2018-2023年高考数学真题汇编：相等关系与不等关系（附答案解析）

2018-2023年高考数学真题知识点分类汇编：相等关系与不等关

系

一.选择题（共π小题）

•全国)不等式的解集是(

1.(2022±-2-3<0）

X2X

A.(-1,0)U(0,ɪ)B.(-3,0)U(0,1)

3

C.(-8,-Du(ɪ,+∞)D.(-8,-3)U(1,+8)

3

2.（2022∙上海）若实数〃、人满足。>匕>0,下列不等式中恒成立的是（)

A.a+⅛>2VabB.α+fe<2VabC.A+2⅛>2√IbD.A+2⅛<2√^b

22

3.（2022•上海）茗a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc

4.(2021•天津)已知46R,则ua>6,j是“/>36”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2021•上海）已知两两不相等的XI，yi，X2，”，X3，>3，同时满足①XlVy1，X2V）%X3

Vy3；②Xl+yi=∙X2+y2=X3+y3;③XIyl+元3”=2%2）2，以下哪个选项恒成立（）

22

A.2X2‹X∖+X3B.2X2>X↑+X3C.X2‹X∖X3D.X2>X↑X3

6.（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是)

A.y=∕+2x+4B.y=∣sinjr∣+∙ɪ

IsinxI

C.y=2x+22'xD.y=lnx+-4

Inx

7.(2020•全国)若o+6+c=4,3a+2b-c=0,则"的最大值为（)

AcD,

4B∙V43

8.（2020∙上海）下列不等式恒成立的是（)

A.0+∕W2abB.6f2+⅛2≥-2abC.6f+⅛≥2√IabID.6f2+⅛2≤-2ab

9.(2020•北京)已知函数/(x)=2x-χ-1,则不等式f（x）>0的解集是（）

A.(-1,1)B.(-8,-1)U(1,÷Oθ)

C.(0,1)D.(-8,0)ud,+oo)

10.(2019•新课标II)若a>b,贝∣J()

A.InCa-h）>0B.3a<3bC.a3-⅛3>0D.∏>∣⅛∣

11.（2018•全国）已知n+∕j>O,贝∣J（）

A.2a<（ɪ）bB.2a>（ɪ）bC.20<2z,D.2a>2h

22

二.多选题（共2小题）

（多选）12.（2022•新高考∏）若X,y满足/+y2-孙=1,则（）

A.x+yWlB.x+y2-2C.x2+y2≤2D.x2+y221

（多选）13.（2020•海南）已知4>0,⅛>0,且n+8=l,贝IJ（）

A.ci2+b2^-B.20^h>-l

22

C.Iθg26t+lθg2⅛^-2D.√I+√b≤√2

≡.填空题（共16小题）

14.（2023•上海）已知正实数〃、〃满足α+4b=l,则曲的最大值为.

15.（2022•上海）不等式2二L<0的解集为.

X

16.（2021•天津）已知α>0,b>0,则∙l+-5-+b的最小值为______.

ab2

17.（2021•上海）已知函数/（x）=3x+—-（α>0）的最小值为5,则α=.

3x+l

18.（2021•上海）不等式红包<1的解集为.

χ-2

19.（2020•全国）不等式组lx"2*-?〉。，的解集为_______

1-χ2-3x+4）0

20.（2020•天津）已知。>0,b>0,且H=I,则工+工+_?_的最小值为.

2a2ba+b

21.（2020•江苏）已知S//+/=1a,jeR）；则的最小值是.

22.（2020•上海）不等式上>3的解集为.

X

23.（2019•全国）若Iogl（4χ-1）>-2,则X的取值范围是.

T

24.（2019•上海）若X,yGR+,且∙l+2y=3,则工的最大值为.

XX

25.（2019∙天津）设x>0,y>0,x+2y=4,则豆旦丛生山■的最小值为.

Xy

26.（2019•天津）设x>0,y>0,x+2y=5,则Rig&XtlL的最小值为______.

