造福吧友系列量子力学

主讲教师：杨帆量子力学Email：信息工程学院QuantumMechanics

第一章量子力学产生的历史背景第二章波函数和薛定谔方程第三章一维定态问题第四章力学量与算符第五章态和力学量表象第七章近似方法（微扰理论）第六章三维定态问题第五章力学量与算符§1态的表象§2算符的矩阵表示

§3量子力学公式的矩阵表示§4本征值方程的矩阵表示及应用§5狄拉克符号§1态的表象一、表象表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象为变量球极坐标系直角坐标系波函数不一定非要以力学量作为变量，也可以以其它力学量作为变量。二、动量表象坐标表象动量表象动量本征函数：组成完备系，任一状态Ψ可按其展开Ψ(x,t)归一化波函数也是归一化的|C(p,t)|2dp是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在p→p+dp范围内的几率。|Ψ(x,t)|2dx是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在x→x+dx范围内的几率。Ψ(x,t)与C(p,t)一一对应，描述同一状态。Ψ(x,t)是该状态在坐标表象中的波函数；C(p,t)就是该状态在动量表象中的波函数。C(p,t)物理意义三、一般情况（分立本征值的情况）在任意Q表象中，所描写的状态？1.设算符Q的本征值为：Q1,Q2,...,Qn,...，相应本征函数为：u1(x),u2(x),...,un(x),...。①②构成完备系乘上式左右两边，再做全空间积分③一一对应表示t时刻粒子的力学量Q取值qn的几率为Q表象的波函数共轭矩阵归一化可写为2.矩阵表示这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量A在直角坐标系由三分量AxAyAz

描述；在球坐标系用三分量ArA

A

描述。AxAyAz和Ar,A

,A

形式不同，但描写同一矢量A。态矢量基本矢量同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同，波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。§2算符的矩阵表示一、坐标表象已知Q算符的本征态待描述量算符F假设只有分立本征值，将Φ,Ψ按{un(x)}展开：②①②式代入①式，Q表象的表达方式Φ=FΨ简写成所以厄密算符的矩阵表示是一厄密矩阵。二、F矩阵表示的特点已知Q算符的本征态三、力学量算符在自身表象中的表示Q的矩阵形式结论：算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。例1、求坐标表象中F的矩阵元例2、求动量表象中F的矩阵元①②§3量子力学公式的矩阵表述（一）平均值公式（二）含时Schrodinger方程（一）平均值公式简写成（二）含时Schrodinger方程写到Q表象按力学量算符Q的本征函数展开左乘um*(t)对x整个空间积分ΨH都是矩阵简写§4本征值方程的矩阵表示及应用上式是一个齐次线性方程组方程组有不完全为零解的条件是系数行列式等于零久期方程求解此久期方程得到一组λ值：λ1,λ2,...,λn,....就是F的本征值。将其分别代入原齐次线性方程组就能得到相应于各λi的本征矢于是求解微分方程的问题就化成了求解代数方程根的问题。设Q表象的基为（），某粒子的哈密顿量H在Q表象中的矩阵为求粒子的定态能量和波函数已知t=0时的波函数求任意时刻t的波函数第五章态和力学量表象§5狄拉克符号QuantumMechanics狄拉克符号态和力学量不依赖表象简洁的形式？狄拉克符号大大地简化理论表述和运算可以不考虑具体的表象1狄拉克符号的规定右矢：微观体系的态矢量为表示某一个确定的态矢A左矢：右矢的共轭矢量Q表象下力学量算符的本征态：能量的本征态：2内积（标积）两态的正交：态的归一：3任意态矢在Q表象下的表示是Q表象的基矢在Q表象中的表示

任意态矢在Q表象下展开乘上式的两边任意态矢在Q表象下的表示Q表象的基矢：4常用公式的表示平均值：Q表象基矢的正交归一性：算符F在Q表象中的矩阵元：本征值方程：有一量子体系，其态矢空间三维，选择Q表象基矢