（江苏专用）高考数学二轮复习 第四篇 一 函数与方程思想、数形结合思想试题 理-人教版高三数学试题

函数与方程思想、数形结合思想数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.1.若0<x1<x2<1，则x2和x1的大小关系为________________.答案x2>x1解析设g(x)＝eq\f(ex,x)(0<x<1)，则g′(x)＝eq\f(exx－1,x2).又0<x<1，∴g′(x)<0，∴函数g(x)在(0,1)上是减函数.又0<x1<x2<1，∴g(x1)>g(x2)，∴x2>x1.2.(2018·宿州调研)已知定义在R上的偶函数满足f(x)＝x3＋4x(x≥0)，若f(1－2m)≥f(m)，则实数m的取值范围是______________.答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪[1，＋∞)解析由题意可知，定义在R上的偶函数f(x)＝x3＋4x(x≥0)，因为y＝x3，y＝4x在x≥0时都是单调递增的函数，故函数f(x)＝x3＋4x在x≥0时为增函数，又函数f(x)为偶函数，故图象关于y轴对称，所以f(1－2m)≥f(m)，只需|1－2m|≥|m|，即m∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪[1，＋∞).3.已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g′(x)，满足g′(x)－g(x)<0，若函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，且g(4)＝1，则不等式eq\f(gx,ex)>1的解集为________.答案(－∞，0)解析∵函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，∴g(0)＝g(4)＝1.设f(x)＝eq\f(gx,ex)，则f′(x)＝eq\f(g′xex－gxex,ex2)＝eq\f(g′x－gx,ex).又g′(x)－g(x)<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在R上单调递减.又f(0)＝eq\f(g0,e0)＝1，∴f(x)>f(0)，∴x<0.4.若x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是_________.答案[－6，－2]解析当－2≤x<0时，不等式转化为a≤eq\f(x2－4x－3,x3).令f(x)＝eq\f(x2－4x－3,x3)(－2≤x<0)，则f′(x)＝eq\f(－x2＋8x＋9,x4)＝eq\f(－x－9x＋1,x4)，故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1,0)上单调递增，此时有a≤f(x)min＝f(－1)＝eq\f(1＋4－3,－1)＝－2.当x＝0时，不等式恒成立.当0<x≤1时，a≥eq\f(x2－4x－3,x3)，则f(x)在(0,1]上单调递增，此时有a≥f(x)max＝f(1)＝eq\f(1－4－3,1)＝－6.综上，实数 a的取值范围是[－6，－2].二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程组来解决.5.已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d＝________.答案eq\f(2,3)解析设等差数列的首项为a1，公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10＝a1＋9d＝10，,S10＝10a1＋\f(10×9,2)d＝70，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋9d＝10，,2a1＋9d＝14，))解得d＝eq\f(2,3).6.在等差数列{an}中，若a1<0，Sn为其前n项和，且S7＝S17，则Sn取最小值时n的值为________.答案12解析由已知得，等差数列{an}的公差d>0,设Sn＝f(n)，则f(n)为二次函数，又由f(7)＝f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线n＝12对称，故Sn取最小值时n的值为12.7.(2018·江苏海安高级中学月考)已知等比数列{an}的公比q>1，其前n项和为Sn，若S4＝2S2＋1，则S6的最小值为________.答案2eq\r(3)＋3解析∵S4＝2S2＋1，∴eq\f(a11－q4,1－q)＝2eq\f(a11－q2,1－q)＋1⇒a1(1＋q)(q2－1)＝1，∵q>1，∴S6＝eq\f(a11－q6,1－q)＝eq\f(1,1＋qq2－1)×(1＋q＋q2)(1－q＋q2)(1＋q)＝q2－1＋eq\f(3,q2－1)＋3≥2eq\r(3)＋3，当且仅当q2＝1＋eq\r(3)(q>1)时取等号，∴S6的最小值为2eq\r(3)＋3.8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－2，S5＝0，S6＝3，则nSn的最小值为________.答案－9解析由已知得Sn＝eq\f(n2－5n,2)，故nSn＝eq\f(n3－5n2,2).令f(x)＝eq\f(x3－5x2,2)，则f′(x)＝eq\f(3,2)x2－5x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝eq\f(10,3)，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(10,3)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，＋∞))上单调递增.又∵n是正整数，当n＝3时，nSn＝－9，当n＝4时，nSn＝－8，故当n＝3时，nSn取得最小值－9.三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率、几何量等经常要用到方程组的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.9.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知AB＝4eq\r(2)，DE＝2eq\r(5)，则C的焦点到准线的距离为________.