2023-2024学年福建省高一数学下学期入学质量抽测试卷附答案解析

-2024学年福建省高一数学下学期入学质量抽测试卷（考试时间：120分钟；总分：150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（

）A． B． C． D．2．数学符号的使用对数学的发展影响深远，“=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”，便于不等式的表示，则命题，，的否定为（

）A．，， B．，，C．，， D．，，3．已知下列表格表示的是函数，则的值为（

）x0123y0214A． B． C．0 D．14．《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》、《三国演义》为我国四大名著，其中罗贯中所著《三国演义》中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一，东汉建安十三年（公元208年），曹操率二十万众顺江而下，周瑜、程普各自督领一万五千精兵，与刘备军一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大败曹军．第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．某校高一6班有学生50人，为迎接国庆节的到来，班级组织了两个活动，其中活动参与的人数有30人，活动参与的人数有25人，由于个人原因有5人两个活动都没有参与，则该班仅参与一个活动的人数为（

）A．40 B．35 C．30 D．256．函数，若，则，，的大小关系是（

）.A． B．C． D．7．如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于A、B两点，若B点的纵坐标为，且满足，则的值为（

）

A． B． C． D．8．某企业从2011年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业2011年至2021年的年产值（万元）.为了描述该企业年产值（万元）与新政策实施年数（年）的关系，现有以下三种函数模型：，（，且），（，且），选出你认为最符合实际的函数模型，预测该企业2024年的年产值约为（

）（附：）年份20112012201320142015201620172018201920202021年产值278309344383427475528588655729811A．924万元 B．976万元 C．1109万元 D．1231万元二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数，则（

）A．的最大值为2B．函数的图象关于点对称C．直线是函数图象的一条对称轴D．函数在区间上单调递增10．德国数学家康托尔是集合论的创立者，为现代数学的发展作出了重要贡献．某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，且满足：①任意，；②；③，则（