√xy

27.（2018•江苏）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为mb,c,ZABC=120o,Z

ABC的平分线交AC于点。，且8/）=1,则4α+c的最小值为

28.（2018•上海）已知实数可、X2、yi、）2满足：xι2+yι2=Lx22+>,22=l,x∖x2+y∖y2=^

则M+口二L必+.-1L的最大值为______.

√2√2

29.（2018•天津）已知”,6∈R,且α-36+6=0,则2"+W-的最小值为______.

8b

四.解答题（共2小题）

30∙（2022∙上海）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架

空线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD,A8=30m,AD=

15〃?.为保护。处的一棵古树，有关部门划定了以。为圆心、OA为半径的四分之一圆的

地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为A8边上的点E,出线口为CD边上的点F,施

工要求EF与封闭区边界相切，灯右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区.（计

算长度精确到01〃?，计算面积精确到0.0Iw2）

（1）若∕AOE=20°,求EF的长；

（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？

31.（2018•江苏）若X,y,z为实数，且x+2y+2z=6,求/+J+z?的最小值.

2018-2023年高考数学真题知识点分类汇编：相等关系与不等关

系

参考答案与试题解析

一.选择题(共U小题)

I.(2022•全国)不等式」K-Z-3<0的解集是()

2V

Xx

A.(-1,0)U(0,ɪ)B.(-3,0)U(0,1)

3

C.(-∞,-1)U(ɪ,+∞)D.(-∞,-3)U(1,+∞)

3

【考点】其他不等式的解法.

【专题】对应思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】将分式不等式化简，求解即可.

【解答】解：不等式工-2-3<0,

X2X

即1-2X-3Λ2<0,X≠0,

即3JC2+2X-l>0,x≠0,

解得Xe(-∞,-DU(ɪ,+∞).

3

故选：C.

【点评】本题考查不等式的解法，属于基础题.

2.(2022∙上海)若实数队6满足o>6>0,下列不等式中恒成立的是()

A.a+⅛>2√^bB.α+⅛<2√ɪbC.A+2⅛>2√ɪbD.A+2⅛<2√^b

22

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解.

【解答】解：因为”>6>0,所以α+6N2√^,当且仅当“=6时取等号，

又α>0>0,所以α+%>2λ∕"而，故A正确，3错误，

ɪ+2b≥2^∣×2b=2√ɪb-当且仅当∙∣∙=2t>,即α=4b时取等号，故CO错误，

故选：A.

【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题.

3.（2022∙上海）若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>h+dC.ac>bdD.ad>bc

【考点】等式与不等式的性质.

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.

【解答】解：对于A,令α=2,⅛=1,c=-l,d=-2,满足4>∕>>c>d,但α+d=b+c,

故A错误，

对于B,'.'a>b>c>d,即a>b,c>d,

二由不等式的可加性可得，a+c>b+d,故8正确，

对于C,令α=2,b=∖,c=-l,d=-2,满足a>b>c>d,但4c=仪/,故C错误，

对于£>,令α=2,b=l,c=-l,d=-2,满足α>∕j>c>d,但ad<bc,故。错误.

故选:B.

【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题.

4.（2021•天津）已知α6R,则“a>6”是<*Λ2>36W的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】不等关系与不等式；充分条件与必要条件.

【专题】整体思想；定义法；简易逻辑；数学运算.

【分析】∕>36na>6或“V-6,根据充分必要的定义判断即可得出答案.

【解答】解：①由46,得招>36,所以“46”是aa2>36n的充分条件，

②由〃2>36,得α>6或α<-6,所以“a>6”是“/>36”的不必要性条件，

故α>6是/>36的充分不必要条件，

故选：A.

【点评】本题考查了充分必要条件的定义，一元二次不等式的解法，属于基础题.

