（江苏专用）高考数学大一轮复习 第八章 不等式 第45课 一元二次不等式(含分式不等式) 文-人教版高三全册数学试题

第45课一元二次不等式(含分式不等式)(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5P75例1改编)不等式-3x2+6x>2的解集为.【答案】【解析】将不等式-3x2+6x>2转化为3x2-6x+2<0，所以不等式的解集为.2.(必修5P80习题11改编)不等式<0的解集为.【答案】{x|-3<x<1}3.(必修5P71习题7改编)已知不等式ax2+bx-1>0的解集是{x|3<x<4}，则a=，b=.【答案】-4.(必修5P78例3改编)某厂生产一批产品，日销售量x(单位：件)与货价p(单位：元/件)之间的关系为p=160-2x，生产x件所需成本C=500+30x元.若使得日获利不少于1300元，则该厂日产量所要满足的条件是.【答案】[20，45]【解析】由题意得(160-2x)·x-(500+30x)≥1300，解得20≤x≤45.5.(必修5P80习题8改编)若不等式x2-2x+k2-2>0对于任意的x∈[2，+∞)恒成立，则实数k的取值范围是.【答案】(-∞，-)∪(，+∞)【解析】由x2-2x+k2-2>0，得k2>-x2+2x+2，设f(x)=-x2+2x+2，f(x)=-(x-1)2+3，当x≥2，可求得f(x)max=2，则k2>f(x)max=2，所以k>或k<-.1.一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集：设相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ=b2-4ac，则不等式的解的各种情况如下表：Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个相异实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等实数根x1=x2=-无实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2} Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}2.求解一元二次不等式的三个步骤：(1)解一元二次方程ax2+bx+c=0得到根；(2)结合二次函数y=ax2+bx+c的图象；(3)写出一元二次不等式的解集.3.分式不等式<0(a<b)的解集为{x|a<x<b}.分式不等式>0(a<b)的解集为{x|x<a或x>b}.4.二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R的条件是.二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R的条件是.【要点导学】要点导学各个击破一元二次不等式及分式不等式的解法例1解下列关于x的不等式.(1)-6x2-5x+1<0；(2)≤3.【思维引导】(1)本题考查一元二次不等式的解法，求解时注意与相应的二次函数的图象相结合.(2)由于是分式不等式，所以要移项通分，不能直接去分母.所以有-3≤0，通分得≤0，即≥0，又≥0等价于(2x-1)x≥0且x≠0，不等式(2x-1)x≥0对应方程的根为x1=0，x2=，由口诀“大于取两边，小于取中间”得不等式的解为x≥或x<0.【解答】(1)原不等式转化为6x2+5x-1>0，方程6x2+5x-1=0的解为x1=，x2=-1.根据y=6x2+5x-1的图象，可得原不等式的解集为.(2)原不等式变形为-3≤0，即≥0，所以原不等式的解集为.【精要点评】(1)可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集；(2)遇到分式不等式一般有两种方法：方法一是转化变形为<0(a<b)或者>0(a<b)的形式，方法二是针对分母的正负进行讨论；如第(2)题，就可以转化成再分别求解.变式1解下列关于x的不等式.(1)x-3>-2；(2)x2-(a2+a)x+a3<0(a>0).【解答】(1)解不等式x-3>-2，可得>2或<1.由>2，得x>4；由<1，得x<1且x≥0，即0≤x<1.所以不等式的解集为{x|x>4或0≤x<1}.(2)原不等式转化为(x-a)(x-a2)<0.当a2>a，即a>1时，不等式的解集为{x|a<x<a2}；当a2<a，即0<a<1时，不等式的解集为{x|a2<x<a}；当a2=a，即a=1时，不等式的解集为.变式2已知关于x的不等式<1.(1)当a=1时，解该不等式；(2)当a为任意实数时，解该不等式.【解答】(1)当a=1时，不等式化为<1，化为<0，所以1<x<2，解集为{x|1<x<2}.(2)由<1，得<0，即(ax-2)(x-1)<0.当=1，即a=2时，解集为；当>1，即0<a<2时，解集为；当<1，即a>2时，解集为；当a=0时，解集为{x|x>1}；当a<0时，解集为{x|x<或x>1}.三个“二次”的关系例2已知函数f(x)=2x2+bx+c(b，c∈R)的值域为[0，+∞)，若关于x的不等式f(x)<m的解集为(n，n+10)，求实数m的值.