2023年高考第三次模拟考试卷-数学（天津A卷）（解析）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

数学・全解全析

一、选择题(本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.)

1.已知全集U=R,集合A={x∣f-χ-6>θ},B={x∈Z∣k-2∣<3},则(0A)C3=()

A.(-1,3]B.[-1,3]C.{-l,0,1,2,3}D.{0,l,2,3)

【答案】D

【分析】分别求出集合A、乐A、B,再求交集可得答案.

【详解】因为A=HX2-χ-6)θ}=(y,-2)53,+s),所以64=[-2,3],

又因为8={x∈Z∣-3<x-2<3}={x∈Z∣T<x<5}={0,l,2,3,4},

所以(Q,A)cB={0,l,2,3}.

故选：D.

2.已知”0,则“∕<q"是，,>α”的()条件.

a

A.充分不必要B.充要

C.必要不充分D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】解不等式，根据充要条件的定义判断即可.

【详解】由∕<°可得03-α<o即q(α+i)(α-i)<o,

解得"-1或O<“<l,

由∙L>α可得∙L-4>O即上直>o,

aaa

所以(1一〃)。+>O也即a(a+l)(α-l)<0,

解得αv-l或Ovavl,

所以“d<α”是“l>a”的充要条件，

a

故选:B.

3.函数y=三含lς的大致图象是()

∖χ∖

斗

1-

A.,二r

-2-1O∖J^Tx

-1-

【答案】A

【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项BQ；再利用特殊值即可排除选项C,进而求解.

、x-3sinx

【详解】函数y=∕(χ)=­H—的定义域为(-∞,o)(o,+∞),

-x-3sin(-x)_-X+3SinX_

且/(-X)=-fS),

bʌ'lW

所以/（X）是奇函数，图象关于原点对称，排除BQ选项,

只需研究x＞。的图象，当“耕，/Si吟4-1＜。，贝"（小。，排除C选项.

故选：A.

4.在某次高中学科知识竞赛中，对2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图,

其中分组的区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90.100],60分以下视为不及格，则下

列说法中正确的个数有（）

①"的值为0.300

②不及格的考生数为500

③考生竞赛成绩的平均分约为70.5分（同一组中数据用该组区间中点值近似代替）

④考生竞赛成绩的中位数约为75分

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据频率分布直方图分析即可.

【详解】由频率分布直方图可得：

α=0.1-0.01x2-0.015x2-0.02=0.03,①错误；

不足60的占比为：(0.01+0.015)xl0x2(X)0=500,②正确；

平均分为：(45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.01)×10=70.5,③正确；

设中位数为X,则(x-70)x0.03+10x(0.01+0.015+0.02)=0.5,解得χ=70+1≠75,④错误,综上正确的有

2个.

故选:B

02

5.已知α=k‰j0∙3,⅛=Iog060.2,c=2-,则a,b,C的大小关系为()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【分析】根据对数函数的单调性可得a<1,b>2,利用指数函数的单调性可得l<c<√∑,进而即得.

【详解】因为α=Iog020∙3<∙og(∣202=1,

a<1,又b=Iog060.2>Iog060.36=2,

：.b>2,

VO<0.2<0.5,1<C=20∙2<2U∙5=√2.

ʌl<c<√2<2-

∙∙h>c>a.

故选：D.

6.三星堆古遗址作为“长江文明之源”，被誉为人类最伟大的考古发现之一∙3号坑发现的神树纹玉琮，为今

人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造,

契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构

成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm,圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球

。上，则球。的表面积为()

A.72πcmB.162πcm2C.216πcm2D.288πcm2

【答案】C

【分析】根据题意可知正方体的体对角线即是外接球的直径，又因圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，可

利用勾股定理得出正方体边长，继而求出球的表面积.

【详解】不妨设正方体的边长为2%球。的半径为此则圆柱的底面半径为m

因为正方体的体对角线即为球。直径，故2R=2√5α,

利用勾股定理得：62+a2=R2=3a2,解得α=18,球的表面积为S=4πR?=4兀χ3xl8=216兀，

故选：C.

