2022-2023学年北师大版高二下数学：空间向量与立体几何（附答案解析）

2022-2023学年北师大版高二下数学：空间向量与立体几何

一.选择题（共8小题）

I.（2021秋•南岗区校级期末）已知向量W=（3,0,1）,b=（-2,4,0）,则3第2芯等

于（）

A.（5,8,3）B.（5,-6,4）C.（8,16,4）D.（16,0,4）

2.（2021秋•天心区校级期末）已知空间向量Z=（1,-1,0）,b=7,1）,则G+^5

=（）

A.3B.√2C.√3D.√5

3.（2021秋•潞州区校级期末）如图，在空间四边形P-/8C中，PA+AB-CB=（）

A.PCB.PAC.ABD.AC

4.（2021秋•朝阳区校级期末）如图，四面体O-∕8C,G是底面4/8C的重心，赢=之,

⅛b.0C≈o则茁=（）

,

AIf2γ2一ITI71-r2-272—2-271-

f-a÷ττb÷τrcro∙-a÷ττb÷ττcJ~a÷ττb÷ττcn-a÷ττb÷ττc

333333333333

5.（2021秋•新化县期末）四棱锥P-/8C。中，底面48CD是平行四边形，点E为棱PC

的中点，若位=xQ+2y前+3zQ,则x+y⅛等于（）

B

第1页（共20页）

A.1B.且C.HD.2

126

6.（2021秋•望奎县校级期末）在正四棱锥S-NBC。中，。为顶点在底面内的投影，P为

侧棱SZ）的中点，且So=O。，则直线BC与平面E4C的夹角是（）

7.（2021秋•潮阳区期末）如图，在平行六面体48CD-IaZ）I中，M为ZC与8。的交

点,若IAlB尸A1D，=%F=2,∕X4∣Oι=9（Γ，N∕∕∕ι=N8"ιOι=60°，则I瓦加

的值为（）

A.1B.√3C.2D.2√3

8.（2021秋•运城期末）在二面角的棱上有两个点4、B,线段ZG80分别在这个二面角

的两个面内，并且都垂直于棱若/8=1,AC=2,BD=3,CD=2√2）则这个二面

二.填空题（共4小题）

9.（2022•高密市校级模拟）已知向量Z=（1,1,0）,b=（-ɪ-0,2）,且。+E与2之-

人互相垂直，贝IJA=.

10.（2021秋•西城区校级期中）如图，已知长方体/8CZ）-小81CIz）I中，小/=5,48=12,

则点C1到平面A∖BD∖的距离为.

第2页（共20页）

12.（2021秋•潮阳区期末）在棱长为2的正方体488-小8ιCIol中，E,E分别为棱44∣,

881的中点，G为棱ZiBi上的一点，且NiG=入（OV入〈2）,则点G到平面JDlE尸的距离

为.

≡.解答题(共4小题)

13.(2021秋•辽源期末)已知：1=(x,4,1),E=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),

—♦—♦—♦—♦

a〃b，bɪo求:

⑴a，b»c；

（2）第3与芯+M成角的余弦值∙

14.（2021秋•深圳期末）如图所示，在三棱柱ZBC-418©中,CCIJ"平面"8深ACLBC,

AC=BC=2,CCl=3,点O,E分别在棱/小和棱CCI上，且/0=1,CE=2,点、M为

棱481的中点.

（1）求证：C∣Λ∕〃平面。81E；

（2）求直线/8与平面。与E所成角的正弦值.

第3页（共20页）

15.(2021秋•河南期末)如图，四边形/88是正方形，四边形8功尸是菱形，平面/8CD

C平面BEDF=BD.

(1)证明：AELBD；

(2)若AB=BE,且平面48CO，平面BED尸，求平面NOE与平面Cz)F所成的二面角

的正弦值.

16.(2021秋•番禺区期末)如图，在四棱锥尸-/8C。中，底面四边形/88为直角梯形,

AB//CD,ABLBC,AB=2CD,O为8。的中点，BD=4,PB=PC=PD=店.

(1)证明：OP_L平面N8CZ)；

(2)若BC=CD,求平面心。与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

第4页(共20页)

2022-2023学年北师大版高二下数学：空间向量与立体几何

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

1.(2021秋•南岗区校级期末)已知向量Z=(3,0,1),b=(-2,4,0),则32+2芯等

于()

A.(5,8,3)B.(5,-6,4)C.(8,16,4)D.(16,0,4)

【考点】空间向量及其线性运算；空间向量运算的坐标表示.

【专题】方程思想；向量法；空间向量及应用；数学运算.

【分析】由空间向量运算法则直接运算即可.

【解答】解：由题可得，32+2三二3(3,0,1)+2(-2,4,0)=⑸0,3)+(-4,

8,0)=(5,8,3),

故选：A.

