江苏省苏北七市2023届高三下学期第一次调研测试数学试卷(含答案)

江苏省苏北七市2023届高三下学期第一次调研测试数学试卷

学校:.姓名:.班级:考号:

一、选择题

1、已知集合4={Nl≤x<3},B={%∣2<x<4},则AB=()

A.(2,3JB.L1,4)C.(-∞,4)D.[l,+∞)

2π

2、已知向量a,b满足Ial=1,∖b∖=2,(a,b)=-,则a∙(a+1)=()

A.-2B.-1C.0D.2

3、在复平面内,复数z∣,Z2对应的点关于直线x-y=O对称，若z∣=IT,则

∣z∣-¾∣=()

A.√2B.2C.2√2D.4

4、2022年神州接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空

中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的

中心为一个焦点的椭圆，其远地点(长轴端点中离地面最远的点)距地面号，近地点(长

轴端点中离地面最近的点)距地面邑，地球的半径为R,则该椭圆的短轴长为()

A.λ∕¾B.2λ∕¾

CJ(S∣+R)(S2+R)D.2J(S∣+R)(S2+R)

—,则CoSl2a+工π

5、已知Sinaj+COSa=()

6)53

24

AβcD.—

-^⅛∙⅛-≡25

6、已知随机变量X服从正态分布有下列四个命题:

甲：P(X>m+l)>P(X<w-2)；

乙:P(X>m)=0.5;

丙:P(X≤m)=0.5；

T：P(m-1<X<m)<P(m+1<X<m+2).

如果只有一个假命题，则该命题为()

A.甲BZC.丙D.T

7、已知函数/(x)的定义域为R,且/(2x+l)为偶函数，f(x)=/(x+l)-∕(x+2),若

/(1)=2,则F(18)=()

A.lB.2C.-lD.-2

8,若过点PQ,O)可以作曲线y=(l-x)e'的两条切线，切点分别为A(Xl,χ),

B(X2,%)，则y%的取值范围是()

A.(θ,4e^3)B.(→o,0)(θ,4e^3)

C.(-∞,4e^2)D.(y,O)(θ,4e^2)

二、多项选择题

9、在棱长为2的正方体ABaD-AgGq中，AC与8。交于点。，则()

A.AR//平面BoG

B.8。，平面CoG

C.G。与平面ABCD所成的角为45°

?

D.三棱锥C-BOC的体积为-

i'3

10、函数/(x)=Sin(S+0)(<υ>(),∣9∣<])的部分图象如图所示，则()

C"(x)的图象关于点哈OJ对称

D"(x)在区间(7)上单调递增

11、一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝.从袋中先后

无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到黄球”为事件

B,贝1()

A.P(A)=gB.A,8为互斥事件

C.P(β∣A)=1D.A,B相互独立

12、已知抛物线f=4y的焦点为凡以该抛物线上三点A,B,C为切点的切线分别是

4，4，4直线4，4相交于点。，4与4，4分别相交于点P，Q.记A,B,。的横坐标

分别为X],X2>X3,则()

A.DA-DB=OB.xl+x2=2xi

C.∣AFMBFHDFI2D.∖AP∖-∖CQ∖=∖PC∖-∖PD∖

三、填空题

13、已知函数/(X)=｛m2*<1,则/(/(-2))=.

14、写出一个同时满足下列条件①②的等比数列｛%｝的通项公式%=.

①%%+ι<0;②∣α,J<∣%+∣∣∙

15、已知圆dχ2+y2=∕(r>0),设直线χ+百y一百=0与两坐标轴的交点分别为

A,B,若圆。上有且只有一个点P满足IAPl=IBPI,则r的值为.

16、已知正四棱锥S-ABC。的所有棱长都为1,点E在侧棱SC上，过点E且垂直于

SC的平面截该棱锥，得到截面多边形「，则「的边数至多为,Γ的面

积的最大值为.

四、解答题

17、在①5∣,S2,S4成等比数列，②4=24+2,③S8=S4+S,-2,这三个条件中

任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.

已知数列｛4｝是公差不为0的等差数列，其前〃项和为S,,,且满足

(1)求｛α,,｝的通项公式;

c、41111

(2)求---+----+----+

%a,a^a3aya.

18、第二十二届卡塔尔世界杯足球赛(FlFAWOrIdCUPQatar2022)决赛中，阿根廷队通过

扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球

社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调

查，部分数据如表所示：

喜欢足球不喜欢足球

40

女生30

(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别

有关？

(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男

生进球的概率为2,女生进球的概率为工，每人射门一次，假设各人射门相互独立，

32

求3人进球总次数的分布列和数学期望.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2≥k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19、在AABC中，A9B,C的对边分别为b,c,acosB-2acosC=(2c-b)cosA.

