《直线与平面垂直的判定》教案、导学案、课后作业

《8.6.2直线与平面垂直》教案第1课时直线与平面垂直的判定【教材分析】在直线与平面的位置关系中，垂直是一种非常重要的关系，本节内容既是直线与直线垂直关系的延续和提高，也是后续研究平面与平面垂直的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。【教学目标与核心素养】课程目标1．理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.2．理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角．数学学科素养1．逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的判定定理，找垂直关系；2．数学运算：求直线与平面所成角；3．直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【教学重点和难点】重点：①直线和平面垂直的判定定理及其应用；②求直线与平面所成角.难点：直线与平面垂直的判定定理的应用，找垂直关系.【教学过程】一、情景导入问题1.在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？问题2.易知旗杆与它在地面上的射影是垂直关系，那么一条直线与一个平面垂直的意义是什么？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本149-152页，思考并完成以下问题1、直线与平面垂直的意义是什么？2、直线与平面垂直的判定定理是什么？用符号语言怎样表示？3、什么是直线与平面所成角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.直线与平面垂直的概念如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做垂足.2.直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直a∩b=P⇒l⊥a∩b=P3.直线与平面所成的角(1)如图,一条直线PA和一个平面α相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是直角;一条直线在平面内或一条直线和平面平行,称它们所成的角是0°的角,于是,直线与平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.四、典例分析、举一反三题型一线面垂直的概念与定理的理解例1下列说法中正确的个数是()①若直线l与平面α内一条直线垂直,则l⊥α;②若直线l与平面α内两条直线垂直,则l⊥α;③若直线l与平面α内两条相交直线垂直,则l⊥α;④若直线l与平面α内任意一条直线垂直,则l⊥α;⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是③④,故选B.解题技巧（判定定理理解的注意事项）线面垂直的判定定理中,直线垂直于平面内的两条相交直线,“相交”两字必不可少,否则,就是换成无数条直线,这条直线也不一定与平面垂直.跟踪训练一1、下列命题中,正确命题的序号是.①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,那么l⊥α;②如果直线l与平面α内的两条直线垂直,那么l⊥α;③若l不垂直于α,则在α内没有与l垂直的直线;④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条;⑤若a∥α,b⊥α,则a⊥b;⑥若a∥b,a⊥α,则b⊥α.【答案】④⑤⑥.【解析】根据线面垂直的定义,当直线l与平面α内的任意一条直线垂直时,l⊥α,如果α内的无数条直线互相平行,l与α不一定垂直,故①不正确;根据直线与平面垂直的判定定理可知,如果平面α内的两条直线不相交时,l与α不一定垂直,故②不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条互相平行的直线垂直,故③不正确;由于过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.故④正确;⑤,⑥显然正确.题型二直线与平面垂直的判定例2在三棱锥P-ABC中,H为△ABC的垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求证:PH⊥平面ABC.【答案】证明见解析【解析】如图,连接AH,因为H为△ABC的垂心,所以AH⊥BC,又AP⊥BC,AH∩AP=A,所以BC⊥平面AHP,又PH⊂平面AHP,所以PH⊥BC.同理可证PH⊥AB,又AB∩BC=B,所以PH⊥平面ABC.解题技巧(应用判定定理的注意事项)利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线,证明它们都和这条直线垂直.跟踪训练二1、如图,Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC.点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.【答案】证明见解析【解析】:(1)如图,取AB中点E,连接SE,DE,在Rt△ABC中,D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC,且DE⊥AB.在△SAB中,因为SA=SB,所以SE⊥AB.又SE∩DE=E,所以AB⊥平面SDE.因为SD⊂平面SDE,所以AB⊥SD.在△SAC中,因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.因为SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC,D为斜边AC的中点,所以BD⊥AC.由(1)可知,SD⊥平面ABC.而BD⊂平面ABC,所以SD⊥BD.因为SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.题型三直线与平面所成角例3在正方体中，求直线与平面所成的角？【答案】30°（或）【解析】连接，交于点O，再连接，因为是在正方体中，所以平面，所以是直线与平面所成的角．设正方体的边长为1，所以在△A1BO中，，，所以，所以直线与平面所成的角的大小等于30°．解题技巧(求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤)(1)确定斜线与平面的交点(斜足);(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线,连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影,则斜线和射影所成的锐角即为所求的角;(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.跟踪训练三1、已知正三棱锥S-ABC的所有棱长都相等,则SA与平面ABC所成角的余弦值为.【答案】.【解析】因为S-ABC为正三棱锥,所以点S在底面ABC上的射影为△ABC的中心O,连接SO,AO,则∠SAO为SA与底面ABC所成的角,设正三棱锥的棱长为a,在Rt△SOA中,AO=·asin60°=a,SA=a,所以cos∠SAO==.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计8.8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定1、直线与平面垂直的定义例1例2例32、直线与平面垂直的判定定理3、直线与平面所成角七、作业课本152页练习，162页习题8.6的1、2、4、5题.【教学反思】本节课，学生基本掌握判定定理和线面角，但是在应用中，书写证明过程不太规范，需提高学生的逻辑思维能力.另一方面，求线面角时，找线面角有一定的困难，需给学生强调找垂线的方法.《8.6.2直线与平面垂直》导学案第1课时直线与平面垂直的判定【学习目标】知识目标1．理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.2．理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角．核心素养1．逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的判定定理，找垂直关系；2．数学运算：求直线与平面所成角；3．直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【学习重点】：①直线和平面垂直的判定定理及其应用；②求直线与平面所成角.【学习难点】：直线与平面垂直的判定定理的应用，找垂直关系.【学习过程】一、预习导入阅读课本149-152页，填写。1.直线与平面垂直的概念如果直线l与平面α内的任意一条直线都________,就说直线l与平面α互相垂直,记作________,直线l叫做平面α的________,平面α叫做直线l的________,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做________.2.直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的______________都垂直,则该直线与此平面垂直⇒l⊥α3.直线与平面所成的角(1)如图,一条直线PA和一个平面α相交,但不和这个平面________,这条直线叫做这个平面的________,斜线和平面的交点A叫做________,过斜线上________的一点向平面引垂线PO,过垂足O和________的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是________;一条直线在平面内或一条直线和平面平行,称它们所成的角是________的角,于是,直线与平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.小试牛刀1.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边,则能保证该直线与平面垂直的是()A.①③ B.② C.②④ D.①②④2.已知直线a⊥平面α,直线b∥平面α,则a与b的关系为()A.a∥b B.a⊥bC.a,b相交不垂直 D.a,b异面不垂直3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于()A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1与底面ABCD所成角的正弦值为.

