寿险精算学课件

绪论1.1寿险精算学的起源保险精算学起源于17世纪它是以人的寿命或身体为风险标的，以数学、统计、财务、金融等多学科方法为分析工具，研究人身风险的评估和厘定，并进行人身风险管理和财务安排的一门学科。通常认为生命表的出现是寿险精算学的正式起源。生命表与寿险的关系1662年，JoneGraunt1662年，英国的布商、数学家JoneGraunt根据17世纪初伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡数据，写了《生命表的自然和政治观察》一书。书中得出了一个重要的人口统计规律：尽管对于每个个体而言，会在哪个年龄，因为何种原因死亡是完全不可预测的，但是对于一大群人而言，在没有传染性疾病、没有战争等重大的突发性灾难发生的情况下，他们的死亡年龄具有稳定的统计规律。比如，Graunt就测算出在17世纪伦敦城的居民能活过16岁的概率大概是40%，而能活到76岁的概率只有1%。Graunt生命表是生命表产生的雏形，而他提出的大数人群死亡年龄具有稳定的统计规律这一结论，是寿险精算学最重要的理论基础。生命表与寿险的关系1671年，JohandeWitt1671年，荷兰贵族、政治家、数学家JohandeWitt提出了终身生存年金现时值的计算方法。他创造性地使用了年龄作为死亡的风险权重，使用加权平均数的方法得到了终身年金现时值的期望。尽管真实的死亡概率并不是年龄的线性函数，使用年龄作为风险权重并不精确，但是Witt提出的将赔付现时值作为一个随机变量引入保险精算，将赔付现时值的期望作为未来赔付的估计值的思想，成为寿险精算学最重要的建模思想。生命表与寿险的关系1693年，EdmundHalley1693年，英国天文学家、数学家，哈雷彗星的发现人EdmundHalley发表了《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》一文。在该文中，Halley第一次使用表格的形式估计了人类在不同年龄的死亡率，并且示范了用他的生命表替代Witt的年龄风险加权，对任一年龄的人，如何计算终身生存年金的保费现值。Halley的工作使人们意识到，基于生命表计算寿险保费不仅是可行的，而且是非常便捷的。Halley生命表对人身保险的规模化发展产生了巨大的推动作用。所以，现在人们通常把Halley称为生命表之父。精算的发展与精算师的由来1762年，JamesDodson成立英国公平人寿保险公司，提出公平保费原理，突破45岁不许投保的惯例，为不同年龄投保人计算有年龄差别的保费。同质风险人群人群收支平衡原则成为寿险精算学的基本原则之一。精算师的由来EdwardRoweMores提出，寿险公司里运用数学工具为产品定价的首席官员应该冠以精算师（Actuary）的头衔。这标志着精算科学成为一个专业学科，精算工作成为寿险公司的核心内容，精算师成为保险公司不可或缺的专业人才。1.2寿险精算学的应用在寿险公司内部的应用（精算控制循环）产品设计利润分析风险分析定价负债评估资产评估资产负债管理偿付能力评价经验数据step1：风险分析精算工作是一个循环的过程,没有明显的起点和终点。对一个新产品来说,过去的经验分析是开发新产品的基础。从风险分析开始,通过对保险公司的资产风险、利率风险、费用风险,退保风险，以及因宏观经济预测、金融环境变化、错误定价、法律诉讼、税法变动等引起的其他风险的分析,建立产品设计的背景。具体而言，保险公司的精算人员需要在数据共享和经验积累的基础上,对本公司的死亡率、预定利率、费用分布、退保率、预算状况及投保人数量级保额分布重要参数归纳特点,为市场销售决策和定价决策提供依据。step2：产品设计在产品设计阶段,通过研究公司的产品策略、目标市场定位、竞争对手的情况等,研究和开发有利于社会风险控制，并受市场欢迎的产品。为了便于被保险人更准确地理解保险产品的真正意义,保险公司的精算人员需要用他们的专业知识配合产品销售部门做一些价值演示和保全作业服务。比如在产品说明书或保单上展示适当的保单现金价值,作出红利示意等,以及为保单额变更所作的处理。step3：定价在产品定价过程中,精算师需要综合参考行业规则和公司的实践经验，设置合理的利润目标,作出定价策略,计算产品价格。还需要根据经营目标和公司经营特点、市场特点进行每个产品销售的可行性分析,并以此为依据作整体的成本和利润测算。step4：负债评估在负债评估阶段,精算师需要定期评估产品的准备金和公司的各项负债水平，以实现对保险公司偿付能力的有效管理。在这个阶段，精算师的工作非常繁重。他们需要计算责任准备金并作精算报告。精算人员需要比较和分析各种准备金计算方法,针对各类产品,选择最适合该类产品特性和公司目标或有关政策规定的方法。在合法的前提下,分析评估假设变化对公司现状和未来的影响,并对各类准备金计算及其结果提供相应精算报告。他们还需要参与财务报表的制作,主要是为不同的财务报表准备适合的责任准备金,这其中涉及的准备金包括长期寿险准备金、未决赔款准备金、已发生未赔款、已发生未报告准备金及各类风险准备金等。step5：资产评估在资产评估阶段，精算师需要参与投资结构及其策略的研讨和制定。保险公司的精算人员需要根据负债管理的时间结构与到期赔付金额,以及对外来风险分析与预测，为投资决策提供参考数据和意见。step6：资产负债管理在资产负债管理阶段，精算师需要进行现金流分析和资产负债管理。保险公司的精算人员需要参与对不同条件下的现金流分析，要评估不同的现金流水平对公司财务的影响,并就资产构成及其与负债的匹配进行分析,最好能找到一个较佳的产品和策略组合以能应付较多风险。step7：偿付能力评估在偿付能力评价阶段，精算师需要综合负债评估工作和资产评估工作的结果，对本公司的偿付能力从多个方面进行综合监控，寻找风险隐患，对潜在风险提出警告，对薄弱环节提出整改意见，始终维护公司保持可靠的偿付能力。step8：利润分析在利润分析阶段，精算师需要进行利润来源分析和利润分配准备，计算并分配每单产品的保单红利。step9：监测和分析经验数据通过监测和分析过去积累的经验数据,分析公司的利润水平,并对利润分配方案提供意见。在此基础上开始下一轮的新产品设计，这又成为下一个循环控制的起点。假如将保险公司比喻成一架庞大的机器，那么精算工作就是这个机器的发动起，通过精算控制循环系统，维持整个机器的正常运作。1.2寿险精算学的应用在寿险公司外部的应用社会保障领域：研究退休、医疗、失业、工伤、生育等社会保障成本与债务的分配方案和社会保障基金的投资方案等。精算科学的引入，有利于社会保障事业的平稳运作和保障基金的安全。所有与风险评估，控制相关领域：商业银行、金融中介、投资机构、政府咨询与监管以及其他与风险评估、控制相关的领域。1.3本书结构基础知识chap1-chap2单生命单损因场合下的精算模型chap3-chap6多状态模型chap7-chap9实务知识chap10

