2,C=小,

则F,(-√3,0),F2(√3,0),

因为直线/过点人，由图知，直线/的斜率存在且不为零，

因为则AEBF2为直角三角形，

可得IBFIl2+山尸2∣2=∣F∣F2∣2=12,

由双曲线的定义可得出F∣L∣BF2∣=2,

所以4=（∣8F∣∣一∣BF2∣）2=∣8QF+∣8F2∣2-2∣Bal∙∣8F2l=i2—2∣BF∣∣∙∣BF2∣,

可得由Q∣∙∣BF2I=4,

JMLlBBl=2,

联立］

〔出FIHBF2∣=4,

解得IBBI=小T,

因此京•用=（用+R）∙用=疫2+五雇用

=（√5-l）2=6-2√5.

⑵（多选）（2022.德州模拟）己知椭圆C：方+%=1（0。＜洞的左、右焦点分别为F∣,F2,点P在椭圆上，点Q

是圆/+。，-4）2=1关于直线χ-y=0对称的曲线E上任意一点，若尸。|一|「&|的最小值为5—2小，则下列

说法正确的是（）

A.椭圆C的焦距为2

B.曲线E过点B的切线斜率为千

C.若A,B为椭圆C上关于原点对称的异于顶点和点尸的两点，则直线%与PB斜率之积为一T

D.IPQ+∣PF2∣的最小值为2

【答案】BC

【解析】圆W+G—4）2=1关于直线X—y=0对称的曲线为以C（4,0）为圆心，1为半径的圆，

即曲线E的方程为（χ-4）2+y2=l,

由椭圆定义有IPQl+∣PF2∣=2α=2√^,

IPQI—IPBI=IPQ一（2小一|PBl）

^∖PQ∖+∖PFi∖-2y∣5^∖Q'F,∣-2√5.

由图知Q'(3,0),

∖Q'F1∣-2√5=3+c-2√5=5-2√5,

解得c=2,b=l,

椭圆方程为尹V=L

故焦距内Bl=2c=4,A错误；

IPQI+∣P@BIQ'F2∣=3-C=I,D错误;

设曲线E过点尸2的切线斜率为k,

则切线方程为kχ-2k-y=Q,

由圆心到切线方程的距离等于半径得及泮UI=1,

∙√l+∕r

即Ic=B正确;

设P(A0,yo)9A(xj,y),B(-χ∖,—y∣),

yi—泗一yi—3oN—)不

贝(kpA∙kpB=

x∖-χo—ɪi-ɪŋ后一看‘

又点P,A,B都在椭圆上，即日+4=1,

X↑,2—%

5+M=ι=/I，C正确.

类型2圆锥曲线与三角形“四心”问题

92

【例2】⑴（2022•苏州联考）已知双曲线C：，一方=Im>0,方>0）的左、右焦点分别是F∣,B，点P是双曲

线C右支上异于顶点的点，点”在直线x=α上，且满足而=%（生+生），2∈R.若5W>+4WT+3^W7

冏附

=0,则双曲线C的离心率为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】由丽=2（丝+空_）,Λ∈R,

M陷

则点”在NQPF2的角平分线上，

由点H在直线x=α上，则点〃是4PQF2的内心,

由5寿+4HF；+3HFi=0,

由奔驰定理(已知P为IxNBC内一点，则有SAPBC∙丽+S△以c∙而+S△用B∙元=0)知,

SAHWSAHF∖P∙SAHFF=5.4.3,

即mF∣B∣∙r:∣∣PF,∣τ：∣∣PF2∣∙r=5：4：3,

则IFlBI：I尸居I：∣PBI=5：4：3,

设IFlF2∣=52,IPFII=4九∣PF2∣=3九

则尸ιBI=2c=52,

即C=苧，IPMLFF2∣=24=2,

即°=存，贝IJe=^=5.

2

（2）（2022∙江苏百师联盟联考）过抛物线C：∕=2pyS>0）上点M作抛物线。：y=4x的两条切线∕∣,I2,切点

分别为尸，Q，若AMPQ的重心为G（1,3）,则P=.

