（江苏专用）高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 理-人教版高三数学试题

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3．公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．(×)(3)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(×)(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.(√)(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√)1．已知sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，则sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝.答案eq\f(17,18)解析由sinα＋cosα＝eq\f(1,3)两边平方得1＋sin2α＝eq\f(1,9)，解得sin2α＝－eq\f(8,9)，所以sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α)),2)＝eq\f(1－sin2α,2)＝eq\f(1＋\f(8,9),2)＝eq\f(17,18).2．若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，则tan2α＝.答案eq\f(3,4)解析由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，等式左边分子、分母同除cosα得，eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(1,2)，解得tanα＝－3，则tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(3,4).3．(2015·重庆改编)若tanα＝eq\f(1,3)，tan(α＋β)＝eq\f(1,2)，则tanβ＝.答案eq\f(1,7)解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq\f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq\f(1,7).4．(教材改编)sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝.答案eq\f(\r(2),2)解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝eq\f(\r(2),2).5．设α为锐角，若cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(4,5)，则sin(2α＋eq\f(π,12))的值为．答案eq\f(17\r(2),50)解析∵α为锐角，cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(4,5)，∴α＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，∴sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(3,5)，∴sin(2α＋eq\f(π,3))＝2sin(α＋eq\f(π,6))cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(24,25)，∴cos(2α＋eq\f(π,3))＝2cos2(α＋eq\f(π,6))－1＝eq\f(7,25)，∴sin(2α＋eq\f(π,12))＝sin(2α＋eq\f(π,3)－eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)[sin(2α＋eq\f(π,3))－cos(2α＋eq\f(π,3))]＝eq\f(17\r(2),50).题型一三角函数公式的基本应用例1(1)已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，则eq\f(cos2α,\r(2)sinα＋\f(π,4))＝.(2)设sin2α＝－sinα，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则tan2α的值是．答案(1)－eq\f(7,5)(2)eq\r(3)解析(1)eq\f(cos2α,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(cos2α－sin2α,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinα＋\f(\r(2),2)cosα)))＝cosα－sinα，∵sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\f(4,5).∴原式＝－eq\f(7,5).(2)∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，∴cosα＝－eq\f(1,2)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝－eq\r(3)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(－2\r(3),1－－\r(3)2)＝eq\r(3).思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)若α∈(eq\f(π,2)，π)，tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,7)，则sinα＝.(2)已知cos(x－eq\f(π,6))＝－eq\f(\r(3),3)，则cosx＋cos(x－eq\f(π,3))的值是．答案(1)eq\f(3,5)(2)－1解析(1)∵tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(1,7)，∴tanα＝－eq\f(3,4)＝eq\f(sinα,cosα)，∴cosα＝－eq\f(4,3)sinα.又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝eq\f(9,25).又∵α∈(eq\f(π,2)，π)，∴sinα＝eq\f(3,5).(2)cosx＋cos(x－eq\f(π,3))＝cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\f(3,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)(eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(1,2)sinx)＝eq\r(3)cos(x－eq\f(π,6))＝－1.题型二三角函数公式的灵活应用例2(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为．(2)(2015·重庆改编)若tanα＝2taneq\f(π,5)，则eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝.答案(1)eq\f(\r(2),2)(2)3解析(1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).(2)eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,5))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sinαcos\f(π,5)＋cosαsin\f(π,5),sinαcos\f(π,5)－cosαsin\f(π,5))＝eq\f(\f(tanα,tan\f(π,5))＋1,\f(tanα,tan\f(π,5))－1)＝eq\f(2＋1,2－1)＝3.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)在斜三角形ABC中，sinA＝－eq\r(2)cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－eq\r(2)，则角A的值为．(2)函数f(x)＝2sin2(eq\f(π,4)＋x)－eq\r(3)cos2x的最大值为．