《平面与平面垂直的性质》教案、导学案、课后作业

《8.6.3平面与平面垂直》教案第2课时平面与平面垂直的性质【教材分析】在平面与平面的位置关系中，垂直是一种非常重要的关系，本节内容是直线与平面垂直关系延续和提高.通过本节使学生对整个空间中的垂直关系有一个整体的认知，线线垂直、线面垂直、面面垂直是可以相互转化的.【教学目标与核心素养】课程目标1．理解平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的性质定理，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【教学重点和难点】重点：平面和平面垂直的性质定理.难点：平面和平面垂直的性质定理的应用.【教学过程】一、情景导入已知面面平行则一个平面内的任意直线都平行与另一个平面，那么面面垂直，则一个平面内的任一直线与另一个平面是否垂直？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本159-161页，思考并完成以下问题1、如果两个平面垂直,那么满足什么条件时，一个平面内的直线与另一个平面垂直?要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1、平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言两个平面垂直,则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直&α⊥β&α∩β=l&a⊂α&a⊥l⇒探究:(1)如果α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗?(2)如果α⊥β,过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这条直线必垂直于α吗?答案:平行.答案:(1)正确.若设α∩β=l,a⊂α,b⊂β,b⊥l,则a⊥b,故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.(2)错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直,否则不垂直.四、典例分析、举一反三题型一平面与平面平行的性质定理的应用例1在三棱锥中，平面ABC，平面平面PBC.求证：BC⊥平面PAB.【答案】证明见解析【解析】证明：如图所示，在平面AB内作于点D.∵平面平面PBC，且平面平面，∴平面PBC.又平面PBC，∴.∵平面ABC，平面ABC，∴.∵，∴平面PAB.解题技巧（性质定理应用的注意事项）利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.跟踪训练一1.如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是∠DAB=60°,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.【答案】证明见解析.【解析】(1)如图所示,连接BD.因为四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,因为G是AD的中点,所以BG⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.(2)连接PG.因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD,而PG∩BG=G,PG⊂平面PBG,BG⊂平面PBG.所以AD⊥平面PBG.又因为PB⊂平面PBG,所以AD⊥PB.题型二线面、面面垂直的的综合应用例2如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C到平面PDA的距离.【答案】（1）见解析（2）见解析.(3).【解析】(1)证明:因为长方形ABCD中,BC∥AD,又BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)证明:取CD的中点H,连接PH,因为PD=PC,所以PH⊥CD.又因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,所以PH⊥平面ABCD.又因为BC⊂平面ABCD,所以PH⊥BC.又因为长方形ABCD中,BC⊥CD,PH∩CD=H,所以BC⊥平面PDC.又因为PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.(3)解:连接AC.由(2)知PH为三棱锥P-ADC的高.因为PH===,S△ADC=·AD·CD=×3×6=9,所以=·S△ADC·PH=×9×=3.由(2)知BC⊥PD,又因为AD∥BC,所以AD⊥PD,所以S△PDA=·PD·AD=×4×3=6.设点C到平面PDA的距离为h.因为=,所以·S△PDA·h=3,所以h===.解题技巧(空间垂直关系的注意事项)直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系,当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化,要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证.跟踪训练二1、如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点,EP⊥平面ABCD.(1)求证:AQ∥平面CEP;(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP.【答案】证明见解析【解析】证明:(1)在矩形ABCD中,因为AP=PB,DQ=QC,所以APCQ.所以AQCP为平行四边形.所以CP∥AQ.因为CP⊂平面CEP,AQ⊄平面CEP,所以AQ∥平面CEP.(2)因为EP⊥平面ABCD,AQ⊂平面ABCD,所以AQ⊥EP.因为AB=2BC,P为AB的中点,所以AP=AD.连接PQ,则四边形ADQP为正方形.所以AQ⊥DP.又EP∩DP=P,所以AQ⊥平面DEP.因为AQ⊂平面AEQ,所以平面AEQ⊥平面DEP.