（江苏专用）高考数学一轮复习 加练半小时 专题6 数列 第46练 数列求和 文（含解析）-人教版高三数学试题

第46练数列求和[基础保分练]1.数列1eq\f(1,2)，2eq\f(1,4)，3eq\f(1,8)，4eq\f(1,16)，…，前n项和为________.2.数列{an}中，an＝(－1)nn，则a1＋a2＋…＋a10＝________.3.已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(2n－1,2n)，其前n项和Sn＝eq\f(321,64)，则项数n＝________.4.数列{an}满足：a1＝1，a2＝－1，a3＝－2，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则数列{an}的前2019项的和为________.5.数列{an}的前n项和为Sn，若an＝eq\f(1,nn＋1)，则S5＝________.6.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝eq\f(1,1＋2)，a3＝eq\f(1,1＋2＋3)，a4＝eq\f(1,1＋2＋3＋4)，…，an＝eq\f(1,1＋2＋3＋4＋…＋n)，则数列{an}的前n项和Sn＝________.7.已知正数数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lga1＋lga2019＝0，若f(x)＝eq\f(2,1＋x2)，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2019)＝________.8.在有穷数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，若把eq\f(S1＋S2＋…＋Sn,n)称为数列{an}的“优化和”，现有一个共2017项的数列{an}：a1，a2，…，a2017，若其“优化和”为2018，则有2018项的数列：1，a1，a2，…，a2017的“优化和”为________.9.数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－1)，则该数列的前80项之和为________.10.已知数列{an}中，a1＝1，a3＝6，且an＝an－1＋λn(n≥2).则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和为________.[能力提升练]1.已知数列{an}中第15项a15＝256，数列{bn}满足log2b1＋log2b2＋…＋log2b14＝7，且an＋1＝an·bn，则a1＝________.2.已知函数f(n)＝n2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n－3,2)π))，且an＝f(n)，则a1＋a2＋a3＋…＋a200＝________.3.已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，且bn＝ancoseq\f(2nπ,3)，记Sn为数列{bn}的前n项和，则S24＝________.4.已知数列{an}，定义数列{an＋1－2an}为数列{an}的“2倍差数列”，若{an}的“2倍差数列”的通项公式为an＋1－2an＝2n＋1，且a1＝2，若数列{an}的前n项和为Sn，则S33＝________.5.数列{an}满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，则eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a2019)等于________.6.设f(x)＝eq\f(cosx,cos30°－x)，根据课本中推导等差数列前n项和的方法可以求得f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)的值是________.答案精析基础保分练1.1－eq\f(1,2n)＋eq\f(n2＋n,2)2.53.64.－25.eq\f(5,6)6.eq\f(2n,n＋1)7.2019解析∵正数数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lga1＋lga2019＝0，∴lg(a1·a2019)＝0，即a1·a2019＝1.∵函数f(x)＝eq\f(2,1＋x2)，∴f(x)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(2,1＋x2)＋eq\f(2,1＋\f(1,x2))＝eq\f(2＋2x2,1＋x2)＝2，令T＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2019)，则T＝f(a2019)＋f(a2018)＋…＋f(a1)，∴2T＝f(a1)＋f(a2019)＋f(a2)＋f(a2018)＋…＋f(a2019)＋f(a1)＝2×2019，∴T＝2019.8.2018解析因为a1，a2，…，a2017的“优化和”为eq\f(a1＋a1＋a2＋…＋a1＋a2＋…＋a2017,2017)，故eq\f(2017a1＋2016a2＋2015a3＋…＋a2017,2017)＝2018，也就是2017a1＋2016a2＋2015a3＋…＋a2017＝2017×2018.又1，a1，a2，…，a2017的“优化和”为eq\f(2018×1＋2017a1＋2016a2＋2015a3＋…＋a2017,2018)＝eq\f(2018＋2017×1018,2018)＝2018.9.12010.eq\f(2n,n＋1)解析由题意，可得a2＝a1＋2λ＝1＋2λ，a3＝a2＋3λ＝1＋5λ＝6，解得λ＝1，则an－an－1＝n，n≥2，可得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，n＝1时，a1＝1＝eq\f(1×2,2)，满足上式.则eq\f(1,an)＝eq\f(2,nn＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和为Tn＝2eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(2n,n＋1).能力提升练1.22.20100解析an＝f(n)，当n为偶数时，f(n)＝n2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n－3,2)π))＝n2，当n为奇数时，f(n)＝n2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n－3,2)π))＝－n2，故a1＋a2＋a3＋…＋a200＝－1＋22－32＋42－…－1992＋2002＝(2－1)(1＋2)＋…＋(200－199)(200＋199)＝1＋2＋3＋…＋199＋200＝20100.3.304解析∵nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，∴eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是公差与首项都为1的等差数列，∴eq\f(an,n)＝1＋(n－1)×1，可得an＝n2.∵bn＝ancoseq\f(2nπ,3)，∴bn＝n2coseq\f(2nπ,3)，令n＝3k－2，k∈N*，则b3k－2＝(3k－2)2coseq\f(23k－2π,3)＝－eq\f(1,2)(3k－2)2，k∈N*，同理可得b3k－1＝－eq\f(1,2)(3k－1)2，k∈N*，b3k＝(3k)2，k∈N*.∴b3k－2＋b3k－1＋b3k＝－eq\f(1,2)(3k－2)2－eq\f(1,2)(3k－1)2＋(3k)2＝9k－eq\f(5,2)，k∈N*，则S24＝9×(1＋2＋…＋8)－eq\f(5,2)×8＝304.4.239＋2解析根据题意得an＋1－2an＝2n＋1，a1＝2，∴eq\f(an＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝1，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))表示首项为1，公差为1的等差数列，∴eq\f(an,2n)＝1＋(n－1)＝n，∴an＝n·2n，∴Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，∴2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，∴－Sn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1＝eq\f(21－2n,1－2)－n·2n＋1＝－2＋2n＋1－n·2n＋1，＝－2＋(1－n)2n＋1，∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2，S33＝(33－1)233＋1＋2＝239＋2.5.eq\f(2019,1010)解析∵对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，且a1＝1，∴令m＝1代入得，an＋1＝a1＋an＋n，则an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，以上n－1个式子相加可得，an－a1＝2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(n－1n＋2,2)，则an＝a1＋eq\f(1,2)(n－1)(n＋2)＝eq\f(1,2)n(n＋1)，n＝1时，适合此式，∴eq\f(1,an)＝eq\f(2,nn＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a2019)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,2019)－\f(1,2020)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2020)))＝eq\f(2019,1010).6.eq\f(59\r(3),2)解析令S＝f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)＝eq\f(cos1°,cos29°)＋eq\f(cos2°,cos28°)＋…＋eq\f(cos59°,cos－29°)，①则S＝eq\f(cos59°,cos－29°)＋eq\f(cos58°,cos－28°)＋…＋eq\f(cos1°,cos29°)②①＋②可得2S