人教A版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》双曲线的定义训练

双曲线的定义强化训练(同学版)

1、(2022・滨州质检)4？+&—3)2—Nχ2+(y+3)2=4表示的曲线方程为()

A.J-^∙=l(x≤-2)B.1(x≥2)

C.∙^-y=l(γ≤-2)D.千一方=1(代2)

92

2、(2022•河南九师联盟摸底)双曲线方一汽=1的两个焦点分别是四，F2,双曲线

上一点P到Q的距离是7,那么尸到放的距离是(A)

A.13B.1

C.1或13D.2或14

3、(2022・广州模拟)设Fι,B是双曲线C⅛-^=l(α>0,方>0)的左、右焦点，

P是双曲线C右支上一点，假设∣PF∣I+IPBl=40,且NRPB=60°,那么双曲线

C的渐近线方程是()

A.y∣3x±y=QB.2x÷√7γ=0

C.γ∣3x±2y=0D.2x±∖∣3y=Q

4、假设双曲线及弓一看=1的左、右焦点分别为B,点P在双曲线E上，

且IPFII=3,那么∣PB∣=()

A.11B.9

C.5D.3

2

5、设双曲线_?一^=I的两个焦点为R,B,P是双曲线上的一点，且IPBl：∣PB∣

O

=3：4,那么的面积为()

A.10√3B.8√3

C.8√5D.16√5

6、定点Fι(-2,0),五2(2,0),N是圆O-.√+y2=l上任意一点，点A关于点N

的对称点为M，线段的中垂线与直线相交于点P,那么点P的轨迹是

)

A.椭圆B.双曲线

C.抛物线D.圆

22

7、(2021•广东茂名市二模)点尸是双曲线C：5r—⅞^=1右支上一点，后、改为双

曲线C的左、右焦点，假设4PR乃的周长为16,点。为坐标原点，那么走λKh

=()

A.20B.-20

C.40D.-40

8、(教材改编)平面内两定点A(-5,0),8(5,0),动点M满意IMAI—IM阴=6,

那么点M的轨迹方程是()

B点七=1(尤24)

X2V2

D.g—记=Iae3)

9、圆Ci：(x+3)2+γ2=l,Ci-.(X-3)2+∕=9,动圆M同时与圆CI和圆C2相

外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为()

2

A.%—*O7=1

B营一六1

92

C.x-⅛O=l(x≤-l)

D.%2—^=l(x≥l)

10、“方程高一品=1表示双曲线”的一个必要不充分条件为()

A.m∈(-∞,—1)U(1,+∞)

B.m∈(-∞,—2)U(1,+∞)

C.m∈(—8,—2)

D./77∈(1,÷o°)

72

Ik设双曲线C点一奇=1(4。)的左、右焦点分别为Fl,F2,假设P为C

右支上的一点，且尸尸」尸尸2,那么tanNPF2F1=()

12、(2020•浙江高考)点。(0,0),A(~2,0),B(2,0).设点尸满意IRII—IPBI=2,且

P为函数y=3,4—N图象上的点,那么QPl=()

A,B.嘤

C.√7D.√10

22

13、圆Ci：(x+3)+∕=l和圆C2:(X-3)+∕=9,动圆M同时与圆Cl及圆

C2相外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为.

14、(2022.广州模拟)过双曲线％2—1=1的左焦点A作一条直线/交双曲线左支

于P,Q两点，假设IPQl=I0,仍是双曲线的右焦点，那么APBQ的周长是

22

15、(2021•河南洛阳统考)尸是双曲线，v一石=1的左焦点，A(l,4),P是双曲线右

支上的动点，那么∣Pf]+∣网的最小值为

16、Fi,3为双曲线C：/一步=2的左、右焦点，点尸在。上，ZF∣PF2=60°,

那么△/金3的面积为.

17、双曲线Λ2一汽=1上一点P到它的一个焦点的距离等于4,那么点P到另一

个焦点的距离等于.

18、尸是双曲线，一^=1的左焦点，A(l,4),P是双曲线右支上的一动点，那么

∣PE+∣∕¾∣的最小值为.

19、在AABC中，B(4,0),C(~4,0),动点A满意条件SinB—sinC=WSinA时，

那么点A的轨迹方程为.

