二次函数图像和性质总结（附答案解析）

./二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：的性质：a的绝对值越大,抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时,随的增大而增大；时,随的增大而减小；时,有最小值．向下轴时,随的增大而减小；时,随的增大而增大；时,有最大值．2.的性质：上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时,随的增大而增大；时,随的增大而减小；时,有最小值．向下轴时,随的增大而减小；时,随的增大而增大；时,有最大值．3.的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时,随的增大而增大；时,随的增大而减小；时,有最小值．向下X=h时,随的增大而减小；时,随的增大而增大；时,有最大值．4.的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时,随的增大而增大；时,随的增大而减小；时,有最小值．向下X=h时,随的增大而减小；时,随的增大而增大；时,有最大值．二、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标；⑵保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上"值正右移,负左移；值正上移,负下移"．概括成八个字"左加右减,上加下减"．方法二：⑴沿轴平移:向上〔下平移个单位,变成〔或⑵沿轴平移：向左〔右平移个单位,变成〔或三、二次函数与的比较从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中．四、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,〔若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点.画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.五、二次函数的性质1.当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为．当时,随的增大而减小；当时,随的增大而增大；当时,有最小值．2.当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为．当时,随的增大而增大；当时,随的增大而减小；当时,有最大值．六、二次函数解析式的表示方法1.一般式：〔,,为常数,；2.顶点式：〔,,为常数,；3.两根式：〔,,是抛物线与轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数二次函数中,作为二次项系数,显然．⑴当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大；⑵当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大．总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小．2.一次项系数在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴．⑴在的前提下,当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧；当时,,即抛物线的对称轴就是轴；当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧．⑵在的前提下,结论刚好与上述相反,即当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧；当时,,即抛物线的对称轴就是轴；当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧．总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置．的符号的判定：对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是"左同右异"总结：3.常数项⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为；⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负．总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置．总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大〔小值,一般选用顶点式；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1.关于轴对称关于轴对称后,得到的解析式是；关于轴对称后,得到的解析式是；2.关于轴对称关于轴对称后,得到的解析式是；关于轴对称后,得到的解析式是；3.关于原点对称关于原点对称后,得到的解析式是；关于原点对称后,得到的解析式是；4.关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°关于顶点对称后,得到的解析式是；关于顶点对称后,得到的解析式是．5.关于点对称关于点对称后,得到的解析式是根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线〔或表达式已知的抛物线的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、[例题精讲]一、一元二次函数的图象的画法[例1]求作函数的图象[解]以为中间值,取的一些值,列表如下：…-7-6-5-4-3-2-1……0-20…[例2]求作函数的图象。[解]先画出图角在对称轴的右边部分,列表-2-101276543[点评]画二次函数图象步骤：<1>配方；<2>列表；<3>描点成图；也可利用图象的对称性,先画出函数的左〔右边部分图象,再利用对称性描出右〔左部分就可。二、一元二次函数性质[例3]求函数的最小值及图象的对称轴和顶点坐标,并求它的单调区间。[解]由配方结果可知：顶点坐标为,对称轴为；∴当时,函数在区间上是减函数,在区间上是增函数。[例4]求函数图象的顶点坐标、对称轴、最值。,∴函数图象的顶点坐标为,对称轴为∴当时,函数取得最大值函数在区间上是增函数,在区间上是减函数。[点评]要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时,方法有两个：配方法；如例3公式法：适用于不容易配方题目<二次项系数为负数或分数>如例4,可避免出错。任何一个函数都可配方成如下形式：[二次函数题型总结]1.关于二次函数的概念例1如果函数是二次函数,那么m的值为。例2抛物线的开口方向是；对称轴是；顶点为。-1-1OX=1YX2.关于二次函数的性质及图象例3函数的图象如图所示,则a、b、c,,,的符号为,例4已知a－b＋c=09a＋3b＋c=0,则二次函数y=ax2＋bx＋c的图像的顶点可能在〔第一或第二象限〔B第三或第四象限〔C第一或第四象限〔D第二或第三象限3o3o-13yx例5已知：函数的图象如图：那么函数解析式为〔〔A〔B〔C〔D4.一次函数图像与二次函数图像综合考查例6已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c<a≠0>,它们在同一坐标系中的大致图象是<>.例7如图：△ABC是边长为4的等边三角形,AB在X轴上,点C在第一象限,AC与Y轴交于点D,点A的坐标为〔-1,0〔1求B、C、D三点的坐标；〔2抛物线经过B、C、D三点,求它的解析式；[练习题]一、选择题1.二次函数的顶点坐标是<>A.<2,－11>B.〔－2,7C.〔2,11D.〔2,－32.把抛物线向上平移1个单位,得到的抛物线是〔A.B.C.D.3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的<>4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论:①a,b同号;②当和时,函数值相等;③④当时,的值只能取0.其中正确的个数是<>A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知二次函数的顶点坐标〔-1,-3.2及部分图象<如图>,由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是〔Ａ．－１.３B.-2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函数的图象如图所示,则点在〔A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.方程的正根的个数为〔A.0个B.1个C.2个.3个8.已知抛物线过点A<2,0>,B<-1,0>,与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A.B.C.或D.或二、填空题9．二次函数的对称轴是,则_______。10．已知抛物线y=-2〔x+3²+5,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是_______.11．一个函数具有下列性质：①图象过点〔－1,2,②当＜0时,函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是〔只写一个即可。12．抛物线的顶点为C,已知直线过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。13.二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b=,c=。14．如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是<π取3.14>.三、解答题：第15题图15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过<1,-6>,且与轴的交点为<0,>.第15题图<1>求这个二次函数的解析式;<2>当x为何值时,这个函数的函数值为0?<3>当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?16.某种爆竹点燃后,其上升高度h〔米和时间t〔秒符合关系式〔0<t≤2,其中重力加速度g以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升,〔1这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米？〔2在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由.17.如图,抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与轴的另一个交点为C,抛物线顶点为D.〔1求此抛物线的解析式；〔2点P为抛物线上的一个动点,求使：5：4的点P的坐标。一,选择题、1．A2．C3．A4．B5．D6．B7．C8．C二、填空题、9．10．＜-311．如等〔答案不唯一12．113．-8714．15三、解答题15．<1>设抛物线的解析式为,由题意可得解得所以<2>或-