寿命函数与生命表理论2.1寿命年龄（age）：极限寿命（limitingage）:寿命（lifetime）:寿命分布（lifetimedistribution）寿命的分布函数寿命的分布函数定义意义：初生婴儿活不过x岁的概率分布函数三定理：寿命的分布生存函数寿命的生存函数定义意义：初生婴儿活过x岁的概率生存函数三定理：人类寿命生存函数曲线图示生存函数三引理例2.1假设某人群的生存函数为求：（1）一个刚出生的婴儿活不到50岁的概率；（2）一个刚出生的婴儿寿命超过80岁的概率；（3）一个刚出生的婴儿会在60～70岁之间死亡的概率；（4）一个活到30岁的人活不到60岁的概率。

解2.1寿命的密度函数密度函数的定义意义：初生婴儿将在x岁发生死亡事件的概率密度函数的三个属性例2.2已知求解2.22.2剩余寿命定义：已经活到x岁的人简记(x)，(x)还能继续存活的时间，称为剩余寿命（Time-until-death），记作剩余寿命与寿命变量图示剩余寿命的分布函数剩余寿命的分布函数概率意义：已经活到x岁的人活不过x+t岁的概率。剩余寿命分布函数特别符号剩余寿命的生存函数剩余寿命的生存函数意义：一个x岁的人还能继续活到x+t岁的概率。剩余寿命生产函数特别符号生存函数与剩余寿命生存函数的对比图示例2.3设某人群的生存函数为求：（1）19岁的人至少能活到45岁的概率（2）36岁的人能活过51岁但活不过64岁的概率解2.3剩余寿命的期望与方差期望剩余寿命：剩余寿命的期望值简记为剩余寿命的方差例2.4已知计算(50)剩余寿命的期望和方差。解2.4对于这种生存函数更普遍的表达式为:可以算出解2.4解2.4例2.4解2.4本例中所以2.3整值剩余寿命定义：未来存活的完整年数，称为整值剩余寿命（curtateexpectationoflife），简记概率函数整值剩余寿命

Curtate-future-lifetime剩余寿命与整值剩余寿命的比较图示

整值剩余寿命的期望与方差期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值(均值),简记整值剩余寿命的方差2.4死亡效力定义：的瞬时死亡率(Forceofmortality)，简记为人类的死亡效力曲线图示人类死亡效力的规律人类的死亡效力曲线类似于一个两头高、中间低的盆状结构，被称为“浴盆曲线”。人类的“浴盆曲线”意味着：刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性的不足都会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效力逐渐下降。青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身体各部位都属于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器官逐渐老化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。死亡效力与生存函数的关系

例2.5假设计算解2.5例2.6如果40岁以前死亡效力恒定为0.04,40岁之后死亡效力提高到0.06，求25岁的人在未来25年内的期望存活时间。解2.6死亡效力与密度函数的关系死亡效力与密度函数的关系用死亡效力表示剩余寿命的密度函数例2.7假设求死亡效力函数的表达式。解2.72.5有关寿命分布的参数模型deMoivre模型Gompertz模型有关寿命分布的参数模型Makeham模型Weibull模型对参数模型的评价使用非常简单的数学解析式描绘寿命变量的分别，具有使用简单、便利的优势但是人的寿命分布太复杂，有一个或几个简单参数构造的数学模型不能精确拟合寿命分布的规律。参数模型对寿命分布的拟合精度次于生命表。寿险精算中使用非参数方法构造的生命表拟合人类寿命的分布，但是在分数年龄或者接近极限年龄等无法使用生命表的场合，使用参数模型拟合。2.6生命表生命表的起源：哈雷生命表生命表的力量基础：大数定律生命表的构造生命表示例（1979-1981年美国全体人口的生命表节选）年龄区间死亡率期初生存人数期间死亡人数在年龄区间存活总年数剩余寿命总和期初存活者平均剩余寿命天0~10.00463100000463273738775873.881~70.00246995372451635738748574.227~280.00139992921385708738585074.38年0~10.0126010000126098973738775873.881~20.00093987409298694728878573.822~30.00065986486498617719009172.89例2.8已知生命表数据如下表所示假设死亡在年内均匀发生，请构造完整生命表。707171737410008004001000解2.8年龄区间期初生存人数期间死亡人数死亡率在年龄区间存活总年数剩余寿命总和剩余寿命7010002000.2090018001.800718004000.506009001.125724003000.752503000.750731001001.0050500.500例2.9请用表达如下概率：（1）在30岁这一年死亡的概率（2）40岁的参保人在55~85岁之间死亡的概率解2.9例2.10已知生命表如下表所示，计算：年龄区间x期初生存人数期间死亡人数301000034.78319963.2238.10329927.1241.76339885.3545.81349839.5550.26359789.2955.17369734.1260.56379673.5666.49389607.0772.99399534.0880.11解2.102.7选择-终极生命表定义选择-终极生命表（selectandultimatetable）是一种特殊结构的生命表。它在常规生命表基础上设定了一个选择期。在选择期内使用死亡率相对较小的选择生命表，等选择期过了之后，又回复到常规生命表，即终极生命表状态。意义之所以需要构造选择生命表，是因为很多险种要求投保人满足一定的健康要求，只有体检合格的人才能进入保障计划。体检就犹如一个选择门槛，使得新入保的人群平均健康状况优于普通人群。为了公平地厘定风险，需要为这些新参保人员构造死亡率略低的选择生命表。但这种选择效用不会永远持续，几年之后，新参保人员的健康状况就会与普通人群几乎没有差别了。选择期过后，所有被保险人就使用统一的终极生命表。5年选择期的选择-终极生命表示例选择表终极表600.01750.02490.03130.03880.04740.054565610.01910.02720.03420.04240.05180.059666620.02090.02970.03740.04630.05660.065267630.02280.03240.04090.05070.06200.071468640.02490.03540.04470.05540.06780.078169650.02730.03870.04890.06070.07420.085570660.02980.04240.05350.06640.08120.093671670.03260.04640.05860.07270.08890.102472例2.11假定有两位老人今年都是65岁。甲老人是今年刚刚体检合格购买的A保险，乙老人是10年前购买的A保险，至今仍在保障范围内。使用上表中的选择-终极生命表估计两位老人分别能活到73岁的概率。甲老人的生命概率选择表终极表600.01750.02490.03130.03880.04740.054565610.01910.02720.03420.04240.05180.059666620.02090.02970.03740.04630.05660.065267630.02280.03240.04090.05070.06200.071468640.02490.03540.04470.05540.06780.078169650.02730.03870.04890.06070.07420.085570660.02980.04240.05350.06640.08120.093671670.03260.04640.05860.07270.08890.102472乙老人的生命概率选择表终极表600.01750.02490.03130.03880.04740.054565610.01910.02720.03420.04240.05180.059666620.02090.02970.03740.04630.05660.065267630.02280.03240.04090.05070.06200.071468640.02490.03540.04470.05540.06780.078169650.02730.03870.04890.06070.07420.085570660.02980.04240.05350.06640.08120.093671670.03260.04640.05860.07270.08890.1024722.8有关分数年龄的假设使用背景生命表提供了整数年龄的寿命分布，但是死亡事件的发生是随机的，在两个整数年龄中间的任一时刻的死亡概率生命表无法准确给出。我们需要建立一种函数关系，通过整数年的生存状况，估计出任意分数时期的生存或死亡的概率。这时使用的方法是插值法均匀死亡假定假定在分数期内死亡均匀发生，记作UDD假定（uniforemdistributionofdeath）该假定意味着在分数期内采用线性插值分数期死亡均匀分布的生存函数图示分数期相关概率死亡概率存活概率死亡效力密度函数例2.12已知在分数期均匀死亡假定下，计算如下函数值：解2.12常数死亡效力假定假定死亡效力在分数期为常数的假定为常数死亡率假定(constantforceofmortality)，简记为CFM假定。该假定意味着在分数期内采用几何插值方法分数期死亡效力为常数的生存函数图示分数期相关概率死亡概率存活概率死亡效力密度函数例2.13已知在分数期常数死亡效力假定下，计算如下函数值：解2.13