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计8.6.3平面与平面垂直第8.6.3平面与平面垂直第2课时平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质定理例1例2七、作业课本161页练习，162页习题8.6的剩余题.【教学反思】直线与直线垂直，直线与平面垂直,平面与平面垂直的判定定理、性质定理,揭示了线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系.故本节课课堂剩余5分钟，让学生将线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系捋顺.《8.6.3平面与平面垂直》导学案第2课时平面与平面垂直的性质【学习目标】知识目标1．理解平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．核心素养1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的性质定理，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【学习重点】：平面和平面垂直的性质定理.【学习难点】：平面和平面垂直的性质定理的应用.【学习过程】一、预习导入阅读课本141-142页，填写。1、平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言两个平面垂直,则一个平面内_________的直线与另一个平面垂直&α⊥β&α∩β=l&a⊂α&

探究:(1)如果α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗?(2)如果α⊥β,过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这条直线必垂直于α吗?小试牛刀1.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,则下列结论中错误的是()A.AP⊥ACB.AP⊥ABC.AP⊥平面ABCD.AP与BC所成的角为45°2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l⊥平面A1C1(l与棱不重合),则()A.B1B⊥l B.B1B∥lC.B1B与l异面 D.B1B与l相交3.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m∥α,n⊂β,则下列叙述正确的是()A.若α∥β,则m∥n B.若m∥n,则α∥βC.若n⊥α,则m⊥βD.若m⊥β,则α⊥β4.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在平面ABC上的射影H必在直线上.

【自主探究】题型一平面与平面平行的性质定理的应用例1在三棱锥中，平面ABC，平面平面PBC.求证：BC⊥平面PAB.跟踪训练一1.如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是∠DAB=60°,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.题型二线面、面面垂直的的综合应用例2如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C到平面PDA的距离.跟踪训练二1、如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点,EP⊥平面ABCD.(1)求证:AQ∥平面CEP;(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP.【达标检测】1.已知两个平面垂直,下列说法:①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确说法个数是()A.3 B.2 C.1 D.02.在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是()A.直角三角形 B.等腰三角形B.等边三角形 D.等腰直角三角形3.如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD.沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面所在平面中,互相垂直的平面的对数为()A.1 B.2 C.3 D.44.如图所示,三棱锥PABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是.5.如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC=CA=,AD=CD=1.(1)求证:BD⊥AA1;(2)若E为棱BC的中点,求证:AE∥平面DCC1D1.答案小试牛刀1．D.2．B.3．D.4.AB.自主探究例1【答案】证明见解析【解析】证明：如图所示，在平面AB内作于点D.∵平面平面PBC，且平面平面，∴平面PBC.又平面PBC，∴.∵平面ABC，平面ABC，∴.∵，∴平面PAB.跟踪训练一1.【答案】证明见解析.【解析】(1)如图所示,连接BD.因为四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,因为G是AD的中点,所以BG⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.(2)连接PG.因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD,而PG∩BG=G,PG⊂平面PBG,BG⊂平面PBG.所以AD⊥平面PBG.又因为PB⊂平面PBG,所以AD⊥PB.例2【答案】（1）见解析（2）见解析.(3).【解析】(1)证明:因为长方形ABCD中,BC∥AD,又BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)证明:取CD的中点H,连接PH,因为PD=PC,所以PH⊥CD.又因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,所以PH⊥平面ABCD.