《平面与平面垂直的判定》教学设计、导学案、同步练习

《8.6.3平面与平面垂直》教学设计第1课时平面与平面垂直的判定【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习二面角，平面垂直的定义，平面与平面垂直的判定定理及其应用。两个平面垂直的判定定理是平面与平面位置关系的重要内容.通过这节的学习可以发现:直线与直线垂直、直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定和性质定理形成了套完整的证明体系,而且可以实现利用低维位置关系推导高维位置关系,利用高维位置关系也能推导低维位置关系,充分体现了转化思想在立体几何中的重要地位。这节课的重点是判定定理,难点是定理的发现及证明。平面与平面的垂直是两个平面的一种重要的位置关系.是继教材直线与直线的垂直、直线与平面的垂直之后的迁移与拓展.这一节的学习对理顺学生的知识架构体系、提高学生的綜合能力起着重要的作用.【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．B.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．C.熟悉线线垂直、线面垂直的转化。1.数学抽象：二面角的有关概念；2.逻辑推理：用定理证明垂直关系；3.数学运算：求简单二面角平面角的大小；4.直观想象：面面垂直的定义。【教学重点】：面面垂直的判定定理；【教学难点】：求简单二面角平面角的大小，用定理证明垂直关系。【教学过程】教学过程教学设计意图一、复习回顾，温故知新1.异面直线所成的角”是怎样定义的？【答案】直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a'//a，b'//b，我们把相交直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角.2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？【答案】平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.二、探索新知问题：在铁路公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？1..二面角的概念(1)半平面的定义平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．(3)二面角的画法和记法：面1－棱－面2点1－棱－点2二面角二面角思考：我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，你认为应该怎么刻画二面角的大小？（4）二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图，，则∠AOB成为二面角的平面角.它的大小与点O的选取无关.二面角的平面角必须满足：①角的顶点在棱上②角的两边分别在两个面内③角的边都要垂直于二面角的棱观察：教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构这些二面角的面、棱、平面角及其度数。【答案】三个2.平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作：图形表示：观察：如图，建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？【答案】用铅锤来检测，如系有铅锤的细线紧贴墙面，认为墙面垂直与地面。3.平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。图形：符号语言：简记：线面垂直，则面面垂直。如图，在正方体中，求证：平面。证明：是正方体。例2.如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.通过复习线线角、线面角，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过观察实例，引入二面角的定义，提高学生分析问题的能力。通过思考，引入二面角的平面角，提高学生分析问题、概括能力。通过观察，由实例引入两平面垂直，提高学生分析问题法人能力。通过观察实例，引入平面与平面垂直的判定定理，提高学生分析问题的能力。通过例题的讲解，让学生进一步理解平面与平面垂直的判定定理的应用，提高学生解决与分析问题的能力。三、达标检测1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是()A．平行 B．可能重合C．相交且垂直 D．相交不垂直【答案】C【解析】由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是()A．互为余角 B．相等C．其和为周角 D．互为补角【答案】D【解析】画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.3．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是()A．①② B．③④C．②④ D．①③【答案】D【解析】∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确．4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BC­A1的平面角等于．【答案】45°【解析】根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1即为二面角A­BC­A1的平面角.又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.5．如图，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.【证明】因为BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1.平面与平面垂直的判定：（1）定义（2）判定定理2.数学思想：转化思想五、作业习题8.66,7题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学反思】本节课教师通过多媒体动画演示使学生初步感知判定定理。然后进一步通过建筑工程中和现实生活中的实际例子去发现平面与平面垂直的判定定理，而不是接受定理，这样处理增加了学生的感性认识。第二，教师以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面，然后请同学给出面面垂直的判定定理.培养学生自学能力,通过实验，培养学生观察能力，归纳能力，语言表达能力。第三，通过模型教学，培养学生几何直观能力，通过类比教学，加深学生对知识的理解.通过实验，培养学生学习兴趣和探索意识，加深对知识的理解与掌握。《8.6.3平面与平面垂直》导学案第1课时平面与平面垂直的判定【学习目标】1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化。【教学重点】：面面垂直的判定定理；【教学难点】：求简单二面角平面角的大小，用定理证明垂直关系。【知识梳理】1．二面角的概念(1)定义：从一条直线出发的所组成的图形．(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的，②两个半平面叫做．(3)画法：(4)记法：二面角或或或.(5)二面角的平面角：若有①Ol；②OAα，OBβ；③OAl，OBl，则二面角α­l­β的平面角是.(6)平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.2．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：(3)记作：α⊥β.(4)判定定理：文字语言如果一个平面过另一个平面的，那么这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，⇒α⊥β【学习过程】一、探索新知问题：在铁路公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？1..二面角的概念(1)半平面的定义平面内的一条把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角的定义从一条出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条叫做二面角的棱，每个叫做二面角的面．(3)二面角的画法和记法：面1－棱－面2点1－棱－点2二面角二面角思考：我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，你认为应该怎么刻画二面角的大小？（4）二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图，，则∠AOB成为二面角的平面角.它的大小与点O的选取无关.二面角的平面角必须满足：①角的顶点在棱上②角的两边分别在两个面内③角的边都要垂直于二面角的棱观察：教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构这些二面角的面、棱、平面角及其度数。2.平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是二面角，就说这两个平面互相垂直.