江苏省连云港2021年高一上学期《数学》期中试卷与参考答案

江苏省连云港市2021年高一上学期《数学》期中试卷与参考答案一、单项选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.1．下列表述正确的是（）A．{a，b}⊆{b，a} B．{a}∈{a，b} C．a⊆{a} D．0∈∅答案：A．2．下列函数与函数y＝x是同一个函数的是（）A． B． C． D．答案：B．3．命题“∀x∈R，x2+1≥0”的否定为（）A．∀x∈R，x2+1＜0 B．不存在x∈R，x2+1＜0 C．∃x∈R，x2+1≥0 D．∃x∈R，x2+1＜0答案：B．4．若x＞0，y＞0，n∈N*，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx•lgy＝lgx+lgy B．lgx2＝（lgx）2 C． D．答案：C．5．设x＞1，则x+的最小值是（）A．2 B．3 C．2 D．4答案：B．6．设函数f（x）＝x+2，g（x）＝x2﹣x﹣1．用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，则M（x）的最小值是（）A．1 B．3 C．0 D．答案：A．7．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm．由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t（分钟）之间存在函数关系（m为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，则这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少排气（）A．16分钟 B．24分钟 C．32分钟 D．40分钟答案：C．8．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做集合A与B的差集，记做A﹣B．例如，A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则有A﹣B＝{1，2}，B﹣A＝{4}．若集合P＝（3，5），集合Q＝{x|（x+a）（x+2a﹣1）＜0}，且P﹣Q＝∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣2） B．[﹣3，﹣2] C．（3，+∞） D．[3，+∞）答案：B．二、多项选择题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.9．若a＞b＞0，则（）A．ac2≥bc2 B．a2＜ab＜b2 C． D．答案：AC．10．下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是（）A．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件 B．“a2＜1”是“a＜1”的必要不充分条件 C．设a，b，c∈R，则“a2+b2+c2＝ab+bc+ac”是“a＝b＝c”的充要条件 D．设a，b∈R，则“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的必要不充分条件答案：AC．11．对于定义在R上的函数f（x），下列判断正确的是（）A．若f（2）＞f（﹣2），则函数f（x）是R上的增函数 B．若f（2）＜f（﹣2），则函数f（x）在R上不是增函数 C．若f（2）＝f（﹣2），则函数f（x）是偶函数 D．若f（2）≠f（﹣2），则函数f（x）不是偶函数答案：BD．12．已知正数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则下列结论正确的有（）A． B．3x＜4y＜6z C．xy＜2z2 D．答案：ABD．三、填空题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．已知函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝3．答案：3．14．函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x（2﹣x），则f（2）＝8．答案：8．15．物理学中，声强是表示声波强度的物理量，可用公式表示，其中v表示声速，ω和A分别是声波的频率和振幅，ρ是媒质的密度．由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入声强级的概念，规定声强级L＝10lg．通常规定（相当于1000Hz时能够引起听觉的最弱的声强），这时计算出来的L就是声强I的量度，式中声强级的单位称为贝尔．实际上，由于贝尔这个单位太大，通常采用贝尔的作单位；这就是分贝（dB）．