北京市高三入学定位考试数学试题

2020—2021学年北京市新高三入学定位考试数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】列举法写出集合,再求集合交集得解【详解】，，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.设复数：，则在复平面内复数对应的点在（）A.第一象限 B.第三象限C.实轴上 D.虚轴上【答案】C【解析】【分析】先由复数的运算求得，再由复数的几何意义可得选项.【详解】，故对应点为，故选：C.【点睛】本题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题.3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.8 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原几何体，由题中数据，即可求出结果.【详解】由三视图，在棱长为的正方体中还原该几何体如下，该几何体是底面为正方形，高为的正四棱锥，所以其体积为.故选：B.【点睛】本题主要考查由三视图求几何体的体积，属于基础题型.4.在的展开式中，常数项为（）A.60 B.30 C.20 D.15【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理，得出展开式的通项，进而可得出结果.【详解】因为展开式的第项为，令，则，所以常数项为.故选：A.【点睛】本题主要考查求二项展开式中的常数项，属于基础题型.5.设为圆上一点，则点到直线距离的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出圆心坐标和半径后，求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系可得结果.【详解】圆，圆心，半径3，圆心到直线距离，所以点到直线距离的最短为0，最长为，故选：B.【点睛】本题考查了圆的标准方程，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.6.设函数，则是（）A.奇函数，且存在使得B.奇函数，且对任意都有C.偶函数，且存在使得D.偶函数，且对任意都有【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，可排除A，B，构造函数可得，构造函数可证，即可判断.【详解】可知的定义域关于原点对称，且，所以是偶函数，故A，B错误；当时，令，则，在单调递减，则，即，，令，则，在单调递增，则，即，，，即，当时，，因为是偶函数，所以对任意都有.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.7.过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则以线段为直径的圆一定（）A.经过原点 B.经过点C.与直线相切 D.与直线相切【答案】C【解析】【分析】通过抛物线的焦半径公式可知，可得点到直线的距离为.【详解】设，，利用焦半径公式可得：，又，所以到直线距离为，所以以线段为直径的圆一定直线相切.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式及运用，考查抛物线中的一些常见结论，较简单.8.设随机变量的分布列如下123456其中构成等差数列，则的（）A.最大值为 B.最大值为C.最小值为 D.最小值为【答案】B【解析】【分析】根据随机变量的分布列的概率和是1和等差数列的性质，得到，利用基本不等式可求得答案.【详解】，，，当且仅当时取等，故选：B.【点睛】本题主要考查随机变量的分布列的性质、等差数列的性质及基本不等式求最值的问题，涉及的知识点比较多.9.在中，“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由余弦函数的单调性找出的等价条件为，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.【详解】余弦函数在区间上单调递减，且，，由，可得，，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.10.设函数，其中.若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（）A.（0，2） B.（0，9） C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，分别令和，求解函数的零点，结合排除法，即可求解.详解】根据选项，可得：若时，函数，令，当时，令，解得或；当时，令，解得（舍去），此时函数有且仅有两个零点，排除A、B；若时，函数，令，当时，令，解得或（舍去）；当时，令，解得，此时函数有且仅有两个零点，排除C.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中熟记函数的零点的定义，合理利用排除法求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为_________.【答案】【解析】【分析】利用偶次方根的被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求出答案.【详解】联立，得函数的定义域为.故答案为：【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题.12.设平面向量，，，若，且与方向相反，则实数________.【答案】【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示可求得答案.【详解】因为，所以，解得，又与方向相反，故.故答案为：.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，以及两向量方向相反的条件，属于基础题.13.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为________.【答案】【解析】【分析】根据渐近线方程，可得，根据以及离心率公式可得答案.【详解】因为渐近线方程，所以，则，，故离心率为.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程和离心率公式，属于基础题.14.设函数对于任意，都有成立，则符合条件的的一个值为________.【答案】2【解析】【分析】化简函数，根据题设条件，得到，即，即可求解.【详解】由题意，函数，要使得函数对于任意，都有成立，则满足，即，当时，，此时，故符合条件的的其中一个值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的周期性，合理利用题设条件，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15.蜂巢结构精密，是通过优胜劣汰的进化自然形成的.单蜂巢的横截面为正六边形，有人研究发现，蜂巢横截面结构和科学论证的最“经济”平面简单结构完全一致，最“经济”平面简单结构同时满足以下两点：（1）横截面图形由全等的正多边形组成，且能无限无缝隙拼接（称此正多边形具有同形结构）；（2）边长为1的单个正边形的面积与边数之比最大.