5.（2021∙上海）已知两两不相等的X”y∣,xι,yι,X3,”，同时满足①xι<yι,x2<y2,X3

Vy3；②χι+yι=χ2+y2=χ3+y3;③XIyl+χ3y3=2x2）2,以下哪个选项恒成立（）

Oɔ

A.2%2<x1+x3B.2x2>xi+x3C.x2<xmD.x2">x1x3

【考点】不等关系与不等式.

【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

X=m-ax=m-bx=m-ca+c

123根据题意，则有Io：2b,可得

【分析】设4，<

lm2>b2

y1=m÷ay2=m+by3=m+c

xi+%3-2x2=2b-(α+c∙),通过求解(28)之一(α+c)2>0,RΓWxι+%3^2xι=2b-(α+C)

>0,可得A正确，8错误；利用作差法可得XlX3-m2=(2b-a-c)m--产,而

2

上面已证(26-α-c)>0,因无法知道,〃的正负，可得该式子的正负无法恒定，即无法

判断C。，即可得解.

【解答】解：设制+yi=12+)2=13+)3=2加,

x∣=m-ax2=ι∏-b(x3=m-c

<，<

y1=m÷ay2=m+by3=m+c

a≠b≠c

根据题意,应该有,

a,b,c>θ'

且病-β2+∕n2-C2=2Cm2-庐)>0,

a2+c2=2b

则有

m2>b2

贝!|X1+X3-2x2=(m-。)+(加-C)-2Qm-b)=2〃-(α+c),

因为(2⅛)2-(〃+c)2=2(β2+c2)-(α+C)2>0,

所以Xi+x3-2x2=26-(。+C)>0,

所以A项正确，B错误.

/\2

xm~我2=(机^a∖m-c)-(m-b)2=(2b-a-c^m+ac~b2=C2b-a-c)m-'`".，—

2

而上面已证(2b-a-c)>0,

因为不知道机的正负，

所以该式子的正负无法恒定.

故选：A.

【点评】本题主要考查不等关系与不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中

档题.

6.(2021•乙卷)下列函数中最小值为4的是()

A.y=x2+2x+4B.y=∣sinx∣+η-——-

∣sinxI

C.V=2X+22^XD.y=lnx+

’Inx

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；定义法：转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理：数学运算.

【分析】利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A,根据基本不等式以及取最值

的条件，即可判断选项B,利用基本不等式求出最值，即可判断选项C,利用特殊值验

证，即可判断选项。.

【解答】解：对于A,y=x2+Zr+4=(x+l)2+3≥3,

所以函数的最小值为3,故选项A错误；

对于8,因为OySiMW1,所以y=kinx∣+4〉2」|sinxI»∣.4,=4'

∣sinxIV∣sinx|

当且仅当ISinXI=III，即ISiM=2时取等号，

∣sinxI

因为kiMWl,所以等号取不到，

所以故选项B错误;

y=∣siar∣+-4_r>4,

∣sinxI

对于C,因为2X>0,所以y=2"+22r=2X

当且仅当2*=2,即工=1时取等号，

所以函数的最小值为4,故选项C正确；

对于。，因为当X=，时，y=ln—+——=-1-4=-5≤4»

eeIrA

e

所以函数的最小值不是4,故选项。错误.

故选：C.

【点评】本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求

解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，

考查了转化思想，属于中档题.

7.（2020•全国）若α+8+c=4,3α+2b-c=0,则必的最大值为（）

A.—B.近C.—D.ɔ/ɪ

6633

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】应用题；函数思想；转化思想；消元法；构造法；不等式的解法及应用；数学

抽象；数学运算.

【分析】方法一：由α+6+c=4,3a+2h-c=0,可消去C得到4a+36=4,根据基本不等

式“和定，积有最大值"，4a+3b>2√4a∙3b=4√3∙√ab（a>0,b>0）,当且仅当

44=36时∙，等号成立即可得出答案；

方法二：⅛a+b+c—4,3α+2b-c=0,可消去C得到44+36=4,则@=卜3卜令y=ab,

4

代入即可得到二次函数，即可得出答案.

