平面向量-广东省广州市高考数学三年（2021-2023）模拟题汇编

平面向量-广东省广州市高考数学三年(2021-2023)模拟题

知识点分类汇编

一、单选题

1.(2021•广东广州•统考三模)已知48=(2,3),AC=(3,。，忸。|=1,则A8∙BC=

A.-3B.-2

C.2D.3

2.(2022・广东广州•统考一模)已知向量α=(叽2),(=(3,-6),若α=λb,则实数加

的值是()

A.-4B.-1C.1D.4

3.(2023・广东广州•统考二模)已知两个非零向量0,〃满足W=纲，(a+h)rb,则

CoS〈a,b)=()

4.(2023・广东广州•统考一模)已知抛物线C的顶点为坐标原点。，焦点尸在X轴上,

过点(2,0)的直线交C于P,Q两点，且OP∙LOQ,线段PQ的中点为例，则直线VE的

斜率的最大值为()

A.亚B.ɪC.巫D.1

622

5.(2023・广东广州•统考二模)已知向量α=(%,y),b=(x2,y2),则“土=玉”是“£//劣

M>2

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、多选题

6.(2021•广东广州•统考二模)设向量α=(-1,1),6=(0,2),则()

A.Ia∣=∣⅛IB.(a-b)∕∕hC.[a-b)VaD.α与b的夹角为

π

~4

1

7.(2022.广东广州.统考三模)已知向量α=(3,-l),⅛=(l,-2),则下列结论中正确的

是（）

A.a-b=5B.∣α-*∣=√5

C.（a,。）=]D.a//b

三、填空题

8.（2021・广东广州・统考一模）设向量2=（1,唐）,⅛=（2,1）,且1∙（24+b）=7,则加=

22

9.（2021•广东广州•统考二模）已如椭圆C:]+与=1的两个焦点为6（-2,0）和心（2,0）,

ab

直线/过点F∣,点心关于/的对称点A在C上，且（耳A+2耳^）∙Ag=8,则C的方程为

10.（2021.广东广州.统考二模）在JLBC中，NABC=90。，AB=BAC=3,点。在

AC上，且Ar）=2DC,则BOAC=.

11.（2022•广东广州♦统考三模）已知α,人为单位向量，若卜-2M=逐，则

|«+2ft∣=.

12.（2022•广东广州•统考二模）已知α,b是两个单位向量，c=2a+b,且J_Ld,则

α∙（α+/?）=.

13.（2023•广东广州•统考一模）已知向量“=（1,2）/=（3,耳,。与4+0共线，则

∣a-⅛∣=.

四、解答题

14.（2021•广东广州•统考三模）已知椭圆。:5+工=13>6>0）的离心率为也，以

a'b^2

原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆截直线x-y+√Σ=O所得弦长为2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设户为椭圆上一点，若过点用（2,0）的直线与椭圆C相交于AB两点，且满足

。4+。8=/0。（。为坐标原点），当"A-PB<平时，求实数r的取值范围.

15.（2022•广东广州.统考一模）在一ABC中，内角A,8,C的对边分别为α∕,c,

c=2b,2sinA=3sin2C.

试卷第2页，共4页

(1)求SinC；

⑵若一"C的面积为3且，求A8边上的中线CO的长.

2

16.(2022•广东广州•统考一模)在一ABC中，内角A,B,C所对边的长分别为0,b,c,

且满足人CoSC=asinB.

⑴求A;

(2)若α=M,BAAC=3,Ao是/BC的中线，求的长.

17.(2022・广东广州•统考三模)在圆/+丁=2上任取一点。，过点。作X轴的垂线段

3”,“为垂足，线段。〃上一点E满足陷=及.记动点E的轨迹为曲线C

∖EH∖

(1)求曲线C的方程；

(2)设。为原点，曲线C与y轴正半轴交于点A,直线AP与曲线C交于点P,与X轴交

于点直线A。与曲线C交于点Q,与X轴交于点N,若OMON=-2,求证：直线

PQ经过定点.

18.(2022♦广东广州•统考三模)在①(Sin=2-=∙sin8:②Λ∕5αsinB=b(2-cosA)这两

个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.

问题：已知ABC中，α∕,c分别为角A,8,C所对的边，.

(1)求角A的大小；

(2)己知A8=2,AC=8,若8C,AC边上的两条中线AM,8N相交于点P,求/MPN的

余弦值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.(2023・广东广州・统考一模)记.ABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、J已

F2C2A3心

知αcos~——+ccos'—=—b.

