（江苏专用）高考数学大一轮复习 第四章 三角函数 第23课 三角函数的诱导公式 文-人教版高三全册数学试题

第23课三角函数的诱导公式(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P20练习2改编)计算：tan2010°=.【答案】【解析】tan2010°=tan30°=.2.(必修4P19例1改编)计算：cos=.【答案】-【解析】cos=cos=cos=-cos=-.3.(必修4P20练习3改编)化简：sin2(π+α)-cos(π+α)·cos(-α)+1=.【答案】2【解析】原式=(-sinα)2-(-cosα)cosα+1=sin2α+cos2α+1=2.4.(必修4P21例4改编)若cos=-，则sin的值为.【答案】-【解析】sin=cos=cos=-.5.(必修4P23习题17改编)已知sin=a，那么sin-sin2+1=.【答案】a+a2【解析】sin-sin2+1=sin-sin2+1=sin-cos2+1=sin+sin2=a+a2.1.诱导公式-απ-απ+α2π-α-α+α-α+αsin()-sinαsinα-sinα-sinαcosαcosα-cosα-cosαcos()cosα-cosα-cosαcosαsinα-sinα-sinαsinαtan()-tanα-tanαtanα-tanα////诱导公式的规律可概括为十个字：奇变偶不变，符号看象限.2.运用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤(1)把求任意角的三角函数值转化为求0°~360°角的三角函数值；(2)把求0°~360°角的三角函数值转化为求0°~90°角的三角函数值；(3)求0°~90°角的三角函数值.【要点导学】要点导学各个击破利用诱导公式进行化简求值例1(1)已知cos(π+α)=-，且<α<2π，求sin(2π-α)的值；(2)已知=2，求tanα的值.【思维引导】将已知条件转化为单角的三角函数，再利用诱导公式求解.【解答】(1)由已知得cosα=.又因为<α<2π，所以sinα<0，所以sin(2π-α)=-sinα=-(-)==.(2)==2，所以-3sinα+cosα=-8sinα+2cosα，所以5sinα=cosα，所以tanα=.【精要点评】使用诱导公式求解三角函数问题时，一要注意函数名是否改变，二要注意符号是否改变.例2已知f(α)=.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限的角，且cos=，求f(α)的值.【思维引导】解本题的关键是熟练地应用正、余弦的诱导公式和记住特殊角的三角函数值.特别注意符号以及名称的变化.【解答】(1)f(α)==-cosα.(2)因为cos=-sinα，所以sinα=-，又α是第三象限角，所以cosα=-=-=-，所以f(α)=.【精要点评】重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.变角：对角的拆分要尽可能化为同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.变式(2014·湖南联考)设α是第三象限角，且tanα=2，则=.【答案】-【解析】原式==cosα，又因为tanα=2，α是第三象限角，所以易得cosα=-.含相同变量的复合角与诱导公式的运用例3已知cos(75°+α)=，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值.【思维引导】结合诱导公式把cos(15°-α)与sin(α-15°)用条件cos(75°+α)=分别求出.【解答】因为cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)，又α是第三象限角，则sin(75°+α)<0，所以sin(75°+α)=-==-.因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°-(75°+α)]=-cos(75°+α)=-，所以cos(15°-α)+sin(α-15°)=-.【精要点评】利用诱导公式时，要注意已知角与未知角之间的联系.变式1已知sin=a，那么cos=.【答案】-a【解析】cos=cos=-sin=-a.变式2已知sin=，求sin+cos2的值.【解答】因为+=π，+x=π+.所以原式=sin+cos2=-sin+=-+=.例4已知sin(3π-α)=coscos(-α)=-cos(π+β)，0<α<π，0<β<π，求α，β的值.【思维引导】求角的大小必须先求出含这个角的某个三角函数的值，再求出这个角的大小.【解答】由已知等式可得sinα=sinβ，①cosα=cosβ.②两式平方相加，得sin2α+3cos2α=2sin2β+2cos2β=2，即sin2α+3(1-sin2α)=2，则sinα=±.又因为0<α<π，所以sinα=，α=或.当α=时，由①②可得sinβ=，cosβ=，又0<β<π，所以β=；当α=时，由①②可得sinβ=，cosβ=-，又0<β<π，所以β=.故α=，β=或α=，β=.【精要点评】求角的大小时一定要注意角的范围，再结合三角函数值的大小完成.1.已知sin=，那么cosα=.【答案】2.若sin=-，则cos=.【答案】-【解析】cos=cos=sin=-.3.(2015·金陵中学)已知tan=，则tan=.【答案】-【解析】因为+=π，所以tan=-tan=-tan=-.4.若cosα=，则=.【答案】【解析】原式==cosα=.5.在△ABC中，若sin(2π+A)=sin(π-B)，cosA=-cos(π-B)，求△ABC的三个内角.【解答】由已知得所以sin2A+3cos2A=2，所以cosA=±.①当cosA=时，cosB=，又因为A，B是三角形的内角，所以A=，B=，C=；②当cosA=-时，cosB=-，A，B均为钝角，不合题意.所以A=，B=，C=.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第45~46页.【检测与评估】第23课三角函数的诱导公式一、填空题1.计算：sin210°=.2.计算：cos=.3.计算：tan=.4.若sin=，且α∈，则tanα=.5.若cos(-80°)=k，则tan100°=.6.已知sin=，那么cos的值为.7.已知A=+(k∈Z)，那么A的值构成的集合为.8.若sin(π-α)-cos(-α)=，则sin3(π+α)+cos3(2π-α)的值为.二、解答题9.化简：(k∈Z).10.已知函数f(α)=.(1)求f的值；(2)若2f(π+α)=f，求+cos2α的值.11.已知cos=，求cos-sin2（α-）的值.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知函数f(cosx)=cos5x，则f=；f=；f(sinx)=.【检测与评估答案】第23课三角函数的诱导公式1.-【解析】sin210°=-sin30°=-.2.-【解析】cos=cos=-cos=-.3.【解析】tan=tan=tan=.4.-2【解析】因为sin=，α∈，所以cosα=，sinα=-，则tanα=-2.5.-【解析】由题意知cos80°=k，所以sin80°=，tan80°=，所以tan100°=tan(180°-80°)=-tan80°=-.6.-【解析】cos=cos=-sin=-.7.{2，-2}【解析】若k为偶数，则A=+=2；若k为奇数，则A=+=-2.8.-【解析】由题知sinα-cosα=，两边平方，得1-2sinαcosα=，所以sinαcosα=，所以sin3(π+α)+cos3(2π-α)=-sin3α+cos3α=-(sinα-cosα)·(sin2α+sinαcosα+cos2α)=-·=-.9.当k为偶数时，原式==1；当k为奇数时，原式==1.故当k∈Z时，原式=1.10.(1)f(α)==cosα，所以f=cos=cos=cos=.(2)2f(π+α)=2cos(π+α)=-2cosα，f=cos=-sinα，所以-2cosα=-sinα，所以tanα=2.原式=+=+=+=.11.因为cos=c