2023年高考数学一轮复习习题：第八章第5节　直线、平面垂直的判定与性质

第5节直线、平面垂直的判定与性质

考纲要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关

性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单

命题.

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线/与平面α内的任意直线都垂直,就说直线/与平面α互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

LLa、

一条直线与一个平面内的两条相I-Lh

7

判定定理交直线都垂直,则该直线与此平aC∖b=O>zz>∕±ɑ

面垂直gCg

bi>

i

两直线垂直于同一个平面，那么aj_a\

性质定理

这两条直线平行

2.直线和平面所成的角

(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的银鱼叫做这条直线和这个平面所成的角，一

条直线垂直于平面，则它们所成的角是直免；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成

的角是0°的角.

(2)范围:[θ,∣]∙

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂

直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范围：[O,π].

4.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

一个平面经过另一个平面的一条垂l±a]

判定定理

线，则这两个平面互相垂直Lb

、

如果两个平面互相垂直，则在一个a±β

a∏β=a

性质定理平面内垂直于它们交线的直线垂直

I-La

于另一个平面

βbIU8,

•——常用结论与微点提醒

1.三个重要结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一

个重要方法).

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内

的无数条直线，就垂直于这个平面”.

3.三种垂直关系的转化

a小正土判定定理“H壬士判定定理士

线线垂直性质线面垂直性质定理面面垂直

诊断自测

►■思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)直线/与平面ɑ内的无数条直线都垂直，则/Lα.()

(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()

(4)若平面ɑ内的一条直线垂直于平面夕内的无数条直线，则α,..()

答案(I)X(2)×(3)×(4)×

解析(1)直线/与平面ɑ内的无数条直线都垂直，则有/La或/与α斜交或/Ua或/〃ɑ,

故⑴错误.

(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.

(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平

行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.

(4)若平面ɑ内的一条直线垂直于平面夕内的所有直线，则α,万，故(4)错误.

〉教材衍化

2.已知互相垂直的平面α,A交于直线/.若直线机，”满足“〃α,”_1_4，贝!］（）

A.m//1B.m//nC.〃_!_/D.mA.n

答案C

解析由题意知，aC6=l,所以/U£,因为〃所以“U.

3.在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点0.

（1）若EI=PB=PC,则点。是AABC的心.

（2）若RIj_PB,PBlPC,PCVPA,则点。是448C的心.

答案⑴外⑵垂

解析（1）如图1,连接。4,OB,OC,OP,在RtAPOA,RtZ∖P0B和Rt△「（?C中，PA^

PB=PC,所以OA=OB=OC,即。为AABC的外心.

图1

（2）如图2,延长A0,BO,CO分别交BC,AC,AB于H,D,G.因为PC_LP4,PBLPC,

PA∩PB=P,所以PC-L平面PAB,又ABU平面PAB,所以PCLAB,因为POLAB,POHPC

=P,所以AB，平面PGC,又CGU平面PGC,所以ABLCG,即CG为aABC边AB上的

高.同理可证8D,AH分别为AABC边AC,8C上的高，即。为AABC的垂心.

图2

〉考题体验

4.（2021・日照检测）已知α,S表示两个不同的平面，MJ为平面ɑ内的一条直线，则"aJ_4"

是“帆」夕’的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析，葭Uα,mA-β^al.β,反过来，若，"Uα,aLβD#m1β（m"β或m与β斜交）,所以

,ta±β,'是"m邛”的必要不充分条件.

5.（2021・西安联考）已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A,8的一点,

。为下底面圆周上一点，且AC圆柱的底面，则必有（）

A.平面ABe，平面BCDB.平面BC£>1.平面ACO

C.平面ABQ，平面AC。D.平面BCQ_L平面A8。

答案B

解析因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以ACLBC,

又AO垂直于圆柱的底面，所以AQ"LBC,

因为AC∩AO=A,所以BCj_平面4CD

由于BCU平面BCD.

所以平面BCDj"平面ACD.

6.（2018•全国I卷）在长方体ABe。-AiBICIDI中，AB=BC=2,4C∣与平面BSGC所成的

角为30。，则该长方体的体积为（）

A.8B.6√2C.8√2D.8√3

答案C

解析连接BG,因为ABL平面BBlClC,所以NAGB=30。，AB±BCi,所以为直

角三角形.