【解答】解：方法一：由。+6+c=4,3α+2Z>-c=O,消去C得至∣J4α+30=4,

令.>0,b>Q.则44+3622√4a∙3b,即倡《哼，当且仅当44=36时，

等号成立，故而的最大值为工.

3

故选：C.

方法二：由α+b+c=4,3α+2∕>-c=0,可消去C得到4a+3b=4,则2=1-3»令y=ab,

4

∙'∙y~-■—-Jj——)2+―>，当。=2时，yɔɪɪ故他的最大值为2•.

44333max33

故选：C.

【点评】本题主要考查基本不等式的应用，解题时要注意“=”成立的条件及使用基本

不等式的条件，属于中档题.

8.(2020•上海)下列不等式恒成立的是()

A.a2+⅛2≤2<zfeB.a2+⅛2-labC.a+b^2y∣∖abID.02+fe2≤-Iab

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；转化法；不等式；逻辑推理.

【分析】利用(“+〃)22。恒成立，可直接得到次+序2-2"成立，通过举反例可排除

ACD.

【解答】解：A.显然当“<0,6>0时，不等式/+廿W2"不成立，故A错误；

B.'：(α+⅛)2>0,Λα2+⅛2+2fl⅛>0,.,.02+⅛2>-2ab,故B正确；

C.显然当α<0,b<0时，不等式α+h>2√Iab|不成立,故C错误；

D.显然当4>0,人>0时，不等式J+∕>2w-2M不成立，故。错误.

故选：B.

【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题.

9.(2020•北京)已知函数f(x)=2V-X-1,则不等式f(x)>0的解集是(〉

A.(-1,1)B.(-∞,-DU(1,+∞)

C.(0,1)D.(-8,0)u(1,+8)

【考点】其他不等式的解法.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用：数据分析.

【分析】不等式即2Λ->X+1.由于函数y=2'和直线y=x+l的图象都经过点(0,1)、(1,

2),数形结合可得结论.

【解答】解：不等式/(x)>0,即2x>x+l.

由于函数y=2'和直线y=x+l的图象都经过点(0,1)、

(1,2),如图所示：

不等式f(x)>0的解集是(-8,0)u(1,+∞),

【点评】本题主要考查其它不等式的解法，函数的图象和性质，属于中档题.

10.(2019•新课标∏)若a>b,则()

A.In(12-ft)>0B.3a<3bC.tz3-⅛3>0D.∣α∣>∣⅛∣

【考点】等式与不等式的性质.

【专题】不等式的解法及应用；不等式.

【分析】取α=0,b=-1,利用特殊值法可得正确选项.

【解答】解：取α=0,b--\,贝IJ

In(a-b)=Inl=O,排除A；

3a=3°=l>3b=3T],排除以

∕=()3>(7)3=7=/,故C对；

Ial=O-1|=1=b,排除D

故选：C.

【点评】本题考查了不等式的基本性质，利用特殊值法可迅速得到正确选项，属基础题.

11.（2018•全国）已知α+b>O,则（）

A.2a<(ɪ)bB.2α>(ɪ)bD.2a>2h

22

【考点】等式与不等式的性质.

【专题】函数思想；构造法；不等式的解法及应用.

【分析】由题意及选项，构造函数，借助函数单调性，得到选项.

【解答】解：构造函数/（X）=»,∕∞是增函数，

"."a+b>O

∙∖a>-b

即f（〃）>f（-⅛）

则2c,>2'b

故选：B.

【点评】本题考查构造函数和函数单调性，属于基础题.

二.多选题（共2小题）

（多选）12.（2022•新高考∏）若X,y满足/+y2-χ>=i,则（）

A.x+）WIB.x+y≥-2C.√+∕≤2D.√+∕>l

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；方程思想；转化思想;转化法；三角函数的图象与性质；数学运算.

