【数学 】变化率问题（2）课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1变化率问题5.1导数的概念及其意义温故知新平均速度瞬时速度2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤：平均变化率瞬时变化率1.物体运动的瞬时速度的本质是平均速度的极限.无限逼近取极限无限逼近取极限3.数学思想、方法：特殊到一般、极限思想几何意义？探究新知

思考2：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？不一定,平行对称轴的直线与抛物线只有1个交点;平行渐近线的直线与双曲线只有1个交点,探究表明：我们不能像研究直线和圆的位置关系那样，通过交点的个数来定义相切了.不一定xyOf(x)＝sinx－11

思考1：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线C,如何定义它的切线呢？问题2抛物线的切线的斜率

思考2：对于一般的曲线C,如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究.问题2抛物线的切线的斜率探究3.你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线？追问3：如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线的斜率呢？你选用哪种直线方程形式？点斜式，斜率是确定直线的一个要素探究新知

下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究.问题2

抛物线的切线的斜率几何意义：函数图象上过点

(1,h(1))和点(1+Δt,h(1+Δt))的直线斜率

类比上节课的研究思路，例如研究运动员在t=1s的瞬时速度几何意义是什么？探究新知T观察：与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线，我们通常在点P0(1,1)的附近任取一点P(x,x2),考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况.如图,当点P(x,x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1,1)时，割线P0P有什么变化趋势？

当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线.P63探究2：如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0呢？抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系.记△x=x-1,则点P的坐标是(1+△x,(1+△x)2).于是，割线P0P的斜率探究新知

问题：如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0呢?xy121234OP•P0•T•割线P0P的斜率为类比瞬时速度，探究切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系.记∆x＝x－1，P(1+∆x,(1+∆x)2)，割线位置切线位置无限逼近割线斜率切线斜率无限逼近取极限注：∆x可以是正值，也可以是负值，但不为0.让横坐标变化量Δx趋近于0，观察割线斜率的变化情况.类比探究抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系.记△x=x-1,则点P的坐标是(1+△x,(1+△x)2).探究新知∆x<0∆x>0∆x∆x

我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格：当点P无限靠近点P0，即∆x无限趋近于0时，割线P0P无限趋近于切线P0T，因此切线P0T的斜率为∆x无限趋近于0无限趋近于2

记为探究：切线的斜率：

P63观察：利用计算工具计算更多割线P0P的斜率的值，当无限趋近于0时，割线P0P的斜率有什么变化趋势？从几何图形上看，当横坐标间隔|△x|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T.这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.因此，切线P0T的斜率k0=2.拓展探究xyO121234P0P切线斜率的本质是瞬时变化率探究新知你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0,x02)处的切线?拓展探究xyO121234P0记点P的横坐标x=

x0+Δx，则点P的坐标即为

(x0+Δx,(x0+Δx)2).于是割线P0P的斜率故抛物线f(x)=x2在点P0(x0,x02)处的切线P0T的斜率为2x0.一般地，如何求抛物线f(x)=x2在点P0(x0,x02)处的切线P0T的斜率呢？P切线斜率的本质是瞬时变化率探究新知割线斜率与切线斜率的关系

探究新知观察问题1中的函数的图象，平均速度的几何意义是什么?瞬时速度v(1)呢?th1O•(1,h(1))•(1+∆t,h(1+∆t))探究教材P64？思考解：∴所求切线的方程为

例1.求曲线f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线的斜率．设曲线f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线的斜率为k,则即yx+1=2QPxy-111OMDyDx变式练习课堂小结

升华素养物体运动的平均速度物体运动的瞬时速度函数的平均变化率函数的瞬时变化率几何意义割线的斜率几何意义切线的斜率无限逼近无限逼近1.须掌握2.求曲线上某点处的割线或切线的步骤：（1）求函数增量(2)作比值（3）求极限3.曲线在某点处的切线:①与该点的位置有关.②要根据割线是否有极限位置来判断与求解