【点评】本题考查了空间向量运算及其坐标表示，属于基础题.

2.(2021秋•天心区校级期末)已知空间向量Z=(1,-1,0),b=(1，7,1)，则G+H

=()

A.3B.√2C.√3D.√5

【考点】空间向量的夹角与距离求解公式.

【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算.

【分析】利用向量坐标运算法则求出Z+E，由此能求出G+E∙

【解答】解：♦..空间向量Z=(1,-1,0),b=a，-1.D)

∙*∙a+b=(2，-2，1)，

∣a+b∣=√22+(-2)2+12=3-

故选：A.

【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

第5页(共20页)

3.（2021秋•潞州区校级期末）如图，在空间四边形P-48C中，PA+AB-CB=（)

A.PCB.PAC.ABD.AC

【考点】空间向量及其线性运算.

【专题】转化思想；综合法；定义法；平面向量及应用：逻辑推理；数学运算.

【分析】直接利用向量的线性运算求出结果.

【解答】解：PA+AB-CB=PB+BC=PC.

故选：A.

【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和数学思维

能力，属于基础题.

4.（2021秋•朝阳区校级期末）如图，四面体0-∕8C,G是底面4/8C的重心，OA=ɪ

・，—♦9—•.

OB=b，OC=o则OG=()

r2-272

【考点】空间向量及其线性运算.

【专题】转化思想：转化法；空间向量及应用；数学运算.

【分析】由三角形重心的性质和空间向量基本定理、中点的向量表示，可得结论.

【解答】解：四面体O-48。中，G是底面a∕8C的重心，连接CG并延长，交4B于D,

则D为线段NB的中点，ClD=上（0A+CIB），

2

由玩=2而，可得而-氏=2（QD-0G）>

则族=」（0C÷20D）=±δδ+2x^（OA+OB）=AQA+^OB+-^OC>

3332333

由赢=Z,OB=b,OC=c*

第6页（共20页）

则无=JL京

333

故选:B.

【点评】本题考查空间向量基本定理的运用，以及三角形重心的性质，考查转化思想和

运算能力，属于基础题.

5.（2021秋•新化县期末）四棱锥尸-48CZ）中，底面/88是平行四边形，点E为棱PC

的中点，⅛AE=χAB+2yBC+3zAP,贝∣Jx+尹Z等于（）

126

【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；共线向量与共面向量.

【专题】数形结合；数形结合法；空间向量及应用；数学运算.

【分析】根据底面ASC。是平行四边形，E为棱PC的中点，用屈、前和屈表示标,

即可求出x、y和Z的值，再求和即可.

因为底面N8C。是平行四边形，点E为棱尸C的中点，

所以标=」（AP÷AC）=1AP+A（AB+BC）≈1AB+IBC+AAP，

222222

第7页（共20页）

1

X巧

若标=X标+2屈+3z屈，则,2七

ɜzɔɪ

1

XW

1

解得S

1

z"6

所以x+y+z--1∙+-1∙+J∙=ɪɪ

24612

故选:B.

【点评】本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，是基础题.

6.（2021秋•望奎县校级期末）在正四棱锥S-Z5C。中，。为顶点在底面内的投影，P为

侧棱SO的中点，SLSO=OD,则直线8C与平面RIC的夹角是（）

C.60oD.75°

【考点】直线与平面所成的角.

【专题】空间角；空间向量及应用.

【分析】以。为坐标原点，以。/为X轴，以为y轴，以OS为Z轴，建立空间直角

坐标系。-xyz,利用向量法求解.

【解答】解：如图，以。为坐标原点，以。/为X轴，以08为y轴，以OS为Z轴，

建立空间直角坐标系O-孙z.

设OD=SO=OA=OB=OC=a,

则A(4,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,O),P(O,-曳，曳),

22

贝IJCA=⑵，O,O),AP=(-a,生，A),CB=(a,a,O),

22

设平面PAC的一个法向量为n.

第8页（共20页）

则n・CA=O,n,AP=O>

.J2ax=0,可取W=(0,1,ɪ),

[-2ay+2az=0

a

Λcos<CB'n>=___C__B_∙_n_________________=L

∣CBI∙∣n∣√212,√22,

Λ<CB-∏>=60o,

直线8C与平面R4C的夹角为90°-60°=30°.

【点评】本题考查直线与平面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注

意向量法的合理运用.

7.（2021秋•潮阳区期末）如图，在平行六面体MCD-48心£>1中，Λ/为ZC与80的交

点,若IA[B]=∣A]D，=[A11=2,NA4LDI=90°,ZAA∖B∖-ZB∖A∖D∖=60o，则I瓦而

的值为（）

【考点】点、线、面间的距离计算；空间向量的夹角与距离求解公式.

