2023年高考数学一轮复习讲义：第八章 8-5直线、平面垂直的判定与性质

§8.5直线、平面垂直的判定与性质

【考试要求)1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系2掌握直线与平

面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用.

-落实主干知识

【知识梳理】

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果直线I与平面ɑ内的任意二条直线都垂直，就说直线I与平面a互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

InUa、

-U-

I

判定一条直线与一个平面内的两条相交直mC∖n=zP>

定理级都垂直，那么该直线与此平面垂直7/-Lm

>

=>∕±α

a~b

性性a-La

垂直于同一个平面的两条直线平行//b

定理Z7bJ~α

2.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

一个平面过另一个平面的垂线,

判定定理/

那么这两个平面垂直Æ

、

两个平面垂直，则一个平面内垂a：LB

6aC6=a

性质定理直于交线的直线与另一个平面/>=LLα

LLa

垂直

££7IUB>

【知识拓展)

1.三垂线定理

在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也

和这条斜线垂直.

2.三垂线定理的逆定理

平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射

影垂直.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)直线/与平面ɑ内的无数条直线都垂直，则/_La.(X)

(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(×)

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(X)

(4)若直线。，平面ɑ,直线6,平面α,则直线4〃直线仇(√)

【教材改编题1

1.下列命题中错误的是()

A.如果平面。，平面夕，那么平面ɑ内一定存在直线平行于平面夕

B.如果平面α不垂直于平面夕，那么平面ɑ内一定不存在直线垂直于平面夕

C.如果平面a_L平面y,平面6_L平面aCβ=l,那么/1.平面y

D.如果平面6(_L平面夕，那么平面ɑ内所有直线都垂直于平面夕

答案D

解析对于D,若平面α,平面夕，则平面ɑ内的直线可能不垂直于平面夕，即与平面尸的关

系还可以是相交、平行或在平面夕内，其他选项均是正确的.

2.“直线«与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线"与平面α垂直”的条件.

答案必要不充分

3.在三棱锥P-ABC中，点尸在平面ABC上的射影为点。

(1)若BA=PB=PC,则点。是AABC的心；

(2)若PBLPC,PCLPA,则点。是aABC的心.

答案⑴外⑵垂

解析(1)如图1,连接OA,OB,OC,0P,

在RtZ∖P0A,Rt∆PC>β和Rt-0C中，

PA=PC=PB,

：.OA=OB=0C,

即0为aABC的外心.

PP

图1图2

(2)如图2,延长A。，BO,Co分别交BC,AC,AB于点”，D,G.

,：PCLPA,PBLPC,PAQPB=P,

PA,P8U平面PAB,

；.PC_L平面必8,又ABU平面∕¾B,

.'.PC-LAB,

'：ABlPO,POCPC=P,PO,PCU平面PGC,

.∙.ABJ>平面尸GC,又CGU平面PGC,

.'.AB±CG,即CG为AABC边AB上的高.

同理可证8£>,AH分别为AABC边AC,BC上的高，即。为aABC的垂心.

■探究核心题型

题型一直线与平面垂直的判定与性质

例1(2021•全国甲卷)已知直三棱柱ABC-A山IG中，侧面AAiBlB为正方形，AB=BC=2,

E,尸分别为AC和CCl的中点,BFJLAIB1.

(I)求三棱锥F-EBC的体积;

(2)已知。为棱4B∣上的点，证明：BFVDE.

⑴解如图，取BC的中点为M,连接EM,由已知可得EM〃A8,AB=BC=2,

CF=I,EM=BAB=1,

AB//A↑B↑,

由BF_LAI8∣得EΛ∕J"BF,

又EMLCF,BFCCF=F,

所以EM_L平面BCF,

故娱,F-EBC=VWE-FBC=WXgBCXCF×EM^×^×2X1X1=；.

(2)证明连接4E,B∣M,

由(1)知EM//A1B1,

所以ED在平面EMBtAi内.