2

3

【答案】正

【解析】设M(Xo,，!-),P(X1,%),Q(X2,丫2),

设过点M的直线方程为x=r（%-壬）+演），①

与y2=4x联立得y2=4f(y-∕j)+4X0,

即y2-4(y+誓-4xo=O,②

2

由题意知∕=16/—4(也--4x0)=0,

P

即2〃尸一焉力+2PXO=。，

则介+，2=翁人也=%0（力，/2分别表示/1，/2斜率的倒数）,

由于方程②/=0,则其根为y=2r,

当/=A时，y∖=2tι,当，=殳时，”=2/2,

,•,△MPQ的重心为G（1,∣）,

∙β∙⅛÷yι+y2=方+2(h+⑵

≈∣+2×⅛=f4③

而Xi+X2=t↑(y1-ɪ-)+%θ+∕2(y2-ɪ)+ɪθ

=2(A+[)-撒ι+f2)+2xo

2

=2[(rl+Z2)-2介亥]一4S+切+2xo

=2*_2%)_第+2XO=χ3

)

4p22x(.

.∙.xo+xι+x2=3-Xθ=3,④

3

联立③④得P=启

【方法总结】圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题.但“四心”问题进入圆锥曲线后，

让我们更是耳目一新.在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高

数学解题能力.

【针对训练】(1)(2022・南京外国语学校模拟预测)已知Q(-l,0),尸2(1,0)，仞是第一象限内的点，且满

足IMFll+∣MB∣=4,若/是的内心，G是AMQB的重心，记4∕F∣F2与4GQM的面积分别为S∣,

S2，则()

A.S1>S2B.S1=S2

C.Sι<S2D.Sl与S2大小不确定

【答案】B

【解析】因为IMFlI+∣M尸2∣=4>∣BFd=2,

所以M的轨迹是椭圆1+9=1在第一象限内的部分，如图所示.

因为/是^MF∣F2的内心，设内切圆的半径为广，

(IMFiI+1MF2∣+∣QT)∙rIFRE,

所以2—2，

ςj_闻⅛2CIQFJrVM

所fip以r=∙y,所以Sl=5=~,

又因为G是AMFiB的重心，

所以OG：GM=I:2,

所以邑=§SAMOR=]SxF?MF[

4%强=学所以S∣=S3

(2)(2022・湖北•荆州中学模拟预测)在平面直角坐标系OX)，中，双曲线C”，一^=l(α>0,b>0)的渐近线

与抛物线C2：f=2PyS>0）交于点。，A,B,若aOAB的垂心为C2的焦点，则G的离心率为

3

答

案-

2

【解析】设OA所在的直线方程为y=。，

则OB所在的直线方程为y=一3,

[b丝

y=τx,Ici

解方程组〈。得〈C心2

j,[产竿

所以点A的坐标为（辿,竺），

aa~

抛物线的焦点尸的坐标为（0苧.

因为F是AOAB的垂心，所以koB∙kAF=—1,

,2p从p

上〜b一2-1一Zr5

所以一£（∖pb）=—1了=不

⅛293

-解得

+-=-

所以e?=力=-2e-2

〃4,

类型3圆锥曲线在生活中的应用

【例3】（1）（2022.湛江质检）根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后,

反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦

点连线的夹角.请解决下面问题：已知B，尸2分别是双曲线C/一号=1的左、右焦点，若从点尸2发出的

光线经双曲线右支上的点A（XO,2）反射后，反射光线为射线AM,则NBAM的角平分线所在的直线的斜率为

（）

A.一小B.—ɜC坐D.√3

【答案】B

【解析】由已知可得AQ⅛,2）在第一象限，

将点A的坐标代入双曲线方程可得看一;=1,

解得知=小，所以A（小，2）,

又由双曲线的方程可得α=l,⅛=√2,

所以c=√5,则尸2（4，0）,

所以IAF2∣=2,且点A,B都在直线X=5上,

又QFII=I。尸2∣=√5,

所以tan∕Q4F2=贤肾=邛小，

所以/尸/尸2=60。，

设ZF2AM的角平分线为AN,

o

则ZF2AN=（180°-60）×60°,

所以NFMM的角平分成所在的直线AN的倾斜角为150°,

所以直线的斜率为tan150。=-孝

（2）（2022•莆田华侨中学模拟预测）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场（鸟

巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图I,内外两圈的钢骨架是

离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC,8。（如图2）,

9

且两切线斜率之积等于一而，则椭圆的离心率为（）

【答案】B

【解析】若内层椭圆方程为最+1=13功＞0）,由离心率相同，可设外层椭圆方程为

磊+.=1(21)'

