专题6.1空间向量及其运算（八个重难点突破）

专题6.1空间向量及其运算知识点1空间向量的有关概念1．空间向量的定义及表示定义在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量长度或模空间向量的大小叫做空间向量的长度或模表示方法几何表示法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模符号表示法若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或2.几类特殊的空间向量名称方向模表示法零向量任意0记为单位向量1或相反向量相反相等记为共线向量相同或相反或相等向量相同相等或知识点2空间向量的线性运算1.空间向量的加减运算加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述2.空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义与向量的方向相同的长度是的长度的倍与向量的方向相反，其方向是任意的3.空间向量的运算律交换律结合律，分配律知识点3共线向量与共面向量1.直线的方向向量定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量．2．共线向量与共面向量的区别共线(平行)向量共面向量定义位置关系表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量特征方向相同或相反特例零向量与任意向量平行充要条件共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使对空间任一点O，空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有知识点4空间向量的夹角如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作，夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作知识点5空间向量的数量积运算1．空间向量的数量积已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即．零向量与任意向量的数量积为0，即.2．数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律交换律分配律3．投影向量在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量．4．数量积的性质若，为非零向量，则（1）；（2）；（3），；（4）；（5）重难点1空间向量的有关概念【例1】下列命题中为真命题的是（

）A．向量与的长度相等B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等【答案】A【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C.【详解】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确；选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误；选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误；选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误；故选：A.【例2】在正方体中，与向量相反的向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可.【详解】

如图所示，可知是的相反向量.故选：A【变式11】对于空间任意两个非零向量，，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由向量共线与向量夹角的关系，判断【详解】空间任意两个非零向量，，，包括向量和同向共线和反向共线两种情况，即当时，有或，不能得到，充分性不成立.，则和方向相同，有，必要性成立；故“”是“”的必要不充分条件.故选：B【变式12】给出下列命题：①空间向量就是空间中的一条有向线段；②在正方体中，必有；③是向量的必要不充分条件；④若空间向量满足，，则．其中正确的命题的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【分析】根据空间向量的相关概念逐项判断.【详解】有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误；和大小一样、方向相同，则，故②正确；若，则和的模相等，方向不一定相同，若，则和的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分条件，故③正确；向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行，故④错误.综上所述，②③正确.故选：B．【变式13】如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有多少个？(2)试写出与相等的所有向量．(3)试写出的相反向量．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据单位向量的定义写出即可；（2）根据相等向量的定义写出即可；（3）根据相反向量的定义写出即可.【详解】（1）由题意，单位向量有共个；（2）由题意，与相等有；（3）由题意，的相反向量有.（1）（1）判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向．两者缺一不可，相互制约；（2）两个向量相等，起点和终点未必相同，即起点和终点相同是两个向量相等的充分不必要条件重难点2空间向量的线性运算【例3】已知四面体中，是的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件作出图形，利用空间向量的加法法则即可得解.【详解】因为四面体中，是的中点，所以.故选：B.【例4】如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据空间向量的运算法则确定，得到答案.【详解】，故，，，.故选：A【变式21】在三棱锥中，若为正三角形，且E为其中心，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延长交于，得是中点，，然后由向量的线性运算求解．【详解】延长交于，如图，则是中点，，，故选：C．【变式22】如图，在长方体中，下列运算结果化简正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据空间向量加减运算，结合长方体的性质逐项判断即可.【详解】对于A，，错误；对于B，，正确；对于C，，错误；对于D，，错误.故选：B【变式23】若空间中四点满足，则（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】利用向量的运算法则求解即可.【详解】∵，,即,则.故选：A.①①巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接；②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移方法获得运算结果．重难点3共线问题【例5】已知，，不共面，若，，且三点共线，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案.【详解】因为三点共线，所以，即，故，解得，所以.故选：C【例6】如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足则下列说法错误的是（

）A．当时，点在棱上B．当时，点在线段上C．当时，点在棱上D．当时，点在线段上【答案】B【分析】由空间向量共线定理逐项判断即可.【详解】当时，又，所以则点在棱上，故正确；当时，，所以点在线段上，故错误；当时，所以,及，且，所以点在棱上，故正确；当时，，所以,即,所以点在线段上，故正确，故选：【变式31】设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A，B，D三点共线，求实数k的值．【答案】.【分析】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答.【详解】因为，，则有，又A，B，D三点共线，于是，即，而不共线，因此，解得，所以实数k的值是.【变式32】已知三点共线，为空间任意一点，，则.【答案】【分析】根据向量共线和平面向量基本定理可求出结果.【详解】因为三点共线，∴，即，，又，所以，所以.故答案为：.【变式33】已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．【答案】证明见解析．【分析】根据题意，由向量的线性运算可得，即可得到证明.【详解】，，，，，因为、无公共点，故.共线向量的充要条件：若共线向量的充要条件：若，则存在唯一实数，使；若存在唯一实数，使，，则重难点4向量的共面问题【例7】若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】A选项，根据得到三向量不共面；BCD选项，设为未知数，得到方程组，方程无解则不共面，方程有解则共面，得到答案.【详解】A选项，因为，故不共面，A错误；B选项，设，故，无解，故不共面，B正确；C选项，设，则，解得，故共面，C错误；D选项，，则，解得，故共面，D错误.故选：B【例8】已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论逐项判断即得.【详解】平面外的任一点O，点共面的充要条件是，且，对于A，由，得，点不共面，A不是；对于B，由，得，点不共面，B不是；对于C，由，得，点不共面，C不是；对于D，由，得，点共面，D是.故选：D【变式41】已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（