）A．在上单调递增 B．的图象关于点对称C．当时， D．当时，11．设，当时，规定，如，.则下列选项正确的是（

）A．B．C．设函数的值域为，则的子集个数为D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知，，则.13．为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，某校积极开展社团活动，高一（1）班参加社团的学生有21人，参加社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人，另外还有3个人既不参加社团也不参加社团，那么高一（1）班总共有学生人数为．14．已知不是常数函数，且满足：.①请写出函数的一个解析式；②将你写出的解析式得到新的函数，若，则实数a的值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知关于的不等式的解集为.(1)求实数，的值；(2)若正实数，满足，求的最小值.16．已知函数．(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)讨论函数在上的单调性，并加以证明．17．已知函数．请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题．条件①：;条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．(1)求实数k的值；(2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明；(3)设函数，指出函数在区间上的零点个数，并说明理由．18．设函数，，．(1)求函数在上的单调区间；(2)若，，使成立，求实数a的取值范围；(3)求证：函数在上有且只有一个零点，并求（表示不超过x的最大整数，如，）．参考数据：，．19．有如下条件：①对，，2，，均有；②对，，2，，均有；③对，，2，3，；若，则均有；④对，，2，3，；若，则均有.(1)设函数，，请写出该函数满足的所有条件序号，并充分说明理由；(2)设，比较函数，，值的大小，并说明理由；(3)设函数，满足条件②，求证：的最大值.（注：导数法不予计分）1．B【分析】借助诱导公式计算即可得.【详解】.故选：B.2．D【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题，进而得出答案.【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题，，的否定为，，．故选：D．3．B【分析】根据给定的数表，直接计算得解.【详解】依题意，，所以.故选：B4．B【分析】根据充分、必要条件的定义判定即可.【详解】易知：“东风”是“打败曹操”的必要不充分条件.故选：B5．B【分析】首先求出参加、两项活动的人数，即可求出仅参与一个活动的人数.【详解】依题意参加、两项活动的有人，则仅参与一个活动的人数为人.故选：B6．A【分析】先根据求得，再根据不等式性质结合中间值比较大小即可.【详解】因为，所以，所以，所以，又，所以.故选：A7．C【分析】由B点的纵坐标可得，即可得，可得范围，由可得的值，结合范围可得的值，化简后代入计算即可得.【详解】由B点的纵坐标为，即，则，故，，即，又，则有，故，.故选：C.8．C【分析】观察表格中数据，越往后的年份的产值比上一年增加的越多，由此可结合函数的性质确定最符合实际的函数模型，再代入数值计算，即得答案.【详解】由表中数据可知该企业年产值（万元）随着新政策实施年数（年）的增加而增加，结合2012年比2011年增加31万元，2021年比2020年增加82万元，可知越往后的年份比上一年增加的产值越多，即y的增长速度越来越快，结合三种函数模型：，（，且），（，且），可知（，且）为最符合实际的函数模型；则，故，故预测该企业2024年的年产值约为，则（万元），即预测该企业2024年的年产值约为1109万元，故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据表中数据分析数据的增加趋势，即函数值的增加速度越来越快，从而确定最符合实际的函数模型，还要注意选择接近于2024年的产值去计算，更为精确一些.9．AB【分析】先用辅助角公式将函数变形为，结合正弦型函数的性质逐项判断正确与否即可.【详解】函数，对于选项A，，A正确；对于选项B和C，将代入函数的解析式，得，函数的图象关于点对称，B正确，C错误；对于选项D，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，D不正确；故选：AB.10．BCD【分析】利用赋值法，求得，由单调性定义可判断A；由③得，利用对称性性质可判断B；求得，，进而得，可判断C；求得，进而得，即，即可判断D.【详解】由②得，即，得，而，得，∴，故A错误；由③可知，，即，则的图象关于点对称，故B正确；由②得，则，由③得，即，由，得，故C正确；由，得，则，∵任意，，∴当时，，即，∴，即，则，故D正确.故选：BCD.11．BD【分析】结合特例，可判定A错误；结合，可判定B正确；结合正弦、余弦函数的值域，得到的值域为，可判定C正确；设，得到的周期为，证得恒为，可判定D正确.【详解】对于A中，例如，则，，可得，所以A错误；对于B中，由，，所以，所以，所以B正确；对于C中，因为，可得，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，若，则且，所以且，即且，所以，不符合题意，即，同理，若，则与其中一个为，另一个为，或其中一个为，另一个为，不妨令，则，此时，，则，，所以，，又，显然不符合题意；再令，则，此时，，则，，所以，，又，不妨令，，此时满足；即函数的值域为，所以集合的子集个数为，所以C错误；对于D中，设，若，可得，所以，，则，所以的周期为，又当时，可得，此时；，此时；，此时；，此时，所以，结合周期为，即恒为，即，所以，所以D正确.故选：BD.【点睛】方法点睛：对于函数的新定义试题的求解：1、根据函数的新定义，可通过举出反例，说明不正确，同时正确理解新定义与高中知识的联系和转化；2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质（如单调性、奇偶性和周期等性质）进行推理、论证求解.12．3【分析】根据指数式和对数式化简得到，结合换底公式和指数，对数运算法则得到答案.【详解】因为，，所以，故.故答案为：313．35【分析】求出只参加社团和只参加社团的人数，即可求出高一（1）班总共有学生人数.【详解】由题意，高一（1）班参加社团的学生有21人，参加社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人，∴只参加社团的学生有（人），只参加社团的学生有（人），∵另外还有3个人既不参加社团也不参加社团，∴高一（1）班总共有学生人数为：（人）故答案为：.14．（答案不唯一，形如，是周期为的奇函数均可）0或2【分析】首先分析函数的性质，即可写出其中一个，再分析函数与的关系，即可求解的值.【详解】由，可知函数为奇函数，由，即，可知，函数是周期函数，周期为，函数的一个解析式为；设，定义域为，且，所以函数也是奇函数，则，则，由题意可知，，解得：或.故答案为：（答案不唯一，形如，是周期为的奇函数均可）；0或2【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键的判断函数是奇函数，这样，同时.15．(1)(2)【分析】（1）由题意得是方程的两根，再利用韦达定理即可得解；（2）结合（1）中结论，利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，所以是方程的两根，由韦达定理得，解得；（2）由（1）得，则，当且仅当，即时取等号，所以取得最小值.16．(1)为奇函数，理由见解析(2)当时，单调递减，当时，单调递增，理由见解析【分析】（1）求出定义域，计算出，得到答案；（2）利用定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论.【详解】（1）为奇函数，理由如下：的定义域为R，又，故为奇函数；（2）当时，单调递减，当时，单调递增，，且，则，因为，且，所以，当时，，即，故单调递减，当时，，即，故单调递增，17．(1)答案见解析(2)在区间上单调递减，证明见解析(3)在内有且仅有一个零点，理由见解析【分析】（1）根据题意结合奇偶性的定义分析求解；（2）根据单调性的定义分析证明；（3）根据题意结合单调性以及奇偶性的性质判断在区间上的单调性，再结合零点存在性定理分析判断.【详解】（1）令，解得，所以函数的定义域为，若选①：因为，即为奇函数，则，整理得，注意到对任意上式均成立，可得，解得；若选②：因为，即为偶函数，则，整理得，注意到对任意上式均成立，可得，解得.（2）若选①：则，可得，可知函数在区间上单调递减，证明如下：对任意，且，则，因为，则，可得，即，所以函数在区间上单调递减；若选②：则，可得，可知函数在区间上单调递减，证明如下：对任意，且，则，因为，则，可得，即，所以函数在区间上单调递减.（3）若选①：则，则，由（2）可知在内单调递减，且在定义域内单调递增，可知在内单调递减，又因为为奇函数，则在内单调递减，且在内单调递减，可知在内单调递减，结合，，可知在内有且仅有一个零点；若选②：则，则，由（2）可知在内单调递减，且在定义域内单调递增，可知在内单调递减，又因为为偶函数，则在内单调递增，且在内单调递增，可知在内单调递增，结合，，可知在内有且仅有一个零点.18．(1)单调增区间是和；单调减区间是和(2)(3)证明见解析，【分析】（1）根据余弦函数的单调区间求出的单调区间；（2）由已知得到的值域为的值域的子集，转化为求函数最值的问题；（3）根据函数单调性判断函数的零点个数，求出零点的范围，进而求解.【详解】（1）令，，解得，，又，得的单调增区间是和；令，，解得，，又，得的单调减区间是和.函数在上的单调增区间是和，单调减区间是和；（2）若，，使成立，则，，的值域应为的值域的子集.由（1）知，在单调递减，的值域为，，当时，令，则，开口方向向上，对称轴是，，当时，在单调递减，不符合题意；当时，在单调递减，在单调递增，，即，解得，所以；（3）由（1）知在上是减函数，易知在上是增函数，所以在上是减函数，，又，，根据零点存在性定理知在上有唯一零点，当时，，，所以，即在上无零点，综上，在上有且只有一个零点.，，，.【点睛】结论点睛：本题第（2）问考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．19．(1)选①④，理由见解析(2)，理由见解析(3)证明见解析【分析】（1）结合正弦函数的单调性判断①②，根据题意推出，，，且，即可判断，判断③；继而讨论和的情况，判断出，即可判断④；（2）构造时，在上单调递减，在上递增，利用函数单调性，即可比较大小；（3）结合正弦函数性质可得在上且递减，在上，，再结合函数的单调性，即可证明结论.【详解】（1）选①④

理由：由在