92

7.设厂(GO)为双曲线E:0-2=l(α>0,"0)的右焦点，圆♦+倒=与E的两条渐近线分别相交于人,

B两点,。为坐标原点，若四边形OAFB是边长为4的菱形，则E的方程为(

123

【答案】D

【分析】根据菱形、圆的性质知c=4R∕OAF.∆OBF均为等边三角形,结合渐近线方程、双曲线参数

关系求白,即可求E的方程.

【详解】由四边形OAFB是边长为4的菱形，知：c=4且A04P∖△OBF均为等边三角形,而渐近线方

程为y=±3,

a

.∖2=tan60°=>Λ,又μ+从=c2=i6,

a2=4,&2=∣2,故E的方程为工-M=I.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：利用菱形、圆的性质，结合双曲线渐近线方程求参数，写出双曲线方程.

8.已知函数/(x)=(αsi∏Λ+cosx)cosx-gSeR)的图象的一个对称中心为(蒋,0),则关于/(x)有下列结论:

①〃x)的最小正周期为兀；

②X=-W是“X)图象的一条对称轴；

③“X)在区间W,闿上单调递减；

O3

④先将函数y=2sin2x图象上所有点的纵坐标缩短为原来的g,然后把所得函数图象向左平移已个单位长

度，得到/(x)的图象.

其中正确结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】化简函数/(x),将X=Il代入得函数为0,可求得α=√L进而可得〃x)=sin(2x+。可判断

A；通过计算可判断B；当-J≤x≤M时，f≤2x+m≤'，可得/(x)在他马上的单调性，

k63262

可判断C；

通过振幅变换和平移变换，可判断D.

【详现军】/(x)=(。sinX+cosx)cosx-^=asinxcosx+cos2x~~

1.C1+cos2xIl.c1C

=—αsιn2x+-----------=—αsιn2x+-cos2x,

22222

因为/(χ)图象的一个对称中心为(V，。)，

则生]=，asin&+」cos型=Ja-正=0,所以a=√L

112；262644

所以〃X)=——sin+-cos2x=sin2x-■一

22Λ2I∖6

对于①，/(X)的最小正周期为T=三=兀，故①正确；

对于②，/(-1)=SitI(T+V=sin(-])=T，故②正确；

对于③，当F≤x≤W时，3≤2X+B≤当，又Y=Sinr在上先单调递减，

63262|_22

所以〃x)=sin(2x+引在上单调递减，故③正确；

VO/J_

对于④，将函数y=2sin2x图象上所有点的纵坐标缩短为原来的然后把所得函数图象向左平移行个单

位长度,

得至Uy=sin[2(x+q)]=sin(2x+^)=f(x),故④正确.

故选：D.

+2,-2<X≤1

9.已知函数/(χ)=∣1o1,若关于X的方程/(x)-《A=O有两个不相等的实数根，则实数Z

x÷——3,l<x≤5∖,2

X

的取值范围是()

A.[θ,∣∣6,-4&)B.(0$)M-3,-20)

C.(0,l]u(-3,-2√2)D.(0,2]o(-6,-4√2)

【答案】A

【分析】分析函数/(x)的特点，比较准确地画出函数图像，

将原方程转化为直线与函数曲线有两个不同的交点，并构想如何才能有两个交点.

【详解】对于y=∕+2,是对称轴为y轴的开口向上的二次函数；

对于y=x+-3,求导得y=1-1,在Xe(1,5]时，y>0,是增函数，

XX

=l+y-3=-l<0,ynιax=5+∣-3=y>0,

.∙.在xw(l,5]内必存在零点，考虑y=x+}-3函数图像的特点，

作如下所示示意图：

要使关于X的方程/(》)-；依=O有两个不相等的实数根,

则两函数y=∕(χ)与y=g日的图象有两个交点，

当％>0,由图可知，;即0<%≤3;

22525

当/<0时，相当于y=g匕与y=χ2+2在χ∈(-2,0)内有两个交点,

即方程f+2=g辰在xe(-2,0)上有两个解，A=2x+g,

令8(加21+。(加2一3=26©!,+&)，

XXX

Sttax(ʃ)=S(-V2)=-4√2,g(-2)=-6,作g(x)图像如下：

O

.∙.-6<k<-4\/2;

故选：A.