又因为BC⊂平面ABCD,所以PH⊥BC.又因为长方形ABCD中,BC⊥CD,PH∩CD=H,所以BC⊥平面PDC.又因为PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.(3)解:连接AC.由(2)知PH为三棱锥P-ADC的高.因为PH===,S△ADC=·AD·CD=×3×6=9,所以=·S△ADC·PH=×9×=3.由(2)知BC⊥PD,又因为AD∥BC,所以AD⊥PD,所以S△PDA=·PD·AD=×4×3=6.设点C到平面PDA的距离为h.因为=,所以·S△PDA·h=3,所以h===.跟踪训练二1、【答案】证明见解析【解析】证明:(1)在矩形ABCD中,因为AP=PB,DQ=QC,所以APCQ.所以AQCP为平行四边形.所以CP∥AQ.因为CP⊂平面CEP,AQ⊄平面CEP,所以AQ∥平面CEP.(2)因为EP⊥平面ABCD,AQ⊂平面ABCD,所以AQ⊥EP.因为AB=2BC,P为AB的中点,所以AP=AD.连接PQ,则四边形ADQP为正方形.所以AQ⊥DP.又EP∩DP=P,所以AQ⊥平面DEP.因为AQ⊂平面AEQ,所以平面AEQ⊥平面DEP.当堂检测 1-3.CAC4.以AB为直径的圆(除去A,B两点).5．【答案】证明见解析.【解析】证明:(1)在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=DC,所以BD⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C,又因为AA1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥AA1.(2)在三角形ABC中,因为AB=AC,且E为棱BC的中点,所以AE⊥BC,又因为在四边形ABCD中,AB=BC=CA=,AD=CD=1.所以∠ACB=60°,∠ACD=30°,所以DC⊥BC,所以AE∥CD.因为CD⊂平面DCC1D1,AE⊄平面DCC1D1,故得AE∥平面DCC1D1.《8.6.3平面与平面垂直》课后作业第2课时平面与平面垂直的性质基础巩固1．若平面与平面互相垂直，则（）A．内任一条直线都垂直于 B．中只有一条直线垂直于C．平行于的直线必垂直于 D．内垂直于交线的直线必垂直于2．已知长方体，在平面上任取点，作于点，则（）A．平面B．平面C．平面D．以上都有可能3．如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则()A．PD平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC4．如图，在斜三棱柱中，，且，过作底面，垂足为，则点在().A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部5．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为()A．2 B． C．4 D．46．平面平面，，，，直线（，是两条不同的直线），则直线与的位置关系是______.7．如图所示，为空间四点，在△ABC中，，等边三角形以为轴运动，当平面平面时，________.8．已知是△ABC所在平面外的一点，且平面，平面平面.求证:.能力提升9．如图，在四边形中，，，，将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是（）A． B．C．△A´DC是正三角形 D．四面体的体积为10．如图，平面平面，，，是正三角形，O为的中点，则图中直角三角形的个数为______.11．如图所示，在三棱锥中，平面，为直角三角形，，过点分别作，，，分别为垂足.（1）求证：平面平面.（2）求证：.素养达成12．如图所示，平面平面，平面平面，平面，为垂足.（1）求证：平面；（2）当为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.《8.6.3平面与平面垂直》课后作业答案解析第2课时平面与平面垂直的性质基础巩固1．若平面与平面互相垂直，则（）A．内任一条直线都垂直于 B．中只有一条直线垂直于C．平行于的直线必垂直于 D．内垂直于交线的直线必垂直于【答案】D【解析】如果两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线垂直于两个平面的交线，则这条直线垂直另一个平面.根据这一性质可知D选项正确.2．已知长方体，在平面上任取点，作于点，则（）A．平面B．平面C．平面D．以上都有可能【答案】A【解析】∵平面，平面平面，且平面平面，∴平面.3．如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则()A．PD平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC【答案】B【解析】∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.故选B4．如图，在斜三棱柱中，，且，过作底面，垂足为，则点在().A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部【答案】B【解析】连接，如图.∵，∴，∵，，∴平面.又在平面内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面平面，则根据面面垂直的性质定理知，在平面内一点向平面作垂线，垂足必落在交线上.5．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为()A．2 B． C．4 D．4【答案】B【解析】连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM=，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM=4×=2，所以PM的最小值为2.选B.6．平面平面，，，，直线（，是两条不同的直线），则直线与的位置关系是______.【答案】【解析】因为平面平面，，，，由面面垂直的性质可得，又，所以.故答案为：7．如图所示，为空间四点，在△ABC中，，等边三角形以为轴运动，当平面平面时，________.【答案】2.【解析】取的中点，连接.因为是等边三角形，所以.当平面平面