222

(1)证明：sinA+sinC=2sinB；

(2)若b=2,AB∙AC=3,求JIBC的面积.

20.(2023•广东广州・统考二模)在..ABC中，角AQC所对的边分别为。,瓦c,且

"sin"C=αsinB.

2

(1)求角A的大小；

(2)若角A的平分线交5C于。且AD=2,求。的最小值.

五、双空题

21.(2022•广东广州•统考一模)已知向量a=(-2"),6=(1,1),且Cb，则

A=,〃_匕在b方向上的投影向量的坐标为.

22.(2023•广东广州・统考二模)在等腰梯形ABCD中，己知AB〃C£>,AB=A,BC=2,

NABC=60°,动点E和尸分别在线段BC和OC上，且BE=∕18C,DF=ADC,当

/1=时，则AE-AF有最小值为.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】根据向量三角形法则求出t,再求出向量的数量积.

【详解】由BC=AC-A8=(1,f-3),∣βC∣=√l2+(r-3)2=1,得f=3,则BC=(1,0),

ΛB.BC=(2,3).(1,0)=2×1+3x0=2.故选C.

【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大.

2.B

【分析】根据向量相等的坐标关系即可求出结果.

[m=3λ

【详解】由〃=λ⅛得。…，所以加=T

[2=-6λ

故选：B

3.D

【分析】根据向量的数量积运算律和夹角公式求解.

【详解】因为R+方)，万,所以(d+5)喋=0,

所以α力+/=0,所以。4=一步，

z,

Z，5_ah_-∣^_-W_1

ffTFTflTκ

故选:D.

4.A

【分析】根据给定条件，设出抛物线C及直线PQ的方程，借助垂直关系求出抛物线方程及

点M的坐标，再用斜率坐标公式建立函数，利用均值不等式求解作答.

【详解】依题意，抛物线C的焦点在X轴的正半轴上，设C的方程为：y2=2px,p>0,

显然直线P。不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：X="+2,点P(*,%),Q(^∣,%),

fx=fy+2_

由〈2G消去X得：y--4p=0,则有Xy2=Yp,

[y=2PX

22

由OP"LOQ得：(9P.oρ=2L.A+y1j2=4-4p=0,解得P=I,

2p2〃

于是抛物线C：产=2彳的焦点/(；,0),弦PQ的中点M的纵坐标为雪=f,则点

答案第1页，共14页

M(t2+2,t),

,t2^2√6

显然直线MF的斜率最大，必有工>0,则直线MF的斜率3_36,

2+

,+2Z72√2r7

当且仅当2/=2,即f=通时取等号，

/2

所以直线心的斜率的最大值为逅.

6

故选：A

5.A

【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合向量共线的定义判断作答.

【详解】若±=2，则XIy2-x∕=0,即ɑ//人

y∣%

当匕=0，即M=%=0时,满足α∕∕b,而土=土~无意义，

ʃɪ>2

所以“2=2’,是“a//’,的充分不必要条件

ʃl>2

故选：A

6.CD

【分析】对于A,求出两个向量的模可得结论；对于B,求出3-6)的坐标后，再利用向量

共线的判断方法判断即可；对于C,求出(〃-为,〃的数量积判断；对于D,直接利用向量的

夹角公式求解即可

【详解】解：对于A,因为α=(-1,1),A=(0,2),所以W=√(-l)2+l2=应,忖=2,所以口H∣⅛∣,

所以A错误；

对于B,由“=(-l,1)力=(0,2),得α-b=(T,-l),而8=(0,2),所以(d-b)与［不共线,

所以B错误；

对于C,由“_。=(_1,_1),a=(-1,1),得(α-6)∙ɑ=-lx(-l)+(-l)xl=0,所以(α-8)与“

垂直，所以C正确；

对于D,由α=(-l,l),5=(0,2),得cos(α,b)=Ej=［,而乃］,所以

所以D正确，

故选：CD

答案第2页，共14页

7.ABC

【分析】按照向量数量积的坐标运算、模的坐标运算、夹角公式及平行的坐标公式依次判断

即可.

【详解】α∙b=3χl+(-1)x(-2)=5,A正确；a-A=(2,l),∣α-⅛∣=√22+12=y∕5,B正确；

∣α∣=√32+(-∣)2=√10,∣⅛∣=√∣2+(-2)2=√5,则。3自1)=诫=壶=#G6=?，C

正确;

3×(-2)≠(-l)×l,D错误.

故选：ABC.

8.-1

【分析】结合平面向量的线性运算和数量积的坐标运算即可求出参数加的值.