【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；逻辑推理.

【分析】利用空间向量的线性运算，得到帝=庭,或,前，然后利用模的运算

性质结合数量积的定义，列式求解即可.

【解答】解：因为，4/15=90°,N44∣8ι=N8ι4Oι=60°,且若I不^=13成

=IA[22,

第9页（共20页）

所以I率I=I瓦I=I丽I=2，/4向8=NNBC=120。，NBBlCI=90°,

则彳=B^B+≡=彳卷而=彳得（就+玩）=率+j-BA卷前，

所以回IF=（席卷虱卷证）2

■21•21.2.9..1..

号

=B[BTBABC+B1B∙BA+B1B∙BC÷∣BC∙BA

222

2÷∣×2+J×2+2×2×COSZA1BJB

+2X2cosZBB1Cɪ+y×2X2cosZABC

=4+l+l+2X2X（-y）+2×2×0÷j-×2×2×（-ɪ）

=3,

所以叵的值为√5

故选：B.

【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，空间向量的线性运算以及空间向量

数量积定义的理解与应用，空间向量模的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，

属于中档题.

8.（2021秋•运城期末）在二面角的棱上有两个点/、B,线段NC、8。分别在这个二面角

的两个面内，并且都垂直于棱/2,若/8=1,4C=2,BZ）=3,Co=2√],则这个二面

【考点】二面角的平面角及求法.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角；逻辑推理：直观想象；数学运算.

【分析】由而=51+藤+而，两边平方后展开整理，结合CO的长，转化求解二面角的

大小.

【解答】解：4B=1,∕C=2,BD=3,CD=2圾,

第10页（共20页）

∙.∙CD=CA+AB+^≡'

ΛCD2=CA2+AB2+BD2+2CA∙AB+2CA*BD+2AB,BD,

VCAlAB-BDlAB.

∙,∙CA∙AB=O-BD∙AB=θ>二面角的大小为e,

H-BD=ICAIIBDlɑos（iso°-θ）=-6cosθ.

.*.8=r4+l+9-12cosθ,

cosθ=A,e=60°.

2

【点评】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系,

考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

二.填空题(共4小题)

9.(2022•高密市校级模拟)已知向量Z=(1,1,0),b=(-1.0,2),且。+还22-

ES相垂直，贝心=_2_.

5

【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直.

【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算.

【分析】利用空间向量坐标运算法则求出ka+b，2a-b-再由ka+b⅛2a-b互相垂直,

能求出k.

【解答】解：：向量Z=(1,1,0).b=(-l,0,2))

∙'∙ka+b=(A-1,k,2),

2a-b=(3,2,~2)f

ka+b⅛2a-E互相垂直，

第11页(共20页)

(ka+l>)*(2a-fc>)~3(⅛-1)+2k~4—0>

解得k=L

5

故答案为：ɪ.

5

【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础

知识，是基础题.

10.（2021秋•西城区校级期中）如图，已知长方体ZACQ-小囱C01中，A∖A=5,45=12,

则点Cl到平面小8》的距离为—皿一

【专题】转化思想；综合法；立体几何；直观想象；数学运算.

【分析】用等面积法求解即可.

【解答】解：过作于E,

因为ABCD-A∖B∖C∖D∖是长方体，所以平面小囱8,平面A∖D∖B,

又因为平面4B18C平面4Dι5=48,所以勺£，平面/由港，

设点Ci到平面小的距离为h,

因为8[。〃平面4018,所以h=BιE=h]B,LBiB.=1_i2,5_=段,

AIB√I⅛213

故答案为：毁.

13

【点评】本题考查了长方体的结构特征,考查了点到平面距离问题，属于基础题.

第12页（共20页）

11.(2021秋•天津期中)设空间向量Z=(1,2,-3).则a在坐标平面OU上的投影向量

是(1,2,0).

【考点】向量的投影：空间向量的数量积运算.

【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】直接利用向量在坐标平面内的投影的关系求出结果.

【解答】解：根据空间向量在平面内点的投影的关系，Z=(1,2,-3)，在平面内

的投影向量为E=(1,2,0)∙

故答案为:(1,2,0).

【点评】本题考查的知识要点：向量在坐标平面内的投影，主要考查学生的运算能力和

数学思维能力，属于基础题.

12.(2021秋•潮阳区期末)在棱长为2的正方体488-∕∣8ιCι5中，E,E分别为棱44∣,

8例的中点，G为棱小上的一点，且NiG=入(OV入〈2),则点G到平面。归尸的距离

【考点】点、线、面间的距离计算.

【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；逻辑推理.

【分析】以。为原点，DA,DC,。“所在直线分别为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐

标系D-χyz,利用向量法能求出点G到平面DlEF的距离.