.∙.A(一∕%4,0),B(O,mb),

设切线AC为y=k↑(x+ma)9

切线BD为y=%2x+mθ,

y=k∖(x+ma)f

，,口2

F+产=1,

整理得(『后+⅛2)Λ2+2ma3klx+nι1a4k↑-a2b2=0,

由J=O知

(2加〃3后)2—4(/后+b2)(m2a4k∖—a2b2)=0,

A21

整理得好=5∙T~r,

am—1

y=k^+mb,

同理g+/=],

⅛2

可得⅛2=^2∙(w2-ɪ),

【方法总结】圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地.研究圆锥曲

线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性.

【针对训练】（1）（2022•德州市教育科学研究院二模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦

点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲

线C的方程为f+4V=4,其左、右焦点分别是Q,F2,直线/与椭圆C切于点P,且IPQI=1,过点P且

与直线/垂直的直线/'与椭圆长轴交于点M,则IQM：IBM等于（）

A.√2：√3B.1：√2C.1：3D.1：√3

【答案】C

【解析】由椭圆的光学性质得直线/'平分NQPF2,

m工SAPMRIFlM

因为1-----------IBM

tj

∆PMF2

；伊巳||PMSinNBPM一∣PF2∣'

⅛∣PF∣∣=1,∣PF,∣+∣PF2∣=4得IPF2∣=3,

故IQM：IFM=I：3.

（2）（2022・东北育才学校二模）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y2-f=l,y∈U,10],

在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为

（）

_____________

A.1B.2C.3D.2.5

【答案】A

【解析】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如图所示,

圆心在双曲线的对称轴上，且圆与双曲线的顶点相切，设半径为r,圆心为(O,r+l),

圆的方程为x2+(y-r—l)2=r,

代入双曲线方程y2-∕=l,

得y2—(r+l)y+r=0,；.y=l或y=r,

要使清洁钢球到达底部，即rWl.

1.(2023•陕西榆林•陕西省神木中学校考模拟预测)已知双曲线C：q-£=l(a>0力>0)的左、右焦点分

别为6、％点p在双曲线C的右支上，且IPKl=川P闾，双曲线C的一条渐近线方程为y=H,则Z的最

大值为()

,4433

A.-B.—C.-D.—

3344

【答案】A

【分析】根据三角形两边之和大于第三边，耳、K和尸共线时取等号，列出α,C的不等式即可.

【详解】∖PF↑=4∖PF2∖,∖PFl∖-∖PF2∖=2a,

∙∖∣PE∣=∣α,IPKl=Ia

IP周+∣p闻引耳闻,

3

b4

.∙.-≤?即左的最大值为4:

a33

故选：A.

2.（2023•河南洛阳•洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线cW-1=l（">08>0）的左、右焦点分别为月,

a^h^

2

K,A是双曲线C的左顶点，以F1F2为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P,Q两点,且APAQ=-4a,

则双曲线C的离心率为（）

A.√2B.6C.√5D.2

【答案】C

【分析】方法一：根据已知条件分别表示出点A、P、。的坐标，代入AP∙4Q=-4/可得人与。的关系式,

再由/+b2=c2及离心率公式可求得结果.

方法二：运用极化恒等式及向量的加法、减法法则计算可得结果.

【详解】方法-：依题意，易得以耳鸟为直径的圆的方程为/+）产=。2.

又由双曲线7-白叱。"），易得双曲线C的渐近线方程为

当y=2χ时，如图，设P(Xo,%),则Q(Ti)

b

y=—x∖(x=a∖(x=-a

联立广ɑ,解得八或，，所以P(4,b),Q(—α,4).

