17.1.3 勾股定理的作图及典型计算 人教版数学八年级下册分层作业(含答案)

人教版初中数学八年级下册17.1.3勾股定理的作图及典型计算同步练习夯实基础篇一、单选题：1．如图是由边长为0.5m的正方形地砖铺设的地面的一部分，一个扫地机器人沿图中所示的折线从，则它所走的路程是（

）A．3m B． C． D．【答案】B【分析】根据图形，运用勾股定理分别求出AB、BC的长，即可解答．【详解】解：由图片可知：AB、BC均为长1宽0.5的矩形的对角线，∴，，∴故选B．【点睛】本题考查了勾股定理，涉及了正方形的性质等相关知识，精准识图、合理使用相关知识是本题的解题关键．2．如图所示，，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图示，可得：点A是以B为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少即可．【详解】解：由勾股定理得：，∴，∴点A是以B为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，∴．故选：C．【点睛】本题考查了数轴和实数及勾股定理，能求出的长是解此题的关键．3．在中，，，．现将按如图那样折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长为（

）A．3 B．4 C．6 D．【答案】A【分析】首先利用勾股定理求出，进一步可得，设，则，，在中，由勾股定理得，，列出解方程求解即可得出答案．【详解】解：在中，由勾股定理得，，∵将沿折叠，点与点重合，∴，，∴设，则，，在中，由勾股定理得，，即解得，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．4．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为．则的长为（

）A．13 B．12 C．10 D．8【答案】A【分析】设为x，则为，在由勾股定理有，即可求得．【详解】解：由折叠的性质可知，设为x，则为，∵四边形为长方形∴，∴在中由勾股定理有即化简得解得，故选：A．【点睛】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解．5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，于点，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据面积相等的方法，即可求出答案．【详解】解：由题意可得，的面积是：，∵是的高，，∴，解得，，故选：．【点睛】本题考查利用勾股定理计算三角形的相关知识，几何图形与网格的结合考查三角形的相关知识，理解和掌握三角形的知识是解题的关键．6．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，则边长的高为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理解答即可．【详解】解：，，边长的高，故选：C．【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么解答．7．如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用勾股定理得出正方形对角线长，再利用数轴的性质得出点表示的数．【详解】解：∵以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，，∵以表示数的点为圆心，∴点表示的数是：，故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理以及实数与数轴．正确掌握实数与数轴的关系是解题关键．二、填空题：8．小丽同学在学习了利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法后，进行如下操作：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，且；再以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，如图，那么点表示的数是__．【答案】【分析】由勾股定理求出的长，再根据作图知，即可求解．【详解】解：在中，，，．以点为圆心，为半径与正半轴交点表示的数为．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理，实数与数轴．熟练掌握勾股定理是解题的关键．9．如图，在中，，点A，B在数轴上对应的数分别为1，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则点D对应的数是_____．【答案】##【分析】先用沟勾股定理求出，进而即可得到答案．【详解】解：∵在中，，∴，∵以A为圆心，以为半径画弧，∴，∴点D表示的实数是．故答案为：．【点睛】本题主要考查勾股定理以及数轴上的点表示实数，掌握勾股定理是关键．10．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点O，A，B，C在网格的交点（格点）上，点，在第三象限内的格点上找一点D，使与全等，则点D的坐标为______．【答案】【分析】根据网格及勾股定理确定点D的位置，然后读出点的坐标即可．【详解】解：如图所示，，，AB=AB，∴，故点，故答案为：．【点睛】题目主要考查坐标与图形，全等三角形的判定，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．11．如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，，均在格点上，为上任意一点，则的值为________．【答案】12【分析】根据勾股定理表示出，，代入即可解得．【详解】∵，，∴，故答案为：12．【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是用勾股定理表示出边长．12．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，则边上的高为________．【答案】【分析】先求解，再利用勾股定理求解，再利用等面积法建立方程即可．【详解】解：由题意可得：，上的高为2，∴，由勾股定理可得：，设上的高为，∴，∴，∴边上的高为．故答案为：．【点睛】本题考查的是网格三角形的面积的计算，等面积法的应用，勾股定理的应用，二次根式的除法应用，熟练的求解网格三角形的面积是解本题的关键．13．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_______________.【答案】##【分析】连接AD，根据半径相等，得出，再根据勾股定理即可求出DE的长，即可得出CD的长．【详解】连接AD，∵以点A为圆心，AB长为半径作弧，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了在格点图中勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并作出正确的辅助线是本题的关键．14．在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点A重合，则的长为___________．【答案】【分析】设，则，根据折叠的性质，勾股定理列方程求解即可；【详解】解：设，则，由题意得，由勾股定理得，∴，解得，即的长为；故答案为：【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，灵活使用勾股定理是解题的关键．15．如图，在长方形中，，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则线段的长为________．【答案】【分析】根据将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，可得到，从而得到，在中，利用勾股定理即可解答．【详解】∵在长方形中，，，∴，∴，∵将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，∴，∴，∴，设，则，在中，，∴，解得：，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键是灵活运用矩形的折叠结合勾股定理解答问题．三、解答题：16．作图：请在同一个数轴上用尺规作出的对应的点．【答案】见解析【分析】在数轴上表示的点上作垂线，然后以表示的点为圆心，1为半径画弧交垂线于一点，然后连接原点和这个点，进而再以原点为圆心，这段长为半径画弧，最后问题可求解．【详解】解：如图，点A即为所求．【点睛】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键．17．在如图所示的方格中，每个小方格的边长都为1．(1)在图中画出长度为与的线段，要求线段的端点在格点上．(2)在图中画出一个三条边长分别为，，的三角形，使它的顶点都在格点上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据长为4，宽为1的长方形的对角线长为，长为4，宽为1的长方形的对角线长为，进行作图即可；（2）可先画3的线段，根据勾股定理可得长为的线段是长为2，宽为1的矩形的对角线，是边长为2的正方形的对角线，据此作图即可．【详解】（1）解：线段，即为所求，如图所示：（2）解：即为三条边长分别为，，的三角形．如图所示：【点睛】本题主要考查了作图−应用于设计作图，无理数概念、勾股定理以及三角形有关知识的综合运用．解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．18．如图，△ABC中，，，，为上一点，连接，将沿折叠，点C落在边上的D点处，求的长．【答案】的长是3．【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用折叠的性质得到角、边的大小，在中，利用勾股定理求解即可．【详解】解：在中，由勾股定理可知：∴ 由折叠的性质得：，，设，则，，∴在中，∴解得∴的长是3．【点睛】此题考查了勾股定理，翻折变换（折叠问题），解题的关键是熟练掌握相关基础性质．19．如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折叠，使AB落在直线AC上．(1)BC＝______；(2)求重叠部分（阴影部分）的面积．【答案】(1)16(2)36【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可；（2）根据折叠的性质得出，设CD＝x，则，利用勾股定理得出CD=6，由三角形面积公式求解即可．【详解】（1）∵在中，，，，∴，故答案为：16；（2）由折叠可知，∵AC＝12，∴设CD＝x，则在中，，∴解得x＝6，∴．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握运用勾股定理及折叠的性质是解题关键．能力提升篇一、单选题：1．如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长为8，宽为4，则折痕的长度为（）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】过F点作于H．设，则．在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x为5，即可求出，．又易证，从而可求，最后再次利用勾股定理即可求出的长．【详解】解：如图，过F点作于H，由折叠的性质可知，．设，则，在中，，∴，解得：，∴，．∵，∴，又∵，∴，∴，∴．∵，∴．故选C．【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．2．如图，在纸片中，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为（