记作：图形表示：观察：如图，建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？3.平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的，那么这两个平面垂直。图形：符号语言：简记：线面垂直，则面面垂直。如图，在正方体中，求证：平面。例2.如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.【达标检测】1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是()A．平行 B．可能重合C．相交且垂直 D．相交不垂直2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是()A．互为余角 B．相等C．其和为周角 D．互为补角3．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是()A．①② B．③④C．②④ D．①③4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BC­A1的平面角等于．5．如图，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.参考答案：观察：三个2.观察：用铅锤来检测，如系有铅锤的细线紧贴墙面，认为墙面垂直与地面。例1.证明：是正方体。例2.达标检测1.【答案】C【解析】由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.2.【答案】D【解析】画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.3.【答案】D【解析】∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确．4.【答案】45°【解析】根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1即为二面角A­BC­A1的平面角.又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.5.【证明】因为BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.《8.6.3平面与平面垂直》同步练习第1课时平面与平面垂直的判定一、选择题1．在长方体中，，，则二面角的大小是（）A．30º B．45º C．60º D．90º2．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为()A． B． C． D．3．如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角4．已知是圆柱上底面的一条直径，是上底面圆周上异于，的一点，为下底面圆周上一点，且圆柱的底面，则必有（）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面5．（多选题）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（）A．在棱上存在点M，使平面B．异面直线与所成的角为90°C．二面角的大小为45°D．平面6．（多选题）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB=1，AD⊥AB，∠BCD=45°，将ΔABD沿对角线BD折起.设折起后点A的位置为A'，并且平面A'BD⊥A．A'D⊥BC B．三棱锥AC．CD⊥平面A'BD D．平面A三、填空题7．在长方体中，，，则平面与平面所成的二面角的正弦值是_________.8．如图，在四棱锥中，底面且底面各边都相等，是上一点，当点满足时，平面平面（只要填写一个你认为正确的条件即可）9．如图所示，正方形的边长为，已知，将沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：①与所成角的正切值为；②；③；④平面平面，其中正确的命题序号为___________．10．如图所示，在长方体中，棱与棱的位置关系是_________，棱与平面的位置关系是__________，平面与平面的位置关系是_________.三、解答题11．已知四棱锥的底面是菱形，，的中点是顶点在底面的射影，是的中点．（1）求证：平面平面；（2）若，直线与平面所成角的正弦值．12．如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知.求证：（1）直线平面；（2）平面平面.《8.6.3平面与平面垂直》同步练习答案解析第1课时平面与平面垂直的判定一、选择题1．在长方体中，，，则二面角的大小是（）A．30º B．45º C．60º D．90º【答案】A【解析】由题意，作出长方体的图象，取中点为，连接、，因为平面，所以即在平面上的投影，又平面，所以，因为，所以四边形是正方形，为中点，所以，又，所以平面，又平面，所以，即二面角，又，，所以，.故选：A2．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为()A． B． C． D．【答案】C【解析】由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．3．如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角【答案】D【解析】对于A，因为点E，F分别是AB,AP的中点，所以，又平面，平面，所以平面．同理平面，又,所以平面平面．因此A正确．对于B，因为,所以平面．又,所以平面，又平面，所以平面平面．因此B正确．对于C，由于平面平面，且与平面PAB交于EF，PB，∴所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角．因此C正确．对于D，由于FE,GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，因此D不正确．综上选项D不正确．选D．4．已知是圆柱上底面的一条直径，是上底面圆周上异于，的一点，为下底面圆周上一点，且圆柱的底面，则必有（）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】B【解析】因为是圆柱上底面的一条直径，所以，又圆柱的底面，所以，因为，所以平面.又平面，所以平面平面.故选：B.5．（多选题）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（）A．在棱上存在点M，使平面B．异面直线与所成的角为90°C．二面角的大小为45°D．平面【答案】ABC【解析】解：如图，对于，取的中点，连接，∵侧面为正三角形，，又底面是菱形，，是等边三角形，，又，，平面，平面，故正确.对于，平面，，即异面直线与所成的角为90°，故正确.对于，∵平面平面，，平面，，是二面角的平面角，设，则，，在中，，即，故二面角的大小为45°，故正确.对于，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误.故选：6．（多选题）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB=1，AD⊥AB，∠BCD=45°，将ΔABD沿对角线BD折起.设折起后点A的位置为A'，并且平面A'BD⊥A．A'D⊥BC B．三棱锥AC．CD⊥平面A'BD D．平面A【答案】CD【解析】如图所示：E为BD中点，连接A'EAD//BC，AD=AB=1，AD⊥AB得到∠DBC=∠ADB=45°又∠BCD=45°故ΔBCD为等腰直角三角形平面A'BD⊥平面BCD，CD⊥BD，所以CD⊥平面E为BD中点，A'E⊥BD则A'E⊥平面BCD所以A如果A'D⊥BC，则可得到BC⊥平面A'三棱锥A'-BCD的体积为在直角三角形A'CD中，A'C在三角形A'BC中，A'B=1,BC=2,A'C=3满足又BA'⊥DA'所以BA'⊥平面A'DC，所以平面A'综上所述：答案为CD三、填空题7．在长方体中，，，则平面与平面所成的二面角的正弦值是_________.【答案】【解析】画出图像如下图所示，将平面延展成平面，将平面延展成平面，平面与平面相交于，且，所以是平面与平面所成的二面角.在中，所以.故答案为：8．如图，在四棱锥中，底面且底面各边都相等，是上一点，当点满足时，平面平面（只要填写一个你认为正确的条件即可）【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)【解析】连接，因为底面，所以,因为四边形的各边相等，所以,且，所以平面，即，要使平面平面，只需垂直于面上的与相交的直线即可，所以可填；故填．9．如图所示，正方形的边长为，已知，将沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：①与所成角的正切值为；②；③；④平面平面，其中正确的命题序号为___________．【答案】③④【解析】作出折叠后的几何体直观图如图所示：∵AB=a,BE=a,∴AE=a.∴.∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，在Rt△ABC中,,故①不正确；连结BD，CE，则CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE⊂平面BCDE，∴CE⊥AD，又BD∩AD=D，BD⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，∴CE⊥平面ABD，又AB⊂平面