【解答】因为函数f(x)=2x2+bx+c(b，c∈R)的值域为[0，+∞)，所以Δ=b2-8c=0，所以c=，因为不等式f(x)<m的解集为(n，n+10)，所以2x2+bx+<m，即2x2+bx+-m<0的解集为(n，n+10)，设方程2x2+bx+-m=0的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=-，所以|x1-x2|====10，解得m=50.【精要点评】(1)一元二次不等式解的两个边界就是一元二次方程的根，二次函数的零点，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.(2)若x1，x2为ax2+bx+c=0(a≠0)两根，则|x1-x2|====.变式(2015·惠州期末)若不等式x2-ax-b<0的解集为(2，3).(1)求实数a，b的值；(2)求不等式bx2-ax-1>0的解集.【解答】(1)由题设可知不等式x2-ax-b<0的解集是{x|2<x<3}.所以2和3是方程x2-ax-b=0的两个根，由韦达定理得解得(2)不等式bx2-ax-1>0，即为-6x2-5x-1>0，不等式-6x2-5x-1>0可化为6x2+5x+1<0，即(2x+1)(3x+1)<0，解得-<x<-，所以所求不等式的解集为{x.例3(1)已知方程x2+ax+2=0的两根都小于-1，求实数a的取值范围；(2)若α，β是方程x2+(2m-1)x+4-2m=0的两个根，且α<2<β，求实数m的取值范围.【思维引导】数形结合的方法，即利用一元二次方程和相应二次函数之间的关系：(1)(2)f(2)<0.【解答】(1)令f(x)=x2+ax+2，因为x2+ax+2=0的两根都小于-1，所以所以2≤a<3，即实数a的取值范围是[2，3).(2)令f(x)=x2+(2m-1)x+4-2m，则此二次函数的图象开口向上.又α<2<β，所以f(2)<0，即4+(2m-1)·2+4-2m<0，所以m<-3，即实数m的取值范围是(-∞，-3).【精要点评】利用二次函数的图象分析一元二次方程的根的问题，通常要考查其开口方向、判别式、对称轴及端点处函数值的符号.恒成立问题求参数例4如果不等式ax2-ax+1≥0恒成立，那么实数a的取值范围为.【答案】[0，4]【解析】当a=0时，原不等式变为1≥0，恒成立，符合题意；当a≠0时，由ax2-ax+1≥0恒成立，得解得0<a≤4.综上，实数a的取值范围为[0，4].变式已知当x∈(0，+∞)时，不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立，求实数m的取值范围.【解答】令t=3x(t>1)，则由已知得函数f(t)=t2-mt+m+1(t∈(1，+∞))的图象恒在x轴的上方，即Δ=(-m)2-4(m+1)<0或解得m<2+2.即实数m的取值范围是(-∞，2+2).1.(2015·江苏卷)不等式<4的解集为.【答案】(-1，2)【解析】由题意得x2-x<2-1<x<2，故解集为(-1，2).2.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点为2和3，那么不等式ax2-bx+c<0的解集为.【答案】{x|-3<x<-2}【解析】因为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点为2和3，所以f(x)=a(x-2)(x-3)，进而函数g(x)=ax2-bx+c=a(x+2)(x+3).又因为a>0，所以不等式ax2-bx+c<0的解集为{x|-3<x<-2}.3.(2014·常州期末)已知函数f(x)=若f(f(-2))>f(k)，则实数k的取值范围为.【答案】(lo9，4)【解析】由题设知f(x)=所以f(f(-2))=f(4)=9.所以原不等式等价于f(k)<9，即或解得k∈(lo9，4).4.若关于x的不等式ax2+x-2a<0的解集中有且仅有4个整数解，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】当a≤0时，不等式ax2+x-2a<0的解集中有无数个整数解，因此a>0.设f(x)=ax2+x-2a，因为f(0)=-2a<0，f(1)=1-a，f(2)=2+2a>0.若a>1，则f(1)=1-a<0，4个整数解应为1，0，-1，-2，而f(-2)=4a-2-2a=2a-2>0，矛盾.所以假设错误，故0<a≤1，所以4个整数解应为0，-1，-2，-3，所以f(-3)=7a-3<0，f(-4)=14a-4≥0，所以实数a的取值范围是.5.(2015·泰州二模)已知函数y=的定义域为R，值域为[0，+∞)，则实数a的取值集合为.【答案】{1}【解析】由定义域为R，知x2-2x+a≥0恒成立.又值域为[0，+∞)，则函数y=x2-2x+a的图象只能与x轴有1个交点，所以Δ=4-4a=0，则a=1，所以实数a的取值集合为{1}.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第89~90页.【检测与评估】第八章不等式第45课一元二次不等式(含分式不等式)一、填空题1.