）A． B．10 C．11 D．【答案】A【分析】过点D作AB的垂线，垂足为G，过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，分别求出△DEA和△DFC的面积，利用S△DEF＝×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）可得结果．【详解】解：过点D作AB的垂线，垂足为G，∵∠BAC＝120°，∴∠GAC＝60°，∠GDA＝30°，∴AG＝，DG＝，设AE＝x，则BE＝12－x＝DE，在Rt△DGE中，，即，解得：x＝，∴S△ADE＝DG×AE＝＝，过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，∵，∴AN＝AB＝6，BN＝，∴BC＝，设DF＝y，则CF＝，DH＝，CH＝，则有，即，解得：，则S△DFC＝，∴S△DEF＝×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）＝＝＝故选A．【点睛】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出AE、BF的长是解题关键．3．如图，数轴上点，分别对应实数1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的实数的平方是（

）A．2 B．5 C． D．【答案】C【分析】先求出AC的长，然后确定点M对应的实数，最后求得结果．【详解】如下图，连接AC∵A、B分别对应1、2∴AB=BC=1∵PQ⊥AB∴在Rt△ABC中，AC=∴AM=AC=∴点M对应的点为：故选：C【点睛】本题考查勾股定理和数轴上点表示的数，解题关键是确定点M在数轴上对应的数，然后求平方即可．二、填空题：4．课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，，…线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，得________．【答案】【分析】利用勾股定理求出，观察、、，找出规律：，进而求出．【详解】解：……∴故答案为：．【点睛】本题为考查勾股定理和数字规律综合题，难度不大，熟练掌握勾股定理以及找到数字规律是解题关键．5．如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则________【答案】或##或【分析】分两种情况讨论：①当点E在线段CD上时，三点共线，根据可求得，再由勾股定理可得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值；②当点E在射线CD上时，设，则，，由勾股定理可解得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值即可．【详解】解：根据题意，四边形ABCD为长方形，，，将沿AE折叠得到，则，，，①如图1，当点E在线段CD上时，∵，∴三点共线，∵，∴，∵，∴；∴在中，；②如图2，当点E在射线CD上时，∵，，，∴，设，则，∴，∵，即，解得，∴，∴在中，．综上所述，AE的值为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．三、解答题：6．如图，长方形在平面直角坐标系中，，，折叠长