人寿保险趸缴净保费的厘定3.1人寿保险趸缴净保费的厘定原则净保费（netpremium）净保费是指只覆盖保障风险的费用，不包含经营管理费用和附加利润。趸缴净保费(netsinglepremium)趸缴是一种缴费形式，是指将所有的费用一次性缴清。趸缴净保费是指在保单生效日，被保险人一次性缴付的、恰好覆盖保险人将来赔付风险的费用。净均衡原则所谓净均衡原理是指保险人收取的净保费应该恰好等于未来支出的保险赔付金。这是保险业经营过程中遵循的一条基本原则，各种类型的保险产品，无论采用何种缴费方式，在厘定净保费时都应遵循这条基本原则。净均衡原则的实质是在统计意义上的收支平衡原则。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值。净保费厘定的基本假定三个基本假定条件:同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。保险公司可以预测将来的最低平稳收益（即预定利率）。假定的意义这三条假定是将单个被保险人的风险事故转化为一个同质总体的风险事故加以考虑。对于单个被保险人而言，他何时发生风险事故，他和保险人约定的受益金额等于多少都是无法预测的，但是对于一个大数总体而言，剩余寿命的分布是有稳定的统计规律的，可以用生命表很好地测度。再考虑利息因素的影响，使用适当的精算模型，就可以测算出未来赔付的精算现时值。建模思想折算到保单签订日得到期望赔付值要有一条共同的线索将这些因素综合在一起考虑赔付事件发生概率钱的时间价值赔付额等于多少什么时候发生赔付基本符号——投保年龄。

——人的极限年龄

——保险金给付函数。

——贴现函数。

——保险给付金在保单生效时的现时值趸缴净保费的厘定方法设T为某一群同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命变量，假设风险事故会在未来某个t时刻发生，赔付金额（或称被保险人的收益金额）为。t时刻贴现函数为，该赔付金额贴现到保单签约时刻的赔付现值函数记作

净保费的厘定方程未来赔付现时值趸缴净保费等于未来赔付现时值的期望3.2死亡即刻赔付趸缴净保费的厘定死亡即刻赔付的含义死亡即刻赔付（payableatthemomentofdeath）是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。这是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量。所以死亡即刻赔付趸缴净保费也称为连续型趸缴净保费。终身寿险定义保险人只对被保险人在投保后任意时刻发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为终身死亡保险。假定岁的人，投保保额1元的终身寿险，按不变利率复利计息基本函数关系Z(t)函数图例3.1(x)购买终身寿险，死亡即刻给付1。假设恒定利息力为，寿命服从的deMorvre分布，缴纳的保费为P元。求缴纳的保费大于赔付现值的概率。解3.1终身寿险死亡即刻赔付趸缴净保费厘定终身寿险死亡即刻赔付趸缴净保费就等于该险种赔付现值变量的期望，简记为现值随机变量的方差方差公式记（相当于利息力翻倍以后求终身寿险的趸缴保费）所以方差等价为例3.2设(x)投保终身寿险，死亡即刻赔付1。假设签订保单时，(x)的剩余寿命服从常数死亡效力分布，，利息力，计算解3.2解3.2解3.2n

年定期寿险定义n年定期寿险（terminsurance）是指保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险。假定：岁的人，保额为1元，n年定期寿险基本函数关系死亡即刻赔付定期寿险趸缴纯保费的厘定符号：厘定：赔付现值变量的方差方差公式记（相当于利息力翻倍以后求n年定期寿险的趸缴保费）所以方差等价为例3.3设，实质利率（30）购买10年期定期寿险，现值函数为计算解3.3n

年定期生存险定义n年定期生存险（pureendowmentinsurance）是指被保险人在投保后生存至n年期满时，保险人在第n年年末支付生存赔付金的险种。假定：岁的人，保额为1元，n年定期生存险基本函数关系n年定期生存险趸缴纯保费的厘定符号：厘定：赔付现值变量的方差方差公式记（相当于利息力翻倍以后求n年定期寿险的趸缴保费）所以方差等价为例3.4设，实质利率（30）购买10年期定期生存险，现值函数为计算解3.4n