在正方形CGBlB中，由于F,M分别是CC∣,BC的中点，

所以由平面几何知识可得BFJ_BlM,

又BFLAlB1,BiMΠAlBi=Bi,

所以BF，平面EMBiAl,

又DEU平面EMBtAi,所以BFVDE.

【教师备选1

如图，在四棱锥P-ABe。中，四边形ABC。是矩形，ABj_平面%D,AD=AP,E是PO的

中点，M,N分别在AB,PC上，且MNLAB,Λ∕ΛLLPC.证明：AE//MN.

证明：AB_L平面B4。，AEU平面叫。，

：.AElAB,

入AB"CD,.∖AE±CD.

"：AD=AP,E是PZ>的中点,：.AELPD.

又CDCPD=D,CD,PDU平面PCD,

.∙.AE，平面PCD.

"."MNlAB,AB//CD,J.MNLCD.

又YMNLPC,PCC∖CD=C,PC,CoU平面PC£>,

MALL平面Pe。，.".AE∕∕MN.

思维升华证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理;②垂直于平面的传递性3〃b,a，a^b_La);

③面面平行的性质(a_La,a//β=^aA-β)∙,④面面垂直的性质.

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.

跟踪训练1(2019・全国H)如图，长方体ABCz)—A山∣GQ∣的底面ABcO是正方形，点E在

棱AΛ上，BELECi.

(1)证明：BE_L平面EsC|；

(2)若AE=4E,AB=3,求四棱锥E-8B∣C∣C的体积.

⑴证明由已知得BIG_L平面ABBI4,BEU平面ABBlA∣,

故BiClLBE.

又BELEC1,BlCmEG=C1,BιC∣,EGU平面EBlC∣,

所以BE_L平面EB∖C∖.

(2)解由(1)知NBEBl=90。.

由题设知Rt∆ΛBE^Rt∆A∣B∣E,

所以NAEB=NAIEBI=45。,

故AE=A8=3,AAι=2AE=6.

如图，作EFL83∣,垂足为F,

则EF_L平面BfiiClC,

且EF=AB=3.

所以四棱锥E-B5GC的体积

V=∣×3×6×3=18.

题型二平面与平面垂直的判定与性质

例2(12分)(2021•全国乙卷)如图，四棱锥P-ABC。的底面是矩形，PoJ_底面ABC。，M

为BC的中点，且PB_LAM.

(1)证明：平面Λ4MJ"平面PBQ;［切入点：线面垂直］

(2)若PO=QC=I,求四棱锥P-ABCC的体积.［(1)问关键点：找平面∕¾M或平面PBO的垂

线；(2)问关键点：底面矩形面积的计算］

(1)由线面垂直一线线垂直一线面垂直一面面垂直;

思路

分析(2)由(1)知AMl8D-Z∖D48SZ∖48M~由相似比可求AD-由锥体体积公式一结论

答题得分模板

(1)证明

∙.∙PD1平面48Co,AMU平面ABeO,

'<--------•①线面垂直》线线垂直

.∙.PD1AM.^［1分］

•・•PBLAMiS.PBQPD=P,

PBU平面PBD,PDU平面PBD,<-②线线垂直》线面垂直

AMJ.平面PBD②［3分］

又AMU平面尸4M,

j4-------③线面垂直，面面垂直

.∙.平面PAMJ.平面PBD.3[4分]

(2)解∙.∙Λ∕为BC的中点，.∙.BM=∣AD.

由题意知AS=OC=L

•••4"J.平面PBD,BDC平面PBD,

*--------------------------------④线线垂直)线线垂直

［6分］

由乙BAM+4MAr)二90。，

o

ΔMAD^ΔADB=90t

得乙7分］

易得48AMSZXAOR.∙.需=得，5--⑤相似三角形对应边成比例

^AD1

即Zr-=TTV得AQ=4,［9分］

1ALf

；・S-Cn=ADQC=T2X1M,"［10分］，一一⑥求底面积

则四棱锥P-ABCD的体积

Z

Vfi=卜JiMSPD=JX々X1=咚W［12分］«---------------------------------⑦由锥体体积公式求体积

əəM

【教师备选】

(2020・全国I)如图，力为圆锥的顶点，0是圆锥底面的圆心，ZxABC是底面的内接正三角形,

P为。。上一点，ZAPC=90o.

