2023版高考数学一轮复习讲义：第九章平面解析几何9-6 双曲线

第六节双曲线

・最新考纲•

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质.(范围、对称性、

顶点、离心率、渐近线).

2.了解双曲线的简单应用.

3.理解数形结合的思想.

・考向预测•

考情分析：双曲线的定义和标准方程，双曲线的简单几何性质，直线与双曲线的位置关

系仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题，填空题，解答题.

学科素养：通过双曲线求标准方程、离心率、渐近线等问题的求解考查数学运算、直观

想象的核心素养.

积累必备知识——基础落实赢得良好开端

—•、必记3个知识点

1.双曲线的定义

_____________________________________结论1___________________________________________

平面内的动点〃与平面内

的两个定点尸I,尸2________为双曲线的焦点

/W点的轨迹为双曲线

________________=Za________为双曲线的焦距

________2α<∣RF2∣________

［注意］(1)当2α=Q尸2∣时，P点的轨迹是两条射线;

(2)当20>∣FιB∣时，P点不存在.

2.双曲线的标准方程和几何性质

W7

图形

WC,B2X

标准方程a2b2a2b2

________(α>0,b>0)________________(α>0,QO)________

范围

对称轴：________对称轴：________

对称性

对称中心：________对称中心：________

性

顶点坐标：A∖_______，

质顶点顶点坐标:A∖_____,Ai_________

_________________42_________________

渐近线

离心率一

e—________，e∈______________

线段442叫做双曲线的实轴，它

的长⑶∕2∣=___;线段BiB叫做

性实虚2

双曲线的虚轴，它的长b&|=

质轴

—；。叫做双曲线的实半轴长，

b叫做双曲线的虚半轴长

a,b,c间

c2=___(c>a>0,c>⅛>0)

_______的关系_______

3.等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为,离心率为e=√∑

二、必明4个常用结论

1.双曲线为等轴双曲线0双曲线的离心率e=&=双曲线的两条渐近线互相垂直.

渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在轴上时，渐近线斜率为当

2.Xa

焦点在y轴上时，渐近线斜率为空.

3.渐近线与离心率.

≤-g-l（α>O,心0）的一条渐近线的斜率为沪

4.若尸为双曲线上一点，尸为其对应焦点，则I阳》c-a.

三、必练4类基础题

（一）判断正误

1.判断下列说法是否正确（请在括号中打“J”或“X”）.

（1）平面内到点Fl（0,4）,F2（0,一4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.（）

（2）方程2-3=1（机〃>0）表示焦点在X轴上的双曲线.（）

（3）双曲线方程当一马="心0,〃>0,冲0）的渐近线方程是三一马=0,即浮=0.（）

（4）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于√Σ（）

（5）若双曲线3-《=1伍>0,6>0）与2-∖=l（α>0,b>0）的离心率分别是eι,3则十于

亳=1（此结论中两条双曲线称为共物双曲线）.（）

（二）教材改编

2.［选修2—IRi练习T3改编］以椭圆，+［=I的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方

2516

程为.

3.［选修2-1P55练习T3改编］已知方程总—痣=1表示双曲线，则，"的取值范围是

（三）易错易混

4.（忽视以曲线定义的条件致误）平面内到点F1（3,0）,F2（-3,0）距离之差的绝对值等

于6的点尸的轨迹是.

5.（弄错双曲线上点的位置）尸是双曲线导一《=1上任意一点，F∣,&分别是它的左、

1681

右焦点，且『分|=9,贝IJIP92∣=.

(四)走进高考

6.［2021•全国甲卷］点(3,0)到双曲线1一4=1的一条渐近线的距离为()

169

提升关键能力——考点突破掌握类题通法

考点一双曲线的定义及应用［综合性］

［例1］(l)［2022∙重庆市高三测试］已知双曲线C：3-q=1(心0)的一条渐近线方程为

2x-y=0,后、/2分别是双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上一点，若IPaI=5,贝IJlP巳|

=()

A.1B.1或9

C.3或9D.9

(2)［2022•肥城市高三月考］已知双曲线/一(=1的两个焦点为尸”F2,尸为双曲线右支

上一点.若IPQI=IlP冏，则△*尸内2的面积为()

A.48B.24

C.12D.6

听课笔记：

反思感悟双曲线定义的应用

(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.