Y+//[y=b[y=~b

又因为4-α,0),所以AQ∙LX轴.

所以AP=(24,Z>),AQ=(O,-3.所以AP∙AQ=-从=一4/,所以b=24.

因为/+从=02,所以5〃=C2

同理，当y=-2χ时，亦可得5〃=（?.

a

故双曲线C的离心率为e=£=石.

a

故选：C.

方法二（极化恒等式）：易得坐标原点O为线段PQ的中点，且IPQI=2c,

所以ARAQ=；[(AP+AQ)2—(AP-AQ)[=](∣24O∣2-∣QP∣2)=∕-c2=Y42,所以5/=°z,所以

e=3=旧.

a

故选：C.

3∙（2。23・河南・洛阳市第三中学校联考一模）已知过椭圆C:f+；=l的上焦点/且斜率为A的直线,交椭

圆。于AB两点，。为坐标原点，直线QAO8分别与直线y=2相交于M,N两点.若NMoN为锐角，则直线

/的斜率Z的取值范围是（）

r√2也)

A.(-∞,-l)u(l,+∞)B.

2'2

(42]ιf√2+)

、s,2JI2，XJD.□(I,+®)

2'2

【答案】D

【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用直线的斜截式方程设出直线的方程，将直线方程与椭圆

方程联立，再利用韦达定理及两直线相交联立方程组求出交点坐标，结合己知条件、点在直线上及向量的

数量积的坐标运算即可求解.

【详解】由题意可知，a1=2,b2=∖,^c1=a--b1=∖,

所以椭圆Ud+1=1的上焦点为尸（0,1）,

设直线/的方程为y=kx+∖,Aa,>-1）,β（x2,y2）,

γ=Ax+l,

2

联立，2V消去九得（2+公卜2+2丘-1=0,

X÷-=1,

2

匕匚I、I~~2k—1

所以“+“.，中2=五声

由题设知，。4所在的立线方程为y="X.

x∖

因为直线04与直线y=2相交于点M,

所以M，2；

因为NMON为锐角,

所以OM∙ON>0,

内士

4+4

所以。"N=兼+"混旬+4=k1xx+⅛(Λ+Λ)+1

"Hy2I2

-1

4×

2+⅛2+4=^-+4=4⅛2-2

公*—+■三+]Jl2-IJl2-I

2+k12+k2

即纥二>0,解得：二或二>1，

Ic2-I2

所以-e<%<也,或&>1,或Av-I.

22

故直线/的斜率k的取值范围是(-8,-1)。-ɪ,ɪu(l,+0)).

故选:D.

4.(2023・河南・统考模拟预测)已知点尸是抛物线C炉=4),的焦点，过F的直线/交抛物线C于不同的两

点、M,N,设例/=2&V，点。为MN的中点，则Q到九轴的距离为()

4577

A.-B.-C.-D.一

3434

【答案】B

【分析】根据给定的抛物线，设出点M,N的坐标，利用MF=2FN求出点M,N的纵坐标和即可求解作答.

^>2ɔɔ

【详解】依题意，点尸(0,1),设点Ma令),N(w,争,则MF=(F/-予,FN=(X2，a-1),

22

由ΛfF=2FN得：—玉=2工2』—=~2^一,解得芍=2,不；=8,

1V2X25

因此点Q的纵坐标为3》号)=：，

所以。到X轴的距离为g∙

4

故选：B

5.(2023•湖南,模拟预测)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现："平面内到两个

定点A,8的距离之比为定值4(Λ≠l)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波

罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系Xoy中，A(-4,D,β(-4,4),若点P是满足4=；的阿氏圆上

的任意一点，点。为抛物线C：y、16x上的动点，Q在直线X=Y上的射影为R,则∣PB∣+2∣PQ∣+2IQRl的

最小值为()

A.4√5B.8√5C.ɪɪD.2√65

2

【答案】D

【分析】先求出点P的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得

∖PB∖+2∖PQ∖+2∖QR∖=2∖PA∖+2∖PQ∖+2∖QF∖,从而可得出答案.