(1)证明：平面B48_L平面B4C；

(2)设。0=立，圆锥的侧面积为小兀，求三棱锥P-ABC的体积.

(1)证明：。为圆锥顶点，O为底面圆心，

L平面ABC,

YP在。。上，OA=OB=OC,

.∖f¾=PB=PC,

「△ABC是圆内接正三角形，

.'.AC=BC,ΛPAC^∕∖PBC,

：.NAPC=NBPC=90。，

即PBJLPC,PA±PC,

PAHPB=P,

.∙.PCLL平面出8,尸CU平面∕¾C,

平面以BJ_平面PAC.

(2)解设圆锥的母线为/,底面半径为厂，

D

圆锥的侧面积为πr∕=√3π,

r∕=V3,

ODi1=P-I2=I,解得r=ι,

∕=√5,AC=2∕∙sin60o=√3,

在等腰直角三角形APC中，

.p√6

AP—2AC—29

在RtZ∖∕¾O中,

.∙.三棱锥P-ABC的体积为VP-ABC=！P0∙SBC=9XX3=

JΔA3哗Z乎4坐o.

思维升华(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.

(2)面面垂直性质的应用

①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直

线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.

跟踪训练2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形,平面，平面ABCD,PALPD,

PA=PD,E为A。的中点.

(1)求证：PE上BC；

⑵求证：平面∕¾8L平面PCD

证明(1)因为%=PO,E为AD的中点，

所以PELAD.

因为底面ABa)为矩形，所以BC〃AD

所以尸EJ_BC

(2)因为底面ABCO为矩形，所以ABLAD

又因为平面外。_1平面ABC。，平面∕¾O∩平面ABCC=A。，ABU平面ABCC,

所以AB_L平面PAD.

又Pz)U平面∕¾Q,所以A8_LPD

又因为∕¾∙L尸。，且∕¾Γ∣AB=A,PA,ABU平面南8,

所以P£>_L平面∕¾B.又PoU平面PCD,

所以平面以BJ_平面PCD.

题型三垂直关系的综合应用

例3在四棱锥「一ABC。中，△以力是等边三角形，且平面《4O_L平面ABC£),AD=2AB

=2BC,NBAo=NABC=90°.

(1)在Az)上是否存在一点使得平面PCM，平面ABC。，若存在，请证明；若不存在，请

说明理由；

(2)若aPCO的面积为8巾，求四棱锥尸一ABC。的体积.

解(1)存在，当M为AQ的中点时，平面PCM，平面ABCD

证明：取A。的中点M,连接CM,PM,

由△/¾O是等边三角形，

可得PM_LA。，

由平面∕¾Z)"L平面ABCZ),PMU平面∕¾O,平面BA。。平面ABCO=AO,

可得PMj_平面ABCD,

由PMU平面PCM,

可得平面尸CMJ_平面ABCD.

(2)设AB=a,可得BC=4,AD=Ia,

可得MC=AB=MD-Ci,

则CD=巾a,PD=2a,PM=/a,

由PMlMC,

可得PC=y∣PM2+MC2=√3a2+α2=2a,

由SAPCD=3,巾a∙∖∣4〃—1=乎=8币,

可得α=4,

所以四棱锥P-ABCO的体积V=∣SΠ⅛*ABCD∙PM=∣×∣×(4+8)×4×4√3=32√3.

【教师备选1

如图，在四棱锥S-ABC。中，四边形ABCo是边长为2的菱形，NABC=60。，ZXSAO为正

三角形.侧面SAOL底面ABC。，E,尸分别为棱AO,SB的中点.