【详解】因为“=(1,"?),b=(2,1),所以2；+。=(4,2"z+l),

又因为b∙(2α+6)=7,所以2x4+2m+l=7,解得m=T.

故答案为：-1

9"5

9,三+匕=1

1612

【分析】由椭圆定义、点关于直线的对称性及已知向量等式求出。，进而求得6,即可求出

椭圆方程.

【详解】因为A与巴关于直线/对称，所以直线/为4鸟的垂直平分线.

所以IA周=由周=4,由椭圆定义可得IA闾=2a-4.

设直线/与A心交于点M,则M为AB的中点，且耳M_LA月，所以

所以，(21)-=8,又。＞0,解得。=4.

2

又c=2,贝)二？=26，故椭圆C的方程为3+[=l.

1612

故答案为：—+—=1.

1612

答案第3页，共14页

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于结合图形由向量等式求出

10.3

12

【分析】先由题中条件，由平面向量基本定理，得到=+进而可到

uι≡uuιπ(1UirɔUIm、zuuuuιr、

BDAC=^-BA+-BC∖∖BC-BA],再由向量数量积运算，以及题中条件，即可得出结果.

UUUuuuUlBUtT心mIUll∏∖12

【详解】因为AD=2OC,所以AO=2OC,则=,即=+

又ZABC=90。，AB=BAC=3,所以BC=√^5=√^,

则

uunUiun/1uιr9insʌιιuDuιr1Uiruuπι∣uιr∣2ɔ∣UUU∣27uιrUlln

BDAC=I-BA+-BCl∙(zBC-BA)x=-BA∙βC--∣BA∣+-∣BC∣--BABC

1c2,c

=——×3+-×6=3.

33

故答案为：3

II.√5

【分析】先由卜-2年=5求得〃力=0,再求得以+2.(即可求解.

【详解】由卜一2目=逐可得,一=a-4a∙b+4b=5-4a∙h=5,贝∣J0∕=O,

X∣(7+2⅛∣=a+4a∙h+4b=5,贝川。+2/?|=ʌ/ʒ.

故答案为：亚.

12.L/0.5

2

【分析】根据给定条件，结合垂直关系的向量表示求出〃.人再利用数量积的运算律计算作

答.

【详解】〃,万是两个单位向量，c=2cι+b，且方_1_6,则b∙2=b∙(2d+b)=功力+Zr=0，解

答案第4页，共14页

rr1

得。力=-万，

所以“∙(α+b)=a。+α•〃=：.

故答案为：ɪ

13.2√5.

【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.

【详解】由题意知,a+b=(4,2+x)

又因为W∕(α+8),所以lx(2+x)=2x4,所以χ=6,

所以6=(3,6),所以α-5=(-2,-4),

所以Ia-加=J(-2)2+(Y)2=2后.

故答案为：2遥.

14.(1)—+/=1；(2)-2<t<-巫或巫<t<2.

2-33

【分析】(1)由圆的弦长求得“，再由离心率得c,然后解得b后可得椭圆方程；

(2)设直线方程为y=Nx-2),设4(x∣,χ),8(x2,%),P(x,y),直线方程代入椭圆方程由相交

得火的一个范围，应用韦达定理得士+X2,X∕2,由OA+O8=fOP表示出x,y,代入椭圆方程

得f,k的关系式，由向量的模(代入士+々，毛毛)再求得％的范围，从而可得，的取值范围.

【详解】(1)因为以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆截直线x-y+及=0所得弦长

为2,

所以/=L-J+12=2)a=∖∣2，又e=f=∙^∙,贝!∣c=l,⅛=∙Ja2-C=1"

√2a2

\/

椭圆方程为工+V=I；

2'

(2)由题意直线A3斜率存在，设方程为N=&(x-2),设A(XI,%),8但,丫2),尸。,》),

fx2,

—+V2=1

由J2'得，(∣+2*2)√-8Λ2X+8Λ2-2=0,

y=k(x-2)

Δ=Mk4-4(1+2k2)(Sk2-2)>0,

2

答案第5页，共14页

Sk28*2-2

X+X,=------7，Xlx7=-------r，

121+2F12l+2Ar2

2/s

因为。4+O8=fOP,即(为+占，%+%)=(比，))，f=0时，不满足P4-PB<∖-,

3

Tn而一%+々_如%+%_4(&+/)一4'_Yk

"0时，χ--^-,一t一/(1+2盾，

因为点P在椭圆上，

2

化简得（二）,16⅛

"所「以--产--------d----------------------16/=r1+2

2(1+2^)2/(l+2∕f1+2⅛2

由卜A-PqC迈得IBA卜手,即,1+公周_引＜手,

22

(l+⅛)[(¾+Λ2)-4xιX2]<-y,

所以"+"⅛）τ×掾昌，（4L2+叱…W，

所以?<&2<:，

42

,216⅛2C8m8,2”