(2015·广东卷)不等式-x2-3x+4>0的解集为.(用区间表示)2.不等式<0的解集为.3.(2015·汕头期末)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2}，则实数a+b=.4.(2014·苏北五市模拟)已知集合A={x||x-a|≤1}，B={x|x2-5x+4≥0}.若A∩B=，则实数a的取值范围是.5.若关于x的不等式ax2-|x|+2a<0的解集为空集，则实数a的取值范围是.6.若一元二次不等式ax2-ax+b<0的解集为(m，m+1)，则实数b=.7.对于满足0≤a≤4的实数a，使x2+ax>4x+a-3恒成立的x的取值范围是.8.(2014·苏州期末)已知函数f(x)=那么不等式f(x2-x+1)<12的解集为.二、解答题9.设命题p：实数x满足(x-4a)(x-a)<0，其中a>0；命题q：实数x满足x2-4x+3≤0.(1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.10.国家为了加强对烟酒的生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约销售100万瓶.若政府征收附加税，每销售100元征税R元(叫作税率R%)，则每年产销量将减少10R万瓶.要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R应怎样确定?11.(2015·大同期末)已知关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0，a∈R.(1)已知不等式的解集为(-∞，-1]∪[2，+∞)，求实数a的值；(2)若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.(3)解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.当x∈(-∞，-1]时，不等式(m-m2)4x+2x+1>0恒成立，则实数m的取值范围是.13.(2015·南京三模)已知a，t为正实数，函数f(x)=x2-2x+a，且对任意的x∈[0，t]，都有f(x)∈[-a，a].若对每一个正实数a，记t的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为.【检测与评估答案】第八章不等式第45课一元二次不等式(含分式不等式)1.(-4，1)【解析】由-x2-3x+4>0，得-4<x<1，所以不等式-x2-3x+4>0的解集为(-4，1).2.3.0【解析】因为解集为(-1，2)，所以由韦达定理可得解得所以a+b=0.4.(2，3)【解析】由题意知A=[a-1，a+1]，B=(-∞，1]∪[4，+∞).因为A∩B=，所以a+1<4且a-1>1，即2<a<3.5.【解析】当x=0时，不等式变为2a<0，因为此不等式的解集为，所以a≥0；当x≠0时，不等式可化为a<=，因为此不等式的解集为，所以a≥，又|x|+≥2，所以≤，所以a≥.综上，实数a的取值范围是.6.0【解析】由根与系数的关系可知所以m=0，b=0.7.(-∞，-1)∪(3，+∞)【解析】原不等式等价于x2+ax-4x-a+3>0，所以a(x-1)+x2-4x+3>0，令f(a)=a(x-1)+x2-4x+3，则函数f(a)=a(x-1)+x2-4x+3表示一条直线，所以要使f(a)=a(x-1)+x2-4x+3>0，则有f(0)>0，f(4)>0，即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1，即使原不等式恒成立的x的取值范围为(-∞，-1)∪(3，+∞).8.(-1，2)【解析】易知f(x)=是奇函数，且在R上单调递增，f(3)=12，所以原不等式等价于x2-x+1<3，解得-1<x<2，即不等式f(x2-x+1)<12的解集为(-1，2).9.(1)由(x-4a)(x-a)<0，a>0，得a<x<4a.当a=1时，1<x<4，即p为真命题时，实数x的取值范围为{x|1<x<4}.由x2-4x+3≤0，得1≤x≤3.所以q为真时，实数x的取值范围为{x|1≤x≤3}.若p∧q为真，则1<x≤3，所以实数x的取值范围是(1，3].(2)设A={x|a<x<4a}，B={x|1≤x≤3}，q是p的充分不必要条件，则BA，所以<a<1，所以实数a的取值范围是.10.设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收税金为70x·R%(万元)，且x=100-10R.由题意知70(100-10R)·R%≥112，化简得R2-10R+16≤0，解得2≤R≤8，可知税率定在2%到8%之间，年收入附加税不少于112万元.11.因为ax2+(a-2)x-2≥0的解集为(-∞，-1]∪[2，+∞)，所以方程ax2+(a-2)x-2=0的两根为x=-1或x=2，所以-1×2=，解得a=1.(2)若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立，则(a-2)x2+(a-2)x+1≥0对x∈R恒成立.因此，①当a=2时，不等式变为1≥0