⑵在“焦点三角形”中，经常利用正弦定理、余弦定理，结合IlPQi-IP丘2∣∣=20.运用平

方的方法，建立IPEl与|尸尸2|的关系.

［提醒］在应用双曲线定义时.要注意定义中的条件.搞清所求轨迹是双曲线，还是双

曲线的一支.若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.

【对点训练】

1.［2022∙河南非凡联盟联考］已知双曲线C：《一9=l(α>0)的左、右焦点分别为E，

F2,一条渐近线与直线4x+3y=0垂直，点M在C上，且IW2∣=6,则IMaI=()

A.2或14B.2

C.14D.2或10

2.［2020∙全国卷∏1设双曲线C：≤-g=l(α>O,6>0)的左、右焦点分别为尸∣,F2,离

心率为√5.P是C上一点，且尸尸，巳尸.若△尸的面积为4,则”=()

A.lB.2

C.4D.8

3.已知B，92为双曲线C：/一产=2的左、右焦点，点尸在C上，∖PF↑∖^2∖PF2∖,则

cosNFIPF2=.

考点二双曲线的标准方程［综合性］

［例2］⑴双曲线CW=I过点(√L√3),且离心率为2,则该双曲线的标准方程

为()

A.9一产=1B.x2-y=l

C.X2-叵=1D.--/=1

33z

(2)［2022•河南商丘高三月考］已知双曲线C的焦点为B(-2,0),B(2,0),点力在C上，

且关于原点O的对称点为8,∣∕8∣=尸尸2∣四边形月尸山出的面积为6,则双曲线C的方程为

()

A.——j√=1B.X2——=1

C.χ2一炉=2D.y—X2=I

听课笔记：

反思感悟求双曲线标准方程的步骤

H硝J根据条件判断双曲线的焦点在A轴上,还是

W≡J在.V轴上，还是两个坐标都有可能

∏H⅛根据上述判断设标准方程,或设出含其他待定

吗超一系-数的方程

I找关系H根据已知条件，建立方程(组)，求出待定薇

I得方程H解方程(组),将解代人所设方程—I

［提醒］(1)利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，

根据已知条件，列出关于参数α,b,C的方程并求出“，b,C的值.

(2)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求

出双曲线方程.

【对点训练】

1.［2022∙浙江高三开学考试］已知双曲线的一个焦点为(a,0),渐近线方程为在历=0,

则该双曲线的标准方程为()

2y1---

A.—2—x=lB.j2∖

C.χ2-∑!=ιD.--y2^l

227

2.已知外(一5,O),B(5,0)是双曲线\一∖=l(α>O,6>0)的两个焦点，过尸ι的直线/

与圆O-./+炉=。2切于点T,且与双曲线右支交于点P,M是线段PM的中点，若∣OM~^∣7M

=1,则双曲线的方程为()

A.£—^=1B.直—^=1

916169

C.兰一些=1D.直一e=1

12131312

考点三双曲线的几何性质［综合性］

角度1双曲线的离心率

［例3］(l)［2021•全国甲卷］已知B,尸2是双曲线C的两个焦点,尸为C上一点,且/RPB

o

=60,∣PF1∣=3∣PF2∣,则C的离心率为()

A.yB.ɪC.√7D.√13

(2)［2022•湖南省长沙市高三调研］已知双曲线C：捺一真=l(4>0,b>0)的左焦点为尸，

过原点的直线/与双曲线左、右两支分别交于点尸，0,且满足|0月一∣PR=8,虚轴的上端点

8在圆χ2+(r-3)2=l内，则该双曲线离心率的取值范围为()

A.臂,2)B.(等，2)

C.(y,√2)D.(√2,√3)

听课笔记：

反思感悟求双曲线离心率或其范围的方法

⑴求α,b,C的值，由"=1+1直接求e.

draza/

(2)列出含有α,b,C的齐次方程(或不等式)，借助于∕=c2-/消去儿然后转化成关于

e的方程(或不等式)求解.