）A．若共面，那么中至少存在一对向量共线B．若共面，那么存在一组实数对，使得C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面【答案】B【分析】根据共面向量的定义，结合异面直线的定义逐一判断即可.【详解】A：当共面时，这时相当于这个平面内的三个平面向量，因此这三个平面向量可以都不共线，所以本选项命题是假命题；B：根据共面向量定理可以知道本选项命题是真命题；C：设，若彼此两两互相垂直时，显然所在直线中没有直线异面，因此本选项命题是假命题；D：如下图所示：若，显然异面，所以本选项命题是假命题，故选：B【变式42】若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】根据共面向量定理逐个分析判断即可.【详解】对于A，因为，所以，，三个向量共面，所以A错误，对于B，因为，所以，，三个向量共面，所以B错误，对于C，假设，，三个向量共面，则存在实数，使，所以三个向量共面，因为是空间的一个基底，所以三个向量不共面，所以假设错误，所以，，三个向量不共面，所以C正确，对于D，因为，所以，，三个向量共面，所以D错误，故选：C【变式43】已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据空间共面向量基本定理即可求解.【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以，所以.故选:C．利用向量方法证明四点共面的基本途径：利用向量方法证明四点共面的基本途径：对空间任意四点，可通过证明下列结论来证明四点共面：（1）.（2）对空间任意一点.（3）对空间任意一点.重难点5空间向量数量积的运算【例9】正四面体的棱长为2，设，，，则.【答案】【分析】根据空间向量数量积的定义及运算律计算可得.【详解】在正四面体中，，又，，，所以.故答案为：【例10】如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】利用基底法表示得与，再利用空间向量的数量积运算即可得解.【详解】依题意，记，，，则，，则，因为，，所以.故选：D.【变式51】（多选）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用空间数量积的定义、运算性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，向量不能作除法，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，，D对.故选：BD.【变式52】已知正四面体的棱长为2，点，分别是，的中点，则的值为．【答案】【分析】由向量的位置关系及加减法的几何意义有，，应用向量数量积的运算律及定义求.【详解】由题设，，所以.故答案为：【变式53】如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由空间向量的线性运算对选项一一计算即可得出答案.【详解】对于A，因为底面，所以底面，所以，所以，故A错误；对于B，因为，所以，所以为等边三角形，所以，所以，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.在几何体中在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形,将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角.重难点6用数量积解决夹角问题【例11】已知空间向量，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由条件可知，再将其平方并代入模长即可求得的值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，故选：D.【例12】已知在空间四边形中，，且，，则与所成的角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用已知条件计算，再利用计算与所成角的余弦值，然后确定角度.【详解】根据已知，得，∴，∴，∴与所成的角为.故选：C.【点睛】本题考查异面直线夹角的计算，较容易，转化为求向量间的夹角计算即可.【变式61】空间四边形中，，，则的值是（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】根据向量关系可得，再化简计算求得即可求出.【详解】因为，因为，所以，所以，故选：A.【变式62】平行六面体，，，若，则.【答案】【分析】由几何体中线段对应向量的数量关系有，应用向量数量积的运算律、定义列方程即可求.【详解】如上图知：，所以，故.故答案为：【变式63】已知是异面直线，，，且，则与所成的角为．【答案】【分析】利用，求出，再应用两向量的夹角公式即可求解.【详解】设，由已知，得，又，则，又，.又，.所以异成直线的夹角为.故答案为：.（1）（1）由公式可得,所以求两个向量的夹角可以先求解数量积及向量的模,再代入公式求解.（2）因为异面直线的夹角为不大于的角,所以利用夹角公式求两条异面直线的夹角时,要注意重难点7用数量积求两点的距离【例13】已知是的重心，是空间中的一点，满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由是的重心可得，然后再结合题意即可求出.【详解】由题意知是的重心，则，即所以，又因为，所以.故选：C.【例14】如图所示，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起，使与成角，则间的距离等于（