【详解】设P(χ,y),

22

∣PA∣-7(x+4)+(y-l)

IP周J(X+4)2+(y-4)22

化简整理得(x+4)2+V=4,

所以点P的轨迹为以(T,0)为圆心2为半径的圆,

抛物线C.∙y2=16x的焦点F(4,0),准线方程为X=T,

^∣PB∣+2∣P0∣+2∣βΛ∣=2∣∕¾∣+2∣Pβ∣+2∣βF∣

=2(∖PA∖+∖PQ∖+∖QF∖)≥2∖AF∖=2y[65,

当且仅当AP,。,尸(P,Q两点在A,尸两点中间)四点共线时取等号,

所以IPBl+21PQI+210RI的最小值为2病.

6.(2023•广东梅州•统考一模)由伦敦著名建筑事务所SfeWS〃Hi。设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建

筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线G-A=I

(«>0,%>0)下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60,则该双曲线的离心率为()

A-fB∙Gc∙Td∙¥

【答案】D

【分析】根据已知结合双曲线两条渐近线对称关系可得y=%的倾斜角为6。，即冷皿6。=G则

八#,则即可得出双曲线的离心率为e

22

【详解】双曲线，Al（八。，“。）的渐近线的方程为y如

双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60，

根据双曲线两条渐近线对称关系可得y=fX的倾斜角为60，

b

则—=tan60=5/3,则b?=14?,

b3

:.c2=a~2+b1~2=-4a~2,

3

（TT

则该双曲线的离心率为_c」铲-2√3,

e~~a~∖cΓ~~3~

故选：D.

7.（2022•山东聊城•统考三模）2021年4月12日，四川省三星堆遗址考古发据3号坑出土一件完整的圆口

方尊，这是经科学考古发据出土的首件完整圆口方尊（图D.北京冬奥会火种台“承天载物"的设计理念正是

来源于此，它的基座沉稳，象征"地载万物"，顶部舒展开翩，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种，一种圆口方尊

的上部（图2）外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在的直线旋转形成的曲面，该曲面的高为50cm,上

口直径为竿cm,下口直径为25cm,最小横截面的直径为20cm,则该双曲线的离心率为（）

13

D.

T

22

【分析】设双曲线的标准方程为-yy-p-=l(^>0,⅛>0),利用已知条件确定。力的值，即可求解

22

【详解】设双曲线的标准方程为春•=1（。>0,6>0）,

则由题意最小横截面的直径为20cm,可知α=10,

设点A得，，，8（m，f-50）,（r>0）,

则2500a_]625（TO）。_]

900b2'400b2

解得f=32,b=24,

故选：D

8.（2022•四川成都•树德中学校考模拟预测）双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点K发出的光

线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点K∙我国首先研制成功的"双曲线新闻灯”，就是利

用了双曲线的这个光学性质.某"双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为

22

J-^r=l（β>0,⅛>0）,Fi,F2为其左右焦点，若从右焦点外发出的光线经双曲线上的点A和点8反射后，

【答案】B

【分析】设IAKl=M，|伤|=〃（加>0,">0）,根据题意可得∣AB∣=gm,求得忸闻、怛耳进而求出m（用

。表示），然后在AAK鸟中，应用勾股定理得出〃、C的关系，求得离心率.

【详解】连接A£、BFt,易知士、A、。共线，工、B、C共线，

设IAFJl=An,∣A∕^∣=w(ττ2>0,n>0),

NABR(ZABC)ZABC=:AF.∖..4

tan=tan180-=-tan•画，所以,=

22

由勾股定理可得∖BFl∖=√∣A∕<∣+∣AB∣=ʃ

m-n=2a

AFl∖-∖AF2=2cιm-3a

由双曲线的定义可得〈即V5m(=2√解得

BF∖-∖BF=2a,--πn=a

l2ιτ

因为NKA鸟=180-NBAD=90,

由勾股定理可得|前『+卜图2=内身2,即(34)2+∕=(2c)2,即4C2=10∕,

a2

故选：B.