(1)求证：AZ7〃平面SEC；

⑵求证：平面ASB_L平面CSB；

(3)在棱SB上是否存在一点M,使得BELL平面M4C?若存在，求黑的值；若不存在，请说

LJO

明理由.

⑴证明如图，取SC的中点G,连接FG,EG,

,：F,G分别是SB,SC的中点,

.∖FG∕∕BC,FG=aBC,

∙.∙四边形ABC。是菱形，E是AO的中点，

J.AE∕∕BC,AE=^BC,

.∖FG∕∕AE,FG=AE,，四边形AFGE是平行四边形，

.,.AF∕∕EG,又ARI平面SEC,EGU平面SEC,

.∙.A尸〃平面SEC.

⑵证明：△%£＞是等边三角形，E是AO的中点，

.,.SE±AD,

：四边形ABC。是菱形，ZABC=60°,

aACO是等边三角形，又E是的中点，

J.ADLCE,又SECCE=E,SE,CEU平面SEC,

.∙.AOL平面SEC,又EGU平面SEC,

J.ADLEG,

又四边形AFGE是平行四边形，

四边形AFGE是矩形，.,,AF±FG,

又S4=AB,尸是SB的中点，ΛAF±Sfi,

又尸GCSB=尸，FGU平面SBC,SBU平面SBC,

.∙.AF_L平面SBC,

又AFU平面AS8,

平面ASB_L平面CSB.

(3)解存在点M满足题意.假设在棱SB上存在点M,使得BOL平面MAC,

连接MO,BE,则BDLOM,

；四边形ABCz)是边长为2的菱形，ZABC=60°,△%£＞为正三角形，

ΛBE=√7,

SE=yβ,BD=2OB=2小,SD=2,SEI.AD,

：侧面SAQ_L底面ABCD,

侧面SAQC底面ABCD^AD,SEU平面SAD,

：.SEL平面ABCD,：.SELBE,

：.SB=NSE2+BE2=遮,

./,s^+m-s-3啊

..cosZSBD=2SBBD=20'

•OB3√30∙2√10

''BM~203'

.BM_2

思维升华对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面

关系的相关定理、性质进行推理论证.

跟踪训练3如图(1),在RtaABC中，ZC=90o,D,E分别为AC,AB的中点，点尸为线

段CO上的一点，将AAQE沿Z)E折起到aAQE的位置，使AFLCz),如图(2).

(1)求证：Z)E〃平面AlC8：

(2)线段48上是否存在点Q,使4CL平面。EQ?请说明理由.

(1)证明因为O,E分别为AC,AB的中点，

所以。E〃8C.

又因为OEC平面AlCB,BeU平面ACB,

所以OE〃平面4CB.

⑵解线段A1B上存在点Q,使AC平面DEQ.

理由如下：

如图，分别取AC,48的中点P,Q,连接PO,PQ,QE,贝!∣PQ〃8C.

因为Z)E〃BC,所以DE〃PQ.

所以平面DEQ即为平面DEQP.

因为DELAiD,DELDC,AiDΠDC=D,AtD,OCU平面AQC,

所以£>E_L平面A↑DC,

又AleU平面AQC,

所以。ELAC

又因为尸是等腰^D4∣C底边4C的中点，

所以A∣C,OP.

因为。E∩OP=O,DE,DPU平面DEQP,

所以AC平面DEQP.

从而AC平面QE0.

故线段4B上存在点°,使得AC平面。EQ.