又48=2,所以BCι=2√i

22

又BiG=2,所以ββ1=√（2√3）-2=2√2,

故该长方体的体积V=2×2×2√2=8√2.

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一线面垂直的判定与性质师生共研

【例1】（2019•全国Il卷）如图，长方体ABC。-A^∣CQ∣的底面ABC。是正方形，点E在

棱AAl上，BE±ECi.

A

（1）证明：BEL平面EBIG;

（2）若AE=AE,48=3,求四棱锥E-BBIGC的体积.

⑴证明由已知得BICl_L平面ABBlAt,BEU平面ABBiAi,故BICJBE.又BE±ECi,

B∣C∣∩ECl=C∣,BiCl,EGU平面EBIG,所以BEjL平面EBlC∣.

⑵解由⑴知NBES=90°.

由题设知Rt∆ABE^Rt∆A∣BlE,

所以/AEB=/AIEBl=45。，

故AE=AB=3,AA↑—2,AE-6.

如图，作EF_L8Bi,垂足为尸，则EF_L平面BBIGC,且EF=AB=3.

所以四棱锥E—BBICIC的体积V=∣×3×6×3=18.

感悟升华1.证明直线和平面垂直的常用方法有：

(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(α〃仇“-La今6J∙α);(3)面面平行的性质(α~Lα,a∕∕β

≠,a±∕f);(4)面面垂直的性质(aJL尸，aC∖β=a,I±a,∕⊂∕J=>∕±a).

2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，

判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路.

【训练1】如图，在四棱锥P—ABC。中，用_L底面ABcD,AB±AD,AClCD,ZABC

=60。，PA=AB=BC,E是PC的中点.证明：

(I)CDlAE;

(2)PDJ_平面ABE

证明(1)在四棱锥P-A8C。中，

底面ABeO,COU平面ABa),

J.PALCD,

又∙.∙ACLCf),kPAHAC=A,

...C£>_L平面PAC.

又AEU平面PAC,：.CDLAE.

(2)由抬=AB=BC,NABC=60。，可得AC=B4.

是尸C的中点，.,.AELPC.

由(1)知AE_LC。，且PCCCD=C,

.∙.AE1,平面PCD.又PoU平面PCD,.∖AE1,PD.

∙.∙∕¾1^SABCD,ABC5FWABCD,：.PALAB.

又∙.∙AB_LAO,且B4Γ∣AC=A,

.∙.AB1.平面力。，又POU平面以。，

：.ABA.PD.

ABQAE=A,；.PO_L平面ABE.

考点二面面垂直的判定与性质师生共研

【例2】(2020•全国I卷)如图，。为圆锥的顶点，0是圆锥底面的圆心，AABC是底面的

内接正三角形，P为。。上一点，NAPC=90。.

(1)证明：平面以8_1_平面∕¾C;

(2)设。0=√Σ圆锥的侧面积为小兀，求三棱锥产一ABC的体积.

⑴证明由题设可知，PA=PB=PC.

由aABC是正三角形，

可得△/¾C丝△/¾8,∕∖PAC^∕∖PBC.

又NAPC=90°,故∕AP8=90°,ZBPC=90°.

从而PBLFA,PBLPC,又∕¾,PeU平面∕¾C,PAHPC=P,

故P3_L平面B4C,又PBU平面以8,

所以平面∕¾B1.平面PAC.

(2)解设圆锥的底面半径为r,母线长为/,

由题设可得"=√5,P-r=2,解得r=l,∕=√3.

从而AB=yβ.

由⑴可得以2+尸82=4序，故必=PB=PC=坐.

所以三棱锥P—ABC的体积为

*∕¾∙PB∙PC=gx}x(半＞=鎏

3乙JZ∖Z∕O

感悟升华1.判定面面垂直的方法主要是：

（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理（αJ"夕，a<^a^a±β）.

2.已知平面垂直时，解题一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，将问

题转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

【训练2】（2021•安徽AIo联盟检测）如图，在四棱锥4一BCDE中，AWE是边长为2的

等边三角形，平面4£>E_L平面BCE>E,底面Ba）E是等腰梯形，DE//BC,DE=ZjBC,BE

=Z）C=2,8O=2√5,点〃是。E边的中点，点N在BC上，且BN=3.