已知具有同形结构的正（）边形的每个内角度数为，那么.给出下列四个结论：①；②正三角形具有同形结构；③具有同形结构的正多边形有4个；④与满足的关系式为；其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②④【解析】【分析】对于①，由已知计算，可判断①；由已知得，，可以判断②③④.【详解】对于①，，①正确；对于②③④，边形的内角和为，正边形的每个内角度数为，所以，又，故，故，所以，.所以②④正确，③不正确，故答案为：①②④.【点睛】本题考查数学文化，数学的应用性，数学的新定义，关键在于理解定义，将生活中的数据转化为数学中的数据，属于中档题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，在三棱柱中，底面，，是的中点，且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判断定理可得证；（Ⅱ）以，，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，运用线面向量求解方法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）如图，由三棱柱，得，又因为平面，平面，所以平面；（Ⅱ）因为底面，，所以，，两两垂直，故分别以，，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量，由，，得令，得.设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，线面角的向量求解方法，属于中档题.17.在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求（Ⅰ）的大小；（Ⅱ）的面积.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.【解析】【分析】若选择条件①：.（Ⅰ）根据余弦定理求出；（Ⅱ）根据正弦定理求出，根据三角形内角和定理以及两角和的正弦公式求出，再根据面积公式可得结果.若选择条件②：（Ⅰ）根据正弦定理可求出；（Ⅱ）根据正弦定理求出，根据三角形内角和定理以及两角和的正弦公式求出，再根据面积公式可得结果.【详解】若选择条件①：.（Ⅰ）因为，由余弦定理，因为，所以.（Ⅱ）由正弦定理，得，又因为，所以.若选择条件②：.（Ⅰ）由正弦定理，得.又因为，所以，又因为，所以.（Ⅱ）由正弦定理，得，又因为，所以.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.18.为了解某校学生的体育锻炼情况，现采用随机抽样的方式从该校的，两个年级中各抽取6名学生进行体育水平测试测试，得分如下（满分100分）：年级6名学生体育测试得分分别为：73，62，86，78，91，84.年级6名学生的体育测试得分分别为：92，61，85，87，77，72.已知在体育测试中，将得分大于84分的学生记为体育水平优秀.（Ⅰ）分别估计，两个年级的学生体育水平优秀的概率；（Ⅱ）从，两个年级分别随机抽取2名学生，估计这4名学生中至少有2人体育水平优秀的概率；（Ⅲ）记，两个年级6名样本学生体育测试得分数据的方差分别为，，试比较与的大小.（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】分析】（Ⅰ）根据数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解；（Ⅱ）分别求得“这4名学生中恰有0人体育水平优秀的概率.和“这4名学生中恰有1人体育水平优秀”的概率，进而求得这4名学生中至少有2人体育水平优秀的概率；（Ⅲ）由题设中的数据，利用平均数和期望的公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）根据数据，年级6名学生的体育测试得分中有2个大于84分，用频率估计概率，可得年级的学生体育水平优秀的概率约为；年级6名学生的体育测试得分中有3个大于84分，可得年级的学生体育水平优秀的概率约为.（Ⅱ）记事件“从，两个年级分别随机抽取2名学生，这4名学生中至少有2人体育水平优秀”为.“这4名学生中恰有0人体育水平优秀的概率..事件“这4名学生中恰有1人体育水平优秀”的概率，则，答：估计这4名学生中至少有2人体育水平优秀的概率.（Ⅲ）由题设中的数据，可得，求得可得.【点睛】本题主要考查了古典概型及概率的计算，独立事件概率的求解，以及数据的平均数与期望的求解，注重考查分析问题和解答问题的能力.19.设函数，其中.（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上有极大值，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）求导得，令，则，则可证明在上恒成立，则在递减，即在上单调递减，若函数在上有极大值，则只需即可.【详解】（Ⅰ）由题意，求导得.所以，所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ），令，则.因为对于，恒成立，所以在上单调递减，即在上单调递减，因为在上有极大值，所以在上存在“左正右负”变号零点.由零点存在性定理：只需，即所以.所以函数在上有极大值时，的取值范围为.【点睛】本题考查曲线的切线方程求解，考查根据函数的极值点求参数的取值范围问题，难度较大.解答时分析清楚函数的单调性是核心.20.已知椭圆：，圆：，过点作直线交椭圆于另一点，交圆于另一点.过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，.（Ⅰ）设，为的中点，求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出，然后带入椭圆的方程求出即可；（Ⅱ）设直线的方程为，分别联立直线与椭圆、直线与圆的方程求出，的横坐标，然后可求出的最大值.【详解】（Ⅰ）由为的中点，得，代入椭圆的方程，得，所以椭圆的方程为.（Ⅱ）由题意得直线的斜率存在.当直线的斜率为0时，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设，.联立方程，消去，得.则，，所以.联立方程消去，得.则，所以.于是.当且仅当，即时，取最大值.综上所述，当时，取最大值.【点睛】本题考查的是直线与圆、直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力和转化能力，属于较难题.21.已知是无穷数列，且.给出两个性质：①对于任意的，，都有；②存在一个正整数，使得，对于任意的都成立.（Ⅰ）试写出一个满足性质①的公差不为0的等差数列（结论不需要证明）（Ⅱ）若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，并说明理由；（Ⅲ）设为等比数列，且满足性质②，证明：数列满足性质①.【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）答案见解析，理由见解析；（Ⅲ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，由性质①，得出只需取，即可；（Ⅱ）先由，得，推出时满足性质②；得出为递增数列，推出满足性质①，即可得出结论；（Ⅲ）设等比数列的公比为，分别讨论，两种情况，根据性质②，得到等比数列