【自主探究】题型一线面垂直的概念与定理的理解例1下列说法中正确的个数是()①若直线l与平面α内一条直线垂直,则l⊥α;②若直线l与平面α内两条直线垂直,则l⊥α;③若直线l与平面α内两条相交直线垂直,则l⊥α;④若直线l与平面α内任意一条直线垂直,则l⊥α;⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α.A.1 B.2 C.3 D.4跟踪训练一1、下列命题中,正确命题的序号是.

①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,那么l⊥α;②如果直线l与平面α内的两条直线垂直,那么l⊥α;③若l不垂直于α,则在α内没有与l垂直的直线;④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条;⑤若a∥α,b⊥α,则a⊥b;⑥若a∥b,a⊥α,则b⊥α.题型二直线与平面垂直的判定例2在三棱锥P-ABC中,H为△ABC的垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求证:PH⊥平面ABC.跟踪训练二1、如图,Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC.点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.题型三直线与平面所成角例3在正方体中，求直线与平面所成的角？跟踪训练三1、已知正三棱锥S-ABC的所有棱长都相等,则SA与平面ABC所成角的余弦值为.

【达标检测】1.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是()A.若l⊥α,l∥m,则m⊥α B.若l∥α,m⊂α,则l∥mC.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α D.若l∥α,m∥α,则l∥m2.已知P为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC,垂足H,则H为△ABC的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心3.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数是_________.4.如图所示,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4cm,PF,PE垂直于BC,AC于点F,E,且PF=PE=2cm,那么PC与平面ABC所成角的大小为.