-ɪ-），（△伊y）2=l,进行三角代换，令

【分析】方法一：原等式可化为，C

[XV=COSθx=^^^sinθ+co≡

θ

,贝-

∖rr，结合三角函数的性质分别求出x+y与/+j2

YS_S•lnBay=_∙-改--3si.nθα

的取值范围即可.

22

方法二：由Λ2+y2-χy=l可得，G+y)2=1+3盯W1+3(-

分别求出x+y与√+√的取值范围即可.

2+（除y）2=i，

【解答】解：方法一：由X2+/-q=1可得，(工-]")

[x^-=cosθθ+cosθ

令G，则G，

√3_..2√3.a

I--^y-sιnyay="ɜ-sinθ

Λx+y=V3sinθ+cosθ=2sin(0日-2，2，故A错，8对，

,/+∙X2=(-ɪ-sinθ+cosθ)2+(^^ξ^^sinθ)2=哼-Sin2θ-ycos2θ+^∣^=

∣∙sin(2θV呜，2],

故C对，。错，

方法二：对于A,B,由x2+y2-xy=I可得，(x+y)2=l+3xy≤l+3(JψL)2,即

-^∙(x+y)2≤l>

二(x+y)2≤4,Λ-2≤x+y≤2,故A错，3对，

22

对于C,D,由7+)2-孙=1得，Λ2+y2-1=xy≤λɔʒ'

Λ√+√≤2,故C对；

2ɪ22ɪ2o(2,2、

*.*-xy≤--ɪ-,.*.1=x2+γ2-xy≤x2+/+-~~j—=-`x~^y--；

∙'∙χ2+y2≥-故。错误•

3

故选：BC.

【点评】本题主要考查了三角代换求最值，考查了三角函数的性质，同时考查了学生分

析问题，转化问题的能力，属于中档题.

(多选)13.(2020•海南)已知4>0,b>0,且α+8=l,贝IJ()

22ab

A.(3+⅛^JLB.2'>^-

22

C.Iog2α+log2⅛^-2D.A∕a+Vb≤V2

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果.

【解答】解：①已知α>0,b>0,且α+6=l,所以(α+⅛)2≤2tz⅛2,贝∣Ja2+b2>/,

故A正确.

②利用分析法：要证2a-b>∕,只需证明α-b>-1即可，即α>b-l,由于α>0,b

>0,且“+6=1,所以：fl>0,-1<⅛-1<0,故B正确.

③IOg2a+log2b=log2ab<1°§2G⅛")2=-2,故C错误•

④由于〃>0,⅛>0,且o+b=l,

利用分析法：要证√Z+√^<√5成立，只需对关系式进行平方，整理得a+b+2√^42,

即2√^41,故√而<]=詈，当且仅当α=b=护，等号成立.故O正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学

生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

≡.填空题（共16小题）

14.（2023•上海）已知正实数〃、6满足α+4b=l,则必的最大值为ɪ.

-16-

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；转化思想：综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】直接利用基本不等式求出结果.

【解答】解：正实数。、。满足α+4b=l,则αb=Lχa∙4b《工X（"曲）2ɪ,当

44216

且仅当“=上，b』时等号成立.

28

故答案为：ɪ.

16

【点评】本题考查的知识要点：基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属

于基础题和易错题.

15.（2022•上海）不等式2∑l<0的解集为（0,1）.

X

【考点】其他不等式的解法.

【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解.

【解答】解：由题意得X（X-I）<0,

解得0<x<1,

故不等式的解集（0,1）.

故答案为：（0,1）.

【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题.

16.（2021•天津）已知α>0,b>0,则上+'+匕的最小值为2后.

ab2

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】法一：先利用基本不等式得到工+TΓ+3N2+%,再利用基本不等式得到2+62

ab2bb

2√2.最后求出两次利用基本不等式取等号时的α,匕的值即可.

法二：利用均值不等式，转化求解即可.