课时精练

立基础保分练

1.（2022∙哈尔滨模拟）设“，〃是两条不同的直线，。是平面，机，〃不在α内，下列结论中错

误的是（）

A.机-Lα,n//af则加_L〃

B.∕w±a,n.La,PPJtn//n

C./nɪɑ,则n//a

D.nt-Ln,n//a9则

答案D

解析对于A,・・X〃a,由线面平行的性质定理可知，过直线〃的平面S与平面。的交线/

平行于小

*/ʌnɪɑ,IUa,Λznɪ/,

Λ∕π±n,故A正确；

对于B,若机_La,π±α,由直线与平面垂直的性质，可得加〃小故B正确；

对于C,若加_La,∕W±H,贝i」九〃Ct或〃Uα,又闻α,.∖n∕∕a,故C正确；

对于D,若加_!_〃，n//at则加〃α或相与α相交或〃?UQ,而则〃7〃a或机与ɑ相交，

故D错误.

2.已知〃?，/是两条不同的直线，α,α是两个不同的平面，则下列可以推出。_LS的是（）

A.机_L/,mU.,/_La

B.∕n±/,aC∖β=l,ιn^a

C.m//Lιn,La1I邛

D.I.Lafm//1,m∕∕β

答案D

解析对于A,有可能出现ɑ,4平行这种情况，故A错误；对于B,会出现平面α,尸相交

但不垂直的情况，故B错误；对于C,m〃I,m∖a,B，故C错误；对于D,ILa1

m//∕=>m±a,又由〃2〃/?=a_L£,故D正确.

3.如图，在斜三棱柱ABC—AiBG中，ZθAC=90o,BC∣±AC,则G在底面ABC上的射影

H必在（）

BE--------C

∕∖x77

B：C1

A1

A.直线A3上

B.直线BC上

C.直线AC上

D.2λABC内部

答案A

解析由ACJ_AB,ACA-BCi,ABQBCt=B,AB,BClU平面ABG,得4C_L平面ABc卜

因为ACU平面ABC,

所以平面ABCll•平面ABC.

所以G在平面ABC上的射影”必在两平面的交线AB上.

4.在正方体A8Cf>-A∣BlGOl中，下列命题中正确的是（）

A.AC与SC是相交直线且垂直

B.AC与A。是异面直线且垂直

C.8。与BC是相交直线且垂直

D.AC与BDi是异面直线且垂直

答案D

解析如图，连接AS,则AABC为等边三角形，则AC与BC是相交直线且所成角为60。,

故A错误；

因为4O〃8iC,所以AC与40是异面直线且所成角为60。，故B错误；

连接C。，因为BCL平面CQQlC1,所以BCLCC∣,所以B。与BC所成角为NZλBC,为

锐角，故C错误；

连接BD,因为AC_L8O,ACA-DDi,且BO∩QO∣=O,BD,DDlU平面BOA,

所以ACL平面2OZλ,则ACL8Z）∣,则AC与8。是异面直线且垂直，故D正确.

5.如图，在正四面体P-ABC中，D,E,尸分别是A8,BC,CA的中点，下面四个结论不成

立的是（）

A.BC〃平面PO尸

B.。尸J_平面PAE

C.平面PDF_L平面

D.平面PDEJL平面ABC

答案D

解析因为BC〃。尸，。F-U平面PoF,

Bea平面PDF,

所以BC〃平面POF,故选项A正确;

在正四面体中，AELBC,PE±BC,AECPE=E,

且AE,PEU平面∕¾E,所以BCj"平面Λ4E,

因为。F〃BC,所以。F_L平面B4E,

又QFU平面PDF,从而平面PZ)F_L平面PAE.

因此选项B,C均正确.

6.(2021・新高考全国∏改编)如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的中点，M,

N为正方体的顶点.则满足MN，。P的是()

A.①②B.①③

C.②③D.③④

答案C

解析设正方体的棱长为2,

对于①，如图(1)所示，连接AC,则MN〃AC,

图⑴

故NPOC(或其补角)为异面直线OP,MN所成的角,

在RtAOPC中，

0C=√2,CP=I,

故tanN,

故MALLO尸不成立.

对于②，如图(2)所示，取AN的中点B,连接尸B,OB,

图⑵

则OP=W2+（6）2=小,pβ=√2,OB=Nl2+22=小,

所以OP2+PB2=OB2,

所以OPLPB,

又PB〃MN,所以。P_LMN.