答案4解析不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，圆的方程设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，又可设A(x0,2eq\r(2))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))，点A(x0,2eq\r(2))在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0， ①点A(x0,2eq\r(2))在圆x2＋y2＝r2上，∴xeq\o\al(2,0)＋8＝r2， ②点Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))在圆x2＋y2＝r2上，∴5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))2＝r2， ③联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4.10.如图，已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若∠PAQ＝60°，且eq\o(OQ,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))，则双曲线C的离心率为________.答案eq\f(\r(7),2)解析因为∠PAQ＝60°，AP＝AQ，所以AP＝AQ＝PQ，设AQ＝2R，又eq\o(OQ,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))，则OP＝eq\f(1,2)PQ＝R.双曲线C的渐近线方程是y＝eq\f(b,a)x，A(a,0)，所以点A到直线y＝eq\f(b,a)x的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)·a－0)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋－12))＝eq\f(ab,\r(a2＋b2))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ab,\r(a2＋b2))))2＝(2R)2－R2＝3R2，即a2b2＝3R2(a2＋b2)，在△OQA中，由余弦定理得，OA2＝OQ2＋QA2－2OQ·QAcos60°＝(3R)2＋(2R)2－2×3R×2R×eq\f(1,2)＝7R2＝a2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2b2＝3R2a2＋b2，,a2＝7R2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝7R2，,b2＝\f(21,4)R2，))所以双曲线C的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(\f(21,4)R2,7R2))＝eq\f(\r(7),2).11.设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点.若eq\o(ED,\s\up6(→))＝6eq\o(DF,\s\up6(→))，则k的值为________.答案eq\f(2,3)或eq\f(3,8)解析依题意得椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k>0).如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1<x2，且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝eq\f(2,\r(1＋4k2)).由eq\o(ED,\s\up6(→))＝6eq\o(DF,\s\up6(→))知，x0－x1＝6(x2－x0)，得x0＝eq\f(1,7)(6x2＋x1)＝eq\f(5,7)x2＝eq\f(10,7\r(1＋4k2)).由点D在AB上知x0＋2kx0＝2，得x0＝eq\f(2,1＋2k).所以eq\f(2,1＋2k)＝eq\f(10,7\r(1＋4k2))，化简得24k2－25k＋6＝0，解得k＝eq\f(2,3)或k＝eq\f(3,8).12.已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x交于不同的两点A，B，且以AB为直径的圆过抛物线C的焦点F，则k＝________.答案eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),2)解析点F的坐标为(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝k(x1＋1)，y2＝k(x2＋1)，当k＝0时，l与C只有一个交点，不合题意，因此k≠0.将y＝k(x＋1)代入y2＝4x，消去y，得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0， ①依题意知，x1，x2是①的不相等的两个实根，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4k2－22－4k4>0，,x1，2＝\f(－k2－2±2\r(1－k2),k2)，)) ②由以AB为直径的圆过F，得AF⊥BF，即kAF·kBF＝－1，所以eq\f(y1,x1－1)·eq\f(y2,x2－1)＝－1，即x1x2＋y1y2－(x1＋x2)＋1＝0，所以x1x2＋k2(x1＋1)(x2＋1)－(x1＋x2)＋1＝0，所以(1＋k2)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋1＋k2＝0， ③把x1,2＝eq\f(－k2－2±2\r(1－k2),k2)代入③得2k2－1＝0，解得k＝±eq\f(\r(2),2)，经检验k＝±eq\f(\r(2),2)适合②式.综上所述，k＝±eq\f(\r(2),2).一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解或函数零点的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数.1.函数f(x)＝2x－eq\f(1,x)的零点个数为________.答案1解析在同一平面直角坐标系下，作出函数y1＝2x和y2＝eq\f(1,x)的图象，如图所示.函数f(x)＝2x－eq\f(1,x)的零点等价于2x＝eq\f(1,x)的根，等价于函数y1＝2x和y2＝eq\f(1,x)图象的交点横坐标.由图可知只有一个交点，所以有一个零点.2.