角度2双曲线的渐近线

［例4］(l)［2022∙黑龙江哈尔滨市测试］点P为双曲线'—3=l(α>0)右支上一点，*、F2

分别是双曲线的左、右焦点，若IPBI=7,|P&|=3,则双曲线的一条渐近线方程是()

A.2x+3y=0B.4x+9y=0

C.3x—2y=0D.9x—4y=0

(2)［2021•全国乙卷］已知双曲线C：?一炉=I(W>0)的一条渐近线为恁+妆=0,则C的

焦距为.

听课笔记：

反思感悟求双曲线渐近线方程的方法

(1)求双曲线中“，6的值，进而得出双曲线的渐近线方程.

(2)求。与6的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.

(3)令双曲线标准方程右侧为0,将所得代数式化为一次式即为渐近线方程.

［提醒］两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于X轴J轴对称.

【对点训练】

1.［2022∙贵州省思南中学检测］过双曲线W=Igo">0)的左焦点F(-c,0)作圆O：

/+/=/的切线，切点为日延长房交双曲线于点P,若E为线段々的中点，则双曲线

的离心率为()

A.√5B.—C.√5+lD.—

22

2.［2022∙肥城市高三测试］已知屈、后分别是双曲线C：W=Im>0,心0)的左、

右焦点，双曲线C的右支上一点Q满足=尸巾直线FlQ与该双曲线的左支交于P点，

且P恰好为线段的中点，则双曲线C的渐近线方程为()

A.y=±∣xB.y=±2x

C.y=±2-∖∕3xD.y=±3λ∕2x

3.［2022∙成都模拟］已知点(1,2)是双曲线'一A=Im>0,6>0)上一点，则其离心率的

取值范围是()

A.(1,√5)B.(1,y)

C.(√5,+∞)D.(y,+∞)

考点四直线与双曲线的位置关系［综合性］

［例5］［2022・长沙四校联考］设48分别为双曲线A-A=I(a>0,b>0)的左、右顶

点，双曲线的实轴长为4√5,焦点到渐近线的距离为√1

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线V=争一2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点。,

使南+而=而，求f的值及点。的坐标.

听课笔记：

反思感悟

I.解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方

程组成方程组，涉元后转化成关于忒或回的一元二次方程.利用根与系数的关系，整体代入.

2.有时根据直线的斜率上与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较

快捷.

【对点训练】

[2022•福建省高三质检]已知双曲线C：3一A=l(α>O,6>0)的左、右焦点分别为B,F2,

双曲线C的右顶点/在圆O：x2+y2=∖±,且AF][TX→]∙AFz=-I.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)动直线/与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M、M

问AOMMO为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明

理由.

微专题34方程思想求离心率思想方法

[例][2020•全国卷I]已知尸为双曲线C：∖-A=l(α>O,6>0)的右焦点，/为C的右

顶点，8为C上的点，且垂直于X轴.若/8的斜率为3,则C的离心率为.

解析：点B为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为(c,?),点A坐标为3,0),

,・18的斜率为3,

好22

Λ-2-=3,即三二2=e+l=3,，e=2.故离心率e=2.

c-aa(c-a)a

答案：2

名师点评(1)本例利用方程思想，将已知条件转化为关于e的方程，然后求出离心率e.

(2)求解椭圆、双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于0,c

的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e的方程或不等式求解.

［变式训练］

222

设H，尸2分别是椭圆a+底=l(α>6>0)的左、右焦点，若在直线X=：上存在点P，使

线段PQ的中垂线过点则椭圆离心率的取值范围是()

A.(0,y］B.(0,争

C.停,1)D.停,1)

第六节双曲线

积累必备知识

1.∣∣Λ∕F1∣-∣MF2∣∣Fi,F1∣F,F2∣

2.x2a或x≤-αy≤-α或坐标轴原点坐标轴原点(一α,0)(α,0)

(0,—a)(0,a)j=iςxy=空X=(1,+o0)2a2bal+h1

3.y=^x

__、

1.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√

22

2.解析：由已知得α=3,¢=5,则双曲线方程为看一高=1.