5．如图，在四棱锥中，平面，，，且，是的中点.（1）求证：；（2）求证：平面.答案小试牛刀1.A.2．B.3．C.4.33自主探究例1【答案】B【解析】由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是③④,故选B.跟踪训练一1、【答案】④⑤⑥.【解析】根据线面垂直的定义,当直线l与平面α内的任意一条直线垂直时,l⊥α,如果α内的无数条直线互相平行,l与α不一定垂直,故①不正确;根据直线与平面垂直的判定定理可知,如果平面α内的两条直线不相交时,l与α不一定垂直,故②不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条互相平行的直线垂直,故③不正确;由于过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.故④正确;⑤,⑥显然正确.例2【答案】证明见解析【解析】如图,连接AH,因为H为△ABC的垂心,所以AH⊥BC,又AP⊥BC,AH∩AP=A,所以BC⊥平面AHP,又PH⊂平面AHP,所以PH⊥BC.同理可证PH⊥AB,又AB∩BC=B,所以PH⊥平面ABC.跟踪训练二1、【答案】证明见解析【解析】:(1)如图,取AB中点E,连接SE,DE,在Rt△ABC中,D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC,且DE⊥AB.在△SAB中,因为SA=SB,所以SE⊥AB.又SE∩DE=E,所以AB⊥平面SDE.因为SD⊂平面SDE,所以AB⊥SD.在△SAC中,因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.因为SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC,D为斜边AC的中点,所以BD⊥AC.由(1)可知,SD⊥平面ABC.而BD⊂平面ABC,所以SD⊥BD.因为SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.例3【答案】30°（或）【解析】连接，交于点O，再连接，因为是在正方体中，所以平面，所以是直线与平面所成的角．设正方体的边长为1，所以在△A1BO中，，，所以，所以直线与平面所成的角的大小等于30°．跟踪训练三1、【答案】.【解析】因为S-ABC为正三棱锥,所以点S在底面ABC上的射影为△ABC的中心O,连接SO,AO,则∠SAO为SA与底面ABC所成的角,设正三棱锥的棱长为a,在Rt△SOA中,AO=·asin60°=a,SA=a,所以cos∠SAO==.当堂检测 1-2.AB3.4.4.45°.5．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）因为平面，平面，所以，因为，，所以平面，又平面，所以.（2）由，，可得，因为是的中点，所以.由（1）知，且，所以平面.又平面，所以.因为平面，平面，所以.又，，，平面，所以平面，又平面，所以.又，所以平面.《8.6.2直线与平面垂直》课后作业第1课时直线与平面垂直的判定基础巩固1．已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且2．如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（）A．平面 B．平面C．平面 D．平面3．把正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（）A．90° B．60 C．45° D．30°4．如图，在正方体中，是底面的中心，，为垂足，则与平面的位置关系是（）A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不对5．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（）A． B． C． D．6．一条与平面相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，则线段与平面所成的角是________.7．如图，在直三棱柱中，底面是为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在线段上，当_______时，平面.8．如图，在四面体中，，，，分别为，的中点，且.求证：平面.能力提升9．在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小为（）A． B． C． D．10．如图，在正方体中，有下列结论：①AC//平面；②平面；③与底面所成角的正切值是；④与为异面直线.其中正确结论的序号是______.（把你认为正确的结论的序号都填上）11．如图，正方形的边长为2，与的交点为，平面，，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.素养达成12．如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中（侧棱与底面垂直的棱柱），AC=BC=1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点．（1）求证：C1D⊥平面AA1B1B；（2）当点F在BB1上的什么位置时，AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．《8.6.2直线与平面垂直》课后作业答案解析第1课时直线与平面垂直的判定基础巩固1．已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】B【解析】A中，，且，则，故A错误；一条直线垂直于平面，则与这条平行的直线也垂直于这个平面，易知B正确；C、D中，或或m与相交均有可能，故C、D错误.故选：B2．如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】A【解析】由题意：，，，平面所以平面正确，D不正确；.又若平面，则，由平面图形可知显然不成立；同理平面不正确；故选：A3．把正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（）A．90° B．60 C．45° D．30°【答案】C【解析】记正方形的对角线与交于点，将正方形沿对角线折起后，如图，当平面时，三棱锥的体积最大.为直线和平面所成的角，∵因为正方体对角线相互垂直且平分，所以在Rt△DOB中，，∴直线和平面所成的角大小为45°.故选：C.4．如图，在正方体中，是底面的中心，，为垂足，则与平面的位置关系是（）A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不对【答案】A【解析】连接.∵几何体是正方体，底面是正方形，∴.又∵，∴平面.∵平面，∴.∵，∴平面.故选A.5．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在长方体中，连接，根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得，所以该长方体的体积为，故选C.6．一条与平面相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，则线段与平面所成的角是________.【答案】.【解析】如图，作出，，则，确定的平面与平面交于，且与相交于，因为，则，.即线段与平面所成的角是.故答案为7．如图，在直三棱柱中，底面是为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在线段上，当_______时，平面.【答案】或【解析】由已知得是等腰直角三角形，，是的中点，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴.若平面，则.设，则，，∴，解得或.8．如图，在四面体中，，，，分别为，的中点，且.求证：平面.【答案】证明见解析【解析】取的中点为，连接，.∵，分别为，的中点，∴//，又为的中点，，∴.∵，∴，∴，∴.∵，∴.又，平面∴平面.能力提升9．在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小为（）A． B． C．