⑴若c=6",求COSB的值；

(2)若力=1,N84C的平分线AQ交BC于点，求AO长度的取值范围.

20、如图，在AABC中，A。是BC边上的高，以AO为折痕，将AACO折至AAPO

的位置，使得

P

⑴证明：_L平面ABO；

(2)若AZ)=必=4,BD=2,求二面角3—Q4—。的正弦值.

22

21、已知双曲线C:j-4=l(α>0,匕>0)的左顶点为A,过左焦点尸的直线与C交

ab~

于P,。两点.当PQJ_x轴时，∣PA∣=Ji6,4PAQ的面积为3.

⑴求C的方程；

(2)证明：以PQ为直径的圆经过定点.

22、已知函数/(X)=Er和g(χ)="皿有相同的最大值.

αeX

⑴求实数。；

(2)设直线y=〃与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有四个不同的交点，其横坐标分别为

<x<x9χ=XX

西，x2f七，x4(xi<X234)证明：Λ23•

参考答案

1、答案：A

解析：AB={x∣2<x≤3},选A.

2、答案：C

解析：a(a+b)=a+a-b=l+∖×2×(-^∖=0,选C.

3、答案：C

解析:z∣=l-i,zl,Z2对应的点关于X=y对称,z2=-l+i,∣z1-z2∣=j2-2i∣=2^.

4,答案：D

i2

解析：α+c=S∣+R,a—c=S2+R,b=cr-c=(5∣+/?)(S2+ʃ?)»

b=y∣6+R)(S2+R),2力=2j(S∣+R)(S2+R)，选D.

5、答案：B

相痂√3.13G.13.(π>3

用牛斫：——Slna——cosa+cosa,——SIna+—cosa=—，SIna+—=—，

225225V6j5

f_兀、_f兀∖[C.2，兀∖[C97

cos2(2+—=Cos20+-=l-2smα+-=l-2×—=—,

I3j(6)16)2525

选B.

6、答案：D

解析：乙、丙一定都正确，则"=相，P(X>m+l)=P(X<m-l)>P(X<m-2),甲

正确，・•・丁错，选D.

7、答案：A

解析：/(2x+l)为偶函数，则/(x)关于X=I对称，/(x)=2Sin(BX+，]关于x=l对

称，/(x)+∕(x+2)=2Sin—%+—j+2sin—(%+2)+—

<36)[36

Γ.fπ兀1.(π5)

=2nsin—X+—+sιn-x+-π

LU6J(36JJ

C「.1ππ.π.π5π2π.511

=2sin—πcos—+cos—sin—+sin—xcos——+cos——sin—zλπ=2cos-πx.

363636363

ITτrʌI

/(x+l)=2Sin—Λ+-=2cos-7tx,√.f(x+1)=f∖x)+f∖x+2)>

即/(x)=2Sin(gπx+∙^满足条件,/(18)=2sin^6π+^=1.

8、答案：D

vxx

解析：设切点(%,(I-XO)e*),y'=-e+(1-ɪ)e`=-xe,k--xne°,

y—(1一毛)e"'=_XoeAo(X-%)过(f,0),_(1__玉卢"«_XO),

---

x01=x0(rx0)>x0—1=—Zx0+xj,Xj—(f+1)Λ0+1=0有两个不相等实根王,

其中玉4=1，%+/=/+1,∆=(z+l)2-4>0,;/>1或1<一3,

xe+xi,+l

,丁2=(1一∣)(l-尤2)炉+为=[1-(xl+x2)+xlx2]e'=(1—∕)e>

令g(f)=(lτ)e*,/>1或/<-3,g'(,t)=-te'+',

f<-3时，g'Q)>O,g(f)",0<g(f)<g(-3)=4e^2,

£>1时，g,(z)<O,g(f).，gQ)<g⑴=0，

综上：y,y2∈(-∞,0)(θ,4e-2),选D.

9、答案：ABD

解析：ADJ∕BC∖,AD1U平面BoCl,3C∣u平面BOC1,:.AQ//平面，A对；

BD±CO,BD±CC1,CDCC1=C,..BOl.平面COC∣，B对；

2

Ce∙ɪ■平面ABCr),G。与平面ABC。所成角为NGoC,tanZCOC≠1

1正

0

.∙.ZC1OC≠45,C错;

I12

对.选

VVr-Rz>Cc∕vr∣=V5r-zjfci√nc∙r=3-×-2×2×∖×2=3-9DABD.

10、答案：ACD

iSJTTT2τr

解析：—=—π—=—,.∖T=π=—，：.(o=2,f(x)=sin(2x+φ),

2632ω

=Sinlg兀+°］=1,「.夕二一己，A对，B错.

