《棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教学设计、导学案、同步练习

《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A..通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．B．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；2.逻辑推理：推导棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；3.数学运算：求棱柱、棱锥、棱台及有关组合体的表面积与体积；4.直观想象：棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系。【教学重点】：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；【教学难点】：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．【教学过程】教学过程教学设计意图复习回顾，温故知新1.北京奥运会场馆图2.北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园．经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩．能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？3.学生回答下列公式矩形面积、三角形面积、梯形面积、长方体体积、正方体体积4.在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？二、探索新知探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？侧面展开图是几个矩形，表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和。思考2：棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？【答案】棱锥的侧面展开图是几个三角形。表面积是侧面展开图的面积加上底面积。思考3：棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？【答案】侧面展开图为几个梯形，表面积为侧面几个梯形面积的和再加上上下底面面积。1.结论：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．例1.四面体P-ABCD的各棱长均为a，求它的表面积。解：因为是正三角形，其边长为a，所以，因此，四面体P-ABC的表面积2.一般棱柱的体积公式也是V=Sh，其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。3.棱锥的体积是与它同底同高的棱柱的体积的三分之一。。棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。思考4：根据台体的特征，如何求台体的体积？【答案】由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到棱台的体积公式。棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离。思考5：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5cm，公共面ABCD是边长为1cm的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精准到0.01m3）？解：由题意知所以这个漏斗的容积。通过观看图片及复习初中所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过思考，得到棱柱的表面积的求法，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过思考，得到棱锥、棱台的表面积的求法，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过例题，熟悉棱柱的表面积的求法，提高学生解决问题的能力。通过思考，推出棱台的体积公式，提高学生的分析、概括问题的能力。通过思考，推出棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系，提高学生的分析、概括问题的能力。通过例题巩固棱柱、棱锥的体积求法，提高解决问题的能力。三、达标检测1．判断正误(1)锥体的体积等于底面积与高之积．()(2)台体的体积，可转化为两个锥体体积之差．()(3)正方体的表面积为96，则正方体的体积为64.()【答案】(1)×(2)√(3)√2．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ACD的体积是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．1【答案】A【解析】三棱锥D1­ADC的体积V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).故选A。3．已知高为3的棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1­ABC的体积为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)[答案]D4．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为．【答案】18a2【解析】原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为eq\f(1,3)a，每个小正方体的表面积S1＝eq\f(1,9)a2×6＝eq\f(2,3)a2，所以27个小正方体的表面积是eq\f(2,3)a2×27＝18a2.5．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P­ABC的体积V.【解析】三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．故V＝eq\f(1,3)S△PAC·PB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×3＝4.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1.棱柱、棱锥、棱台的表面积；2.棱柱、棱锥、棱台的体积。五、作业习题8.31,2题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学反思】本节应多让学生动手，多做几个模型，从而能更好地理解及记忆棱柱、棱锥、棱台的侧面积、体积公式。《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》导学案【学习目标】1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法；2．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．【教学重点】：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；【教学难点】：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．【知识梳理】1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的．2．棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱的体积公式V＝(S为底面面积，h为高)；棱锥的体积公式V＝。(S为底面面积，h为高)；棱台的体积公式V＝．其中，台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h.【学习过程】一、探索新知探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？思考2：棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？思考3：棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？1.结论：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．例1.四面体P-ABCD的各棱长均为a，求它的表面积。