20、(2021•上海春季高考卷节选)(1)某团队在基地。点西侧、东侧20千米处

分别设有A,B两站点，测量距离发觉一点P满意|附一∣PB∣=20千米，可知P

在以点A,8为焦点的双曲线上.以。点为坐标原点，正东方向为X轴正半轴方

向，正北方向为y轴正半轴方向，建立平面直角坐标系，点P在基地。点北偏

东60。处，求双曲线的标准方程和P点的坐标.

（2）该团队又在基地。点南侧、北侧15千米处分别设有C,。两站点，测量

距离发觉一点。满意∣Q4∣-∣Q8∣=30千米，|0C|—=千米，求∣OQ∣（精确到

1千米）.

双曲线的定义强化训练（解析版）

1、(2022•滨州质检)√J?不G二苏一WlMAz0=4表示的曲线方程为()

A.J—^∙=1(Λ≤-2)B.卷一/=1(x22)

C.^-y=l(y≤-2)D.^-y=l(y^2)

解析：3)2的几何意义为点M(x,y)到点F∣(0,3)的距离，

∖x2+(y+3)2的几何意义为点M(χ,>)到点?2(0,-3)的距离，那么,Λ2+(y-3)2-

∖∕+(y+3)2=4表示点M(x,y)到点Q(0,3)的距离与到点放(0,-3)的距离的差

为4,且4</F2∣,所以点M的轨迹是以为，B为焦点的双曲线的下支，且该双

曲线的实半轴长a=2,半焦距c=3,所以b2=c2-a2=5,那么｛x2+(y-3)2-

_______29

+(y+3)2=4表示的曲线方程为彳-3=l(yW-2),应选C.

2、(2022•河南九师联盟摸底)双曲线看一*=1的两个焦点分别是R,Fi,双曲线

上一点P到R的距离是7,那么P到仍的距离是(A)

A.13B.1

C.1或13D.2或14

?9

解析：由双曲线方程］■—==1,得α=3,c=5.

由于IPFlI<α+c,所以点P在靠近Q的那支上，

所以∖PF2∖>∖PFI|,所以IPBl—∣PKI=2X3=6.

又一IP历∣=7,Λ∣PF2∣=13.

3、(2022・广州模拟)设乃，B是双曲线C：⅛-p=l(a>0,8>0)的左、右焦点，

P是双曲线C右支上一点，假设IPBl+1PBl=4α,月.NnPB=6(Γ,那么双曲线

C的渐近线方程是()

A.√3x+y=0B.2x÷√7γ=0

C.^3x±2y=0D.2x±∖∣3y=0

解析：CVFi,B是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，,由双

7

曲线的定义可得IPBLIP∕2∣=20,X∣PF∣∣+∣PF2∣=4α,.∖∖PF↑∖=3a,∖PFι∖=a.在

IPFiI2+IFF2!2—∣F∣FO∣21

△PF1F2中,由余弦定理的推论可得COS60°=∣2.BHP∕∣，即芸

X4c,.*.3a2=1002-4c2,即4c2=7/,又。2+。2=。2,二与=*二双

2X3QXQa4

曲线C的渐近线方程为y=±半x,即4x±2y=0,应选C.

29

4、假设双曲线氏方一髭=1的左、右焦点分别为为，尸2,点P在双曲线E上,

且IpFII=3,那么∣Pb2∣=()

A.11B.9

C.5D.3

解析：选B.依据双曲线的定义，得IlPb2∣一∣PR∣∣=2X3=6,所以∣∣P∕72∣-3∣

=6,所以IPBI=9或∣PF2∣=-3(舍去).

2

5、设双曲线幺一5=1的两个焦点为R,B,P是双曲线上的一点，且IPBl：∣PB∣

O

=3：4,那么的面积为()

A.10√3B.8√3

C.8√5D.16√5

解析：选C.依题意IFIel=6,IPF2I-∣PF∣∣=2,

由于IPal：∣PB∣=3：4,

所以IPBI=6,∣PF2∣=8,

所以S∆PF1F2=∣×8×

6、定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆。：√+∕=l上任意一点，点Q关于点N

的对称点为M，线段的中垂线与直线相交于点P,那么点P的轨迹是

()

A.椭圆B.双曲线

C.抛物线D.圆

解析：如图，连接ON,由题意可得IoNI=1,且N为Mn的中点，又。为

BF2的中点,

.∙.∖MF2∖=2.