(1)证明：8£>J_平面4MN；

(2)设BQnMN=G,求三棱锥A-BGN的体积.

(1)证明；ZSAOE是等边三角形，M是OE的中点，

.∖AM±DE.

又平面AZ)E_L平面BCDE,平面ADE∩平面BCDE=DE,

平面BCDE,

:BDU平面BCDE,.∖AM±BD,

:MD=ME=1,BN=3,DE//BC,DE=^BC,

.∙.MD^CN,二四边形MNCQ是平行四边形，

J.MN//CD.

又BD=2yβ,BC=4,CD=2,：.BD2+CDz=BC1,

：.BDLCD,：.BDLMN.

又AMCMN=M,；.8O_L平面AMN.

(2)解由(1)知AMl.平面BCDE,

二AM为三棱锥A-BGN的高.

•..△ADE是边长为2的等边三角形，

33

.∙.AM=Λ∕5.易知GN=ICD=亍

又由(1)知BDJ_MM.∙.BG=y∣BN2-NG2=吟■.

.c=U义3=随

•∙∖&BGN■N22,ʌ28.

∙AΛ∕=∣×^×√3=∣.

∙,∙VA-BGN=w

考点三平行与垂直的综合问题多维探究

角度1平行与垂直关系的证明

【例3】如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A8C。为矩形，平面平面ABe£>,PA

1PD,PA=-PD,E,尸分别为A。，PB的中点.求证：

(I)PElBC;

(2)平面以BJ_平面PCD；

(3)EF〃平面PCD.

证明(1)因为布=尸。，E为A。的中点，

所以PElAD.

因为底面ABCQ为矩形，所以BC〃AD

所以PELBC.

(2)因为底面ABC。为矩形，所以ABLAD

又因为平面布D_L平面ABC£),平面∕¾O∩平面ABCO=AC,Aβ⊂jF≡ABCD,

所以ABJ_平面PAD.

又PoU平面∕¾O,所以A8_LPD

又因为用J_P。，且∕¾ΓMB=A,

所以P£>_L平面以氏又PoU平面PCD,

所以平面RW_L平面PCD.

(3)如图，取PC中点G,连接尸G,DG.

因为凡G分别为PB,PC的中点，

所以FG〃BC,FG=；BC.

因为ABC。为矩形，且E为AO的中点,

所以DE〃BC,DE=^BC.

所以QE〃尸G,DE=FG.

所以四边形。EFG为平行四边形.

所以EF//DG.

又因为E/Y平面尸C£),OGU平面PC。，

所以EF〃平面PCD.

感悟升华1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.

2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.如果有平

面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进

一步转化为线线垂直.

角度2平行垂直关系与几何体的度量

【例4】(2019•天津卷)如图，在四棱锥P-ABC。中，底面48C。为平行四边形，N)CD

为等边三角形，平面∕¾C，平面PCC,PALCD,CD=2,AD=3.

(1)设G,”分别为PB,AC的中点，求证：G4〃平面用£＞；

⑵求证：南，平面PCD；

(3)求直线AQ与平面PAC所成角的正弦值.

(1)证明连接BD,易知4CΓ∣BO=H,BH=DH.

又由BG=PG,故G”为aPBO的中位线，所以G”〃PD

又因为GHQ平面南力，PoU平面力力，所以GH〃平面阴。.

(2)证明取棱PC的中点N,连接£W.依题意，得DNLPC.

又因为平面B4C，平面PCZ),平面B4C∩平面PCZ)=PC,DNU平面PCD,所以Z)N，平

面PAC.

又∕¾U平面∕¾C,所以。MLRL

又已知LCD,CDCDN=D,

所以以，平面PCD.

⑶解连接AN,由⑵中IW，平面B4C,可知NDAN为直线Af)与平面B4C所成的角.

因为APCO为等边三角形，CO=2且N为PC的中点，

所以DN=木.

又DNIAN,在Rt△ANQ中，SinNzMN=综=坐.

∕∖LJJ

所以直线与平面B4C所成角的正弦值为坐.

感悟升华1.平行垂直关系应用广泛，不仅可以证明判断空间线面、面面位置关系，而且常

用以求空间角和空间距离、体积.

2.综合法求直线与平面所成的角，主要是找出斜线在平面内的射影，其关键是作垂线，找

垂足，把线面角转化到一个三角形中求解.

【训练3】如图，AB是。。的直径，垂直于。。所在的平面，C是圆周上不同于A,B

的一动点.

(1)证明：△尸8C是直角三角形：

⑵若∕¾=A3=2,且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为啦时，求直线AB与平面PBC

所成角的正弦值.

(1)证明:AB是。。的直径，C是圆周上不同于A,8的一动点.

：.BClAC,

∙,∙∕¾±-ψ-SABC,：.PAYBC,

^PAΠAC=A,PA,ACU平面∕¾C,

，BC_L平面∕¾C,ΛBCA-PC,

...△■BPC是直角三角形.

(2)解如图，过4作LPC于”，

：8C_L平面PAC,

：.BC±AH,

又PC∩BC=C,PC,BCU平面P8C,.∖A∕ΛL平面P2C,

二/ABH是直线AB与平面PBC所成的角,

∙.∙∕¾,平面ABC,

：.ZPCA是直线PC与平面ABe所成的角,

PA

VtanZPCA=77=√2,

又PA=29ΛΛC=√2,

，在Rl△勿C中，AH=-r=^==^∙,

y∣PA2+AC23

2√3

在Rt∕∖ABH中，sin/ABH=An=-ɔ-,

ADZJ

故直线AB与平面P8C所成角的正弦值为坐.

核心素养/与垂直平行相关的探索性问题

立体几何中的探索性问题是近年高考的热点，题目主要涉及线面平行、垂直位置关系的探究,

条件或结论不完备的开放性问题的探究，重点考查逻辑推理,直观想象与数学运算核心素养.

【典例】如图所示，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCO为直角梯形，ZABC=ZBAD=

90o,4PCC和ABQC均为等边三角形，且平面PQC，平面8。C

(1)在棱PB上是否存在点E,使得AE〃平面TOC?若存在，试确定点E的位置；若不存在,

试说明理由.

(2)若APBC的面积为替，求四棱锥P-ABCD的体积.

解(1)存在点E,当点E为棱PB的中点时，使得AE〃面PDC,理由如下：

如图所示，取PB的中点E,连接AE,取PC的中点/，连接EF,DF,取BC的中点G,

连接。G因为aBCC是等边三角形，所以/£>GB=90。.

因为NABC=N8A£>=90。，所以四边形ABG。为矩形，

所以AD=BG=TBC,AD//BC.

因为EF为ABCP的中位线，

所以EF=；BC,ɪEF//BC,故AQ=EF,且AZ)〃EF,

所以四边形AoFE是平行四边形，从而AE〃。下,

又AEa平面PDC,OFU平面尸。c,

所以AE〃平面PDC.

(2)取C。的中点M,连接PM,过点、P作PNLBC交BC于点、N,连接MN,如图所示.

因为△F£>C为等边三角形，所以PMLQC.

因为PM_LOC,平面PDCI.平面BDC,平面P。Crl平面BOC=OC.

所以PM_L平面BCD,故PM为四棱锥尸一ABCZ)的高.

又BCU平面BCD,所以尸MJ_8C.

因为PNLBC,PNCPM=P,PNU平面PMN,PMU平面PMN,所以BCj_平面PMN.

因为MNU平面PMN,所以BCLMN.

由M为。C的中点，易知NC=；BC.

设BC=x,则Z∖P8C的面积为以。一仔卜零,解得χ=2,即BC=2,

所以AQ=I,AB=DG=PM=事.

故四棱锥P—A8CZ)的体积为y=；XS卬BCDXPMuXq+2广于χ√5=∣.

素养升华1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；

(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.

2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点的存在问

题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.

平行或垂直关系入手，把所探究的结论转化为平面图形中线线关系，从而确定探究的结果.

【训练】如图，三棱锥P-ABC中，平面4BC,RI=1,AB=I,AC=2,NBAC=

60°.

(1)求三棱锥P-ABC的体积；

PM

(2)在线段PC上是否存在点M,使得AC,BM,若存在点求出行的值；若不存在，请

说明理由.

解(1)由题知AB=I,AC=2,ZBAC=60°,

可得SzxA8c=5∙A3∙AC∙sin9

由%_L平面ABc可知是三棱锥P-ABC的高.

又布=1,所以三棱锥产一ABC的体积V=]∙SZUBCRA=手.

（2）在平面ABC内，过点8作BN±AC,垂足为M在平面BAe内，过点N作MN〃以交PC

于点M,连接

由孙，平面4BC知附，AC,所以MNl_4C.

由于BNCMN=N,故ACLL平面M8N.

又BMU平面MBM所以4CJ_8M.

在RtZ∖8AN中，AN=ABcosZBAC-τ:,从而NC=AC—AN=*由MN〃/¾,得第=：

/LLVΛIVJ

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

I.（2021•淮北质检）已知平面α,直线如〃，若WUa,则“m_L””是“m」a”的（）

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C∙必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析由"Uα,,〃_!_〃，不一定得到m_La；反之，由"Uα,，〃J_a,可得〃z_L".

.∙.若"Uα,则是"m_La"的必要不充分条件.

2.在正方体ABC£>—4出IGDl中，E为棱CZ）的中点，则（）

A.AlE_Lz）ClB.AiELBD

C.AlE_LBelD.AiELAC

答案C

解析如图，由题设知，4BiJ_平面BCG囱，且BGU平面BCG8∣,从而4SJ_BG.

又8|C_L8Ci,且AlBIC8ιC=B∣,所以BCl_L平面A∣3∣CD,又AlEU平面A山ICZ）,所以

AιEl.BC↑.

3.（2021•郑州调研）已知〃?，/是两条不同的直线，ɑ,夕是两个不同的平面，则下列可以推

出aLβ的是（）

A.〃?_!_/,HIUβ,/_LaB.∕M±/,a∏β-l,mUa

C.m//1,/nɪɑ.lVβD./ɪet,m//1,m∕∕β

答案D

解析在A中，mL,mU0,1.La9则［与夕相交或平行，故A错误;

在B中，mJJ,a∏β=lf机UQ,则α与£有可能相交但不垂直，故B错误；

在C中，机〃/,m.La9I工β,贝IJa〃夕，故C错误；

在D中，/_LQ,tn///,则/九_La,又m〃B，贝∣Ja_LQ,故D正确.

ɑL

4.己知三棱柱ABC—4©G的侧棱与底面垂直，体积为*底面是边长为小的正三角形，

若P为底面ABiG的中心，则勿与平面ABe所成角的大小为（）

a5πC兀

A∙12B-3

C兀C兀

c∙4d-6

答案B

解析如图，取正三角形ABC的中心为0,连接OP,则/%。是％与平面ABC所成的角.

因为底面边长为仍，

所以AD=z^^3×Λ*^-==2>

223

---

332

三棱柱的体积为坐X（√5）2A4］=*

解得AΛ=√5,即OP=AAl=小，

所以tan/B4O=oA=*\/§,

因为直线与平面所成角的范围是［θ,手，

TT

所以N%。=1.

5.（2020・昆明诊断）如图，AC=2R为圆。的直径，NPe4=45。，出垂直于圆O所在的平面,

B为圆周上不与点4、C重合的点，4S_LPC于S,AN工PB于N,则下列不正确的是（）

P

A.平面ANS_L平面P8C

B.平面ANSJ_平面∕¾B

C.平面B45_L平面PBC

D.平面ABCJ_平面∕¾C

答案B

解析：密1_平面ABC,BCU平面ABC,.∖PA±BC,

又AC为圆O直径，所以A8L8C,

又∕¾Γ∣AB=A,；.BC_L平面B48,

又ANU平面A8P,.-.BCLAN,

又AΛLLPB,BCCPB=B,

；.ANJ_平面PBC,

又ANU平面ANS,：.平面ANSI.平面PBC,

：.A正确，C,D显然正确.

6.（2020・衡水调研）如图，点P在正方体ABeD-AIBlGd的面对角线BG上运动，则下列

四个结论：

①三棱锥A-APC的体积不变；

②AP〃平面ACz）I；

③。P_LBG；

④平面PDBl_L平面ACD1.

其中正确的结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案C

解析对于①，由题意知AD1//BC1,从而Bcl〃平面ADiC,故BC1上任意一点到平面AD1C

的距离均相等，

所以以尸为顶点，平面AZ）C为底面，则三棱锥A-GPC的体积不变，故①正确；

对于②，连接48,A∣Cl,A∣Cι⅛⅛AC,由于①知：AD↑∕∕BC∖,

所以面BAlG〃面AC。，从而由线面平行的定义可得，故②正确；

对于③，由于。CJ_平面BCGBI,所以。ULBC1,

若。P_LBC1,则BG_L平面OeP,

所以8G_LPC,则尸为中点，与P为动点矛盾，故③错误；

对于④，连接。由。S_LAC且。8_LAA,

可得OBli,面AC£>i,从而由面面垂直的判定知，故④正确.

二、填空题

7.（2019•北京卷）已知是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：

①/_L/n；®m//«；③/_La.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.

答案若，“〃a,IjLa,则/（或若/_!_〃?，/.La,则,”〃a,答案不唯一）

解析已知/,"?是平面ɑ外的两条不同直线，由①/_1_相与②》z〃a,不能推出③/_La,因为

/可以与α平行，也可以相交不垂直；由①/J_，〃与③/J_a能推出②m〃a；由②相〃α与③/

!«可以推出①机故正确的命题是②③今①或①③一②.

8.如图，在直三棱柱ABC-A∣B∣C∣中，侧棱长为2,AC=BC=LZACB=90o,。是AlBl

的中点，尸是B8∣上的动点，ABl,DF交于点E,要使ABi，平面CIoF,则线段S尸的长

为.

答案I

解析设BIF=X,

因为AS，平面CiDF,OFU平面CDF,

所以ABiLOF,

由已知可得AIBl=√5,

设Rt∆AA∣βι斜边AS上的高为〃，则DE=^!ι.

又;X2X也=T义八层"赤，

所以∕l=平,DE=建

在Rt△£)BIE中，SIE=］闺2一停∣2=*

由面积相等得当义乎X乎%

#x=1.

9.如图所示，在四棱锥尸一ABC。中，布，底面ABCZZ且底面各边都相等，M是PC上的

一动点，当点M满足.时，平面MB。，平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条

件即可).

答案DM_LPC（或BM±PQ

解析连接AC,BD,则ACLBD,

因为∕¾，底面A8C。，8。U平面ABC。，所以B4_LBD

又MrIAC=A,所以BDJ_平面B4C,PCU平面3C,所以8OJ_PC

所以当OM_LPC（或BMj_PC）时,

有PC_L平面MBD.

PCU平面PC£),所以平面MB。J_平面PeD

三、解答题

10.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=26,PA=PB=PC=AC=4,。为AC的中点.

(1)证明：PO_L平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且MC=IMB,求点C到平面POM的距离.

(1)证明因为AP=CP=AC=4,。为AC的中点，

所以。PJ_AC,S.OP=2√3.

连接OB,因为AB=BC,AB2+BC2^AC1,所以aABC为等腰直角三角形，且0B_L4C,

Og=%C=2.

由OP2+OB2=PB2知，。尸_LOB.

由OP_LOB,OPLACS.OBOAC=O,知PoJ_平面ABC

(2)解作CHLOM,垂足为H.

P

又由(1)可得。尸，CH,所以C4_L平面POM.

故CH的长为点C到平面POM的距离.

由题设可知OC=V4C=2,

"=孤=华，NACB=45。.

斯门2√5OCMCsmZACB4√5

所以°nu"一§'CH-OM-5-

所以点C到平面POM的距离为竽.

II.(2021・昆明诊断)如图，在四棱锥P-ABC。中，底面4BC。是菱形，/540=60。，/XPAD

是正三角形，E为线段AO的中点.

(1)求证：平面PBCL平面P8E；

3

若

-不

⑵是否存在满足而=2危(AO)的点F,使得VB-PAE=4

存在，请说明理由.

(1)证明因为△物力是正三角形，E为线段Ao的中点,

所以PELAD.

因为底面ABCQ是菱形，所以AO=AB,

又/BAO=60°,

所以aABD是正三角形，

所以BELAD.

又BECPE=E,

所以A£>_L平面PBE.

又AD//BC,

所以BC_L平面PBE.

又BCU平面PBC,

所以平面PBC_L平面PBE.

⑵解由际=4元：