答案(1)eq\f(π,4)(2)3解析(1)由题意知：sinA＝－eq\r(2)cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－eq\r(2)cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－eq\r(2)，又tan(B＋C)＝eq\f(tanB＋tanC,1－tanBtanC)＝－1＝－tanA，所以A＝eq\f(π,4).(2)f(x)＝1－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\f(π,4)＋x))－eq\r(3)cos2x＝sin2x－eq\r(3)cos2x＋1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋1，可得f(x)的最大值是3.题型三角的变换问题例3(1)设α、β都是锐角，且cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，则cosβ＝.(2)已知cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，则sin(α＋eq\f(7π,6))的值是．答案(1)eq\f(2\r(5),25)(2)－eq\f(4,5)解析(1)依题意得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(5),5)，cos(α＋β)＝±eq\r(1－sin2α＋β)＝±eq\f(4,5).又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β)．因为eq\f(4,5)>eq\f(\r(5),5)>－eq\f(4,5)，所以cos(α＋β)＝－eq\f(4,5).于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(3,5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(2\r(5),25).(2)∵cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，∴eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(3,2)sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，eq\r(3)(eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα)＝eq\f(4,5)eq\r(3)，eq\r(3)sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(4,5)eq\r(3)，∴sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(4,5)，∴sin(α＋eq\f(7π,6))＝－sin(eq\f(π,6)＋α)＝－eq\f(4,5).思维升华(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝(α＋eq\f(β,2))－(eq\f(α,2)＋β)等．若0＜α＜eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)＜β＜0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,3)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝.答案eq\f(5\r(3),9)解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))，∵0＜α＜eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)＜eq\f(π,4)＋α＜eq\f(3π,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(2\r(2),3).又－eq\f(π,2)＜β＜0，则eq\f(π,4)＜eq\f(π,4)－eq\f(β,2)＜eq\f(π,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(6),3).故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),3)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(5\r(3),9).5．三角函数求值忽视角的范围致误典例(1)已知0＜β＜eq\f(π,2)＜α＜π，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(1,9)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(2,3)，则cos(α＋β)的值为．(2)已知在△ABC中，sin(A＋B)＝eq\f(2,3)，cosB＝－eq\f(3,4)，则cosA＝.易错分析(1)角eq\f(α,2)－β，α－eq\f(β,2)的范围没有确定准确，导致开方时符号错误．(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B为钝角．解析(1)∵0＜β＜eq\f(π,2)＜α＜π，∴－eq\f(π,4)＜eq\f(α,2)－β＜eq\f(π,2)，eq\f(π,4)＜α－eq\f(β,2)＜π，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))＝eq\f(\r(5),3)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2))))＝eq\f(4\r(5),9)，∴coseq\f(α＋β,2)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)))×eq\f(\r(5),3)＋eq\f(4\r(5),9)×eq\f(2,3)＝eq\f(7\r(5),27)，∴cos(α＋β)＝2cos2eq\f(α＋β,2)－1＝2×eq\f(49×5,729)－1＝－eq\f(239,729).(2)在△ABC中，∵cosB＝－eq\f(3,4)，∴eq\f(π,2)＜B＜π，sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(\r(7),4).∵eq\f(π,2)＜B＜A＋B＜π，sin(A＋B)＝eq\f(2,3)，∴cos(A＋B)＝－eq\r(1－sin2A＋B)＝－eq\f(\r(5),3)，∴cosA＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＋eq\f(2,3)×eq\f(\r(7),4)＝eq\f(3\r(5)＋2\r(7),12).答案(1)－eq\f(239,729)(2)eq\f(3\r(5)＋2\r(7),12)温馨提醒在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧]1．巧用公式变形：和差角公式变形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1∓tanx·tany)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，配方变形：1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2，1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[失误与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围.A组专项基础训练(时间：40分钟)1．eq\f(cos85°＋sin25°cos30°,cos25°)＝.答案eq\f(1,2)解析原式＝eq\f(sin5°＋\f(\r(3),2)sin25°,cos25°)＝eq\f(sin30°－25°＋\f(\r(3),2)sin25°,cos25°)＝eq\f(\f(1,2)cos25°,cos25°)＝eq\f(1,2).2．若θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，sin2θ＝eq\f(3\r(7),8)，则sinθ＝.答案eq\f(3,4)解析由sin2θ＝eq\f(3\r(7),8)和sin2θ＋cos2θ＝1得(sinθ＋cosθ)2＝eq\f(3\r(7),8)＋1＝(eq\f(3＋\r(7),4))2，又θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，∴sinθ＋cosθ＝eq\f(3＋\r(7),4).同理，sinθ－cosθ＝eq\f(3－\r(7),4)，∴sinθ＝eq\f(3,4).3．若tanθ＝eq\r(3)，则eq\f(sin2θ,1＋cos2θ)＝.答案eq\r(3)解析eq\f(sin2θ,1＋cos2θ)＝eq\f(2sinθcosθ,1＋2cos2θ－1)＝tanθ＝eq\r(3).4．已知cosα＝－eq\f(\r(5),5)，tanβ＝eq\f(1,3)，π<α<eq\f(3,2)π，0<β<eq\f(π,2)，则α－β的值为．答案eq\f(5,4)π解析因为π<α<eq\f(3,2)π，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，所以sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，tanα＝2，又tanβ＝eq\f(1,3)，所以tan(α－β)＝eq\f(2－\f(1,3),1＋\f(2,3))＝1，由π<α<eq\f(3,2)π，－eq\f(π,2)<－β<0得eq\f(π,2)<α－β<eq\f(3,2)π，所以α－β＝eq\f(5,4)π.5．已知tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，那么taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝.答案eq\f(3,22)解析因为α＋eq\f(π,4)＋β－eq\f(π,4)＝α＋β，所以α＋eq\f(π,4)＝(α＋β)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝eq\f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))))＝eq\f(3,22).6.eq\f(sin250°,1＋sin10°)＝.答案eq\f(1,2)解析eq\f(sin250°,1＋sin10°)＝eq\f(1－cos100°,21＋sin10°)＝eq\f(1－cos90°＋10°,21＋sin10°)＝eq\f(1＋sin10°,21＋sin10°)＝eq\f(1,2).7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝.答案1解析根据已知条件：cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，cosβ(cosα－sinα)＋sinβ(cosα－sinα)＝0，即(cosβ＋sinβ)(cosα－sinα)＝0.又α、β为锐角，则sinβ＋cosβ＞0，∴cosα－sinα＝0，∴tanα＝1.8．函数f(x)＝2cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的最大值为．答案1－eq\f(\r(3),2)解析∵f(x)＝2cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝2cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx－\f(\r(3),2)cosx))＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－eq\f(\r(3),2)，∴f(x)的最大值为1－eq\f(\r(3),2).9．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq\f(1,4)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).(1)求sin2α的值；(2)求tanα－eq\f(1,tanα)的值．解(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,4)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2).∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，∴2α＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(4π,3)))∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)，∴sin2α＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))coseq\f(π,3)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2).(2)∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，∴2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，又由(1)知sin2α＝eq\f(1,2)，∴cos2α＝－eq\f(\r(3),2).∴tanα－eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)－eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sin2α－cos2α,sinαcosα)＝eq\f(－2cos2α,sin2α)＝－2×eq\f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝2eq\r(3).10．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),2).(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求cosβ的值．解(1)因为sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),2)，两边同时平方，得sinα＝eq\f(1,2).又eq\f(π,2)<α<π，所以cosα＝－eq\f(\r(3),2).(2)因为eq\f(π,2)<α<π，eq\f(π,2)<β<π，所以－π<－β<－eq\f(π,2)，故－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2).又sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，得cos(α－β)＝eq\f(4,5).cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－eq\f(\r(3),2)×eq\f(4,5)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(4\r(3)＋3,10).B组专项能力提升(时间：20分钟)11．已知tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,2)，且－eq\f(π,2)<α<0，则eq\f(2sin2α＋sin2α,cosα－\f(π,4))＝.答案－eq\f(2\r(5),5)解析由tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(1,2)，得tanα＝－eq\f(1,3).又－eq\f(π,2)<α<0，所以sinα＝－eq\f(\r(10),10).故eq\f(2sin2α＋sin2α,cosα－\f(π,4))＝eq\f(2sinαsinα＋cosα,\f(\r(2),2)sinα＋cosα)＝2eq\r(2)sinα＝－eq\f(2\r(5),5).12．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且sin2α－sinαcosα－2cos2α＝0，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝.答案eq\f(8－5\r(3),11)解析∵sin2α－sinαcosα－2cos2α＝0，cosα≠0，∴tan2α－tanα－2＝0.∴tanα＝2或tanα＝－1，∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴tanα＝2，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(tan\f(π,3)－tanα,1＋tan\f(π,3)tanα)＝eq\f(\r(3)－2,1＋2\r(3))＝eq\f(\r(3)－22\r(3)－1,2\r(3)－12\r(3)＋1)＝eq\f(8－5\r(3),12－1)＝eq\f(8－5\r(3),11).13．已知cos4α－sin4α＝eq\f(2,3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝.答案eq\f(2－\r(15),6)解析∵cos4α－sin4α＝(