（江苏专用）高考数学大一轮复习 第六章 平面向量与复数 第34课 平面向量的基本定理及坐标表示 文-人教版高三全册数学试题

第34课平面向量的基本定理及坐标表示(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P79练习2改编)在平面直角坐标系中，已知点P(1，2)，Q(4，3)，那么向量=.【答案】(3，1)【解析】注意向量的起点与终点.2.(必修4P82习题6改编)在△ABC中，点P在BC上，且=2，点Q是AC的中点，若=(4，3)，=(1，5)，则=.【答案】(-6，21)【解析】=3=3(2-)=6-3=(6，30)-(12，9)=(-6，21).3.(必修4P87习题1改编)已知向量a=(1，2)，b=(3，1)，那么|2a+3b|=.【答案】【解析】|2a+3b|=|(2，4)+(9，3)|=|(11，7)|==.4.(必修4P73习题6改编)已知点A(1，-3)和向量a=(3，4)，若=2a，则点B的坐标为.【答案】(7，5)【解析】设O为坐标原点，因为=2a=(6，8)=-，所以=+=(6，8)+(1，-3)=(7，5)，所以点B的坐标为(7，5).5.(必修4P73习题1改编)已知点A(1，2)，B(4，2)，向量a=(x+y，x-2y)，若a与向量相等，则x-y=.【答案】1【解析】因为=(3，0)，a=，所以解得所以x-y=1.1.平面向量的基本定理(1)e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标形式在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对平面内任意一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj(向量的分量表示)，记作a=(x，y)(向量的坐标表示)，其中x叫作a的横坐标，y叫作a的纵坐标.3.平面向量的坐标运算(1)设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b=(x1+x2，y1+y2)，a-b=(x1-x2，y1-y2)，λa=(λx1，λy1).(2)若A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么的坐标为(x2-x1，y2-y1).【要点导学】要点导学各个击破平面向量基本定理的应用例1在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是的中点，=k(k≠1)，设=e1，=e2，选择基底{e1，e2}，试写出向量在此基底下的分解式.【思维引导】由=k(k≠1)，易求出，再由+++=0求得，最后利用+++=0，求得.(例1)【解答】如图，因为=e2，且=k，所以=k=ke2.又因为+++=0，所以=---=-++=-e2+ke2+e1=e1+(k-1)e2.而+++=0，所以=---=+-=+e2-=[e1+(k-1)e2]+e2-e1=e2.【精要点评】应用平行向量的基本定理及向量的多边形加法法则是解决本题的关键.变式(1)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设=a，=b，若=2，则=.(用a和b表示)(变式(1))(变式(2))(2)如图，向量=a，=b，=c，A，B，C在一条直线上，且=-3，则c=.(用a，b表示)(3)已知点P为△ABC内一点，且3+4+5=0，延长AP交BC于点D，若=a，=b，用a，b表示向量.(1)【答案】a+b【解析】因为=2，所以△DOC∽△BOA，且=，所以==(+)==a+b.(2)【答案】-a+b【解析】因为=-3，所以-=-3(-)，所以=-+，即c=-a+b.(3)【解答】因为=-=-a，=-=-b，又因为3+4+5=0，所以3+4(-a)+5(-b)=0，化简得=a+b.设=t(t∈R)，则=ta+tb.①又设=k(k∈R)，由=-=b-a，得=k(b-a).而=+=a+，所以=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.②由①②，得解得t=.代入①，有=a+b.平面向量的坐标运算例2已知点A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设=a，=b，=c，且=3c，=-2b.(1)求3a+b-3c；(2)求满足a=mb+nc的实数m，n的值；(3)求点M，N的坐标及向量的坐标.【解答】由已知得a=(5，-5)，b=(-6，-3)，c=(1，8).(1)3a+b-3c=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(6，-42).(2)因为mb+nc=(-6m+n，-3m+8n)，所以解得(3)设O为坐标原点，因为=-=3c，所以=3c+=(3，24)+(-3，-4)=(0，20)，所以点M的坐标为(0，20).又因为=-=-2b，所以=-2b+=(12，6)+(-3，-4)=(9，2)，所以点N的坐标为(9，2).所以=(9，-18).【精要点评】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.变式1(2015·江苏卷)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若ma+nb=(9，-8)(m，n∈R)，则m-n的值为.【答案】-3【解析】因为ma+nb=(2m+n，m-2n)=(9，-8)，所以解得故m-n=-3.变式2(2015·湖南卷)已知点A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，则|++|的最大值为.【答案】7【解析】因为A，B，C均在单位圆上，且AB⊥BC，知A，C为直径的端点，所以可令A(cosx，sinx)，则B(cos(x+α)，sin(x+α))，C(-cosx，-sinx)，0<α<π，则++=(cos(x+α)-6，sin(x+α))，所以|++|==≤7.利用平面向量的坐标表示解综合问题例3已知O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，=t1+t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1=1时，无论t2为何实数，A，B，M三点都共线；(3)当t1=a2，⊥且△ABM的面积为12时，求实数a的值.【解答】(1)=t1+t2=t1(0，2)+t2(4，4)=(4t2，2t1+4t2).当点M在第二或第三象限时，有4t2<0，2t1+4t2≠0，故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0.(2)当t1=1时，由(1)知=(4t2，4t2+2).因为=-=(4，4)，=-=(4t2，4t2)=t2(4，4)=t2，又与有公共点A，所以不论t2为何实数，A，B，M三点都共线.(3)当t1=a2时，=(4t2，4t2+2a2).又因为=(4，4)，⊥，所以4t2×4+(4t2+2a2)×4=0，所以t2=-a2.所以=(-a2，a2).又因为||=4，点M到直线AB：x-y+2=0的距离d==|a2-1|.因为S△ABM=12，所以||×d=×4×|a2-1|=12，解得a=±2，故a的值为2或-2.变式如图，给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.点C在以O为圆心的上移动.若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值为.(变式)【答案】2【解析】设∠AOC=α，0≤α≤，则即所以x+y=2[cosα+cos(-α)]=cosα+sinα=2sin≤2.1.若向量=(1，2)，=(3，4)，则=.【答案】(4，6)【解析】=+=(4，6).2.已知向量a=(1，y)，b=(x，-2)，若2a-3b=(5，8)，则x+y=.【答案】0【解析】由2a-3b=(2-3x，2y+6)=(5，8)，得解得所以x+y=0.3.已知点M(3，-2)，N(-5，-1)，若=，则点P的坐标为.【答案】【解析】设P(x，y)，则=(x-3，y+2)，=(-8，1)，由=，得(x-3，y+2)=(-8，1)，解得x=-1，y=-，所以点P的坐标为.4.设点A(-1，2)，B(2，3)，C(3，-1)，且=2-3，则点D的坐标为.【答案】(2，16)【解析】因为=(3，1)，=(1，-4)，所以=(6，2)-(3，-12)=(3，14).设D(x，y)，则x+1=3且y-2=14，所以5.已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，那么|+3|的最小值为.【答案】5(第5题)【解析】如图，建立平面直角坐标系，设C(0，b)，P(0，y)，则B(1，b)，又A(2，0)，则+3=(2，-y)+3(1，b-y)=(5，3b-4y)，所以|+3|2=25+(3b-4y)2，所以当3b-4y=0，即y=b时，|+3|2取得最小值25，即|+3|的最小值为5.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第67~68页.【检测与评估】第34课平面向量的基本定理及坐标表示一、填空题1.若作用在原点的三个力分别为=(1，2)，=(-1，-4)，=(-2，5)，则这三个力的合力的坐标为.2.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则=.3.若向量a=(1，1)，b=(1，-1)，c=(-1，-2)，则c=.(用a，b表示)4.若a+b=(2，-8)，a-b=(-8，6)，则向量a=，b=.5.已知点M(3，2)，N(1，2)，a=(x+3，x-3y-4)，且a与相等，那么实数y的值为.6.若向量a=(1，1)，b=(-1，1)，c=(4，2)，则c=.(用a，b表示)7.已知向量a=(，1)，b=(0，-1)，c=(k，).若a-2b与c共线，则实数k=.8.已知向量a=(cosθ，sinθ)，b=(，1)，那么|2a-b|的最大值和最小值分别为.二、解答题9.已知点A(-1，2)，B(0，-2)，且2=3.若点D在线段AB上，求点D的坐标.10.已知m，x∈R，向量a=(x，-m)，b=((m+1)x，x).(1)若m=4，且|a|<|b|，求x的取值范围；(2)若a·b>1-m对任意的实数x恒成立，求m的取值范围.11.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且=+t，试问：(1)当t为何值时，点P在x轴上?点P在y轴上?点P在第三象限?(2)四边形OABP能否构成平行四边形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知点A(7，1)，B(1，4)，直线y=ax与线段AB交于点C，且=2，则实数a=.13.设G为△ABC的重心，若△ABC所在平面内一点P满足+2+2=0，则的值为.【检测与评估答案】第34课平面向量的基本定理及坐标表示1.(-2，3)【解析】合力为++=(-2，3).2.(-3，-5)【解析】在平行四边形ABCD中，=-=(-)-=-2=(1，3)-2(2，4)=(-3，-5).3.-a+b【解析】设c=xa+yb，则(-1，-2)=x(1，1)+y(1，-1)=(x+y，x-y)，所以解得即c=-a+b.4.(-3，-1)(5，-7)5.-【解析】由=(2，0)=a=(x+3，x-3y-4)，得解得6.3a-b【解析】设c=ma+nb，因为a=(1，1)，b=(-1，1)，c=(4，2)，所以解得所以c=3a-b.7.1【解析】因为a-2b=(，3)，所以由a-2b与c共线，得×-3k=0，解得k=1.8.4，0【解析】由题知2a-b=(2cosθ-，2sinθ-1)，所以|2a-b|==，所以最大值和最小值分别为4，0.9.设D(m，n).由2||=3||，点D在线段AB上可知2=3，即2(m+1，n-2)=3(0-m，-2-n)，即2m+2=-3m，且2n-4=-6-3n，解得m=n=-，所以点D的坐标为.10.(1)当m=4时，|a|2=x2+16，|b|2=25x2+x2=26x2.因为|a|<|b|，所以|a|2<|b|2，从而x2+16<26x2，所以16<25x2，解得x<-或x>.即实数x的取值范围是∪.(2)因为a·b=(m+1)x2-mx.由题意得(m+1)x2-mx>1-m对任意的实数x恒成立，即(m+1)x2-mx+m-1>0对任意的实数x恒成立.当m+1=0，即m=-1时，显然不恒成立.从而解得m>.即m的取值范围是.11.=+t=(1+4t，2+5t).(1)点P(1+4t，2+5t)，当2+5t=0，即t=-时，点P在x轴上；当1+4t=0，即t=-时，点P在y轴上；当1+4t<0，2+5t<0，即t<-时，点P在第三象限.(2)若能构成平行四边形，则有=，即(1，2)=(3-4t，3-5t)