）A． B．1 C．或2 D．1或【答案】C【分析】先利用向量的加法可得，等式两边进行平方，可求出或，从而可得结果.【详解】,同理，，又因为与成角，或，，，或，或，故选：C.【变式71】已知空间向量、、的模长分别为、、，且两两夹角均为，点为的重心，则．【答案】/【分析】利用重心的几何性质结合空间向量的减法可得出，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】如下图所示：因为为的重心，则，可得，则，所以，，故.故答案为：.【变式72】如图所示，在空间四边形中，，，两两成角，且，为的中点，为的中点，试求，间的距离．【答案】【分析】以，，为基底表示向量，利用公式可得.【详解】，所以因，，两两成角，且，所以，所以所以，即，间的距离为.【变式73】如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．

(1)求；(2)求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，代入数值直接求得结果；（2）化简可得，然后采用先平方再开方的方法求解出，则的长可知.【详解】（1）.（2）因为，所以，所以的长为.利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算重难点8证明垂直关系【例15】若为非零向量，，则与一定（

）A．共线 B．相交 C．垂直 D．不共面【答案】C【分析】利用向量数量积公式，判断垂直关系.【详解】因为，所以，，又因为，所以，又因为，所以.故选：C【例16】如图，正方体的棱长是，和相交于点．(1)求；(2)判断与是否垂直．【答案】(1)(2)垂直【分析】（1）根据数量积的定义直接计算即可；（2）计算与的数量积，根据结果可得答案.【详解】（1）正方体中，，故.（2）由题意，，，故与垂直.【变式81】在正方体中，是上底面的中心，则与的位置关系是()A．重合 B．垂直C．平行 D．无法确定【答案】B【分析】用向量作空间向量的一组基底分别表示和，由数量积为0可得垂直.【详解】由题意，用向量作空间向量的一组基底则设正方体的棱长为1，于是：故，即与垂直故选：B【变式82】已知不共面的三个单位向量两两之间的夹角均为，，．(1)求证：；(2)求．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据向量的数量积运算即可证明.（2）利用向量的夹角公式即可计算.【详解】（1）因为，所以，所以，即．（2）因为，所以，，所以．所以，．所以．【变式83】已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）．求证：．【答案】证明见解析【分析】利用面面垂直的条件推出平面，进而可得，再利用空间向量的线性运算结合数量积与向量垂直的关系可得，利用线面垂直的判定定理即可得平面，则.【详解】如图，取AB中点O，连接OC交BM于E，∵为等边三角形，∴，又∵平面平面，平面，平面平面，故平面，而平面，∴，又∵，，∴．∴，又∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴．用向量法证明垂直关系的步骤用向量法证明垂直关系的步骤：（1）把几何问题转化为向量问题；（2）用已知向量表示要证明向量；（3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0.1．已知，，，，则向量与之间的夹角为（

）A． B．C． D．以上都不对【答案】D【分析】根据题意，构造，使，根据△ABC三边之长，利用余弦定理求出向量与之间的夹角余弦值，得到答案．【详解】因为，，，，以这三个向量首尾相连组成，令，则三边之长分别为，由余弦定理，得，又向量首尾相连，故这两个向量的夹角是，故，即向量与之间的夹角不是特殊角.故选：D2．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，N为CD中点，如图所示，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接利用向量的加法运算得答案.【详解】连接，因为为的中点，所以，所以，故选：A.3．已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（

）A．共线 B．共线C．共面 D．不共面【答案】C【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理.【详解】若共线，则，又，则共线，与条件矛盾，故A错误；同理若共线，则，又，则共线，与条件矛盾，故B错误；根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误.故选：C4．如图，在长方形中，为中点，.以为折痕将四边形折起，使，分别达到，，当异面直线，成角为时，异面直线，成角余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据空间向量的数量积运算即可求解.【详解】不妨设，由于，所以即为直线，所成的角,故,又，所以，因此异面直线，成角余弦值为，故选：A5．（多选）下列命题不正确的是（

）A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有=B．“”是“共线”的充要条件C．若共线，则与所在直线平行D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面【答案】BCD【分析】根据向量的多边形法则可知A正确；根据向量的三角不等式等号成立条件可知，B错误；根据共线向量的定义可知，C错误；根据空间向量基本定理的推论可知，D错误．【详解】对A，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，正确；对B，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，同向时，应有，即必要性不成立，错误；对C，根据共线向量的定义可知，所在直线可能重合，错误；对D，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x+y+z=1，才有P、A、B、C四点共面，错误．故选：BCD．6．（多选）已知正方体的中心为，，则满足的可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由正方体的结构特征，结合向量数量积的几何意义判断满足条件的即可.【详解】由，正方体如下图示，根据向量数量积的几何意义有，，，综上，满足的可以是、.故选：AC7．给出下列四个命题:①方向相反的两个向量是相反向量；②若，满足且，同向，则；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任意向量，必有.其中真命题的序号为.【答案】④【分析】根据向量的概念及相等向量、相反向量的概念，向量的加法运算及几何意义逐个判断