对于③，如图(3)所示，取A。的中点C,连接OC,PC,BD,因为P,C分别是。E,Ao的

中点，所以CP_LB。，又OC_L平面AOEB,BDU平面ADEB,

图⑶

所以。C_LB。，又OCCCP=C,OC,CPU平面OC尸，所以8£>_L平面OC尸，所以Boj_0P,

又BD//MN,

所以OPLMN.

对于④，如图(4)所示，取AN的中点8,ME的中点凡连接PB,BF,OF,

图⑷

若OPLMN,又OF_L平面MENA,所以OF_LMN,所以MML平面OFBP,

所以MN_LB尸，显然，MV与B尸不可能垂直，所以OPJ_MN不成立.

7.已知442C在平面α内，NA=9（Γ,D4"L平面α,则直线CA与DB的位置关系是

答案垂直

解析∙.∙QA"L平面α,CAU平面α,：.DALCA,

在∆ABC中，VZA=90o,.".ABlCA,

且ZMClBA=A,DA,BAU平面QAB,

ΛCAl5FWDAB,又DBC5FWDAB,

C.CALDB.

8.如图所示，在四棱锥P-ABC。中，底面A8CC,且底面各边都相等，M是PC上的一

动点，当点例满足时，平面M8D，平面PCD（只要填写一个你认为正确的条

件即可）

答案Z）M_LPC（或BMlPC等）

解析：布，底面A8C。，

：.BDLPA,连接AC（图略），

则Bol.AC,且∕¾Γ∣AC=4,PA,ACU平面出C,

8。_L平面∕¾C,；.BD±PC.

当。M_LPC（或BM∙1PC）时，即有PCi.平面MBD

而PCU平面PCD,

平面MBZ）J"平面PCD.

9.如图，在三棱锥A-BC。中，ABLAD,BCLBD,平面ABo_L平面BC。，点£尸（E与4,

。不重合）分别在棱A。，BD上,KEFlAD.

A

∕Γ∖E

B'-D

C

求证：(1)EF〃平面ABC；

(,2)AD1AC.

证明(1)在平面ABO内，

因为A8J_A£>,EFlAD,

所以EF//AB.

又因为ERl平面ABC,A8u平面ABC,

所以EF〃平面ABC.

(2)因为平面ABQ_L平面BCD,平面ABon平面BCD=BD,

BCu平面8C£>,BCLBD,所以8C_L平面ABD

因为AQU平面ABQ,所以BC_LAD

ABLAD,BCCAB=8,AB,BCU平面4BC,

所以AQ_L平面ABe

又因为ACU平面A8C,所以AQ_L4C.

10.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCO是边长为2的菱形，NBAo=60。，侧面附O

为等边三角形.

⑴求证：ADLPB-.

(2)若平面出Oj_平面ABCD,点E为尸B的中点，求三棱锥P—AOE的体积.

⑴证明如图，取AO的中点0,连接08,OP,BD,

因为△勿。为等边三角形，。是AO的中点，所以OP_LA£>,

因为底面ABC。是菱形，ZBAD=GO0,

所以aABO是等边三角形，O3"LAO,

因为OPnoB=0,OP,OBU平面尸08,

所以AZ)_L平面POB,

因为PBU平面POB,

所以AO_LPB.

(2)解因为底面ABC。是边长为2的菱形，△以。为等边三角形,

所以∕¾=PO=4O=2,P0=√3,

底面ABCD的面积为2√5,

因为平面出。_1_平面ABCD,平面RAQC平面ABCo=A。，POLAD,

所以POJ_平面ABCD,

因为E为PB的中点，

所以Vp-ADE-VB-ADE-2^P-^BD=^^Vp-ABCD

=∣×∣×√3×2√3=∣.