9∙(2022∙湖北省直辖县级单位•湖北省天门中学校考模拟预测)已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为片，F2,

记它们其中的一个交点为尸，且NGP骂二120。，则该椭圆离心率q与双曲线离心率内必定满足的关系式为

()

【答案】C

【分析】设椭圆的长半轴长为％,双曲线的半实轴长。2,焦距2c,根据椭圆及双曲线的定义可以用4,生表

31

示出归用,I"I,在△£尸鸟中根据余弦定理可得到在+营的值.

则根据椭圆及双曲线的定义∣M∣+∣P段=2α∣,IMITPq=2¾,.∙.∣P用=4+α2,∣P段=4一生，

2τz*

设比用=2GNEPE=牙，

22

则在APf;鸟中由余弦定理得4/=（4+¾）+（«,-a2）-2（6+。2乂4一%）cos号,

31

二化简3a；+苗=4c2,该式变成小"+”=1.

ɪZ4el4e2

故选：C.

10.（2022・河北唐山•统考三模）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当

我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率]与椭圆的长半轴长与短半轴长的

•>2

乘积，已知椭圆C:=+与=l（a>b>0）的面积为6√Lr,两个焦点分别为匕，工，点P为椭圆C的上顶点.直

a^b'

Q

线y=丘与椭圆C交于A,B两点,若PAPB的斜率之积为则椭圆C的长轴长为（）

A.3B.6C.2χ∕2D.4√2

【答案】B

【分析】由题意得到方程组必=60①和5[②，即可解出。、b，求出长轴长.

【详解】椭圆的面积S=πab—6∖∣2π»即ab=6Λ∕2①.

因为点尸为椭圆。的上项点，所以P（0,b）.

,>222

因为直线>=丘与椭圆C交于A,8两点，不妨设A（W）,则B（Tn）TJ）目.%+}=ι,所以疗=/一学1

因为PApB的斜率之积为_3，所以七且=-，，把.=。2一尊代入整理化简得：匕=2②

9m-m9b（T9

①②联立解得：a=3,b=2λ∕2.

所以椭圆。的长轴长为2a=6.

故选：B

IL（多选题）（2023•浙江嘉兴•统考模拟预测）已知椭圆U±+2=l,A，4分别为椭圆C的左右顶点,

43

B为椭圆的上顶点.设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线AB与直线4例交于点P,直线AM与

直线AzB交于点Q,则（）

A.若直线AM与的斜率分别为勺，k2,则

B.直线PQ与X轴垂直

ClBPl=IBQl

D.∖MP∖=∖MQ∖

【答案】ABC

【分析】设M（x,y）,由斜率公式及点在椭圆上可得仁•与判断A,联立直线的方程求出。、P坐标，由条件

可得％=%即可判断B,求出PQ中点在y=√5上，即可判断CD.

【详解】如图，

3f1回

j

设M(X,y),则yy/Γ4J3，故A正确；

K,'k=----------:—=—7=z--------=--

1"x+2x-2x~-4X2-44

-4*l+2√3

y=kt(x+2)X=.

1

直线AM的方程为广勺(尤+2),直线AB的方程为>=一包x+G,联立也得?'

22y=--x+^3>4√3⅛

12[y=Ξξ7√l3

f-4⅛l+2√34回]

即气丰ɪ，有二万J

64e+2号备2行小一曲而…「

MTBIHr俎p(4勺+2占46勺〕田、36.6=_。∣;

Q73_____/ɜ2k∣+,3

2k∣

则直线PQ与X轴垂直，故B正确；

3√3

同理_J,所以）,+）_±^

=+二二卫"故尸Q的中

2k,_62⅛,+√3JP为2k、+ylLG

32⅛1+√32⅛1+√3

2kt'

点在直线y=√J上，故C正确；D错误，

故选：ABC.