由厂=----=8----------W-<r<4,

1+2Frl+2/c23

所以-2<f<-也或城<f<2∙

33

【点睛】关键点睛:本题考查求椭圆方程，直线与椭圆相交，解题方法是设而不求的思想方

法，即设交点坐标，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得不+看了8，由判别式得

参数范围，由弦长（向量的模）得参数范围，由点在椭圆上得，与参数的关系，然后可得结

论.

15.(1)—

4

Q)S

【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结

果；

（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量

的线性表示出CA），最后利用求模公式即可求A8边上的中线CZ）的长.

【详解】（1）因为2sinA=3sin2C,

所以2sinA=6sinCcosC,

所以2a=6ccosC,

答案第6页，共14页

即α=3ccosC,

所以8SC啜,

由余弦定理及c=2b得:

CoSC="2+b-2∕+b2-W=

2ab2abIab

又COSC=幺=幺，

3c6b

r-r-∣Cl"-3b"ClC2C,2

所以κ-------=——=>2a2=9⅛-,

2ab6b

日口3>/2

即〃=---b，

2

3∙χ∕^^

所以广”^Th√2,

cosC=—=———=——

6b6b

714

所以SinC=√1-cos2C-

4

√14_3√7

(2)由SAAC=ɪSinC=

Λ∏C2~4F

所以〃力=6λ∕2，

.3√2

由(zι1λ)a-------bf»

2

所以〃=2,。=3近，

因为CO为A3边上的中线,

所以CO=；(C4+CB),

所以Ie邛=:(|CA/+|Ca∣2+2CA∙CB

=；x("2+/+2μCoSC)

/Γ-∖

1

=­X4+18+2×2×3√2×-

44j

=7,

所以∣c4=√7,

所以AB边上的中线CD的长为：√7.

16.(I)A=W24

答案第7页，共14页

(2)T

【分析】(I)由正弦定理和二倍角的正弦公式即可求解∙

(2)由8A∙AC=3可得6c=6,根据A。=J(AB+AC)以及余弦定理即可求出∣AO∣

【详解】(1)cosB+C=eos(ɪ--)=sin—,

2222

Λ

所以bsin—=αsinB,

2

Δ

由正弦定理得：SinBsiny=sinAsinB,

A

sinB≠0,.*.sin—=sinA,

2

.AC.AA./.∖A(八τr'ʌ.AC

.,.sin—=2sιn—cos—,Λ∈(0r,π∈0,—.,.sin—≠0,

222'，2I2J2

A1Aπ

得zbcos—=—,即πn5=§，

,2π

.".Λ=—.

(2)BAAC=3,

.,.ACoS(π-A)=3,得bc=6,

由余弦定理得：b2÷c2=a2+2⅛ccosA=13,

AD=-(AB+AC)

2f

I-∣21-ɔ19-7

.∙.AD=-(Aβ+AC)*=-(C2+⅛2+2⅛CCOSA)=-

11444

所以k4=q,

即4。的长为也.

2

17.(1)-+∕=1;

(2)见解析

【分析】(1)设E(x,y),D(x0,%),由喘=应求得，⅞=X

z-,结合圆的方程即可求解;

%=√2γ

(2)设M(4,0),N(b,0),由OM∙ON=-2得砥P此°=MW(N=-J,设出直线PQ：，=h+〃，

答案第8页，共14页

联立曲线C,结合韦达定理表示出解得"=0,即可得到过定点.

由题意，设E(χ,y),O(毛,%),又您=&,则

,°r-,又因为点。在圆/+丁=2上,

Iy0=心

所以χ2+2y2=2,故曲线C的方程为三+丁=1；

(2)

由题意，40,1),设M(4,0),NS,0),则OMoN="=-2,易得ARAQ斜率必然存在，所

-1-I1

以L(Q=L=T•了=-5,

设尸(不凹),。(迎,M),由图象易知，直线尸Q斜率不存在时不符合题意，设直线P。的方程为

y=kx+n,

y=kx+n

222

联立曲线C的方程犬22，W(2⅛+l)x+4to+2n-2=0,

.τ+-v=1

Δ=(4fa7)2-4(2⅛2+l)(2n2-2)=16⅛2-8√+8>0↑⅜∏2<2⅛2+l,

答案第9页，共14页

所以*+/=于-AkTnrFX2=券ItT由-2题意」知‘直..线”P,AQ均不过原点'所以"""°'从

而〃w±l,

所以

22

_Axl+n-lkx2+n-↑_⅛xlx2+⅛(n-l)(x1+x2)÷(∕ι-l)

fcAP'fcAQ==

X1x2X1X2

n2

⅛(n-l)-~^÷(π-l)11

公+)∖

=⅛2+'J21'=T=_1

2/一2-2(n+1)一~2'

2公+1

解得〃=O,满足A>0,所以直线QQ的方程为y=",恒过定点(0,0).