2.一般棱柱的体积公式也是V=Sh，其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。3.棱锥的体积是与它同底同高的棱柱的体积的三分之一，即。棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。思考4：根据台体的特征，如何求台体的体积？思考5：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5cm，公共面ABCD是边长为1cm的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精准到0.01m3）？【达标检测】1．判断正误(1)锥体的体积等于底面积与高之积．()(2)台体的体积，可转化为两个锥体体积之差．()(3)正方体的表面积为96，则正方体的体积为64.()2．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ACD的体积是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．13．已知高为3的棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1­ABC的体积为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)4．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为．5．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P­ABC的体积V.参考答案：思考1.侧面展开图是几个矩形，表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和。思考2.【答案】棱锥的侧面展开图是几个三角形。表面积是侧面展开图的面积加上底面积。思考3.【答案】侧面展开图为几个梯形，表面积为侧面几个梯形面积的和再加上上下底面面积。例1.解：因为是正三角形，其边长为a，所以，因此，四面体P-ABC的表面积思考4.由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到棱台的体积公式。棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离。思考5.例2.1.解：由题意知所以这个漏斗的容积。达标检测1.【答案】(1)×(2)√(3)√2.【答案】A【解析】三棱锥D1­ADC的体积V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).故选A。3.[答案]D4.【答案】18a2【解析】原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为eq\f(1,3)a，每个小正方体的表面积S1＝eq\f(1,9)a2×6＝eq\f(2,3)a2，所以27个小正方体的表面积是eq\f(2,3)a2×27＝18a2.5.【解析】三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．故V＝eq\f(1,3)S△PAC·PB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×3＝4.《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》同步练习一、选择题1．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是()．A．130 B．140 C．150 D．1602．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）A． B． C． D．3．长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3，对角线长为，则这个长方体的体积为（）A．6 B．12 C．24 D．484．三棱柱中，，，，，侧棱长为，则其侧面积为（）A． B． C． D．（多选题）下列结论中，正确的是（）B.在棱柱中，；C.在正棱锥中，；D.棱锥的体积是棱柱体积的三分之一。6.（多选题）如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（）A．直三棱柱侧面积是 B．直三棱柱体积是C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为三、填空题7．如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.8．如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，记平面分三棱台两部分的体积为（三棱柱），两部分，那么______.9．正六棱柱的高为，最长的对角线为，则它的侧面积为______．10．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高为6，AB＝4，点D为棱BB1的中点，则四棱锥C—A1ABD的表面积是________，三棱柱的体积为。四、解答题11．如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且，求该四棱锥的侧面积和表面积．12．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》同步练习答案解析一、选择题1．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是()．A．130 B．140 C．150 D．160【答案】D【解析】设直四棱柱中，对角线，因为平面,平面，所以，在中，，可得,同理可得，因为四边形为菱形，可得互相垂直平分，所以，即菱形的边长为，因此，这个棱柱的侧面积为，故选D.2．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为，的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V1=，故八面体体积V=2V1=，故选B．3．长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3，对角线长为，则这个长方体的体积为（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】D【解析】∵长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3，∴设三条棱长分别为k，2k，3k则长方体的对角线长为=k=2∴k=2长方体的长宽高为6，4，2∴这个长方体的体积为6×4×2=48故答案为48应选D4．三棱柱中，，，，，侧棱长为，则其侧面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，由已知条件可知，侧面和侧面为一般的平行四边形，侧面为矩形.在中，，，∴，∴.∵，，∴点到直线的距离为.∴.∴.故选C（多选题）下列结论中，正确的是（）B.在棱柱中，；C.在正棱锥中，；D.棱锥的体积是棱柱体积的三分之一。【答案】BC【解析】直棱柱的侧面积是底面周长乘以侧棱长，选项A错；根据棱锥的体积公式可知选项B正确；选项C正确；等底等高的棱锥体积是棱柱体积的三分之一，选项D错。故选BC。6.（多选题）如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（）A．直三棱柱侧面积是 B．直三棱柱体积是C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为【答案】ACD【解析】在直三棱柱中，，，底面和是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+，故A正确；直三棱柱的体积为，故B不正确；由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱上的一个动点，三棱锥的高为定值，××2＝，××＝，故C正确；设BE＝x，则B1E＝2﹣x，在和中，∴＝．由其几何意义，即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值，由对称可知，当为的中点时，其最小值为，故D正确．故选：ACD．三、填空题7．如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.【答案】10.【解析】因为长方体的体积为120，所以，因为为的中点，所以，由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.8．如