【解答】解：法一：Vα>O,⅛>0,ΛA+-¾-+⅛>Z∙Λ-+b^-+b^2-∕2.

ab2Vab2b

当且仅当上=Tr且b旦即”=匕=&时取等号，

ab2b

二工+,+%的最小值为2版,

ab2

法二：'."a>0,b>0,

.*.A+-5-+⅛=-L+-5-+且+

ab2ab22

当且仅当工=得=且，即。=匕=&时取等号,

ab22

.∙.U⅞∙+匕的最小值为2&,

ab2

故答案为：2&.

【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，注意两次利用基本不等式取等号的

条件同时成立，属于中档题.

17.(2021•上海)已知函数f(x)=3*4—-—(α>0)的最小值为5,则a=9

3x+l

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】整体思想；构造法；不等式；逻辑推理；数学运算.

【分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析

式变形成/(x)=3*+1+---1,然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条

3x+l

件.

【解答】解：∕∞=3、+^—=3、+1+^--122√I-1=5,

3x+l3x+l

所以α=9,经检验，3、=2时等号成立.

故答案为：9.

【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为

定值，属于基础题.

18.（2021∙上海）不等式红也<1的解集为（-7,2）.

x-2

【考点】其他不等式的解法.

【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】由已知进行转化包<0,进行可求.

χ-2

【解答】解：红tΣ<l=2x+5_］<（）=空L<o,

χ-2χ-2x~2

解得，-l<x<2.

故答案为：（-7,2）.

【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题.

19.（2020•全国）不等式组,X°2X-3>0,的解集为卬一4≤x<-1}.

,-χ2-3x+4）0

【考点】其他不等式的解法；一元二次不等式及其应用.

【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

［分析］由一元二次不等式的解法和集合的交集运算可得所求.

【解答】解：由/-2Λ-3>0可得x>3或x<-1；

由-7-3x+420可得-4≤x≤1.

所以不等式组.χ2-2x-3>0,即为卜1或x<-l,

.-X2-3X+4>0l-4<x<l

解得-4≤Λ<-1.

故答案为：{x∣-4WXV-1}.

【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于基础题.

20.（2020•天津）已知”>0,6>0,且“b=l,则」一+工+述一的最小值为4.

2a2ba+b

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；对应思想；转化法；不等式；数学运算.

【分析】由2_+J_+旦=3也+旦=3也+工，利用基本不等式即可求出.

2a2ba+b2aba+b2a+b

【解答］解：a>0,b>0,且ab=∖,则工+!+>ɪ=生电+工_=生也

2a2ba+b2aba÷b2a+b

2J匹.上=4,

V2a+b

当且仅当史业∙=-^-,即〃=2+愿，〃=2-愿或α=2-%，⅛=2+Λ∕3取等号，

2a+b

故答案为：4

【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.

222

21.（2020•江苏）已知5xy+y4=l（χ,y∈R）,则/+y的最小值是_A_.

5

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】方法一、由己知求得代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最

小值；

方法二、由4=（5Λ2+√）∙4√,运用基本不等式，计算可得所求最小值.

,4

【解答】解：方法一、由5x2y2+yl=l,可得/=上一，

5y2

由720,可得尸6（0,1],

44

则/+y=±ι^y=ι+4;Y（4/得）

5y5yɔy

H,ψy2v=f当且仅当，=/，=爸

可得/+y2的最小值为国；

5

222

22222z2

方法二、4=（5x+y）∙4.y≤（5'+j+=了）=.^-Cx+y）,

故X2+∕2∙⅛∙,

当且仅当5∕+y2=4y2=2,即y2=_1_,/=得_时取得等号∙，

可得7+y2的最小值为∙∣∙

故答案为：1.

5

【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中

档题.

22.（2020•上海）不等式上＞3的解集为（0,工）.

X3

【考点】其他不等式的解法.

【专题】计算题；转化法；不等式的解法及应用.

【分析】将不等式化简后转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式

的解集.