：点B关于点N的对称点为M,线段的中垂线与直线尸2M相交于点P,

由垂直平分线的性质可得IPM=IPBI，

Λ∣∣PF2∣-∣PF∣II=IIPF2I-∣PM∣∣=IMF2∣=2<∖F1F2∖,

.∙.由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以尸2为焦点的双曲线.

7、（2021•广东茂名市二模）点P是双曲线C，一力=1右支上一点，Fl、F2为双

曲线C的左、右焦点，假设4PRP2的周长为16,点。为坐标原点，那么用

=()

A.20B.-20

C.40D.-40

解析：'Sc=γ∣a2+b2=3,Λ∣PF∣∣+∣PF2∣=10,

又IPBI—∣PB∣=2α=4,Λ∣PF∣∣=7,∣PF2∣=3,

-A►1―►-►-Al>

..POFiF2=^PFi+PF2)(PFI-PFI)

=∣(∣⅛2-1PFI∣2)=-20,应选B.

8、(教材改编)平面内两定点4一5,0),8(5,0),动点M满意IMALIM阴=6,

那么点M的轨迹方程是()

B⅛-⅛=l(∙^≥4)

D.^∙一根=Iae3)

解析：选D.由双曲线的定义知，点Mr轴上，且c=5,。=3,所以b=yjc2-a2

92

=4,故点M的轨迹方程为⅛^一告=I(X23).

y10

9、圆Ci：(x+3)2+y2=l,C2：(x—3)2+y2=%动圆M同时与圆。和圆C2相

外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为()

2

29V

A.X—0Q=1

9

B《一产1

2

2V

C.X—^0=1(Λ≤-1)

D.%2—⅛=l(x≥l)

0

解析：设动圆M的半径为r,由动圆M同时与圆G和圆C2相外切，得IMGl

=l+r,∖MC2∖=3+r,∖MC2∖-∖MCi∖=2<6,所以点M的轨迹是以点Cl(一3,0)

和。2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2α=2,α=l,c=3,那么/?=<?—/=8,

所以点M的轨迹方程为X2—⅛=l(x≤-1).

O

元22

10、”方程一片v一1表示双曲线”的一个必要不充分条件为()

m—1机十2

A.zn∈(-oo,-1)U(1,÷<×>)

B.机£(—8,—2)U(1,+oo)

C.m∈(-oo,-2)

D.m∈(1,+oo)

99

解析：A由方程X1—LC=I表示双曲线，⅛P(∕n-l)∙(zn+2)>0,^.m

m-1机十2

∈(-oo,—2)U(1,+∞),故它的一个必要不充分条件为机∈(-8,—1)U(1,

+o°),应选A.

11、设双曲线C：N一蠢=l(α>0)的左、右焦点分别为κ,F1,假设尸为C

右支上的一点，且PBLpF'2,那么tanZPF2Fi=()

解析：A易知¢2=25/,那么c=5α,∣FιF2∣=2c=10«.由于P为C右支

上的一点，所以IPBITPF2∣=2α.由于PF」PF2,所以IPBI2+IPBF=IRAF,

222

(∣PF2∣+2a)+∣PF2∣=IOOa,解得IPBI=60(负值舍去)，所以IPnI=80,故

∕DJUIPFIl4产洋A

tanZPF72Fι=j^r∣=2.应选A.

12、(2020•浙江商考)点。(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满意∣P4∣—IPBI=2,且

P为函数y=3,4—V图象上的点,那么QPl=()

ʌ√22r±sfiP

ʌ,25

C.√7D.√10

解析：D由|附一∣PB∣=2<∣AB∣=4,知点P的轨迹是双曲线的右支，点P

的轨迹方程为％2—1=l(x21),又y=3,4—Λ2,所以x2=¥，j2=y,所以IOPl

=√√+y2=^y+y=√Iθ,应选D.