答案.过一些=1

u*9161

3.解析：因为该方程表示双曲线，所以(zπ+2)(∕n+5)>0,即加>—2或—5,即

的取值范围为(一8,—5)u(-2,+∞).

答案：(-8,—5)U(—2,+∞)

4.解析：由题意知IQF2∣=6,而IPBI—IPBI=±6,满足2α=/IBl这一条件，故所求点

的轨迹是两条射线.

答案：两条射线

5.解析：由题知α=4,b=9,c=√a2+b2=√97,由于∣P∕7ι∣=9<α+c=4+√^V,故点

P只能在左支上,所以IP向2|一|PEl=2α=8,所以∣PB∣=IPFIl+8=17.

答案：17

6.解析：由双曲线的方程知，α=4,6=3,焦点在X轴上，所以双曲线的一条渐近线方

程为y=∣x,即3χ-4y=0,由点到直线的距离公式得，点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距

⅛工|3X3-4XO|_9

高^√32*4+(-4)2^5-

答案：A

提升关键能力

考点一

例1解析：⑴由题意知3=2,所以α=2,所以C=V4+16=2√5,

所以IPQI=5<2+2√^=α+c,所以点P在双曲线C的左支上，

所以∣PF2∣-∣P*∣=4,所以IPF2∣=9.

(2)由双曲线的定义可得『仔|一IpF2∣=^PF2∣=2α=2,解得IPF2∣=6,故∣P∕R=8,

又尸ιB∣=2c=10,由勾股定理可知：三角形PaB为直角三角形，因此SAFIPFZ=

^PF↑∖-∖PF2∖=24.

答案：(I)D(2)B

对点训练

1.解析：由题意知故〃=4,则c=5.由IMBI=6<α+c=9,知点M在C的右支

上，由双曲线的定义知∣Λ∕F∣∣一∣Λ∕A∣=2α=8,所以IMaI=I4.

答案：C

2.解析：设IPFII=n,∖PF1∖=r2,则|乃一Γ2∣=2α,ʌrl+r^-2rlr2-4a2.

由于F∖PA.F2P,则+以=44,

4。2——2门尸2—4〃2,.∙.∏=262.

srr22

•：∆PFιF2~∣l2=∣×26=ft=4,

∙'e=Jl+[=Jl+/=而,

解得/=1,即α=l.

答案：A

3.解析：由双曲线的定义有

∣PF,I-IPF2∣=I刊72尸20=2√Σ,

所以IPBI=2∣PP2∣=4√Σ,贝IJCoS/HPB

_鹏广+四2|2-但逮2|2_(4可+(2讨-42_3

2∣PF1∣∙∣PF2∣2×4√2×2√24

答案：

ɪ4

考点二

例2解析：（l）∙.∙e=9=2,则c=2α,b=7©-£=炳a,则双曲线的方程为点一£=

1,

将点（夜，通）的坐标代入双曲线的方程可得1一基=*=1,解得α=l,故b=痘,

2

因此，双曲线的方程为f-gv=ι.

解析：（2）由原点O分别为/8和2的中点，得四边形/尸山尸2为平行四边形，又IASl

=IFiF2∣,则四边形/QBEz为矩形.由四边形AFxBF2的面积为6,得/FIIM胤=6,再结合MFlF

+⑷W=/正2∣2=16及双曲线的定义，得IMBLl/尸2∣∣=2α,即4/=MaI2+MBF-2∣4aWBI

=16—12=4,BPα2=l,

所以∕>2=C2-*=3,故双曲线C的方程为/一9=L

答案：（I）B（2）B

对点训练

1.解析：由题意得：双曲线的焦点在X轴上，且c=√5,B=W,再由¢2=/+62,解

a2

得:/=2,b2=∖,该双曲线的标准方程为9一炉=L

答案：D

2.