【解答】解：以。为原点，DA,DC,。5所在直线分别为X轴，V轴，Z轴建立空间直

角坐标系D-xyz,

则G(2,λ,2),Oi(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),

所以庠=(2,0,-1)，DJ=(2,2,-1)，GE=(0,-入，-1)，

第13页(共20页)

2χ-z=0,

设平面Z）IEF的法向量为W=（χ,y,z），则＜

2x+2y-z=0,

令x=l,则V=O,z=2,所以平面DiEF的一个法向量W=（1,0,2）∙

∣GE∙nIl-l×2-2√5

点G到平面DlEF的距离为∣-Fr√=IΓE∖

n√55

故答案为：2/G.

5

【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系

等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

Ξ.解答题（共4小题）

13.(2021秋•辽源期末)已知:；=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),

a〃b，bɪc»求:

⑴软，b，c；

（2）第3与芯+即成角的余弦值∙

【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；向量的数量积判断向量的共线与垂直.

【专题】空间向量及应用.

【分析】（1）由向量的平行和垂直可得关于-y,Z的关系式，解之即可得向量坐标;

（2）由（1）可得向量Z+3与E+3的坐标，进而由夹角公式可得结论.

【解答】解：⑴VI//b.

•..X——4二1，,

-2y-1

解得X=2,y=-4,

故a=（2f4,1）,b=（-2,-4,-1）,

又因为bj_c，所以b，c=。，即-6+8-Z=0,解得z=2,

故C=（3,-2,2）；

（2）由（1）可得a+c=（5,2,3）,b+c=（1，-6,1）,

设向量a+c与b+c所成的角为仇

第14页（共20页）

则cosθ=5-j∙^^l^S=_2_.

√38∙√3819

【点评】本题考查空间向量平行和垂直的判断，涉及向量的夹角公式，属基础题.

14.(2021秋•深圳期末)如图所示，在三棱柱48C-小81Cl中，CCll.平面力8C,ACLBC,

AC=BC=2,CCI=3,点O,E分别在棱441和棱CCl上，且/0=1,CE=2,点M为

棱小8∣的中点.

(1)求证：CIM〃平面。8i£；

(2)求直线/8与平面。BiE所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行.

【专题】转化思想；向量法；立体几何；直观想象；数学运算.

【分析】(1)只要证明GM与平面QBiE的法向量数量积为零即可；(2)用向量数量积

计算直线与平面成角正弦值.

【解答】(1)证明：建系如图，C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),Ci(0,0,

3),

力1(2,0,3),BI(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3),

彳=(1,1,0),BpD=(2,-2,-2)，而=(2,0，-1)，

令£(1,-1,2>

因为B1f∙n=0,ED∙n=0>

所以W=(1,-1,2)为平面。BiE的法向量，

因为CIJli∙n=。，ClM^平面DB∖E,

所以ClM〃平面。BiE.

(2)解：由(1)知获=(-2,2,0),∏=(1,-1,2)为平面。BiE的一个法向量，

第15页(共20页)

设AB与平面DB↑E所成角为。，

所以Sine=ICOS＜疝，I=";J.，

IABI∙∣nI3

所以直线AB与平面DBIE所成角的正弦值为返.

3

【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题.

15.（2021秋•河南期末）如图，四边形/8C。是正方形，四边形尸是菱形，平面/8C。

∩平面BEDF=BD.

（1）证明：AELBD；

（2）若月B=BE,且平面NBCO_L平面2EDF,求平面NDE'与平面CD尸所成的二面角

的正弦值.

【考点】二面角的平面角及求法.

【专题】转化思想；向量法；立体几何；直观想象；数学运算.

【分析】（1）只要证明8。垂直于NE所在平面NoE即可；（2）用向量数量积计算二面

角的余弦值，进而求解.

【解答】（1）证明：如图，连接4C交8。于点O,连接0E,

：四边形为正方形，.∙.50L04,且。为8D的中点.

第16页（共20页）

又四边形F为菱形，.∙.8OLOE,

CoE=。，OA,OEU平面ON£,Λβ01jFEOAE,

又平面OAE,

:,BDLAE.

(2)解：如图，建立空间直角坐标系，不妨设48=2,

贝UBD=2&,0E=√2>

则Z(2,O,O),D(0,0,0),C(0,2,0).

由(I)WOELBD,

又,.∙平面/8CO_L平面BEDF,平面/8CD∩平面BEDF=BD,

..•。£，平面18。，故E(l,1,√2),同理F(l,1,-√2),

DA=(2,0,0),DE=(I，I,√2)>DC=(0,2,0),DF=(1，1，-√2×

令Ir=(0,√2--D-∏=(√2∙0,1)，

因为m∙DA=O，m∙DE=0>

所以7为平面DAE的法向量，

因为n∙DC=O，n∙DF=0,

所