若关于x的方程eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x)),x＋4)＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))解析x＝0是方程的一个实数解；当x≠0时，方程eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x)),x＋4)＝kx2可化为eq\f(1,k)＝(x＋4)|x|，x≠－4，设f(x)＝(x＋4)|x|(x≠－4且x≠0)，y＝eq\f(1,k)，则两函数图象有三个非零交点.f(x)＝(x＋4)|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x>0，,－x2－4x，x<0，x≠－4))的大致图象如图所示，由图可得0<eq\f(1,k)<4,解得k>eq\f(1,4).所以k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)).3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cosπx|在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(1,2)))上的所有实数解之和为________.答案－7解析因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2.又当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y1＝f(x)与y2＝|cosπx|的图象如图所示.由图象知关于x的方程f(x)＝|cosπx|在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(1,2)))上的实数解有7个.不妨设x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7，则由图得x1＋x2＝－4，x3＋x5＝－2，x4＝－1，x6＋x7＝0，所以方程f(x)＝|cosπx|在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(1,2)))上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7.4.(2018·无锡检测)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥1，,x·log2x＋1，－1<x<1，))若方程f(x)－mx＝0恰好有3个根，则实数m的取值范围为________.答案(0,1)解析当x＝0时，xlog2(x＋1)－mx＝0，所以x＝0是方程的一个根；当x≥1时，1＝mx，所以m＝eq\f(1,x)，当－1<x<1且x≠0时，令xlog2(x＋1)＝mx，则m＝log2(x＋1)，画出关于g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋1，－1<x<1，且x≠0，,\f(1,x)，x≥1))的函数图象，如图.所以满足y＝m和y＝g(x)的图象有两个交点的m的取值范围为0<m<1，因为x＝0是方程f(x)－mx＝0的一个根，所以方程f(x)＝mx有3个根的m的取值范围为0<m<1.二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x＞0，))则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是________.答案(－∞，0)解析方法一①当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≤0，,2x≤0，))即x≤－1时，f(x＋1)＜f(2x)即为2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1].②当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≤0，,2x＞0))时，不等式组无解.③当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,2x≤0，))即－1＜x≤0时，f(x＋1)＜f(2x)即1＜2－2x，解得x＜0.因此不等式的解集为(－1,0).④当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,2x＞0，))即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意.综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0).方法二∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x＞0，))∴函数f(x)的图象如图所示.由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x.此时x≤－1.当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，满足f(x＋1)＜f(2x).此时－1＜x＜0.综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0).6.设A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是________.答案[eq\r(2)－1，＋∞)解析集合A是圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有eq\f(|m＋1|,\r(2))＝1，又m>0，所以m＝eq\r(2)－1，故m的取值范围是[eq\r(2)－1，＋∞).7.若不等式|x－2a|≥eq\f(1,2)x＋a－1对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))解析作出y1＝|x－2a|和y2＝eq\f(1,2)x＋a－1的简图，如图所示.依题意得2a≤2－2a，故a≤eq\f(1,2).8.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2ax，x≥1，,2ax－1，x<1，))若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，则实数a的取值范围为________.答案[0，＋∞)解析根据题意知f(x)是一个分段函数，当x≥1时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为x＝a；当x<1时，是一个一次函数.当a>1时，如图(1)所示，符合题意；当0≤a≤1时，如图(2)所示，符合题意；当a<0时，如图(3)所示，此时函数在R上单调递减，不满足题意.综上所述，可得a≥0.