年定期两全险定义n年定期两全险（endowmentinsurance）是指被保险人投保后，如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。等价于N年生存保险加上N年定期寿险的组合。假定：岁的人，保额为1元，n年定期两全险基本函数关系n年定期两全险趸缴纯保费的厘定符号：厘定：赔付现值变量的方差方差公式1方差公式2记定期寿险现值函数为，定期生存险现值函数为定期两全保险现值函数为例3.5（40）投保20年两全保险。死亡即刻赔付5万元，期满生存赔付1万元。设死亡由所描述。利息力。现值函数为计算该险种趸缴净保费和赔付现值的方差。解3.5解3.5延期m年的终身寿险定义延期m年的终身寿险（deferredinsurance）是指保险人只对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种。假定岁的人，投保保额1元的m年延期终身寿险基本函数关系死亡即刻赔付延期寿险趸缴纯保费的厘定符号：厘定：赔付现值变量的方差方差公式记（相当于利息力翻倍以后求n年定期寿险的趸缴保费）所以方差等价为例3.6(x)投保延期10年的终身寿险，保额为1，保险金在死亡即刻给付。已知：表示赔付现值函数，求解3.6解3.6延期m年的n年定期保险三种类型的延期m年的n年定期保险保险人只对被保险人在x+m~x+m+n岁期间发生的约定死亡事故给予死亡赔付的险种，称为延期m年的n年定期寿险保险人只对被保险人在x+m+n岁末的存活事件给予生存赔付的险种，称为延期m年的n年定期生存险上面两种延期m年的n年定期保险的组合，称为延期m年的n年两全保险趸缴保费的厘定m年延期n年定期寿险m年延期n年定期生存险m年延期n年两全保险赔付现值变量的方差m年延期n年定期寿险m年延期n年定期生存险m年延期n年两全保险例3.7已知计算解3.7递增寿险定义所谓递增寿险（increasinglifeinsurance）是变额受益保险的一种特殊情况，这是受益金额为剩余寿命的递增函数。递增寿险分类受益金一年递增一次受益金一年递增m次受益金年内连续递增一年递增一次终身寿险趸缴净保费厘定一年递增m次终身寿险趸缴净保费厘定年内连续递增终身寿险趸缴净保费厘定例3.8(x)投保终身连续递增保险，死亡即刻给付。已知求解3.8n年递减定期寿险定义递减定期寿险(decreasingtermlifeinsurance)也是变额受益保险的一种特殊情况，这时受益金额为剩余寿命的递减函数。递减定期寿险分类一年递减一次一年递减m次年内连续递减一年递减一次定期寿险趸缴净保费厘定一年递减m次定期寿险趸缴净保费厘定年内连续递减定期寿险趸缴净保费厘定例3.9假设(x)购买死亡即刻赔付1的定期寿险趸缴净保费情况如下表所示假定此人要购买5年定期递减寿险恒定利息力和死亡力问：该递减寿险的趸缴净保费等于多少？例3.9表10.0220.0530.0940.1550.24解3.93.3死亡年末赔付趸缴净保费的厘定在保险实务中，死亡赔付都是采用了死亡即刻赔付的方式。但为了与连续型赔付相对应，需要获得连续型的剩余寿命概率密度函数。而到目前为止，还没有哪个连续型参数分布能很好地拟合人的寿命规律。在寿险精算中，通常都是使用生命表衡量剩余寿命的分布规律，为了克服生命表是离散型的困难，精算人员创造了一种离散型赔付方式——死亡年末赔付（payableattheendoftheyearofdeath）.所谓死亡年末赔付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。在精算实务中，精算人员通常都是先计算死亡年末赔付场合趸缴净保费的数值，再寻找离散赔付与连续赔付之间的函数关系。通过死亡年末赔付趸缴纯保费推导出死亡即刻赔付趸缴纯保费的数值。n年定期寿险死亡年末赔付趸缴净保费的厘定定义n年定期寿险死亡年末赔付是指保险人只对被保险人n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金，且保险金是在死亡事件发生年的年末支付的险种。

n年定期寿险死亡年末赔付趸缴净保费的厘定定义n年定期寿险死亡年末赔付是指保险人只对被保险人n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金，且保险金是在死亡事件发生年的年末支付的险种。假定：岁的人，保额为1元，n年定期寿险基本函数关系趸缴净保费的厘定符号：厘定赔付现值变量的方差例3.10(x)投保3年定期寿险，已知死亡年末给付，各年赔付额如下表所示假设z是赔付现值随机变量，计算E(z)。012200000300000400000解3.10020000010.035853.6613000000.970.0616618.6824000000.91180.0930481.09其他主要险种死亡年末赔付趸缴净保费厘定险种趸缴净保费终身寿险延期m年终身寿险n年两全保险延期m年n年两全保险递增终身寿险（一年递增一次）递减n年定期寿险（一年递减一次）例3.1190岁的人生存情况如下表（=0.06）。求（1）死亡年末给付1000元的趸缴浄保费（2）为保证有95％的把握覆盖真实赔付，所收保费等于趸缴净保费加上风险附加费用R，求R＝？x9091929310072390283339--解3.11例3.11例3.113.4死亡即刻赔付与死亡年末赔付的关系

死亡年末给付与死亡即刻给付的关系以终身寿险为例离散模型连续模型其中连续－离散死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系(分数时期均匀分布假定)例3.12在分数期死亡服从均匀分布的假设下，试证明以下各等式：解3.12解3.12例3.12例3.13假设死亡在分数期服从均匀分布，且已知计算解3.13两全险场合死亡即刻赔付与死亡年末赔付的关系n年定期两全险可以视为n年定期死亡险和n年定期生存险组合，所以两全险场合死亡即刻赔付与死亡年末赔付具有如下关系例3.14假设死亡在分数期服从均匀分布，且已知计算解3.143.5递归方程递归方程一理解缴纳的趸缴净保费，恰好等于一年后面临的风险期望：如果在第一年死亡，覆盖死亡赔付现时值如果在第一年末存活，覆盖未来死亡赔付风险的净趸缴保费现时值

例3.15已知求解3.15递归方程二解释：

个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累，当年年末的本利和可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费，还可以为所有在当年去世的被保险人提供额外补贴，以保证他们的死亡给付金为1元。

递归方程三解释：不同时期的趸缴净保费之差，等于这段时间内趸缴净保费的利息收入与这段时间保险成本支出之差。

递归方程四解释(y)的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险成本的现时值之和。

例3.16（41）的人投保死亡年末赔付1的终身寿险，为赔付现值变量，已知,，并有以下两个等式成立：求例3.16生存年金生存年金的定义定义所谓生存年金（lifeannuity）是以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季或月）支付一次保险金的保险类型。生存年金通常出现在生存保险场合比如乙向保险公司购买10万元养老保险，要求保险公司在其60~70岁这10年内每月支付生存给付金。这时保险公司的付款以被保险人的存活为给付条件。如果乙在这10年内一直生存，那么保险公司将支付120次生存给付，如果乙只获得了10次给付就死亡了，那么剩下的110次给付保险公司也不再支付了。这时保险公司的系列付款就构成了生存年金。生存年金和确定性年金的区别生存年金支付期数是不确定的，它以被保险人生存为给付条件，被保险人一旦死亡，给付就终止年金确定性年金支付期数是确定的，无论中间发生什么事情，支付时期都不可发生更改生存年金的分类与应用分类连续年金/离散年金定期年金/终身年金非延期年金/延期年金年金在保险中的重要性它是一种常见的保险金支付方式广泛应用在养老保险、残疾保险、抚恤保险、失业保险等场合。生存年金也是一种常见的保费缴纳方式。被保险人除了可以采用保险合同签订时一次性缴纳所有保费的趸缴方式之外，还可以采用分期缴纳的方式缴纳保费，保费缴纳以被保险人在保费缴纳期间是否生存为缴纳条件，这时保费缴纳方式就是一种生存年金方式。本章结构生存年金简介1.

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离散生存年金连续生存年金的定义连续生存年金定义在被保险人存活的条件下，保险人向其每年连续支付年金的保险种类连续生存年金的种类终身连续生存年金定期连续生存年金连续生存年金精算现值的估计方法综合支付技巧当期支付技巧方法一：综合支付技巧（终身生存）步骤1步骤2步骤3计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的确定性年金的现值以死亡事件发生为考虑线索考虑这个生存赔付发生的概率，计算这个确定性年金现值的期望值相关公式及理解方法二：当期支付技巧（终身生存）步骤1步骤2步骤3计算当期生存给付的现值以生存给付事件发生为考虑线索考虑该次生存赔付发生的概率，计算该年金现值的期望值例4.1假定寿命服从[0，110]上的均匀分布，且计算（30）所购买的连续生存年金的精算现值。例4.1解方法一：综合支付技巧方法二：当期支付技巧方法三：利用寿险与年金的关系连续给付终身生存年金现值变量方差的估计方法一：寿险精算现值表达形式例4.2在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求（1）（2）的标准差（3）超过的概率。例4.2解例4.2解年金精算现值变量方差的计算方法二：用年金精算现值表达方差公式证明例4.3已知，，，求例4.3解方法一：方法二：例4.4某一终身年金产品，每年连续给付生存年金1000元。现在在原来年金给付的基础上，增加死亡即刻给付。假定利息力为5%，求：（1）当死亡赔付定为多少时，该产品赔付现值的方差最小？（2）当方差最小时，该产品的趸缴保费等于多少？例4.4解例4.4解定期连续生存年金定义定期连续生存年金精算现值的估计当期支付技巧综合支付技巧相关公式及理解例4.5已知：求例4.5解连续给付延期生存年金定义:种类延期M年终身连续生存年金延期M年终身定期生存年金适用领域养老金延期生存年金的计算方法一：综合支付技巧方法二：当期支付技巧例4.6在死亡力为0.04，利息力为0.06的场合，计算：例4.6解证明设一现值变量为证明例4.5答案例4.7已知：求：例4.7解延期M年N年定期生存年金定义：计算：本章结构生存年金简介1.

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离散生存年金离散生存年金简介离散生存年金定义所谓离散生存年金是指在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时间支付一次年金的保险。离散生存年金与连续生存年金的关系理论基础完全相同连续-积分，离散-求和离散场合要考虑年金期初支付还是期末支付的问题与生存相关联的一次性给付n年定期生存称为生存贴现因子，它具有如下性质延期寿险还可以表现为期初支付终身生存年金的概念期初支付终身生存年金的计算123当期支付技巧综合支付技巧函数变换关系期初支付定期生存年金当期支付技巧综合支付技巧方差的计算方差期初支付终身生存年金期初支付定期生存年金例4.8某人购买了一个3年期定期生存年金，支付方式为年初支付，生存给付金额及各年生存概率如下表所示。假如贴现因子，现值变量为Y，求：

(1)此人所得生存年金的现值超过E(Y)的概率。

(2)该生存年金现值变量的方差Var(Y)。第k年生存给付金额010.7120.6230.5例4.8解综合支付技巧第k年支付金额年金现值Y发生概率0111223例4.8解延期初付生存年金精算现值估计险种延期M年期初支付终身生存年金延期M年期初支付N定期生存年金精算现值估计延付生存年金精算现值的估计期初支付生存年金称为初付生存年金，期末支付生存年金称为延付生存年金。期末支付终身生存年金期末支付n年定期生存年金期末支付终身生存年金期末支付定期生存年金例4.9已知：计算例4.9解期末支付延期生存年金延期终身延期定期本章结构生存年金简介1.

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离散生存年金年付h次生存年金简介在保险实务中，生存年金常常按月、按季度或半年给付一次，这时称为年付h次的生存年金。一年给付若干次的生存年金给付频率与利息转换频率不同，给付事件的发生概率也涉及分数年龄的存活或死亡概率，这显然增加了生存年金精算现值的厘定难度，但它具有非常重要的实务价值。推导思路寻找与年付年金之间的关系终身生存年金基本定义UDD假定下的推导公式近似公式（实际操作公式）证明证明近似公式例4.10（50）投保半年期初给付的终身生存年金。已知：假定年内死亡服从均匀分布，计算该生存年金的精算现值例4.10解定期生存年金基本定义UDD假定下的推导公式近似公式（实际操作公式）延期生存年金延期终身生存年金（UDD假定）延期定期生存年金（UDD假定）例4.11现年35岁的人预购买如下生存年金，切均于每月月初给付，每次给付1000元，年实质利率为6%，且已知：求下列年金现值：（1）月付终身生存年金（2）延期15年月付终身生存年金（3）15年定期月付终身生存年级例4.11解Woolhouse公式Woolhouse公式是根据欧拉-迈克劳林（Euler-Maclaurin）公式推导出来的不依赖于分数期死亡分布假定的一年多次给付的年金精算现值计算公式。欧拉-迈克劳林公式是欧拉和迈克劳林分别在1735年左右推导出的积分近似计算公式。假设是在区间(a,b)光滑函数（保证高次可导），记为的积分欧拉-迈克劳林推导出能用如下多项式之和近似Woolhouse公式欧拉-迈克劳林还给出了用多项式之和S近似积分值的误差为其中称为伯努利数（BernoulliNumber）为函数的阶导函数为服从零均值的白噪声误差项Woolhouse公式可以通过调节误差项积分的次数，控制用多项式近似积分的精度，比如误差项仅保留一阶导数时，积分的欧拉-迈克劳林近似公式为Woolhouse公式在年金计算场合，年金现值函数记为年金的精算现值为的积分根据欧拉-迈克劳林公式，我们可以用多项式之和S近似Woolhouse公式误差项取一阶导函数则，，所以连续年金精算现值为Woolhouse公式如果如果Woolhouse公式上面两式都是的近似，有整理得三项式Woolhouse公式如果保留其中两项，就得到两项式Woolhouse公式例4.12证明定期年金和延期年金的三项式Woolhouse公式如下例4.12证明（1）定期年金场合根据欧拉-迈克劳林公式，我们可以用多项式之和S近似误差项取一阶导函数，其中例4.12证明所以如果h=1，则有如果h=1/m，则有上面两式都是的近似，整理得例4.12证明（2）延期年金场合根据欧拉-迈克劳林公式，我们可以用多项式之和S近似误差项取一阶导函数，其中例4.12证明所以如果h=1，则有如果h=1/m，则有上面两式都是的近似，整理得例4.13已知使用三项式Woolhouse公式估计例4.13解期缴保费期缴保费产生的原因在前两章中，我们分别介绍了死亡赔付变量和生存赔付变量的精算现值厘定。这个精算现值实际上是以保单生效日为时间坐标，计算保险人对被保险人未来赔付的期望值。这个精算现值就是该被保险人的趸缴净保费。有时由于风险责任大或者受益金额高，会使得趸缴净保费的数额非常庞大，对于被保险人而言要一次性缴纳这么多钱会有困难。为了分解被保险人一次性缴费的压力，保险公司会允许被保险人分期缴纳这笔保费，这时的保费称为期缴保费。保费构成保费构成净保费（netpremium）只覆盖保障风险，它是精算师计算保费的基础，所以也称为风险保费或数学保费（riskpremium,mathematicalpremium）毛保费（grosspremium）覆盖了风险，费用和利润需求，也成为官方保费（officepremium）传统寿险的保费厘定原则传统寿险的保费厘定方法为均衡保费原则未来损失变量（FutureLoss）均衡保费原则的实质就是保险人的未来亏损期望为零。记L为保险人未来亏损变量L=给付金现值-纯保费现值E（L）=0E（赔付现值）=E（净保费现值）不同的缴费方式不影响该等式的成立，所以又有E（趸交净保费现值）=E（期缴净保费现值）净均衡保费的定义与种类定义在寿险实务中，有一种特殊的期缴净保费使用最为广泛，这就是等时间间隔缴纳的等额净保费，称之为均衡净保费（levelnetpremium）。种类完全连续净均衡保费死亡即刻给付连续缴费完全离散净均衡保费死亡年末给付离散缴费半连续净均衡保费死亡即刻给付离散缴费完全连续净均衡年保费的厘定假定条件支：死亡即刻给付1单位元的终身寿险收：被保险人从保单生效日起，按年连续交付保费期缴保费厘定过程例5.1假定寿命服从的均匀分布，常数利息力，对于完全连续的终身寿险求

解5.1损失变量方差的厘定例5.2一个完全联系的终身寿险，死亡给付为1。已知利息力为0.06，死亡力为0.04求解5.2常见险种的完全连续净均衡保费总结险种保费公式终身人寿保险n年定期寿险n年两全保险h年缴费终身人寿保险h年缴费n年两全保险n年生存保险m年递延终身生存保险完全离散净均衡年保费的厘定假设条件支：死亡年末给付1单位终身寿险收：被保险人从保单生效起按年期初缴费厘定过程：例5.3假设由某寿险公司的经验生命表可得：求解5.3例5.4一个为期两年的两全险，保险给付金为1000元，此保险有两种缴费方案：方案一：第一年缴费600元，第二年缴费400元；方案二：每年缴费；已知=0.05，计算年缴保费。解5.4常见险种的完全离散净均衡保费总结险种保费公式终身人寿保险n年定期寿险n年两全保险h年缴费终身寿险h年缴费n年两全险n年生存保险m年延期终身生存险半连续净均衡年保费的厘定假定条件支：死亡即刻赔付1的终身寿险收：被保险人从保单生效日起，按年缴纳保费厘定过程例5.5某人在2006年1月1日买了一份10年定期寿险，死亡即刻给付10000元，保费为前5年每年年初缴费500元。假定此人在2008年6月30日死亡，预定利率为5%，求保险公司的损失在签单日的现时值。解5.5例5.6已知假定死亡在年内服从均匀分布，求解5.6方差确定方差的确定方差的确定常见险种的半连续净均衡保费总结险种保费公式终身人寿保险n年定期寿险n年两全保险h年缴费终身人寿保险h年缴费n年两全保险n年生存保险m年递延终身生存保险每年缴纳数次保费的均衡净保费的厘定假设条件支：死亡年末赔付1的终身寿险收：每年缴费M次厘定过程函数关系函数关系例5.7已知，，被保险人在每一个分数年内死亡服从均匀分布求解5.7毛保费构成净保费保险费用保险费用简介保险费用的定义保险公司支出的除了保险责任范围内的保险金给付外，其它的维持保险公司正常运作的所有费用支出统称为经营费用。这些费用必须由保费和投资收益来弥补。保险费用的范围：税金、许可证、保险产品生产费用、保单销售服务费用、合同成立后的维持费、投资费用等保险机构费用开支的一种分类方案费用分类成分投资费用（1）投资分析成本（2）购买、销售及服务成本保险费用1、新契约费（1）销售费用，包括代理人佣金及宣传广告费（2）风险分类，包括体检费用（3）准备新保单及记录2、维持费（1）保费收取及会计（2）给付变更及理陪选择权准备（3）与保单持有人进行联络3、营业费用（1）研究、开发新险种费用（2）精算及一般法律服务（3）普通会计（4）税金、许可证等费用4、理赔费用（1）理陪调查和辩护费（2）各种给付的费用均衡原则厘定毛保费毛保费的定义保险公司实际收取的保费为用于保险金给付的纯保费和用语各种经营费用开支的附加费用之和，即毛保费，简记为G。毛保费的厘定原则基本原则：精算等价原则（EquivalencePrinciple）毛保费精算现值=纯保费精算现值+附加费用精算现值=各种给付的精算现值+各种费用支出的精算现值注意事项在确定附加费用时，一般只考虑保险费用，而以投资费用冲销投资收益，体现在保费计算中则适当降低预定收益率，即预定利率。附加费用中要考虑通货膨胀或通货紧缩的趋势。例5.8（30）购买了保险金额为2万元的半连续型终身寿险保单，按下表所列各项费用，根据精算等价原理计算年缴净保费和年缴毛保费。（i=6%）已知未来保险费用的分配第一年续年分类每份每千元保费百分比（%）每份每千元保费百分比（%）2-9年10-15年16年以上1、新契约费（1）销售费用