第∏卷

二、填空题：(本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对

的给5分。)

io.i是虚数单位，复数e刊的虚部是

1+2i

【答案】-2

【分析】由复数模的定义和复数的除法法则计算.

IL匹百S=止0_2i∙虚部为2

【详解】

l+2i(l÷2i)(l-2i)5

故答案为：-2.

11.二项式［；+亍）的展开式的第5项为常数项，则〃=.

【答案】6

【分析】根据二项式通项公式和展开式的第5项为常数项建立方程即可得解.

2n-3r

【详解】二项式展开式的通项公式为7^=c：23i∙X~^~

ɔ»7一3χ4

由展开式中，第5项为常数项，此时r=4,则"-尸=O,即"=6.

故答案为：6.

12.己知圆心在直线x-3y=0上的圆C与V轴的负半轴相切，且圆C截X轴所得的弦长为4&，则圆C的

方程为.

【答案】(x+3f+(y+l)2=9

【分析】根据圆的切线性质，利用待定系数法进行求解即可.

【详解】因为圆心在直线x-3y=0上，所以设圆心坐标为（3b,力,

因为圆C与，轴的负半轴相切，所以。＜0,且圆的半径为-3b,

所以圆的标准方程可设为：（x-36）2+（y-A）2=（-3Z√,因为圆C截X轴所得的弦长为4√∑,所以令丫=。,

222

↑⅜(x-3⅛)+(0-⅛)=(3⅛)^>x=3⅛±2√≡2⅛,

K⅛3⅛+2√=2fe-(3fe-2√≡2⅛)=4√2=>⅛=-l,

所以圆C的方程为：（x+3p+（y+l）2=9

13.已知正实数m6满足α+6=l,则1+昌的最小值为_________.

ab+∖

【答案】（/2.5

2

14I4

【分析】将目标式转化为上+--2,应用柯西不等式求'+厂］的取值范围，进而可得目标式的最小值,

ah+∖a⅛÷1

注意等号成立条件.

■、乂ZTI■口=`n<,r.t12a12-2⅛14.

【详解f】由题设，a=∖-b,则丁昉=Lm=L时一2'

又(tZ÷⅛÷1)(---1-------)=[y]~Q,,—+∙∖∕⅛÷^1-------]2=9

a⅛+ly∣a√"1

149⅛+ι

匕+南7'当且仅当三时等号成立，

.∙.-+~≥^--2=~,当且仅当α="ɪ=:时等号成立.

ab+∖2223

ʌ~÷τ^^^^7的最小值为∣^.

故答案为：

14.已知一个袋子里有9个大小、形状、质地完全相同的球，其中4个红球、2个白球、3个黑球，先从袋

子中任取1个球，再从剩下的8个球中任取2个球，则这2个球都是红球的概率为,先取出的球也

是红球的概率为.

12

【答案】7I

【分析】利用全概率公式及条件概率公式即得.

【详解】设事件A表示从剩下的8个球中任取2个球都是红球，事件B,,B2,反分别表示先取的1个球是

红球、白球、黑球，

34C2?C2C21

由全概率公式得P（A）=»（纥），（Al纭）=§x苔+gx百→gx百=亍

4C；

X

P(g,)P(A|g,)=9C^2

P(BM=

P(A)-P(A)-7

12

故答案为：~；^•

67

DTIUUlIl

15.已知平行四边形ABC。的面积为9√LZBAD=^-T,∣AD∣=6,E为线段BC的中点，若尸为线段。E上

的一点，且AF=4AB+?AO,则/________；罗.端的值为______.

6

【答案】ɪ9

IUlKIIUUDI

【分析】由平行四边形ABCD的面积为96,可得卜BHA。卜18,再由数量的定义可求出A»AB的值；由

已知得4尸=2AE+K;l）AE>,然后根据EEO三点共线即可得2=2，从而得出"'=2，则

62336

AF-AE=（；A8+|A叫A8+g回，即可求出答案.

【详解】解：因为平行四边形ABCO的面积为9百，

UUD

∣uu∏∣∣uu≡,2π-IIIUuBl

所以网.『4Sin年=9百l,得Mpq=18,

又阴=6,所以网=3,

所以AO∙AB=AQ∙AB=IAQHAMCOS=-9,

如图，连接AE,则8E=LAQ,AE=A8+'AQ,

22

由A∕7=∕tAB+2aθ,

6

所以AF=X(AE-A£>)+3A。=ΛAE+(---λ)AD

2662

因为EF,。三点共线，

所以几+*2=1,得4=g,

所以AF=JAB+*AO,

36

所以A尸.AE=(gAB+|Aq(AB+；A£>]

2S-«2]S

=-AB'+ABAD+-AD'=-×9-9+-×3l6=9

【点睛】此题考查了向量加法、数乘的几何意义，三角形的面积公式，向量数量积的运算，考查了计算能

力，属于中档题.

三、解答题(本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

16.在JABC中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,已知/?=αcosC+-CSinA∙

3

(1)求角A的大小：.

(2)若α=√7,b<c,45C的面积为豆I.

2

①求C的长；

②求sin(28高的值.

【答案】(呜

(2)φ⅛=2,c=3；(g)ɪɪ

【分析】(1)利用正弦定理将边化角，再根据诱导公式及两角和的正弦公式计算可得；

(2)①由面积公式得到秘=6,再由余弦定理得到b+c=5,解得即可；

②由余弦定理求出CoSB,再根据同角三角函数基本关系求出sin8,再利用二倍角公式及两角差的正弦公式

计算可得；

(1)

解：因为匕=αcosC+∙^∙csinA,

3

n

由正弦定理得sinB=sinAcosC+——sinCsinA

3

XsinB=sin[Æ-(A+C)]=sin(A+C),

^sinCsinA,

3

BPsinAcosC+cosAsinC=sinACOSC+——sinCsinA

3

所以COSASinC=—sinCsinA，

3

又SinC≠0,故tanA=6.

在,ABC中，A∈(O,R,所以A=?.

(2)

①,ABC的面积S=-bcsinA=^^-»得。C=6,

22

由余弦定理，Wtz2=⅛2+c2-2bccosAt

2

由〃=J7,A=(，可得7="+c-be,

整理得7=e+c『—3bc,解得"c=5,

又Z?<c,故人=2,c=3.

②方法一：

由余弦定理，得。2=a1+c1-2<zccosB»

又。=近，b=2,c=3,故cosB="十£———

Iac7

所以SinB=>∕l-cos2B=-----,

7

.ɔ.ɔ√212√74√3

sιn02βπ=2sιnπβcosπβ=2×-----×------=------,

777

41

COS2B=2COS29B-1=2×一一1=-,

77

故sin(23-工］=sin2Bcos工-CoS2Bsin工

V6J66

4λ∕3√31111

=---------X----------------X—=—.

727214

方法二：

由正弦定理三=工，得耳=嬴万，故SinB=亘，

SinAsinB—7

2

又。<c,j⅛B<C,cosB>0,

从而cosB=Vl-sin2B=会/Z.

7

・0—∙aɔ√212√74√3

sin2π=2sιnπcosπβ=2×-----×------=------,

777

41

COS2B=2COS29B-1=2×一一1=-,

77

Sin［28-工］=sin2Bcosɪ-cos2Bsinɪ

l6)66

4λ∕3√31111

=---------X----------------X—=—.

727214

17.四棱锥P-ABeD中，2。_1_面ABCO,ABHDC,ABYAD,DC=AD=I,AB=2,ZPAD=45,E是

24的中点，F在线段A3上，且满足CF∙BO=0∙

⑴求证：Z)£//平面P8C；

(2)求二面角尸-PC-B的余弦值；

(3)在线段R4上是否存在点。，使得广。与平面厅C所成角的余弦值是逅，若存在，求出AQ的长；若不

3

存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析;

⑵%

3

（3）存在，立.

IO

【分析】（1）以。为原点，DA,DC,OP分别为X,九Z轴建立空间直角坐标系。-孙Z,利用向量法

求解；

（2）利用向量法求解；

（3）利用向量法求解.

【详解】（1）由题意可得D4,DC,OP两两互相垂直，所以可以以。为原点，DA,DC,E）P分别为x,

y,Z轴建立空间直角坐标系。-孙Z如图示：

.∙.A(1,0,0),8(1,2,0),C(0,1,0),P(0,0,1),r^ɪ,θ,ɪ

/.SC=(-1,-1,0),CP=(O--Ll).

设平面PBe的一个法向量为，”=(x,y，z).

ιn-BC=-X-V=O、

,,不妨令y=l,.∙.戊二z(一LI,1).

tnCP=->,÷z=0

又.DE=Iɪ,θ,ɪ],.-.m-DE=--+0+-=0,

(22J22

m±DE-

DE不在平面PBC内,

•1•DE//平面PBC.

(2)设点/坐标为(LM)),.∙.CF=(Lr—1,0),DB=(1,2,0).

1,,0

由CFoB=0，•」=!，F(ɪJ∙

.∙.CF=(l,-g,θ),

设平面尸尸C的一个法向量为”=(x，y，z),

CD(一y+z=O

n∙CP=n0./、

由〈，「.〈1八，不妨令工=1,・,.〃=(1,2,2)

,2∙CF=Oɪ--ʃ=o

、乙

.*.m∙n=-l+2+2=3,

n`m36

.∙.cos∙n,m∙=∣-∏~F=―7==——

∣rt∣∙∣w∣3√33

又由图可知，该二面角为锐二面角，

二面角尸-PC-B的余弦值为立.

3

(3)设AQ=2AF)=(―%0,Λ)>Λ∈[θ,l],FQ=FA+AQ=[-λ,-->λ

n∙FQ=A-I,

2/1-2

.,.cos∙FQ,

3√8Λ2+1，

尸Q与面PFC所成角的余弦值是好・•••其正弦值为B

33

2/-2_立

3√8Λ2+ɪ3

整理得：20/+82-1=0,

2=ɪ,2=-；(舍去)，

存在满足条件的点Q,AQ=卜触总且IAQl=寻.

18.已知｛风｝为等差数列，也｝为正项等比数列，｛风｝的前〃项和为S“，4=1,^-φ=l,爪%-4)=1,

b2+2⅛3=b].

⑴求数列｛α,,｝,他｝的通项公式;

⑵求｛(-1片“的前”项和的最大值;

匕也必,〃为奇数,

C<24(n∈N").

⑶设C,=为偶数,求匹JΛ

⅛=1

2

【答案】(1)4=2〃-1,

(3)证明见解析

【分析】(1)设等差数列｛α,J的公差为"，等比数列｛〃,｝的公比为q(√>0),

根据所给条件结合等差数列通项公式、求和公式，以及等比数列通项公式计算可得;

(2)由(1)可得(_1)"Td=,利用等比数列求出公式求出前"项和7；,再分奇偶两种情况求出T“

的最大值，即可得解；

(2)利用错位相减法求和即可得证；

(1)

解：设等差数列｛q｝的公差为d,等比数列｛2｝的公比为4(4>0),

01=1

由“∣=l,七一g=l，即<4α∣+6d3al+_∣»解得4=2,所以

由4(%-αJ=l,所以4=；,由4+24=4，即gq+2xg∕=g,解得q=g或g=-l(舍去)

所以“(｛f；

⑵

解:由⑴可知么=出"，所以(T)F=Uj

所以］(-1广｝是首项为3,公比为-ɪ的等比数列,

令｛(T)"%,J的前〃项和为，，

当”为奇数时*=；1+(£)≤∣[ι+^=∣,

当〃为偶数时Z,=；1-(；)＜；,

综上可得｛㈠广殳｝的前〃项和的最大值为果

(3)

∙3%11,"为奇数

~2^

证明：因为%=

YT4,〃为偶数'

2

2n

所以Σq=(嫉-q2)4+(Y-4)4+(d-4)4++(⅛~a2n-∖)hn

A=I

(1352n-3

o++T+

=8[7F2+K+〒怏

1⅛(1352/2-32n-↑}^

o+++

2∑C^⅜FF+『+^d②，

由①-②可得空弓=8(；+*:+#+击-钓

2”20+3

所以Zq=24-《k<24,得证;

Λ=l'

n([7上

19.已知中心为坐标原点。，对称轴为坐标轴的椭圆C经过P，Q76,—两点.

Iʒ)

(1)求椭圆C的方程;

⑵设过点(0,1)的直线/与椭圆。相交于A,B两点，2OD=3OB,OE=OD+OA,且点E在椭圆。上，求

直线/的方程.

22

【答案】(1—

94

⑵y=±∣x+1

【分析】（1）根据题意设椭圆。的方程如=1,代入点列式运算，求解即可得结果;

（2）设A（XQ38（Λ2,%）,根据题意整理可得4xE+9χ%+27=0,结合直线方程以及韦达定理运算求

解，注意讨论直线/的斜率是否存在.

【详解】（1）由题意可设椭圆C的方程加小+可产=i（m>o,">o,m*"）,

•；椭圆C经过P∣G,半］,Q而,当］两点,

/

3+8n1

τ-m——

解得

即<9

6+1

4τn-n--

、4

即1+［竽+^l)+}χi=ι,可得4%%+9乂％+27=0.

当直线/斜率存在时，设直线/的方程为V=履+1,

γ=Ax+1,

联立方程f丁，消去y得(9∕+4)f+18^—27=0,

----F---=1

194

IQiGr

贝IJA=(18Z)2-4X(9左2+4)X(-27)=432(3∕+1)>0,XI÷X2=-^^,⅜x2=-9^^4

2

：4百/+9χ%+27=4XIX2+9(H+1)(AX2÷1)+27=(4+9XΓ)X1X2+9⅛(xl+x2)÷36=0,

则(4+9办卜扁卜9k一显卜36肛

2

9⅛2=4,解得Z=±3,

2

故所求直线/的方程为y=±(χ+i;

当直线/斜率不存在时，则直线/的方程为X=O,即占=%=0，%=-%，

。+超=超=1

可得944,该方程组无解，不合题意；

0χ0+9%(f)+27=-9^+27=O

2

综上所述：所求直线/的方程为y=±；x+L

【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法

在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为

端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解.

20.己知函数F(X)=XnlnX-"lnx("wN*).

⑴当”=1时，求函数y="x)的单调区间；

⑵当”>1时，函数y="x)的图象与X轴交于产，。两点，且点Q在右侧.

(i)若函数y=f(χ)在点Q处的切线为y=g(χ),求证：当x>l时，f(χ)>g(χ);

(ii)若方程/(x)=f(0<f<"-l)有两根“，b.求证：∖a-b∖<^^t+^.

Inn

【答案】(1)单调增区间为(LM),单调减区间为(0,1)

(2)(i)证明见解析，(ii)证明见解析

【分析】(1)求出函数解析式，即可求出函数的导函数，再求出函数的单调区间；

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(2)(i)由于r(x)=­x+√T-W,所以r(∕)=zΛ∖n=^g(x)=(∕Λln")x-"ln"，令〃(X)=/(x)-g(x),

利用单调性即可得证；

l-Λ

(行)由于方程/(幻="0<，<〃-1)有两根。，b,不妨设a>b,则o<z,<ι,ɑ>/,设g(%)=f,则Xt)=丘+),

Inw

由于y=g(χ)是增函数，即可得证.

【详解】⑴当〃=1时/(x)=(XT)InX,所以函数的定义域为(0,4∞),r(