三、数形结合思想在解析几何中的应用在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围；常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.9.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为________.答案6解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且AB＝2m，因为∠APB＝90°，连结OP，可知OP＝eq\f(1,2)AB＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为OC＝5，所以(OP)max＝OC＋r＝6，即m的最大值为6.10.设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为________.答案eq\r(5)解析如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连结OQ，则OQ⊥PF2.又PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，所以PF1＝2OQ＝2a.又PF2－PF1＝2a，所以PF2＝4a.在Rt△F1PF2中，由PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)，得4a2＋16a2＝20a2＝4c2，即e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).11.已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))解析因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连结AQ，由抛物线的定义可知，△APF的周长为PF＋PA＋AF＝PQ＋PA＋AF≥AQ＋AF≥AB＋AF，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即AB＋AF.因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝eq\f(1,2).故使△APF的周长最小的点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))).12.已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________.答案2eq\r(2)解析连结PC，由题意知圆的圆心C(1,1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB有唯一的最小值，此时PC＝eq\f(|3×1＋4×1＋8|,\r(32＋42))＝3，从而PA＝eq\r(PC2－AC2)＝2eq\r(2)，所以(S四边形PACB)min＝2×eq\f(1,2)×PA×AC＝2eq\r(2).1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上是减函数，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))的大小关系为________.答案f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))解析因为f(x＋2)＝－f(x)，所以T＝4，又f(x)为奇函数，所以f(x＋1)＝－f(x－1)＝f(1－x)，即f(x)图象关于x＝1对称.作图，由图知f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4))).2.分别在曲线y＝2lnx与直线y＝2x＋3上各取一点M，N，则MN的最小值为________.答案eq\r(5)解析设直线y＝2x＋t与曲线y＝2lnx相切于点Q(a，b)，而函数y＝2lnx的导数为y′＝eq\f(2,x)，令eq\f(2,a)＝2，解得a＝1，求得Q(1,0)，点Q到直线y＝2x＋3的距离为d＝eq\f(|2×1－0＋3|,\r(4＋1))＝eq\r(5)，即MN的最小值为eq\r(5).3.在三棱锥A－BCD中，△ABC为等边三角形，AB＝2eq\r(3)，∠BDC＝90°，二面角A－BC－D的大小为150°，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为________.答案28π解析满足题意的三棱锥A－BCD如图所示，设三棱锥A－BCD的外接球的球心为O，半径为R，△BCD，△ABC的外接圆的圆心分别为O1，O2，可知O，O1，O2在同一平面内，由二面角A－BC－D的大小为150°，得∠OO1O2＝150°－90°＝60°.依题意，可得△BCD，△ABC的外接圆的半径分别为r1＝eq\f(BC,2)＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)，r2＝2eq\r(3)×sin60°×eq\f(2,3)＝2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2＝OO\o\al(2,1)＋r\o\al(2,1)，,R2＝OO\o\al(2,2)＋r\o\al(2,2)，,sin∠OO1O2＝\f(OO2,OO1)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2＝OO\o\al(2,1)＋3，,R2＝OO\o\al(2,2)＋4，,OO2＝\f(\r(3),2)OO1，))解得R＝eq\r(7)，所以三棱锥A－BCD的外接球的表面积为4πR2＝28π.4.过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F作直线y＝－eq\f(b,a)x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若eq\o(FB,\s\up6(→))＝2eq\o(FA,\s\up6(→))，则该双曲线的离心率为________.答案eq\r(5)解析设F(c,0)，则直线AB的方程为y＝eq\f(a,b)(x－c)，代入双曲线渐近线方程y＝－eq\f(b,a)x，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，－\f(ab,c))).由eq\o(FB,\s\up6(→))＝2eq\o(FA,\s\up6(→))，可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a2－c2,c)，－\f(2ab,c)))，把B点坐标代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(2a2－c22,a2c2)－eq\f(4a2,c2)＝1，∴c2＝5a2，∴离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).5.