佣金--50--553

销售事务--25--2.51.51

其它12.54------（2）分类180.5------（3）发行与记录4-------2、维持费20.25-20.25---3、营业费用（1）（2）（3）40.25-40.25---（4）税金--3--222小计40.557860.59.58.564、给付费用每份保单18元加上千元保额0.1元解5.8解5.8练习对（25）购买的保险金额为10万元的40年两全保险保单，该保单的第一年费用为100元加上毛保费的25%，续年的费用为25元加上毛保费的10%。发生死亡给付时的理赔费用为100元，生存给付时不发生理赔费用。已知求净均衡年缴保费和毛保费。练习答案组合百分数原则厘定费精算等价原则是保费厘定的一种传统原则，但并不是唯一原则。从统计学的角度而言，精算等价原则是以损失变量的期望为零作为定价原则。损失变量是围绕着零值做正态波动的，这意味着有50%的概率会出现支出大于保费收入，即保险公司出现亏损的情况；还有50%的概率会出现支出小于保费收入即保险公司出现盈余的情况。保险人有时亏损，有时盈余，对保险公司而言，每一次损失的波动风险无法准确衡量与控制。组合百分数原则（PortfolioPercentileprinciple）就是为了克服精算等价原则的这个不足提出的一种新的保费厘定原则。它的理论基础是中心极限定理，是以控制亏损发生概率为立足点的保费定价方法。组合的中心极限定理组合（portfolio)：具有相同风险、相同保险受益、相同保障时期且相互独立的一群人。该组合中的任意一个个体在保单签约时刻的损失现值变量记作该组合中的损失现值总额变量记作，根据中心极限定理有组合百分数原理假设为保险人能够接受的损失发生概率（也称为风险容忍程度），即等价的含义是保险人要保证保费收入能够覆盖真实赔付的概率为根据等价变换有例5.990岁的人生存情况如下表。求1、死亡年末给付1元的趸缴浄保费2、为保证有95％的把握覆盖真实赔付，所收保费等于NSP＋R，求R＝？（i=0.06）x90919293Lx10072390Dx283339--例5.9答案例5.9答案例5.10保险人面向（30)发行一款终身寿险产品，死亡月末给付10万元，被保险人每年年初等额缴纳保费。首年费用为第一年保费的19%，续年费用为每年保费的4%。已知：求：（1）使用均衡原则计算毛保费（2）假设一个组合有1万人，若要达到95%的把握覆盖赔付风险，使用组合百分比原则计算毛保费。例5.10答案例5.10解特殊风险处理年龄评级（agerating）死亡力增加常数（等价于利率改变为）死亡率为原来的倍数责任准备金例6.1保险公司发行一种3年定期保单，死亡年末给付1万元，年实质利率5%，假设有100个岁的人投保，这群人的生存状况如下（1）根据净均衡原理厘定趸缴净保费和3年期均衡净保费；（2）在趸缴保费场合，分析各年资金流动的状况；（3）在净均衡保费场合，分析各年资金流动的状况。（1）保费计算趸缴净保费均衡净保费（2）趸缴保费场合资金流分析通过这个资金流分析，可以很清楚地知道在趸缴保费场合，保险是一种先收保费后履行赔付义务的特殊商品。被保险人在保单发行日一次性缴纳了所有的保费，未来各年对于保险人而言就只有责任而不再有保费收入了。为了有效地履行对被保险人的承诺，保险人需要很好地管理这笔预付保费，让它逐渐填补各年的收支缺口。（3）净均衡保费场合资金流分析通过这个资金流分析，可以很清楚地知道即使是在净均衡保费场合，当期支付的保费也并不等于当期的赔付支出。这是由于死亡事故并不是每年均衡发生的，由于人类的生存规律，死亡概率通常呈现出随剩余寿命递增的趋势，所以在净均衡保费场合，依然是前期保费收入多于赔付支出，后期保费收入少于赔付支出。基于这种情况，保险公司依然要严格管理前期的剩余保费，用前期的基金余额填补以后各年的收支缺口。责任准备金产生的原因0t未来责任未来收入w未来责任未来收入差值责任准备金净均衡原理，保证了以保单发行日为参照点，保险公司的未来保费收入精算现值和未来保险赔付的精算现值相等。但除了保单发行日以外，以保障期内任意某个时刻为参照点，未来收支的现时值都有可能不平衡，通常未来赔付责任要比未来保费收入的精算现值大，这种收支缺口就是责任准备金产生的原因。净责任准备金的定义定义：保险公司在任意时刻对每个仍在保障范围内的被保险人的未尽责任现时值，就称为净责任准备金。我们通常把保险人未来赔付责任与未来保费收入的现时值之差称为保险人的前瞻亏损（prospectiveloss），责任准备金就是前瞻损失的期望。实质责任准备金是现存被保险人未来受益与未来缴费现时值之差。例6.1续1：趸缴场合保单发行日的净责任准备金

例6.1续2：趸缴场合保单第一年末的净责任准备金例6.1续3：趸缴场合保单第二年末的净责任准备金例6.1续4：净均衡保费场合责任准备金计算例6.1续5：净均衡保费场合责任准备金计算课后练习设保险公司发行某保单，被保险人的整值剩余寿命K的概率函数为该保单在被保险人死亡年末给付1，年利率6%。根据净均衡保费原则确定：（1）在趸缴保费场合，确定在各年期末责任准备金。（2）在净均衡保费场合，确定在各年期末责任准备金。责任准备金的重要意义保证寿险公司的偿付能力责任准备金是寿险公司最为重要的负债，一般占所有负债的80％到90％，和总资产的比例也可能超过80％。寿险业务的长期性和不确定性要求保险公司为未来的给付责任积累起足够的资产，所以寿险负债评估是精算部最重要的工作之一。其中责任准备金的评估是该项工作的核心责任准备金的作用保证保单所有人的利益监管机构原则上应该代表保单所有人的利益，所以会要求保险公司持有和责任准备金相当的资产以保证偿付能力。责任准备金是在清算假设下进行的评估，要理解这句话，可以考虑下述问题：如果在这个时刻保险公司破产，那么有效保单应该得到多少利益？这个问题没有唯一正确的答案，责任准备金给出的是比较合理的答案。课程结构责任准备金的概念责任准备金增量的构成多次缴费责任准备金净责任准备金的厘定责任准备金净责任准备金递推公式分数期责任准备金责任准备金的厘定方法一：将来法我们通常把保险人未来赔付责任与未来保费收入的现时值之差称为保险人的前瞻亏损（prospectiveloss）用前瞻亏损思想厘定责任准备金的方法成为前瞻法（将来法）净责任准备金的确定原理（终身寿险）前瞻亏损（prospectiveloss）其中：U为（x+t）的剩余寿命，J为（x+t）的整值剩余寿命净责任准备金的确定前瞻亏损的期望即该时刻的净责任准备金用这种原理确定责任准备金的方法称为前瞻方法前瞻亏损方差例6.2已知：利用前瞻方法确定完全连续终身寿险在未来任意时刻t的净责任准备金及前瞻损失的方差例6.2答案例6.3已知利率按6％计算求：例6.3答案例6.3答案例6.3答案用将来法确定常见险种的净责任准备金完全连续情况下用将来法确定常见险种的净责任准备金完全离散情况下例6.4已知（30）投保20年期的两全保险，采用每年年初净均衡方式缴纳保费。已知：求第19年年末的责任准备金。例6.4解例6.5（40）投保一个10年延期的终身生存年金，年初生存给付1，如果被保险人在10年内死亡，保险公司将在死亡年末退回之前所缴纳保费的累计值。此保险产品趸缴保费为P。已知年实质利率为2.5%，第9年年末的责任准备金为16。求趸缴保费P的值。例6.5解半连续场合责任准备金厘定在实务中，绝大多数寿险产品都是半连续产品，所以半连续责任准备金的计算是最基础的精算工作。半连续场合责任准备金厘定的实质就是连续的未来赔付现值与离散的未来保费收入现值之差的期望。半连续责任准备金的确定以h次缴费n年定期两全保险为例其他险种场合可以同理推导。半连续责任准备金都可以转换为完全离散责任准备金的函数例6.6某公司为它的一台已经使用30年的大型机器买了一份10年期的定期保险。已知每年年初公司缴纳净均衡保费5500元，如果机器损坏，公司即刻得到35万元赔付金。赔偿一次，合同介绍。假如机器的寿命服从demoivre分布，年度实质利率2.5%，计算第7年年末的责任准备金。例6.6解责任准备金的其它确定方法保费差公式（premium-differenceformula）责任准备金等于剩余缴费期内保费差的精算现值。缴清保险公式（paid-upinsuranceformula）责任准备金等于部分受益的精算现值。后顾方法（retrospectivemethod）责任准备金是已付保费积累值与保险成本积累值（accumulatedcostofinsurance）之差。保费差公式推导以完全连续终身寿险为例缴清保费公式推导以完全连续n年定期两全保险为例后顾方法推导以完全连续n年定期两全保险为例后顾方法推导应用前瞻公式和后顾公式的原则在保障时间超出缴费期的场合，前瞻公式更为便利。在尚未提供受益的递延期内，后顾公式更为方便。例6.7一种完全离散的保额为1000的3年期两全保险，死亡年末给付1000元。已知：计算解6.7例6.8已知：计算：解6.8后顾法其它公式例6.9已知求解6.9课程结构责任准备金的概念责任准备金增量的构成多次缴费责任准备金净责任准备金的厘定责任准备金净责任准备金递推公式分数期责任准备金责任准备金的含义以完全离散终身寿险为例解释：责任准备金为未来的保险责任的现时值减去未来保费收入的现时值。递推公式一解释为第k年死亡受益，为第k年初缴付保费。则第k-1年年末为每个仍在保障计划内的被保险人准备的责任准备金加上第k年年初被保险人缴付的保费积累到年末正好可以为每个在这一年内死亡的被保险人提供元的死亡赔付，并为在该年末存活的每位被保险人准备元责任准备金。