18.(1)A=∣;

⑵迈

7

Δ

【分析】(1)若选①，由诱导公式及正弦定理得COSl=SinA,结合倍角公式即可求得

sinj=p即可求解；若选②，由正弦定理得GSinA=2-CosA,结合辅助角公式得

TT

Sin(A+£)=1,即可求解；

O

zUUlΓUulI\

(2)建立平面直角坐标系，求出AM.8N,由CoSNMPN=COS(AM,8N)结合向量夹角公式

即可求解.

(JrΛʌΔA

【详解】⑴若选①，⅛sin---=⅛cos-=t∕sinβ,由正弦定理得sin8cOS-=SinASin8,

122J22

Xsinβ>O,

ΛΔΔAΛι—

则CoS-=SinA=2Sin-COs—,又cos—>0,BPsin—=—,又A∈(O,(τ),则A=—；

2222223

若选②，由正弦定理得GSinASinB=Sin8(2-CoSA),XsinB>O,则底inA=2-cos4,

即瓜inA+cosA=2sin(A+%)=2,则Sin(A+&)=1,又A∈(0,1),则A=三;

663

答案第10页，共14页

B

(2)

以A为坐标原点，AC所在直线为X轴，过A点垂直于AC的直线为V轴，建立如图所示平

面直角坐标系，易得C(8,0),

由A=W可得B(l,√5),则Λ∕g,*),N(4,0),则AM=B，¥),BN=(3,-W),

uuurUUIl2乂a_√52百

zuuιrUUmAWBN_2

则cosNMPN=cos(AM,BNUUUΓ11UUO

AM∖∖BN

19.(1)证明见解析

3√5

(2)S&ABC丁

【分析】(1)利用三角恒等变换结合正弦定理化简可证得结论成立；

(2)利用平面向量数量积的定义可得出力CCoSA==3,结合余弦定理以及α+c=2^=4可求

得〃、C的值，由此可求得ABC的面积.

■、注/八Ed2CɔA3.riι,a(l+cosC)+c(l+cosA)3f

【详解】(1)因为4COS23Γ+CCOS277=7^,则」------L-∑-----------L=-b,

22222

艮IJr∕+c+<7cosC+ccosΛ=3⅛,

由正弦定理可得3sin8=sinA+sinC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinA÷sinC÷sin(A+C)

=sinA÷sinC+sin(π-β)=sinA÷sinC÷sinB,

因此，sinA+sinC=2sinB.

(2)因为SinA+sinC=2sin6,由正弦定理可得α+c=2⅛=4,

由平面向量数量积的定义可得AB∙AC=MCOSA=3，

U•［、1.h~+—cι~4+c~—cι~_—√、9ʌ

所C以，2c---------------=--------------=3,可r得θC2"=2,

2hc2

1O7

即(c-α)(c+a)=4(c-α)=2,所以，c-a=3，则C="a=~»

答案第11页，共14页

332________

==叵,

所以，beɔ93，则A为锐角，且sinA=Λ∕1-cos2A=

3

4

=4CSinA=L=k2χ2χ虫=辿

因此，SMBC

222434

20.(1)A=∣

⑵延

3

【分析】（1）化简得到bcosg4="sinB,根据正弦定理计算得到SinW4=：1,得到角度.

确定上计算/=斗i

⑵设£=冗，—=χ,Ao=-⅛-A8+AC,√+3+χ+∙l

bACDC1+x1+l÷xx1+x31XX

再利用均值不等式计算得到答案.

【详解】(1)ISinAC="sinB,EP⅛sin-~~-=asinB,BP⅛cos-=^sinB.

222

由正弦定理得sin8∙cos,=sinA∙sinB,

AAA

β∈(0,π),sin8wθ,故cos^=sinA=2sin5cos7.

πAC.,.A1cA兀,Aπ,π

cos-≠0,故Sm,=],Xτ7O<y<ɪ,故45=7，故444=寸

2

-AB∙ADcsinZBAD,ADDn

⑵丛