12.（多选题）（2023•山西・校联考模拟预测）过抛物线Cy2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,3两点，

O为坐标原点，则下列判断正确的是（）

A.OA8可能为锐角三角形

B.过点M(0,l)且与抛物线C仅有一个公共点的直线有2条

C.若∣AF∣=3,则AOB的面积为邛

D.∣A耳+2|明最小值为3+2&

【答案】CD

IlLIULll

【分析】对于A：联立直线AB与抛物线C的方程，由韦达定理得乂%=T，%々=1，从而得到。4?080,

由此判断即可；对于B：判断得点M(0,1)在抛物线C外，由此得以判断；对于C：利用抛物线的定义可求

得4(2,2夜)，进而求得B(；,一√f),从而根据SMJ=3|。尸|“力-九|即可判断；对于D：利用抛物线的

定义得到IA尸|+2忸司=3+%+一,从而利用基本不等式即可判断.

xI

【详解】对于A：因为抛物线Cya=©的焦点为尸，所以Fa°),

设A(Λ1,y∣),B(Λ2,y2),A8方程为x=%y+l,

[x=λHV÷lV2V2

-4

由｛2">-4∕ny-4=0,所以乂必=，x∣x2=-∙-=∖,

Iy=4x44

故OA∙Q8=Λ⅛Λ2+y%=-3<0,所以S40B为钝角，故A错误；

对于B：因为对于V=4x,当X=O时，N=O,

所以M((M)在抛物线C外，显然过M((U)与抛物线C相切的直线有2条,

当此直线与X轴平行时，与抛物线C也是仅有一个公共点，

所以过点M(O,1)且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条，故B错误；

对于C：当IAFl=3时，设A(J⅛,%),则XO+1=3,

.∙.Λ0=2,y0=±2√2,即A(2,±2√Σ),不妨设AQ,2√Σ),

此时kAB=2®-O=2y∣2,故AB方程为y=2√∑(x-1),

2—1

联立抛物线C：∕=4x,解得

所以s.=Jo用4力-%卜¥，故C正确；

对于D：由选项A知x∣Xz=l,且不>()，

2O/2_.

所以IAFl+2忸F[=1+X[+2(1+x2)=3+xl÷2x2=3+x∣H—=3+x1H—≥3÷X1—=3+2Λ∕2,

XXvxI

2

当且仅当X=二，即X=G时，等号成立，故D正确.

xι

故选：CD.

13.(多选题)(2023•山东•潍坊一中校联考模拟预测)已知双曲线C:1-/=i和圆p：√+(??_3)2=f2(r>0),

则()

A.双曲线C的离心率为五

2

B.双曲线C的渐近线方程为x±2y=0

C.当r=卡时，双曲线C与圆户没有公共点

D.当厂=20时，双曲线C与圆P恰有两个公共点

【答案】ACD

【分析】根据双曲线方程求出离心率与渐近线方程，即可判断A、B,求出圆心到渐近线的距离，即可判断

C,设双曲线C上的点。的坐标为(χ,y),表示出PQ的距离，即可得到圆心尸到双曲线Ck的点的距离的最

小值，从而判断D.

【详解】解：由已知得“=√∑,人=1,则C=百，所以双曲线C的离心率e=£=巫，故选项A正确；

a2

双曲线C的渐近线方程为y=±∖x,即x±√Σy=O,故选项B错误；

3λ∕^"

因为圆心P(0,3)到双曲线C的渐近线的距离"=』+附2=底,

所以当r=G时，圆尸与双曲线C的渐近线相切，此时双曲线C与圆P没有公共点，故选项C正确：

设双曲线C上的点Q的坐标为(χ,y),(y≥l),则圆心尸到点。的距离为ʒ[=肉FUwT

2

=λ∕3(y-l)+8≥2√2,当且仅当y=l时取等号，

所以圆心P到双曲线C上的点的距离的最小值为2正，且双曲线C上只有两个点到圆心P的距离为2立，

所以当r=2正时，双曲线C与圆户恰有两个公共点，故选项D正确.

故选：ACD

14.(多选题)(2023•安徽蚌埠・统考二模)球冠是指球面被平面所截得的一部分曲面，截得的圆叫做球冠的

底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.小明撑伞站在太阳下，撑开的伞面可以近似看作一个

球冠.已知该球冠的底半径为60cm,高为20cm.假设地面是平面，太阳光线是平行光束，下列说法正确

的是()

U

A.若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为:，则伞在地面的影子是圆

B.若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为：，则伞在地面的影子是椭圆