递推公式二解释第k年新增资产等于新交保费和本年利息，这笔新增资产有两个流向：一是补贴每位被保险人年末责任准备金和年初责任准备金的差值；二是补贴死亡风险事件发生时，死亡赔付金与责任准备金之差。例6.10（45）买了一份完全离散的终身寿险，65岁以前死亡年末赔付为1000，65岁之后死亡赔付为500，缴费期为20年，年缴净均衡保费15.86。已知：计算第19年末的净责任准备金。解6.10课堂练习已知：计算：答案课程结构责任准备金的概念责任准备金增量的构成多次缴费责任准备金净责任准备金的厘定责任准备金净责任准备金递推公式分数期责任准备金Thiele’sdifferentialequation保单价值的递推公式Thiele’s差分方程是要推导出保单价值的增量的构成Thiele’sdifferentialequation推导Thiele’sdifferentialequation推导Thiele’sdifferentialequation推导Thiele’sdifferentialequation应用例6.11假设(x)购买完全连续终身寿险，已知死亡即刻赔付10万元，死亡给付相关费用为100元，年度连续缴纳毛保费2500元，年度费用为150元，已知假设年内死亡力恒定，以h=0.1为步长，求解6.11课程结构责任准备金的概念责任准备金增量的构成多次缴费责任准备金净责任准备金的厘定责任准备金净责任准备金递推公式分数期责任准备金一年缴m次保费的责任准备金推导一年缴m次保费的责任准备金推导一年缴费若干次责任准备金的厘定一年缴费一次与一年缴费m次的差异图示

（表示死亡事件发生时刻）

一年缴m次保费的责任准备金的确定

完全离散终身寿险一年缴费m次的完全离散n年定期两全保险的责任准备金“损失保费”部分形成的额外责任准备金等于缴费期内每次缴纳元纯保费的纯寿险完全离散责任准备金的一部分，比例为

课程结构责任准备金的概念责任准备金增量的构成多次缴费责任准备金净责任准备金的厘定责任准备金净责任准备金递推公式分数期责任准备金分数期责任准备金由于保单年度和会计年度不同，有时当我们在某个固定的会计报表时刻要计算某张保单的责任准备金。和一年缴费若干次的责任准备金的厘定技巧一样，分数期的责任准备金通常也是转化为整数期责任准备金的函数表达。分数期责任准备金厘定公式以完全离散终身寿险为例分数期责任准备金费用责任准备金净保费责任准备金（受益责任准备金）保险人将来的净责任费用责任准备金由于保险业的特殊性，第一年的费用远远高于以后各年的费用，所以分期缴付保费场合，保险人的费用责任准备金实际上一直是负的。换言之，在保险费用这一方面是保险人先垫付了被保险人的费用，被保险人用将来的分期付款逐期偿还首年欠付费用。例6.12保险计划：向（x）发行每年年初缴费的三年期两全保险收支方式：完全离散死亡率：保险金额：1000费用金额：见下一页费用明细表费用明细表费用类别时间第一年第二年保费%固定量保费%固定量推销佣金10%—2%—营业费用4%3—1税金、许可证费用2%—2%—保单维持2%12%1发行与等级分类2%4——总计20%86%2例6.12分析一、纯(净)保费与净保费责任准备金计算保险人每一年的收支情况收支图示责任准备金的计算例6.12分析二、毛保费和费用年金的计算均衡毛保费和均衡费用的计算真实费用和均衡费用的比较例6.12分析三、费用责任准备金的计算毛保费责任准备金的计算修正责任准备金产生的原因保险人和被保险人之间有着复杂的债务关系。如果不考虑费用责任准备金的因素，始终以净责任准备金为准计算保险公司的债务，会使保险公司保险初年的负担很重，而且利润溢出各年变动非常大。为了保险公司的利润溢出比较平滑，也同时兼顾被保险人的利益，有了修正责任准备金的概念。阶梯保费阶梯保费（steppremium）是为了修正初年的保费结构而产生的。假设保险人原本是采用每年年初收取P元的等额方式收取净保费，现在对净保费的结构进行一个调整。考虑到第一年的赔付现值通常较低，所以，第一年收取的净保费减小到，第一年少收的净保费要通过以后各年多收取一点进行弥补，记续年收取的均衡净保费为，显然有修正责任准备金原理——阶梯保费值原始等额净保费修正后阶梯保费修正前等额保费：P,P,…，P修正后阶梯保费：，<P,>PPPPP

修正责任准备金确定完全初年修正责任准备金Fullpreliminaryterm(FTP)条件：第一年的修正净保费为第一年的死亡受益现值则有美国保险监督官标准产生背景：FPT适用于低费率保单，如果是高费率保单，第一年冲销的费用就过多了。美国保险监督官标准：如果是低保费保单：采用FPT调节如果是高保费保单：，则加拿大修正制条件：，其中为第一年费用按均衡保费衡量的额外补贴，有其中：a＝150％净均衡保费b＝新契约费c＝仍然提供的管理费用及保单持有人分红时在第二年及以后年中可收回费用的精算现值。多元生命函数多重生命函数的定义及作用多元生命函数的定义：涉及多个生命剩余寿命的函数。作用养老金给付场合合伙人联保场合遗产税计算场合多元剩余寿命的联合分布联合密度函数联合分布函数多元