应技能提升练

11.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖席”.在如图所示的四棱

锥尸一ABC。中，PDJ_平面ABC£>,底面A8C。是正方形，且PD=CD,点E,尸分别为尸C,

的中点，则图中的鳖腌有（）

C.4个D.5个

答案C

解析由题意，因为Poj•底面ABC。，

所以PO_LOC,PDYBC,

又四边形ABCD为正方形,所以BCj_。，

因为PDCCD=D,

所以BuL平面PCD,BCA.PC,

所以四面体P—OBC是一个鳖膈，

因为。EU平面PC。，所以BC_LDE,

因为PD=C。，点E是PC的中点，所以。E_LPC,

因为PC∩BC=C,所以QE，平面PBC,

可知四面体E-8C。的四个面都是直角三角形，即四面体E-BCD是一个鳌麝，

同理可得，四面体P-ABO和尸一ABD都是鳖腌.

12.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,C。的中点，G是EF的中点.现在沿AE,

A尸及EF把这个正方形折成一个空间图形，使8,C,。三点重合，重合后的点记为“.那么,

在这个空间图形中必有（）

A.ΛG15F≡EFHB.A"_L平面EFH

C.HF_L平面AEFD.WGXjPffiAEF

答案B

解析根据折叠前、后A”_LHE,AHJ不变,

.,.Aa_L平面EF”，B正确；

：过A只有一条直线与平面EFH垂直，,A不正确;

,JAGVEF,EFVGH,AGCGH=G,AG,G"U平面HAG,

.∙.EF，平面HAG,

又E尸U平面AEF,

平面HAG_L平面AEF,过点”作直线垂直于平面AEE一定在平面H4G内，,C不正确；

由条件证不出“G_L平面AEE,D不正确.

13.如图，在三棱柱ABC-4BICl中,已知AAl上平面ABC,BC=CCi,当底面AIBlG满足

条件时，有ABlJLBG.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的

情况）

答案Alel_LBiCj

解析当底面45G满足条件AIGLSG时,

有AB∣±BC∣.

理由如下：

•.,^4|_1平面43(7,BC=CCi,

四边形BCGBi是正方形，.∙.BC∣±B∣C,

'JCC↑∕∕AA∖,ΛΛ,Cl±CCl.

又AICI_L8|G,CCi∩β∣C∣—Ci,

CC1,BICjU平面BeCIBI,

.∙.A∣C∣J"平面BCCIB1,

∖"AC∕∕A↑Ci,AUL平面BCGS,

∙.∙BClU平面BCCIBl,.∙.BCi±AC,

VAC∩BiC=C,AC,8ιCU平面ACBι,

平面ACBi,

又ABIU平面ACB∣,

ΛΛB∣1βCι.

14.（2022・广州模拟）如图,在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形,SA_L平面ABCD,

P,。分别是线段BS,A0的中点，点R在线段SO上.若AS=4,AD=2,ARLPQ,贝IJAR

答案竽

解析如图，取SA的中点E,连接PE,QE.

：SA_L平面A8CO,ABU平面A8Cf>,

.∖SALAB,

而ABj_A£>,ADHSA=A,AD,&4U平面SA/）,

；.AB_L平面SA。，故尸E_L平面SA£>,

又ARU平面SAD,

：.PElAR.

ARA.PQ,PECPQ=P,PE,PQU平面尸EQ,

；.AR_L平面PEQ,

YEQU平面尸EQ,.∖ARLEQ,

'：E,。分别为SA,AD的中点,

.∖EQ∕∕SD,贝IJARJ_SQ,

在RtZWSD中，Λ5=4,∖D=1,

可求得SL>=2小，由等面积法可得AR=挈.

W拓展冲刺练

15.（2022・玉溪模拟）如图，四棱锥P-ABC。的底面为矩形，底面ABCD,AD=I,PD

=AB=2,点E是PB的中点，过A,D,E三点的平面α与平面PBe的交线为/,则下列结

论正