当被测量的声强I为声强I0的1000倍时，声强级L是30分贝．答案：30．16．若干个正整数之和等于10，这些正整数乘积的最大值为36．答案：36．四、解答题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①A∪B＝B；②A∩B＝∅；③A∩B＝B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．问题：已知集合A＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，是否存在实数a，使得___？解得a≤﹣2或a≥1，所以选择②，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）；若选择③因为A＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}，故A＝（a，a+1），因为A∩B＝B，则B⊆A，所以，所以a∈∅，所以选择③，实数a不存在．18．（12分）记函数的定义域为集合A，函数g（x）＝x2+2x+3的值域为集合B，U＝R，求：（1）A，B；（2）A∪B，A∩∁UB．答案：（1）由得﹣1≤x≤3，所以A＝[﹣1，3]；又g（x）＝x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，所以B＝[2，+∞）．（2）由（1）知A∪B＝[﹣1，3]∪[2，+∞）＝[﹣1，+∞）；因为∁UB＝（﹣∞，2），所以A∩∁UB＝[﹣1，3]∩（﹣∞，2）＝[﹣1，2）．19．（12分）（1）已知a+a﹣1＝7，求a2+a﹣2及的值；（2）已知lg3＝a，lg5＝b，用a，b分别表示log53和lg3.6．答案：（1）由a+a﹣1＝7知a＞0，因为（a+a﹣1）2＝72，即a2+2+a﹣2＝49，所以a2+a﹣2＝47；又，且，所以，（2）因为lg3＝a，lg5＝b，所以；所以＝2lg2+2lg3﹣1＝2（1﹣lg5）+2lg3﹣1＝2a﹣2b+1．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，3）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若满足不等式组的整数解有且只有一个，求正实数t的取值范围．答案：（1）因为不等式f（x）＜0的解集是（0，3），所以0和3是方程f（x）＝0的两个根，∴0+3＝﹣b，0×3＝c，∴b＝﹣3．c＝0，∴函数f（x）的解析式为：f（x）＝x2﹣3x．（2）不等式f（x）＝x2﹣3x＞0的解集为：（﹣∞，0）∪（3，+∞），不等式f（x+t）＝（x+t）2﹣3（x+t）＜0的解集为：（﹣t，3﹣t），当t≥3时，不等式组的解集为（﹣t，3﹣t），（﹣t，3﹣t）中至少有2个整数，不满足题意，舍去；当0＜t＜3时，不等式组的解集为（﹣t，0），因为满足不等式组的整数解有且只有一个，所以﹣1∈（﹣t，0），﹣2∉（﹣t，0），即，解得1＜t≤2；综上，正实数t的取值范围是（1，2]．21．（12分）假设某人从事某项投资，他第一次投入a元，得到的利润是b元，收益率是．（1）若第二次他又投入x元，得到的利润是cx元，求此人两次投资的总收益率；（2）在第一次投资的基础上，从第二次起，此人每次都固定投资x元，每次得到的利润也都是x元，那么他每次投资后的总收益率是增加了还是减少了？请从数学角度解释你的判断．答案：（1）此人两次总投资a+x元，两次得到的总利润为b+cx，则此人两次投资的总收益率为；（2）设此人第n（n∈N*）次投资后的总收益率为f（n），则，∴第n+1次投资后的总收益率为，，∵a＞0，b＞0，x＞0，n≥1，∴（a+nx）[a+（n﹣1）x]＞0，因此，当a＝b时，f（n+1）﹣f（n）＝0，即f（n+1）＝f（n）；当a＜b时，f（n+1）﹣f（n）＜0，即f（n+1）＜f（n）；当a＞b时，f（n+1）﹣f（n）＞0，即f（n+1）＞f（n）．∴当a＝b时，每次投资后的总收益率不变；当a＜b时，每次投资后的总收益率减少；当a＞b时，每次投资后的总收益率增加．22．（12分）已知f（x）＝x•|x|，x∈R．（1）求证：f（x）为奇函数；（2）设g（x）＝f（x）+kx﹣k，k∈R，求g（x）在区间[﹣2，2]上的最大值．答案：（1）证明：f（x）的定义域为R，对∀x∈R，f（﹣x）＝﹣x•|﹣x|＝﹣x•|x|＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数．（2）答案：①当k≥0时，因为g（x）为[﹣2，0]和[0，2]上增函数，所以g（x）为[﹣2，2]上增函数，所以g（x）在[﹣2，2]上的最大值为g（2）＝4+k；②当k≤﹣4时，因为g（x）为[﹣2，0]和[0，2]上减函数，所以g（x）为[﹣2，2]上减函数，所以g（x）在[﹣2，2]上的最大值为g（﹣2）＝﹣4﹣3k；③当﹣4＜k＜0时，因为y＝﹣x2