22

13、圆Ci：(x+3)+∕=l和圆C2:(χ-3)+∕=9,动圆M同时与圆G及圆

C2相外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为.

解析：如下图，设动圆M与圆CI及圆C2分别外切于A

和B.

依据两圆外切的条件，

得IMClI—IAelI=IMAI,

∖MC2∖-∖BC2∖=∖MB∖,

由于IMAI=IM引，

所以IMCl∣-∣ACI∣=∣MC2∣-∣BC2∣,即IMC2∣—IMCII=IBC2∣—IACII=2,

所以点M到两定点C2,C1的距离的差是常数且小于∣GC2∣=6.

又依据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离

大，与G的距离小)，

其中α=l,c=3,那么庐=8.

故点M的轨迹方程为X2—,^=l(x≤-1).

14、(2022.广州模拟)过双曲线X2—亍=1的左焦点A作一条直线/交双曲线左支

于P,Q两点，假设IPQl=IO,A是双曲线的右焦点，那么4P∕72Q的周长是

解析:由题意，得IP产2|一|PBI=2,∣QF2∣TQB∣=2.

∖'∖PFι∖+∖QFι∖=∖PQ∖=lO,

Λ∣PF2∣+∣SF2∣-IO=4,Λ∣PF2∣+∣βF2∣=14.

：./\PFiQ的周长是IPF2∣+∣0F2∣+∣PQ=14+1O=24.

92

15、(2021.河南洛阳统考)F是双曲线，一石=1的左焦点，A(l,4),P是双曲线右

支上的动点，那么∣PQ+∣∕¾∣的最小值为2.

解析：设双曲线的右焦点为R,那么由双曲线的定义，可知IPE=4+∣PB

所以当IPFll+1RM最小时满意IPFI+|明最小.由双曲线的图形可知,当点A,P,

Fi共线时，满意IPBl+1网最小,IAAI即IP尸ι∣+∣网的最小值.又IABl=5,故所

求的最小值为9.

16、Fi,仍为双曲线C：『一y2=2的左、右焦点，点P在C上，NBPE2=60。,

那么△/金五2的面积为.

解析：不妨设点尸在双曲线的右支上，

那么IPFILlPF21=2a=2yβ,

在aBPB中，由余弦定理，得

/…∣PF∣∣2+∣PF∣2-∣F1F∣21

22-,

cosZF1PF2-2∣PF∣∣∙∣PF2∣2

所以IPFIHPF2∣=8,

所以SaRPF2=3PnHPF2∣∙sin60o=2√3.

17、双曲线r一v=1上一点P到它的一个焦点的距离等于4,那么点P到另一

个焦点的距离等于.

解析：设双曲线的焦点为B,F2,IPFlI=4,

那么IIPBI—IP园I=2,故IPF2∣=6或2,

又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c-a=y∣∏-l,故∣PB∣=6.

92

18、厂是双曲线，一方=1的左焦点，A(l,4),P是双曲线右支上的一动点，那么

∣PE+∣∕¾∣的最小值为.

?2

解析：由于尸是双曲线，一方=1的左焦点，所以F(—4,0),设其右焦点为

/7(4,0),那么由双曲线的定义可得IPFI+∣∕¾∣=2α+∣P"]+∣∕¾∣22α+∣A"∣=4+

、(4―1)2+(0—4)2=4+5=9(当AP,H三点共线时取等号).

19、在44BC中，8(4,0),C(-4,0),动点A满意条件sinB—sinC=WSinA时，

那么点A的轨迹方程为.

解析：设A的坐标为Q,>),在AABC中，由正弦定理，得U⅛=熹=焉

Sl∏/1SIHDSl∏L

=2H(其中火为AABC外接圆的半径)，代入SinB-SinC=∣sinA,得第一骋=

；・嗡.又∙.∙∣BC∣=8,.∙.∣AC∣-∣AB∣=4,因此A的轨迹为以B,C为焦点的双曲线

的右支(除去右顶点)，且2α=4,2c=8,即α=2,c=4,/=Cz-点的轨迹方

程为YTf=I(X>2)∙

20、(2021•上海春季高考卷节选)(1)某团队在基地O点西侧、东侧20千米处

分别设有A,B两站点，测量距离发觉