解析：由于Λ/,O分别是P*,F匹的中点，所以OA/〃PF2,OM=^PF2.

根据双曲线的定义可知IPQI—∣PB∣=2α,

所以∣Λ∕Q∣-IoM=。，

由于IOM-ITM=1，所于Mr1|一|四=α+l,

7

βp∣77ι∣=a+1,也即，52—a2=。+1,即/+Q—12=0,

解得α=3,负根舍去.

所以h=y∕c2-a2=4.

所以双曲线的方程为9一q=L

答案：A

考点三

例3解析：⑴设∣PF2∣=m,∣PFι∣=3m,则∣F1F2∣

=√m2+9m2—2×3m×m×cos60°

=√7m,所以C的离心率e=£=上

a2a

—∣FIF2∣-√7m-√7

^^IPF1I-IPF2I

解析:(2)

设双曲线C的右焦点为F,连接PF,QF,如图所示.由对称性可知，P,Q关于原点

对称，则QPI=IOQl.又QFI=IOF|,所以四边形PFQF为平行四边形，所以IPFl=IQF1,则IQFl

一IPFl=IQFl—IQFI=2a=8,所以a=4.因为虚轴的上端点B(0,b)在圆χ2+(y-3>=1内，所

以02+(b-3)2<l,解得2<b<4,则2<√c2-a2<4,即2<√c?-16<4,得2√^<cV4√Σ,

所以e=geg,√2).

答案：(1)4(2)C

例4解析：(1)由题意，点尸为双曲线右支上一点，B、B分别是双曲线的左、右焦点，

因为IPBI=7,∣PF2∣=3,由双曲线的定义，可得2α=∣PF∣∣一『产2∣=4,解得α=2,

所以双曲线的一条渐近线方程是产多=±∣x,即3xi2y=0.

所以双曲线的一条渐近线方程是3χ-2y=0.

解析：(2)双曲线专一y2=l(,">0)的渐近线为y=±ς看X,即Λ-÷√my=O,又双曲线的一条

渐近线为√Wx+殁=0,即x+色=0,对比两式可得，加=3.设双曲线的实半轴长为4,虚半

2

轴长为6,半焦距为c,则有°2=ZM=3,b=l,所以双曲线的焦距2c=2√a2+b2=4.

答案：(I)C(2)4

对点训练

1.

解析：不妨设E在X轴上方，/为双曲线的右焦点，连接。£PF',如图所示因为PF

是圆。的切线，所以OEVPE,

又E,O分别为PA，尸的中点，所以IOEI=T∣PF1,

又IOEl=",所以IPFl=24,

根据双曲线的定义，∖PF[-∖PF'∖^2a,

所以IPFI=44,所以IEFI=2α,

在Rt△。卯中,IoEF+|£7甲=∣OF∣2,即02+4a2=c2,所以e=√g.

答案：A

2.解析:依题意,令|。。I=IOal=Io弁2∣=c,则有。尸」。乃，

令|。尸2尸2f,由双曲线定义得IOQl=2α+2f,而点尸是中点且在双曲线左支上，则

∖PQ∖=∖PFι∖=a+t,∖PF2∖=3a+t,

在RtZSP0B中，∣P0F+∣0F2∣2=∣PF2∣2,即(4+。2+(2。2=(3。+。2,解得/=2°,贝力。尸2∣

=4α,∖QFi∖=6a,

22222

在RtAFigF2中，IOFiF+∣°BF=/内|2,即36α+16α=4c,c=13a,于是得尼=12层,

g=2√5,所以双曲线C的渐近线方程为y=±2√Ix.

答案：C

3.解析：已知点(1,2)是双曲线今一∖∙=l(α>0,b>0)上一点，得玄一.=L即

所以

+4,所以e1+^√b∑T5>√5,e>√5.

a

答案：C

考点四

例5解析：⑴由题意知α=2√5,

.∙.一条渐近线为y=亳X.

即∕>χ-2√3y=0,

.∙∙d⅛=8,"=3,

.∙