【解答】解：由上>渊上空>0，

XX

则x(l-3x)>0,即X(3x7)<0,解得O<X<JL,

3

所以不等式的解集是(O,ɪ),

3

故答案为：(0,ɪ).

3

【点评】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题.

23.(2019•全国)若IOgI(4χ-l)>-2,则X的取值范围是_§,

^2

【考点】指、对数不等式的解法.

【专题】计算题；函数的性质及应用：不等式的解法及应用.

【分析】根据对数函数的单调性可得I,解不等式组即可.

4χ-l<4

【解答】解：1Ogl(4x-1)>-2=logɪ4>

~2^2

.'4χ-l>0.15

•∙S,∙∙Y0、,

4χ-l<444

.∙.χ的取值范围为d，ɪ).

故答案为:(ɪ,互>

【点评】本题考查了对数不等式的解法，根据对数函数的单调性是解决本题的关键，属

基础题.

24.(2019•上海)若X,γ∈R+,且上+2y=3,则工的最大值为_且_.

XX-8-

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；不等式的解法及应用.

【分析】根据基本不等式可得.

【解答】解：3=}+2y，哈∙2y,∙,∙^≤(-ɪ)2=∙∣∙;

故答案为：1

8

【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属基础题.

25.(2019•天津)设x>0,y>0,x+2y=4,则m红山_的最小值为

xy-2'

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；定义法：不等式的解法及应用.

【分析】利用基本不等式求最值.

【解答】解：x>0,y>0,x+2y=4,

则(x+l)(2y+l)2xy+x+2y+l2xy+5=2+2

xyxyxyχy

x>0,y>0,x+2y=4,

由基本不等式有：4=x+2y≥2√2xy,

Λ0<Λ^<2,

xy2

故：2+旦>2+旦=a；

xy22

（当且仅当x=2y=2时，即：x=2,y=l时，等号成立），

故（x+1）（2y+l）的最小值为9；

xy2

故答案为：1.

2

【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题.

26.（2019•天津）设x>0,γ>0,x+2y=5,则（+1）的最小值为4«

√Xy

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；定义法；不等式的解法及应用.

【分析】利用基本不等式求最值.

【解答］解：Vx>0,y>0,x+2y=5,

.∙.2xyW（£舁）2=叠，当且仅当χ=2y时取等号，

•τ∙v25

•∙Λvy、,

-8

则（x+lfy+1）=2xy+津y+1=2"=2伤+消

√xyTXy√xyVx,

由基本不等式有：

当且仅当2√9时，

√xy

x=2

fx=3f

S|J：孙=3,x+2y=5时，即：JX'或<3时：等号成立，

Iy=I∣y^^

故(X+1声+])的最小值为4√3;

√χy

故答案为：4√3

【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题.

27.(2018•江苏)在aABC中，角A,B,C所对的边分别为4,b,c,ZABC=120o,Z

ABC的平分线交AC于点£>,且BQ=1,则4α+c的最小值为9.

【考点】基本不等式及其应用；正弦定理.

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用.

【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式“1的代换”进行求解即可.

【解答】解：由题意得CSinI20°≈‰sin60°+工csin60o,

222

即ac=a+cf

ac

（工+工）=£+至+5∖2∖".至+5=4+5=9,

得4a+c=(4a+c)

acacVac

当且仅当£=全■,即c=24时，取等号,

ac

故答案为：9.

【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的

关键.

28.（2018•上海）已知实数xi、X2、yi、”满足：xι2+yι2=l,Λ22+>,22≈1，x∖xι+y∖yι=->

2

+

IχιYι-ιIIχ2+y2~ιI

则的最大值为_&±北_.

√2

【考点】基本不等式及其应用；点到直线的距离公式.

【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用.

【分析】设A(ɪɪ,y∖),B(12,")，OA=(XI,yι),OB=(%2，”)，由圆的方程和向

量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=X,

IX1+Y1-1II×2+y2^1I

的几何意义