记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3,13－x}的最大值为________.答案8解析在同一坐标系中作出三个函数y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的图象如图.∞)上，在C点时，y＝min{x2＋1，x＋3,13－x}取得最大值.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3，,y＝13－x，))得点C(5,8).所以f(x)max＝8.6.已知函数f(x)＝|lg(x－1)|，若1＜a＜b且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围为________.答案(6，＋∞)解析由图象可知b＞2,1＜a＜2，∴－lg(a－1)＝lg(b－1)，则a＝eq\f(b,b－1)，则a＋2b＝eq\f(b,b－1)＋2b＝eq\f(2b2－b,b－1)＝eq\f(2b－12＋3b－1＋1,b－1)＝2(b－1)＋eq\f(1,b－1)＋3，由对勾函数的性质知，当b∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋1，＋∞))时，f(b)＝2(b－1)＋eq\f(1,b－1)＋3单调递增，∵b＞2，∴a＋2b＝eq\f(b,b－1)＋2b＞6.7.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x，x≥1，,x2－3x＋2，x<1，))若不等式f(x)≥mx恒成立，则实数m的取值范围为________.答案[－3－2eq\r(2)，0]解析函数f(x)及y＝mx的图象如图所示，由图象可知，当m>0时，不等式f(x)≥mx不恒成立，设过原点的直线与函数f(x)＝x2－3x＋2(x<1)相切于点A(x0，xeq\o\al(2,0)－3x0＋2)，因为f′(x0)＝2x0－3，所以该切线方程为y－(xeq\o\al(2,0)－3x0＋2)＝(2x0－3)(x－x0)，因为该切线过原点，所以－(xeq\o\al(2,0)－3x0＋2)＝－x0(2x0－3)，解得x0＝－eq\r(2)，即该切线的斜率k＝－2eq\r(2)－3.由图象得－2eq\r(2)－3≤m≤0.8.已知函数f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＋x＋sinx，若存在x∈[－2,1]，使得f(x2＋x)＋f(x－k)<0成立，则实数k的取值范围是________.答案(－1，＋∞)解析由题意知函数f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＋x＋sinx的定义域为R，f(－x)＝eq\f(3－x－1,3－x＋1)＋(－x)＋sin(－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x－1,3x＋1)＋x＋sinx))＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，且f′(x)＝eq\f(2ln3·3x,3x＋12)＋1＋cosx>0在R上恒成立，即函数f(x)在R上单调递增.若∃x∈[－2，1]，使得f(x2＋x)＋f(x－k)<0成立，即f(x2＋x)<－f(x－k)，所以f(x2＋x)<f(k－x)，即x2＋x<k－x，则问题转化为∃x∈[－2,1]，k>x2＋2x，令g(x)＝x2＋2x，x∈[－2,1].则k>g(x)min＝g(－1)＝－1，故实数k的取值范围是(－1，＋∞).9.已知正四棱锥的体积为eq\f(32,3)，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.答案2eq\r(3)解析如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.则该正四棱锥的体积V＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(32,3)，故a2h＝32，即a2＝eq\f(32,h).则其侧棱长为l＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)))2＋h2)＝eq\r(\f(16,h)＋h2).令f(h)＝eq\f(16,h)＋h2，则f′(h)＝－eq\f(16,h2)＋2h＝eq\f(2h3－16,h2)，令f′(h)＝0，解得h＝2.当h∈(0,2)时，f′(h)<0，f(h)单调递减；当h∈(2，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)单调递增，所以当h＝2时，f(h)取得最小值f(2)＝eq\f(16,2)＋22＝12，故lmin＝eq\r(12)＝2eq\r(3).10.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.答案(0,2)解析由f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，可得|2x－2|＝b有两个不等的实根，从而可得函数y1＝|2x－2|的图象与函数y2＝b的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0<b<2.11.已知椭圆C1：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1和圆C2：x2＋(y＋1)2＝r2(r>0)，若两条曲线没有公共点，则r的取值范围是______________.答案(0,1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(30),5)，＋∞))解析方法一联立C1和C2的方程，消去x，得到关于y的方程－eq\f(5,4)y2＋2y＋10－r2＝0， ①方程①可变形为r2＝－eq\f(5,4)y2＋2y＋10，把r2＝－eq\f(5,4)y2＋2y＋10看作关于y的函数.由椭圆C1可知，－2≤y≤2，因此，求使圆C2与椭圆C1有公共点的r的集合，等价于在定义域为y∈[－2,2]的情况下，求函数r2＝f(y)＝－eq\f(5,4)y2＋2y＋10的值域.由f(－2)＝1，f(2)＝9，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))＝eq\f(54,5)，可得f(y)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs