（江苏专用）高考数学大一轮复习 第八章 不等式 第48课 不等式的综合应用 文-人教版高三全册数学试题

第48课不等式的综合应用(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P16练习3改编)若函数y=tanθ+，θ∈，则函数y的最大值为.【答案】-22.(必修5P98练习2改编)若过定点P(1，2)的直线在x轴与y轴正半轴上的截距分别为a，b，则a·b的最小值为.【答案】83.(必修5P92习题6改编)如果把长为12cm的细铁丝截成四段，围成一个矩形，那么这个矩形面积的最大值是.【答案】9cm24.(必修5P93习题10改编)已知(m-2)(n-1)=4，且m>2，n>1，那么m+n的最小值是.【答案】7【解析】因为(m-2)(n-1)=4，所以m=+2，所以m+n=+2+n=+n-1+3≥2+3=7(当且仅当n=3，m=4时取等号)，故m+n的最小值为7.1.与不等式有关的常见综合问题有：函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何中的最值问题.2.求解不等式的综合应用问题的一般步骤：(1)分析题意；(2)建立数学模型；(3)解决数学问题；(4)检验作答.【要点导学】要点导学各个击破不等式的含参问题例1(2015·徐州、连云港、宿迁三检)已知实数x，y满足约束条件若不等式m(x2+y2)≤(x+y)2恒成立，则实数m的最大值是.【思维引导】从题干上看，题中的线性约束条件的作用是求目标函数z的取值范围是不会改变的，所以将不等式m(x2+y2)≤(x+y)2转化并能确定目标函数z是本题的核心问题.(例1)【答案】【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，显然地，A(2，3)，B(3，3)，令目标函数z=，它表示经过点(0，0)及可行域内的点(x，y)的直线的斜率，从而1≤z≤.不等式m(x2+y2)≤(x+y)2恒成立，也就是m≤恒成立，令u=，则u=1+=1+=1+，当1≤z≤时，2≤+z≤，从而≤≤1，≤1+≤2，于是m≤，即实数m的最大值为.【精要点评】(1)本题是恒成立问题与基本不等式问题的综合题，较容易入手，需要考生完成的工作是灵活将这两个问题搭桥，以及如何将含两个变量x，y的式子消元成一个变量z.(2)含参问题一般分恒成立问题和存在性问题，通常先考虑分离参数(变量)再利用函数求最值问题求解参数取值范围.变式(2015·重庆一中模拟)设对任意实数x∈[-1，1]，不等式x2+ax-3a<0恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】设f(x)=x2+ax-3a.因为对任意实数x∈[-1，1]，不等式x2+ax-3a<0恒成立，所以即所以故a>.不等式与函数、三角、向量等知识的结合例2(2015·泰州期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=C且7a2+b2+c2=4，则△ABC面积的最大值为.【思维引导】要求面积的最大值，首先要选择合适的参数来表示面积，然后运用基本不等式或函数法来求最值.【答案】【解析】如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则AD⊥BC.(例2)方法一：由题知b=c，则7a2+2b2=4，所以b2=2-a2，所以△ABC的面积S=a=a=··≤·=，当且仅当a2=2-a2，即a2=时取等号，所以△ABC面积的最大值为.方法二：设BD=CD=m，AD=n，则由已知得7(2m)2+2(m2+n2)=4，所以15m2+n2=2≥2mn，所以mn≤，当且仅当15m2=n2时取等号，此时m2=，所以△ABC面积的最大值为.变式设P(x，y)为函数y=x2-1(x>)图象上一动点，记m=+，则当m取最小值时，点P的坐标为.【答案】(2，3)【解析】方法一：m=+=6++，因为x>，所以x2-3>0，x-1>0，所以m≥6+2=8.当且仅当=，即x=2时，m取得最小值，此时点P的坐标为(2，3).方法二：m=+=6++，因为x>，所以y>2，所以y-2>0，x-1>0，所以m≥8.当且仅当=时，m取得最小值.下同方法一.不等式的应用题例3某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x=3-(k为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量是1万件.已知2015年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).(1)将2017年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m(单位：万元)的函数；(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?【思维引导】(1)利润y=销售量×每件产品的价格-固定投入-再投入资金-促销费用；(2)根据基本不等式的性质求出y取最大值时m的值即可.【解答】(1)由题意可知，当m=0时，x=1，所以1=3-k，即k=2，所以x=3-，每件产品的销售价格为1.5×元.所以2017年的利润y=x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8-m=-+29(m≥0).(2)因为m≥0时，+(m+1)≥2=8，所以y≤-8+29=21，当且仅当=m+1，即m=3时，ymax=21.答：该厂家2017年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.【精要点评】(1)解基本不等式应用题时主要注意自变量的范围的实际限制，以及能否取到等号，是否在不等式取等号时取最值等.(2)基本不等式应用题的考查近两年不再以大题出现，常以简单的填空题出现.变式某啤酒厂为适应市场需要，从2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000t，葡萄酒生产量为1000t.该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%.(1)哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低?(2)从2011年起(包括2011年)，经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的?(生产总量是指各年年产量之和)【解答】设从2011年起，该厂第n年啤酒和葡萄酒年生产量分别为ant和bnt，经过n年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为Ant和Bnt.(1)设第n年啤酒和葡萄酒生产的年生产量和为Dnt，依题意得，an=16000(1-50%)n-1=，bn=1000(1+100%)n-1=500×2n(n∈N*)，则Dn=an+bn=+500×2n=500≥500×2=8000，当且仅当=2n，即n=3时取等号，故2013年啤酒和葡萄酒的年生产量之和最低，为8000t.(2)依题意得≥，得Bn≥2An，因为An==32000·，Bn==1000(2n-1)，所以1000(2n-1)≥32000·×2，因为2n-1>0，所以2n≥64，所以n≥6，即从第2011年起，经过6年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的.1.设x，y满足线性约束条件若目标函数z=ax+by(其中a>0，b>0)的最大值为3，则+的最小值为.【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知z=ax+by经过直线x-2y+3=0与2x-3y+4=0的交点A时z最大.由得A(1，2)，所以a+2b=3，(第1题)所以+=(a+2b)=≥3，当且仅当=，即a=b=1时等号成立.2.已知二次函数f(x)=ax2-4x+c+1的值域为[1，+∞)，那么+的最小值为.【答案】3【解析】由题意知所以ac=4，所以+≥2=2×=3，当且仅当=时取等号.3.(2014·苏中三市、宿迁调研)若不等式(mx-1)[3m2-(x+1)m-1]≥0对任意的m∈(0，+∞)恒成立，则实数x的值为.【答案】1(第3题)【解析】方法一：显然x>0，若x≤0，则mx-1<0，而当m充分大时，3m2-(x+1)m-1>0，与题设矛盾.而当x>0时，要使(mx-1)[3m2-(x+1)m-1]≥0对m∈(0，+∞)恒成立，则关于m的方程mx-1=0与3m2-(x+1)m-1=0在(0，+∞)内有相同的根，所以3-(x+1)-1=0，解得x=1，x=-(舍去).方法二：(图象法)设函数y1=xm-1，y2=3m2-(x+1)m-1，要使不等式(mx-1)·[3m2-(x+1)m-1]≥0对任意的m∈(0，+∞)恒成立，则必有x>0，作出两个函数图象如图所示，则有两个函数图象交于点，即m=是方程3m2-(x+1)m-1=0的根，则有3-(x+1)-1=0，解得x=1，x=-(舍去).4.(2014·福建卷)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是元.【答案】160【解析】设长方体底面矩形的一边长为xm，所以另一边长为m.设容器的总造价为y元，则y=4×20+2(x+)×1×10=80+20≥80+20×2=160，当且仅当x=，即x=2时，等号成立.因此，当x=2时，y取得最小值160，即容器的最低总造价为160元.5.(2015·苏北四市期末)已知函数f(x)=则不等式f(f(x))≤3的解集为.【答案】(-∞，]【解析】令t=f(x)，则原不等式化为f(t)≤3，因为函数f(t)=所以当t≥0时，不等式f(t)≤3恒成立；当t<0时，由t2+2t≤3，得-3≤t<1，此时-3≤t<0，于是不等式f(t)≤3的解集为[-3，+∞)，原不等式也就转化为f(x)≥-3.因为函数f(x)=所以当x≥0时，-x2≥-3，解得-≤x≤，所以0≤x≤；当x<0时，x2+2x≥-3恒成立，综上所述，原不等式的解集为(-∞，].【融会贯通】融会贯通能力提升某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【思维引导】【规范解答】(1)设每件定价为x元，依题意，有x≥25×8，…………3分整理得x2-65x+1000≤0，解得25≤x≤40…………………5分所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元……7分(2)依题意，当x>25时，不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x有解，………………9分等价于x>25时，a≥+x+有解，……………11分因为+x≥2=10(当且仅当x=30时，等号成立)，所以a≥10.2………………13分所以当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元……14分【精要点评】(1)正确审题，准确建立数学模型，然后根据模型特征选取求最值的方法.(2)在解应用题时，时刻注意自变量的实际意义所确定的定义域.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第95~96页.【检测与评估】第48课不等式的综合应用一、填空题1.已知x为实数，则y=+的最大值为.2.已知命题p：x2-4x-5>0，命题q：x2-2x+1-m2>0(m>0).若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为.3.已知函数f(x)=x|x+1|，则f<f的解集为.4.(2015·安阳一中)若对任意x>0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是.5.(2015·四川卷)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，则mn的最大值为.6.(2015·南京、盐城、徐州二模)已知α，β均为锐角，且cos(α+β)=，则tanα的最大值是.7.(2014·安徽卷)若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为.8.(2015·浙江卷)已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是.二、解答题9.(2014·苏北四市期末)已知函数f(x)=x|x-2|，求不等式f(-x)≤f(1)的解集.10.已知函数f(x)=x3-x2+x，y=f'(x)为f(x)的导函数，设h(x)=lnf'(x)，若对于一切x∈[0，1]，不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立，求实数t的取值范围.11.(2014·南京学情调研)如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2m.问：怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大?并求出其最大面积.(第11题)三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015·南京、盐城、徐州二模)已知函数f(x)=，x∈R，则不等式f(x2-2x)<f(3x-4)的解集是.13.若0<y≤x<，且tanx=3tany，则x-y的最大值为.【检测与评估答案】第48课不等式的综合应用1.4【解析】函数定义域为[18，26]，且y>0，所以y=+≤·=4，当且仅当=，即x=22时等号成立.2.2【解析】由题意知，p：x>5或x<-1，设f(x)=x2-2x+1-m2，则所以0<m≤2，所以m的最大值为2.3.【解析】原不等式可化为<，所以①或②由①解得-≤x<，由②解得x<-，所以所求解集为.4.【解析】因为x>0，所以=≤=，当且仅当x=(x>0)，即x=1时等号成立，故实数a的取值范围是.5.18【解析】当m=2时，f(x)=(n-8)x+1，由f(x)在区间上单调递减，知n<8，所以mn<16；当m≠2时，抛物线的对称轴方程为x=-.根据题意，当m>2时，-≥2，即2m+n≤12，因为≤≤6，所以mn≤18.由2m=n且2m+n=12得m=3，n=6；当m<2时，抛物线开口方向向下，据题意得，-≤，即m+2n≤18.因为≤≤9，所以mn≤.由2n=m且m+2n=18，得m=9>2，不合题意，故应舍去，所以要使得mn取得最大值，应有m+2n=18(m<2，n>8)，mn=(18-2n)n<(18-2×8)×8=16，综上，mn的最大值为18.6.【解析】由cos(α+β)=，得cosα·cosβ-sinαsinβ=，即cosαcosβ=sinα.由α，β均为锐角，得cosα≠0，tanβ>0，所以tanα=====≤=，当且仅当2tanβ=，即tanβ=时，等号成立.7.-4或8【解析】当a≥2时，f(x)=由图(1)可知，f(x)min=f=-1=3，可得a=8.当a<2时，f(x)由图(2)可知，f(x)min=f=-+1=3，可得a=-4.综上，a的值为-4或8.图(1)图(2)(第7题)8.15【解析】因为x2+y2≤1，所以x≤1，y≤1，所以2x+y-4<0，6-x-3y>0，所以z=|2x+y-4|+|6-x-3y|=4-2x