/(x)=sinf2x--,2x-工=攵π,χ=-^~-,Z∈Z,

V6√6122

Z=O时，/(无)关于，L,o］对称，C对.

112)

F2kτt<2%—<—F2kτι,-----Fkτt<x<—Fkτι，Z∈Z,

2--------------626--------------3

/(X)在［1π,(π)",而［,∙∣π)u((τςgπ)∙'∙∕(X)在［，∖π)'，D对，

选ACD.

11、答案：AC

解析：「(A)=；，A对.

A,B可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，A,B不互斥，B错.

在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为L,C

2

又寸.P(B)=2χ!+1χ0=L,P(AB)=LxL=L,P(AB)≠P(A)P(B),:.A,B不独立,

3233326

D错，选AC.

12、答案：BCD

,2、2、2、

x

解析:O,L,.=Ix

AXq,B∙x2'才，C%(),T，y1l

\4J42'2'

4:y一卜(XG-xj,即y=-x,x--x:,

2,41

f

2∙.y=-x2x-^xl

112X1+X2

y"2x'x~4x'X-

2,即&=±±三时,

11xlx22

y~4^

22

xy

X+x∖X1÷x2∙2

DADB12

1__~,^4々——Γ^,7

'χ∣-%∙y1(-y∣-∙y2)

%-X工2仁7J

2,4-2,4

2

__(%-々)2_X(%-A)__(%-/)

22（4+办工2）不一定为①A错.

41616

/2、/2、2222

IAFI-IBFI=9+1五+1]=自+五+三+1

I4A4J1644

QF2=α+Q+2

Γ_X1+2xιx2+%2+Mx2_XlX2+ɪ

444^16F

2222

—+五+三+1=∣AFIlBEI,C对.

1644

O（牛,旬，尸（%+不

，Q

2

2λ2|%一城4+工；

X0-X1XlX0—.T0

AP=I2J+

4/4

CQ=

Λ4Y

中0∣I~⅞∣7÷∙O

PC=+I4

/4

PD=卜2_X()、+(%一々)内=肉一∙⅞∣^∖∕4+X]

2JI4J4

.∙.APCQ=PCPD,D对.

13、答案：4

312

解析:/(-2)=1+Iog2(2-(-2))=1+Iog24=3,/(/(-2))=/(3)=2^=2=4.

14、答案：4=［一］

解析：可构造等比数列，«A+1<0,则公比为负数，同>∣4J,.∙.l>∣q∣,4取-g，

∖

15、答案：ɪ

2

解析：A(√3,0),B(O,1),PA=PB,.∙.P在AB的垂直平分线y=√Jx-1上，

P在圆0:炉+丁=,满足条件的P有且仅有一个，...直线与圆相切，.」=；.

16、答案：5；—

3

解析：取SC中点FBFlSC,DFLSC,.∙.SC_L平面BOE

作平面与平行，如图至多为五边形.

^∙-=λ,.-.EP=ABF=-A,SP=为SB=九,

SF2

：.PB=I-A,BQ=∖-λ,PQ=∖-λ,NQ=MP=入BD=也,

3

-,sinADFB=^-

CoSNDFB=4

33

2×

C_1√3√3.2√2_T2.2

δemp22234

MN与NQ的夹角为SA与8。夹角，而SA与8。垂直，

22

'''SPMNQ=42Λ(1-Λ),5=√22(l-2)+^2=-∣√22+√2Λ,

4=2时，S取最大值也.

33

17、答案:⑴%=4〃-2

n

(2)----------

4(2〃+1)

解析：⑴设｛α,,｝公差为d,若选①②,

4(44+6。)=(24+01°=24,

S1S4=S2n

%=2g+24+3d=2(q+d)+2

.*.1ax=6tz1+2,4=2,d=4,=2+4(〃-1)=4几一2.

若选①③或②③同理可得=4〃-2.

(2)^—=---------1-———---------11---------=-11

cιrlan+x(4〃-2)(4〃+2)4(2n-l)(2n+l)8(2〃-12〃+1

111111

------H---------+H-----------=-+∙H-----------------------

aa2n-∖2几+1

«1«2«2«3n,,+∖8

ɪ1^Ξ⅛n

84(2〃+1)

18、答案：(1)有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关

(2)分布列见解析，数学期望为U

6

解析：(1)2x2列联表如下:

喜欢足球不喜欢足球合计

H6040100

女生3070100

90110200

心端黯怒聆⑻82>E

有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.

(2)3人进球总次数。的所有可能取值为O,1,2,3.

、2

Pe=O)=GXLLP(J=I)=CX5

/218~33223；18

PC=2)=c∖∙*+2Ixrrp("3)=1)Xu

.∙.ξ的分布列如下:

O123

1542

P

181899

.•芯的数学期望：EC）=IX得+2χ,+3x∙∣=S

19、答案：（1）巨叵

⑵AOe(0,T

解析：(1)∙QCoS8—2QCoSC=(2c-b)COSA,

.,.sinACoS8—2SinAcosC=(2sinC-sinB)cosA

=sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosC+2cosAsinC

=sin(A÷β)=2Sin(A+C)

=>sinC=2sinBnc=2b,

_∕τ,_ʌ/ɜtz

c=yJ3cι=≥b=-----,

2

/+j2+3〃7~J36

.,.cosB=

2ac2a∙∖βa24

(2)由⑴知c=2∕?,b=↑,.∙.c=2,设/BAD二。，

S人®=L2∙sin26=L2∙AO∙sin9+Ll∙AO∙sine

δλbc222

=≠>AD=^cosθ,8e(θ,j,

.∙.Aoe(O,g).

20、答案：(1)证明见解析

(2)1

解析：(1)证明：PDYAD,ADLBD,PDiBD=D,.∙.AO，平面PB。,

.∙.AD±PB,

又♦.必LAB,AD,A3u平面AB。，ADA3=A,:.PBABD.

(2)如图建系,则8(0,2,0),P(0,2,4),A(4,0,0),£>(0,0,0),

.∙.BP=(0,0,4),Pi=(4,-2,-4),DA=(4,0,0),

设平面BPA与平面∕¾O的一个法向量分别为勺=(x∣,χ,zj,n1=(x2,y2,z2),

(BP=Of4z.=0

=>\=>/1=(1,2,0)

“∣∙Λ4=0[4%1-2,y1-4zl=0

PA=O4X2-2y2-4z2=0

=>n2=(0,2,-1),

DA=O4X2=0

设一面角B-F平面角为θ，

,小WT44.A3

∣∕η∣∣n2∣√5∙√555

2

21、答案：⑴=i

(2)以PQ为直径的圆经过定点(1,0)

解析：⑴当PQLX轴时，PQ=也,PFJ-,

aa

b2—=3

(―)2+(c-4z)2=10a'

aa=1

=><c—a=1

12〃ʌʌɔb=ʌ/ɜ

--------(c-a)=3c=a-∖-b~

.2a

2

∙∙∙双曲线C的方程为」吃“

(2)方法一：设PQ方程为X=My-2,P(X],y),。(七,必)，

<：二〃"223=3(//,2.4^+4)-Vɪ3=>(3m2—1)y2—I2my+9=0,

以P0为直径的圆的方程为(X-Xl)(X-Λ2)+(y-y)(y-M)=0

22

=>x-(xl+Λ2)x+x1x2+y-(γl+y2)y+γ,y2=0,

由对称性知以PQ为直径的圆必过X轴上的定点，

令y=0=f_(%+Λ2)X+X∣¾+γly2=0,

2

-r-/λ.12m4

而x∣+x2=m(y.+¼)-4=­ʒ------4=―ʒ——，

1-V1273W2-13m2

XIW=(^y1—2)(∕ny2-2)=rrΓyiγ2-2m(y1+y2)+4

9m2C12m,-2>nΓ-4

=­；-----2m——--+4=------------,

3m1-l3m2-13w2-l

.,.x2----7——x+-^,m-——-H-----7——=On(3/找2-l)x2-4x+5-3λM2=0

3m2-↑3m2-13∕n2-1v,

=>[(3"-1卜+3苏—5](X-I)=O对VzneR恒成立,.,.x=l.

以PQ为直径的圆经过定点(1,0).

方法二：设PQ方程为X=Tny-2,P(x∣,χ),Q(x2,y2^,

my3m2nm,

,3/y^3^(^ɪ)~>+9≈0'

由对称性知以PQ为直径的圆必过X轴上的定点.

设以PQ为直径的圆过E(f,0),

,2,

..EP∙EQ=0n(x∣_，)(/—r)+y1γ2=0^>x1x2-√(x∣+x2)÷z+y1y2=θ

A

而XlX2=(^yl-2)(my2-2)=Myy2-2m(y+γ2)÷4

912m-3m2-4

=m"2-----2m——-—+4=——ʒ------

3m^-1-------3/7?^-13m^-1

x1+x2=zn(j1+y,)-4=-l⅛^-4=-^-

1一v'-^73∕√-l3∕M2-1

2

-3W-44，29

-----7-------*^/"ɪ-------?-----=O,

3∕√-l3〉一13∕n2-l

(3m2-I)J-4t+5-3nr=O,即[。/7一+-5]Q-I)=O对X∕m∈R恒成立,

.」=1,即